Transformations géométriques

Types de transformations

Les transformations géométriques sont des règles qui associent à chaque point d’une figure un point du plan.
Elles peuvent déplacer (translation), retourner (symétrie), faire tourner (rotation) ou agrandir/rétrécir (homothétie) une figure.

Définition Objet et Image

Lorsqu’une transformation est appliquée à une figure, la figure de départ est appelée objet.
La figure obtenue après la transformation est appelée image.
Souvent, si un point s’appelle $A$ dans l’objet, son image s’écrit $A'$ (« $A$ prime »).

Définition Types de Transformations

Il existe plusieurs types de transformations, notamment :

Translation : Déplace chaque point d’une figure de la même longueur, dans la même direction et dans le même sens.
Elle ne change ni la forme ni la taille de la figure et conserve son orientation (c’est un déplacement « rigide »).
Symétrie axiale : Retourne la figure par rapport à une droite (comme dans un miroir), créant une image miroir.
Cette droite est appelée axe de symétrie.
Rotation : Fait tourner la figure autour d’un point fixe appelé centre de rotation, d’un certain angle.
Un angle positif correspond en général au sens anti-horaire. Les distances et les angles sont conservés.
Homothétie : Agrandit ou réduit la figure à partir d’un point fixe (centre) par un rapport constant, de sorte que la figure image reste semblable à la figure initiale (angles conservés, longueurs multipliées par un même nombre).

Translation

Une translation déplace une figure d’un endroit à un autre. Chaque point de la figure se déplace de la même longueur, dans la même direction et dans le même sens.

Définition Translation

Une translation de vecteur $\Vect{v}$ associe à un point $M$ son image $M'$ telle que $\Vect{MM'} = \Vect{v}$.
Tous les points du plan sont déplacés du même vecteur $\Vect{v}$.

Proposition Coordonnées du Point Image

Dans un repère, si le point $M$ a pour coordonnées $(x, y)$ et si le vecteur de translation est $\Vect{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, alors le point image $M'$ a pour coordonnées$$M'(x+a,\,y+b).$$

Preuve

Soit $M'$ le point image de coordonnées $(x', y')$. Alors$$\begin{aligned}\Vect{MM'} &= \Vect{v}\\ \begin{pmatrix} x'-x \\ y'-y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\\ x'-x &= a \quad \text{et}\quad y'-y = b\\ x' &= x+a \quad \text{et}\quad y' = y+b.\end{aligned}$$Ainsi, $M'$ a pour coordonnées $(x+a,y+b)$.

Homothétie

Définition Homothétie

Une homothétie de centre $A$ et de rapport $\textcolor{olive}{k}$ associe à un point $M$ un point $M'$ aligné avec $A$ et $M$ tel que$$\overrightarrow{AM'} = \textcolor{olive}{k}\,\overrightarrow{AM}.$$Si $|\textcolor{olive}{k}|>1$, la figure est agrandie ; si $0<|\textcolor{olive}{k}|<1$, elle est réduite.

$\dfrac{\textcolor{colorprop}{AM'}}{\textcolor{colordef}{AM}}=|\textcolor{olive}{k}|$

Proposition Coordonnées du Point Image

Dans un repère, si le centre $A$ a pour coordonnées $(a, b)$, le point $M$ a pour coordonnées $(x, y)$, et le rapport est $\textcolor{olive}{k}$, alors le point image $M'$ a pour coordonnées$$M'\big(a + \textcolor{olive}{k}(x - a),\, b + \textcolor{olive}{k}(y - b)\big).$$

Preuve

Soit $M'$ le point image de coordonnées $(x', y')$. Alors$$\begin{aligned}\Vect{AM'} &= k \Vect{AM}\\ \begin{pmatrix} x'-a \\ y'-b \end{pmatrix} &= k \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}\\ x'-a &= k(x-a) \quad \text{et}\quad y'-b = k(y-b)\\ x' &= a+k(x-a) \quad \text{et}\quad y' = b+k(y-b).\end{aligned}$$Donc $M'$ a pour coordonnées $\big(a+k(x-a),\,b+k(y-b)\big)$.

Symétries axiales spécifiques

Proposition Symétrie par rapport à l’axe des abscisses

L’image du point $M(x, y)$ sous la symétrie (notée $M_x$) par rapport à l’axe des abscisses est $M'(x, -y)$.
Cette symétrie conserve l’abscisse et change le signe de l’ordonnée.

Proposition Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

L’image du point $M(x, y)$ sous la symétrie (notée $M_y$) par rapport à l’axe des ordonnées est $M'(-x, y)$.
Cette symétrie conserve l’ordonnée et change le signe de l’abscisse.

Proposition Symétrie par rapport à la droite $y\equal x$

L’image du point $M(x, y)$ sous la symétrie $M_{y=x}$ par rapport à la droite $y=x$ est $M'(y, x)$.
Dans cette symétrie, on échange les coordonnées de $M$.

Rotations spécifiques

Proposition Rotation de 90°

L’image du point $M(x, y)$ sous la rotation de $90^\circ$ (sens anti-horaire) autour de l’origine est $M'(-y, x)$.
En coordonnées, une rotation de $90^\circ$ anti-horaire envoie $(x,y)$ sur $(-y,x)$.

Proposition Rotation de -90°

L’image du point $M(x, y)$ sous la rotation de $-90^\circ$ (sens horaire) autour de l’origine est $M'(y, -x)$.
En coordonnées, une rotation de $90^\circ$ horaire envoie $(x,y)$ sur $(y,-x)$.

Proposition Rotation de 180°

L’image du point $M(x, y)$ sous la rotation de $180^\circ$ autour de l’origine est $M'(-x, -y)$.
En coordonnées, un demi-tour autour de l’origine envoie $(x,y)$ sur $(-x,-y)$.