Racines
Racines carrées
- Le carré d'un nombre est le résultat de ce nombre multiplié par lui-même. Par exemple, \(3\) au carré est \(3 \times 3\), ce qui s'écrit \(3^2\).
\(3^2 = 9\). L'aire d'un carré de côté \(3\) est \(9\) unités carrées. - La racine carrée est l'opération inverse : elle « défait » le carré.
La longueur du côté est \(\sqrt{9} = 3\), car \(3 \times 3 = 9\).
Définition Racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif ou nul \(a\) (c'est-à-dire \(a \ge 0\)), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne \(a\).$$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$$
Remarque
- Le symbole de la racine carrée \(\sqrt{\quad}\) demande toujours la racine positive. Par exemple, \(\sqrt{25} = 5\). C'est une erreur courante de penser que \(\sqrt{25}\) vaut \(\pm 5\).
Bien qu'il soit vrai que \(5^2 = 25\) et \((-5)^2 = 25\), le symbole \(\sqrt{25}\) ne fait référence qu'à la solution positive, qui est \(5\). - Pourquoi ne peut-on pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif (dans les réels) ?
Considérons \(\sqrt{-9}\). Pour trouver cette valeur, il nous faudrait un nombre qui, multiplié par lui-même, donne \(-9\).- Un nombre positif au carré est positif (\(3 \times 3 = 9\)).
- Un nombre négatif au carré est aussi positif (\(-3 \times -3 = 9\)).
Définition Carrés parfaits
Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un autre entier. La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier.
Exemple
Les premiers carrés parfaits sont :$$ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \dots $$Leurs racines carrées sont :$$ \sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{16} = 4, \quad \dots $$
Définition Forme simplifiée des racines carrées
Une racine carrée est écrite en forme simplifiée si le nombre sous le signe de la racine carrée est aussi petit que possible.
Calculer des racines carrées
Alors que les racines carrées des carrés parfaits sont faciles à trouver, la plupart des nombres ne sont pas des carrés parfaits. On peut estimer leurs racines carrées ou utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur plus précise.
Méthode Utiliser une calculatrice
Sur la plupart des calculatrices, tu peux trouver une racine carrée en utilisant le bouton \(\boxed{\sqrt{\;}}\).
Exemple
Utilise une calculatrice pour trouver \(\sqrt{10}\), arrondi à \(2\) décimales.
En entrant \(\sqrt{10}\) dans une calculatrice, on obtient environ \(3{,}162277\ldots\)
Arrondi à \(2\) décimales, \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\).
Arrondi à \(2\) décimales, \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\).
Racines n-ièmes
De même que la racine carrée d'un nombre est la longueur du côté d'un carré d'aire donnée, la racine cubique \(\sqrt[3]{a}\) est la longueur de l'arête d'un cube de volume \(a\).
Définition Racine cubique
La racine cubique d'un nombre réel \(a\), notée \(\sqrt[3]{a}\), est le nombre réel qui, élevé au cube, donne \(a\) :$$\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$$
Remarque
Contrairement aux racines carrées, les racines cubiques sont définies pour tous les nombres réels, y compris les nombres négatifs. Par exemple, \(\sqrt[3]{-27} = -3\) car \((-3) \times (-3) \times (-3) = -27\).
Exemple
Calcule \(\sqrt[3]{125}\).
\(\sqrt[3]{125} = 5\) car \(5 \times 5 \times 5 = 125\).
Définition Racine n-ième
Le concept de racine peut être généralisé. Pour un entier naturel \(n \ge 1\), la racine n-ième d'un nombre réel \(a\), notée \(\sqrt[n]{a}\), est le nombre qui, élevé à la puissance \(n\), donne \(a\) :$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a.$$Les règles pour leurs ensembles de définition dépendent du fait que l'indice \(n\) est pair ou impair.
- Racines paires (ex. \(\sqrt[2]{a}, \sqrt[4]{a}, \dots\)) : une racine paire d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel. Pour \(n\) pair, \(\sqrt[n]{a}\) n'est définie que pour \(\boldsymbol{a \ge 0}\).
- Racines impaires (ex. \(\sqrt[3]{a}, \sqrt[5]{a}, \dots\)) : une racine impaire est définie pour tous les nombres réels \(a\).
Règles des radicaux
Les expressions contenant des racines carrées sont appelées des expressions radicales (ou simplement des radicaux). Pour simplifier et manipuler ces expressions, nous utilisons un ensemble de règles importantes.
Proposition Règle de multiplication
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a,b \ge 0\) :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}} $$
Par définition, élever une racine carrée au carré donne le nombre d'origine. Élevons au carré l'expression \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) :$$\begin{aligned}[t]\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 &= (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \times (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \\
&= (\sqrt{a} \times \sqrt{a}) \times (\sqrt{b} \times \sqrt{b}) \\
&= a \times b = ab\end{aligned}$$Puisque le carré de \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) est \(ab\), alors par définition, \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) doit être la racine carrée de \(ab\).
Exemple
Montre que \(\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36}\).
$$\begin{aligned}[t]\sqrt{4} \times \sqrt{9} &= \sqrt{4\times 9} \\
&= \sqrt{36} \\
&= 6\end{aligned}$$
Proposition Racine carrée d'un carré
Pour tout nombre réel \(a \ge 0\) :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a^2} = a} $$
Cela découle directement de la règle de multiplication :$$\sqrt{a^2} = \sqrt{a \times a} = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$$
Exemple
Calcule \(\sqrt{25}\).
$$\begin{aligned}[t]\sqrt{25}& = \sqrt{5^2} \\
&= 5\end{aligned}$$
Proposition Règle de simplification
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a,b \ge 0\) :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}} $$
$$\begin{aligned}[t]\sqrt{a^2 b} &= \sqrt{a^2} \times \sqrt{b} && \text{(par la règle de multiplication)} \\
&= a \times \sqrt{b} && \text{(par la règle de la racine d'un carré)} \\
&= a\sqrt{b}\end{aligned}$$
Exemple
Simplifie \(\sqrt{12}\).
D'abord, trouve le plus grand carré parfait qui divise \(12\), qui est \(4\).$$\begin{aligned}[t]\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} \\
&= \sqrt{2^2 \times 3} \\
&= 2\sqrt{3}\end{aligned}$$
Proposition Règle de division
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a \ge 0\) et \(b>0\) :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}} $$
Élevons au carré l'expression \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) :$$\begin{aligned}[t]\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\
&= \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} \\
&= \frac{a}{b}\end{aligned}$$Puisque le carré de \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) est \(\dfrac{a}{b}\), cette expression doit être la racine carrée de \(\dfrac{a}{b}\).
Exemple
Simplifie \(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\).
$$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$$
Opérations algébriques avec des radicaux
- On ne peut additionner ou soustraire des radicaux que s'ils sont semblables, ce qui signifie qu'ils ont exactement le même nombre sous le signe de la racine.
Pense à l'algèbre : tu peux simplifier \(2x+4x\) en \(6x\), mais tu ne peux pas simplifier \(2x+4y\). De la même manière, tu peux simplifier \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\), mais tu ne peux pas simplifier \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}\). - Quand on multiplie des expressions avec des radicaux, on utilise les mêmes règles qu'en algèbre, comme la distributivité pour développer les parenthèses, ainsi que les règles des radicaux vues précédemment.
Méthode Opérations algébriques
Nous pouvons effectuer des opérations avec des radicaux (racines carrées) de manière similaire aux nombres ordinaires, à condition de respecter les règles des radicaux. En particulier :
- Nous pouvons additionner et soustraire des radicaux semblables (même nombre sous le radical) comme nous le faisons pour les termes algébriques semblables :$$ \textcolor{colorprop}{c\sqrt{a} + d\sqrt{a} = (c + d)\sqrt{a}} $$
- Nous pouvons utiliser les règles habituelles pour développer les parenthèses (comme la distributivité).
Exemple
Simplifie : \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\)
Tout comme \(2x+4x=6x\), on peut additionner les coefficients du radical semblable :$$2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (2+4)\sqrt{3} = \boldsymbol{6\sqrt{3}}$$
Exemple
Développe et simplifie \(\sqrt{3}(5 - \sqrt{3})\).$$ \begin{aligned}\sqrt{3}(5 - \sqrt{3}) &= (\sqrt{3} \times 5) - (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \\
&= 5\sqrt{3} - 3\end{aligned} $$
Rationaliser le dénominateur
En mathématiques, il est d'usage d'écrire des expressions sans radicaux au dénominateur. Le processus d'élimination d'un radical du dénominateur est appelé la rationalisation du dénominateur. Cela ne change pas la valeur de l'expression mais la convertit en une forme standard qui est souvent plus facile à manipuler.
Méthode Rationaliser un dénominateur monôme
Pour rationaliser un dénominateur de la forme \(\sqrt{a}\) (où \(a>0\)), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{a}\).$$ \frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a} $$Cela fonctionne car multiplier par \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\) équivaut à multiplier par 1, ce qui ne change pas la valeur.
Exemple
Rationalise le dénominateur de \(\frac{6}{\sqrt{2}}\).
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2}\).$$\begin{aligned}\frac{6}{\sqrt{2}} &= \frac{6}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
&= \frac{6\sqrt{2}}{2} \\
&= \boldsymbol{3\sqrt{2}}\end{aligned}$$
Lorsque le dénominateur est un binôme contenant une racine carrée, tel que \(a+\sqrt{b}\), nous utilisons un outil spécial appelé le conjugué pour le rationaliser.
Définition Conjugué
Le conjugué d'une expression binomiale \(x+y\) est \(x-y\).
Exemple
- Le conjugué de \(a+\sqrt{b}\) est \(\boldsymbol{a-\sqrt{b}}\).
- Le conjugué de \(a-\sqrt{b}\) est \(\boldsymbol{a+\sqrt{b}}\).
La puissance du conjugué réside dans son produit, qui suit l'identité remarquable de la différence de carrés : \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\).$$ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b $$Le résultat est un nombre rationnel, ce qui atteint notre objectif.
Méthode Rationaliser un dénominateur binomial
Pour rationaliser un dénominateur binomial, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple
Rationalise le dénominateur de \(\frac{4}{3+\sqrt{5}}\).
Le dénominateur est \(3+\sqrt{5}\). Son conjugué est \(3-\sqrt{5}\). On multiplie le numérateur et le dénominateur par ce conjugué.$$\begin{aligned}\frac{4}{3+\sqrt{5}} &= \frac{4}{(3+\sqrt{5})} \times \frac{(3-\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})} \\
&= \frac{4(3 - \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} &&\color{gray}{\text{(Utilisation de }(x+y)(x-y)=x^2-y^2)}\\
&= \frac{12 - 4\sqrt{5}}{9 - 5} \\
&= \frac{12 - 4\sqrt{5}}{4} \\
&= \frac{4(3 - \sqrt{5})}{4} &&\color{gray}{\text{(Factoriser 4 pour simplifier)}} \\
&= \boldsymbol{3 - \sqrt{5}}\end{aligned}$$