\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Fractions

Définitions


Considérons le modèle ci-dessous :. Pour exprimer cette quantité en une seule fraction, nous suivons deux étapes :
  1. Identifier le dénominateur : Les unités sont divisées en deux, donc le dénominateur est 2.
  2. Compter les parts : Au total, il y a 3 parts coloriées de cette taille. Ce nombre devient le numérateur.
Par conséquent, la quantité est représentée par la fraction \(\dfrac{3}{2}\).

Définition Fraction
Une fraction a deux nombres séparés par une barre de fraction : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas).

Sur la droite numérique


Les fractions ne représentent pas seulement des parties d'une forme ; elles peuvent aussi représenter des points sur une droite numérique. L'espace entre 0 et 1 est une unité.
Si nous divisons l'unité en 2 parties égales, le point au milieu représente la fraction \(\dfrac{1}{2}\).

Méthode Représenter les fractions sur la droite numérique
Pour représenter la fraction \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) sur la droite numérique :
  1. Dessine une droite et marque les points \(0\) et \(1\).
  2. Divise le segment de \(0\) à \(1\) en \(\textcolor{colorprop}{3}\) parties égales (le dénominateur).
  3. Compte \(\textcolor{colordef}{2}\) parts à partir de \(0\) (le numérateur) et marque le point en \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) .

Fractions équivalentes


Un gâteau est coupé en 3 parts égales. Une part, qui représente \(\dfrac{1}{3}\) du gâteau, est mise de côté.
Puis chacune des trois parts est coupée en deux. Le gâteau est maintenant divisé en 6 parts égales. La même quantité de gâteau qu’avant correspond maintenant à 2 de ces parts.
Même si le nombre de morceaux a changé, la quantité de gâteau coloriée a-t-elle changé ?

Non—la quantité de gâteau n’a pas changé. Les modèles montrent que la partie coloriée est la même dans les deux cas.
\(\quad=\quad\)
Donc, les fractions \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{2}{6}\) représentent la même valeur.


Définition Fractions équivalentes
Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité. On peut obtenir une fraction équivalente en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.

Simplification


Considérons la fraction \(\dfrac{4}{6}\) : . Bien qu'il s'agisse d'une représentation valide d'une quantité, ce n'est pas la plus efficace. Parmi toutes les fractions équivalentes possibles, il en existe une qui utilise les plus petits entiers possibles pour le numérateur et le dénominateur.
Le processus pour trouver cette forme la plus simple est appelé la simplification ou la réduction d'une fraction.

Méthode Simplifier une fraction
Simplifier une fraction consiste à trouver une fraction équivalente qui utilise les plus petits nombres entiers possibles pour son numérateur et son dénominateur.
La procédure consiste à diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un facteur commun). Il peut être nécessaire de répéter ce processus jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteurs communs (autre que 1) pouvant diviser à la fois le numérateur et le dénominateur.
Exemple
Simplifie \(\dfrac{4}{6}\).


Ordonner les fractions


Pour déterminer laquelle de deux fractions est la plus grande, les fractions doivent représenter des parts de la même taille. Considérons deux fractions, \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\).
\(\;\)
Visuellement, il est difficile de les comparer car l'une est divisée en quarts et l'autre en huitièmes. Pour effectuer une comparaison précise, nous devons d'abord les exprimer avec un dénominateur commun.

Définition Ordonner les fractions avec le même dénominateur
Pour deux fractions ayant le même dénominateur, celle dont le numérateur est plus grand est la plus grande.
Exemple
Compare \(\dfrac{6}{8}\) et \(\dfrac{5}{8}\).

\(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \)

Méthode Comparer des fractions avec des dénominateurs différents
La procédure standard pour comparer deux fractions avec des dénominateurs différents est la suivante :
  1. Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun aux deux dénominateurs. Une méthode simple consiste à multiplier les dénominateurs entre eux.
  2. Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun choisi.
  3. Comparer les numérateurs : Une fois que les dénominateurs sont identiques, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande.
Exemple
Comparer \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\).

Nous allons appliquer la procédure en trois étapes.
  • 1. Trouver un dénominateur commun : Les dénominateurs sont 4 et 8. Un multiple commun est 8.
  • 2. Créer des fractions équivalentes :
    • La fraction \(\dfrac{5}{8}\) a déjà le dénominateur commun.
    • Convertir \(\dfrac{3}{4}\) en une fraction équivalente avec un dénominateur de 8. Pour passer du dénominateur 4 à 8, nous multiplions par 2. Par conséquent, nous devons aussi multiplier le numérateur par 2.
      \quad \quad
  • 3. Comparer les numérateurs : Nous comparons maintenant les fractions équivalentes.
    \(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \)
  • Conclusion : Par conséquent, on conclut que \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\).

Addition et soustraction avec des dénominateurs communs


Considérons une unité divisée en quatre parts égales (des quarts). Une portion vaut \(\dfrac{2}{4}=\) , et une seconde portion vaut \(\dfrac{1}{4}=\) .
Quelle fraction de l’unité est représentée quand on combine ces deux portions ?

Pour trouver le total, on combine les parts coloriées. Comme toutes les parts ont la même taille (des quarts), on additionne simplement : \(2+1=3\) parts coloriées.
La fraction résultante est \(\dfrac{3}{4}\).


Définition Addition de fractions avec des dénominateurs communs
Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur :
Définition Soustraction de fractions avec des dénominateurs communs
Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur :

Addition et soustraction avec des dénominateurs différents


Les opérations d'addition et de soustraction ne peuvent être effectuées que sur des fractions qui représentent des parts de la même taille, c'est-à-dire des fractions ayant un dénominateur commun.
Considérons le problème de l'addition de \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{4}\).
\(+\)
Comme les fractions ont des dénominateurs différents (2 et 4), les parts sont de tailles différentes. Une addition directe des numérateurs n'est pas possible. Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord exprimer les fractions avec un dénominateur commun.

Méthode Procédure pour l'addition ou la soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, suivre cette procédure en trois étapes :
  1. Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun des dénominateurs.
  2. Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun.
  3. Additionner ou soustraire les numérateurs : Maintenant que les dénominateurs sont identiques, effectuer l'opération sur les numérateurs et conserver le dénominateur commun.
Exemple
Nous allons appliquer la procédure pour calculer \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\).
  • Étape 1 : Trouver un dénominateur commun. Les dénominateurs sont 2 et 4. Un multiple commun est 4.
  • Étape 2 : Créer des fractions équivalentes.
    • La fraction \(\dfrac{1}{4}\) a déjà le dénominateur commun.
    • Convertir \(\dfrac{1}{2}\) en une fraction équivalente avec un dénominateur de 4 :
  • Étape 3 : Additionner les numérateurs. Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, nous pouvons les additionner : $$ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} $$
La représentation visuelle de ce processus est :
\(+\) \(=\) \(+\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\) \(=\) \(\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
\(=\) \(\dfrac{3}{4}\)
La fraction totale est \(\dfrac{3}{4}\).