Trigonométrie pour des triangles non rectangles

Alors que SOH CAH TOA ne s'applique qu'aux triangles rectangles, de nombreux problèmes du monde réel impliquent des triangles non rectangles (appelés triangles obliques). Pour les résoudre, nous utilisons deux résultats clés : la loi des sinus et la loi des cosinus.
Convention de notation des triangles : Dans tout triangle $ABC$, les angles aux sommets sont désignés par des lettres majuscules ($A, B, C$) et les côtés opposés par les lettres minuscules correspondantes ($a, b, c$).

Aire d’un triangle

Lorsque deux côtés d’un triangle et l’angle compris entre eux (l’angle inclus) sont connus, l’aire peut être calculée à l’aide d’une formule faisant intervenir le sinus de cet angle. Cela est particulièrement utile dans les triangles non rectangles, où la hauteur n’est pas donnée directement.

Proposition Formule de l’aire

L'aire d'un triangle quelconque est la moitié du produit de deux côtés par le sinus de leur angle inclus :$$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \textcolor{colordef}{\text{côté}} \times \textcolor{colorprop}{\text{côté}} \times \sin(\textcolor{olive}{\text{angle inclus}})$$Par exemple, si les deux côtés ont pour longueurs $b$ et $c$ et que l’angle inclus est $A$, alors $\text{Aire} = \dfrac12 bc \sin A$.

Preuve

Considérons un triangle $ABC$ de base $a = BC$. Abaissons une hauteur perpendiculaire $h$ du sommet $A$ sur la base $a$, qui rencontre $BC$ au point $H$.

L'aire d'un triangle est donnée par la formule standard :$$ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2}ah. $$Dans le triangle rectangle $AHC$, on peut utiliser le rapport du sinus :$$ \sin(C) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{h}{b} \implies h = b\sin(C). $$En substituant cette expression de $h$ dans la formule de l'aire, on obtient :$$ \text{Aire} = \frac{1}{2}a(b\sin C) = \frac{1}{2}ab\sin C. $$

Exemple

Pour le triangle

, calcule l’aire.

Correction

$$\begin{aligned}\text{Aire} &= \frac{1}{2} \times \textcolor{colorprop}{10} \times \textcolor{colordef}{12} \times \sin(\textcolor{olive}{50^\circ})\\ & \approx 46 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$

Loi des sinus

La loi des sinus établit une relation entre les côtés d’un triangle et les sinus de leurs angles opposés. Elle est utile pour résoudre des triangles lorsque l’on connaît au moins un couple côté–angle opposé, par exemple :

Deux angles et un côté (AAC ou ACA).
Deux côtés et un angle non inclus (CCA), ce qui peut conduire au cas ambigu (0, 1 ou 2 triangles possibles).

Proposition Loi des sinus

Preuve

L’aire du triangle peut être exprimée de trois manières différentes en utilisant la formule de la section précédente :$$ \text{Aire} = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} ab \sin C. $$En divisant chaque partie de l'égalité par $\frac{1}{2}abc$, on obtient :$$ \frac{bc \sin A}{abc} = \frac{ac \sin B}{abc}= \frac{ab \sin C}{abc}. $$Donc$$ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}= \frac{\sin C}{c}. $$En prenant l'inverse de chaque terme, on obtient la loi des sinus :$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. $$

Exemple

Pour le triangle

, trouve le côté $a$.

Correction

D’abord, trouvons l’angle $A$ : $A = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$.
En utilisant la loi des sinus avec le couple $(a, A)$ et le couple $(c, C)$ :$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{\frac{a}{\sin 80^\circ}} &= \textcolor{olive}{\frac{5}{\sin 60^\circ} }\\ a &= 5 \cdot \frac{\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ}\\ a &\approx 5{,}69 \, \text{cm}\end{aligned}$$

Loi des cosinus

La loi des cosinus relie les trois côtés d’un triangle à l’un de ses angles. C’est une généralisation du théorème de Pythagore et elle est utilisée pour résoudre des triangles lorsque l’on connaît :

Trois côtés (CCC).
Deux côtés et leur angle inclus (CAC).

Proposition Loi des cosinus

Pour tout triangle de côtés $\textcolor{colordef}{a}$, $\textcolor{colorprop}{b}$, $\textcolor{olive}{c}$ et d'angles opposés $\textcolor{colordef}{A}$, $\textcolor{colorprop}{B}$, $\textcolor{olive}{C}$ :$$\textcolor{olive}{c}^2 = \textcolor{colordef}{a}^2 + \textcolor{colorprop}{b}^2 - 2\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b} \cos \textcolor{olive}{C}$$Ceci peut être réarrangé pour trouver un angle :$$\cos \textcolor{olive}{C} = \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^2 + \textcolor{colorprop}{b}^2 -\textcolor{olive}{c}^2}{2\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b}}$$Remarquons que si $C = 90^\circ$, alors $\cos C = 0$ et la formule se réduit à $c^2 = a^2 + b^2$, le théorème de Pythagore.

Preuve

Abaissons une hauteur perpendiculaire $h$ du sommet $A$ sur le côté $a$ (la droite $\LineFr{BC}$), qui le rencontre au point $D$.

Dans le triangle rectangle $ADC$ :

D’après Pythagore, $h^2 + x^2 = b^2 \implies h^2 = b^2 - x^2$.
$\cos(C) = x/b \implies x = b\cos(C)$.

Dans le triangle rectangle $ADB$, en utilisant le théorème de Pythagore :$$ c^2 = h^2 + (a-x)^2. $$Substituons les expressions pour $h^2$ et $x$ dans cette équation :$$ \begin{aligned}c^2 &= (b^2 - x^2) + (a^2 - 2ax + x^2) \\ &= a^2 + b^2 - 2ax \\ &= a^2 + b^2 - 2a(b\cos C) \\ &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\end{aligned} $$

Exemple

Pour le triangle

, calcule le côté $c$.

Correction

En utilisant la loi des cosinus :$$\begin{aligned}\textcolor{olive}{c}^2 &= \textcolor{colordef}{8}^2 + \textcolor{colorprop}{7}^2 - 2 \times\textcolor{colordef}{8} \times\textcolor{colorprop}{7} \times \cos \textcolor{olive}{50^\circ}\\ \textcolor{olive}{c} &= \sqrt{\textcolor{colordef}{8}^2 + \textcolor{colorprop}{7}^2 - 2 \times\textcolor{colordef}{8} \times\textcolor{colorprop}{7} \times \cos \textcolor{olive}{50^\circ}}\\ \textcolor{olive}{c} &\approx 6{,}4 \, \text{cm}\\ \end{aligned}$$

Résoudre des problèmes concrets à l’aide des lois du sinus et du cosinus

Les lois des sinus et des cosinus sont des outils puissants pour résoudre une grande variété de problèmes impliquant des triangles non rectangles, notamment dans des situations concrètes. Pour résoudre ces problèmes efficacement, on suit les étapes structurées ci-dessous.

Méthode Résoudre des problèmes concrets à l’aide des lois du sinus et du cosinus

Dessiner un schéma clair représentant la situation décrite dans l'énoncé.
Indiquer les côtés et angles connus et inconnus dans le triangle.
Identifier la configuration (par exemple, deux côtés et l’angle inclus pour la loi des cosinus, ou deux angles et un côté pour la loi des sinus).
Choisir la loi appropriée (loi des sinus pour les rapports des côtés aux sinus des angles, loi des cosinus pour relier les côtés et le cosinus d’un angle).
Écrire et résoudre l’équation, puis vérifier que le résultat est cohérent (ordre de grandeur, unités, forme du triangle).