Fonctions

Définitions

Une fonction est comme une machine qui suit une règle précise. Pour chaque nombre que tu y mets, tu obtiens exactement un nombre en sortie.
Imaginons une machine dont la règle est « multiplier par 2 ».

Si on met un 3, on obtient un 6. Si on met un 5, on obtient un 10. Un tableau de valeurs nous aide à organiser ces paires :

Entrée	3	5	8	10
Sortie	6	10	16	20

Pour travailler plus efficacement avec ces règles, les mathématiciens ont développé une notation spéciale.
Pour représenter cette machine, on écrit $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{\text{entrée}}) = \textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$. Les parenthèses $($ $)$ indiquent l'action de la fonction $\textcolor{olive}{f}$ sur l'entrée.
On utilise la notation fonctionnelle pour nommer les fonctions et leurs variables, en remplaçant "$\textcolor{colordef}{\text{entrée}}$" par "$\textcolor{colordef}{x}$" et "$\textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$" par "$\textcolor{colorprop}{f(x)}$".
Nous pouvons représenter une fonction ainsi :

Par exemple, si la règle est « le double de l'entrée » :

on a donc $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{x}) = \textcolor{colorprop}{2x}$.

Lorsque l'entrée est $\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}$, on obtient :$$\begin{aligned}\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{1}) &= 2 \times \textcolor{colordef}{(1)}\\ &= \textcolor{colorprop}{2}\end{aligned}$$

Définition Fonction

Une fonction, $f$, est une règle qui associe à chaque valeur d'entrée d'un ensemble appelé domaine de définition, exactement une valeur de sortie dans un ensemble appelé ensemble image.

$f$ est le nom de la fonction (la règle).
$x$ est la variable d'entrée.
$f(x)$ est la valeur de sortie lorsque l'entrée est $x$. On lit « $f$ de $x$ ».
$f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ et $x$ est un antécédent de $f(x)$.

Exemple

La fonction $f$ est définie par la règle $f(x)=2x-1$. Trouve la valeur de $f(5)$.

Correction

Pour trouver $f(5)$, on remplace la valeur d'entrée $x=5$ dans la règle de la fonction :$$\begin{aligned}[t]f(x) &= 2x - 1 \\ f(5) &= 2(5) - 1 \\ &= 10 - 1 \\ &= \boldsymbol{9}\end{aligned}$$

Tableaux de valeurs

Définition Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs est un tableau qui organise la relation entre les valeurs d'entrée ($x$) et leurs valeurs de sortie correspondantes ($f(x)$) pour une fonction.

Exemple

Complète le tableau de valeurs pour la fonction $f(x)=x^2$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$

Correction

On remplace chaque valeur de $x$ dans la fonction $f(x)=x^2$ :

$\begin{aligned}[t] f(-2) &= (-2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(-1) &= (-1)^2\\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(0) &= (0)^2 \\ &= 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(1) &= (1)^2 \\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(2) &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$

Le tableau complété est :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Courbes représentatives

Alors qu'un tableau de valeurs est utile pour énumérer quelques couples entrée–sortie d'une fonction, un graphe est un outil puissant pour visualiser la façon dont la sortie varie lorsque l'entrée change. Un graphe nous donne une image du comportement de la fonction.

Définition Courbe représentative d'une fonction

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(\textcolor{colordef}{x}, \textcolor{colorprop}{f(x)})$ dans un repère du plan. La valeur d'entrée $x$ est placée sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) et la valeur de sortie $f(x)$ sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées). Lorsque la fonction est définie pour tous les $x$ d'un intervalle, on peut relier ces points pour former la courbe de la fonction.

Méthode Tracer un graphe à partir d'un tableau

Pour tracer la courbe d'une fonction à partir de son tableau de valeurs :

Trace un repère avec une échelle adaptée sur chaque axe et nomme les axes.
Pour chaque couple $(x, f(x))$ du tableau, place le point correspondant dans le repère.
Si la fonction est définie pour tous les $x$ de l’intervalle représenté, relie les points par une droite ou une courbe lisse.

Exemple

Trace la courbe représentative de la fonction $f(x) = x - 1$ en utilisant son tableau de valeurs.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Correction

On place les points $(-2, -3)$, $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$ et $(3, 2)$ à partir du tableau. Ces points sont alignés, donc on les relie pour tracer la courbe de $f(x)=x-1$.

Trouver les images par lecture graphique

Méthode Trouver $f(x)$ par lecture graphique

Pour trouver la valeur de sortie $f(x)$ pour une entrée $x$ donnée à l'aide d'un graphe :

Localise la valeur d'entrée sur l'axe horizontal des abscisses (x).
Déplace-toi verticalement à partir de ce point jusqu'à rencontrer la courbe de la fonction.
Déplace-toi horizontalement depuis ce point d'intersection jusqu'à l'axe vertical des ordonnées (y) et lis la valeur correspondante. Cette valeur de $y$ est la sortie $f(x)$.

Exemple

En utilisant le graphe de la fonction $f$ ci-dessous, trouve la valeur de $f(2)$.

Correction

Nous suivons la méthode graphique :

Partir de $x=2$ sur l'axe horizontal.
Monter jusqu'à rencontrer la courbe.
Se déplacer horizontalement jusqu'à l'axe vertical et lire la valeur, qui est $3$.

Par conséquent, $\boldsymbol{f(2) = 3}$.

Trouver les antécédents d'une fonction

Nous avons appris à prendre une entrée ($x$) et à trouver sa sortie ($f(x)$). Maintenant, nous allons apprendre à travailler à l'envers : si nous connaissons la sortie, pouvons-nous trouver la ou les entrées qui l'ont produite ? Ce processus s'appelle trouver le ou les antécédents d'une valeur donnée.

Méthode Trouver les antécédents par lecture graphique

Pour trouver le ou les antécédents d'une valeur $y$ (c.-à-d. trouver tous les $x$ tels que $f(x)=y$) :

Localiser la valeur de sortie $y$ sur l'axe vertical des ordonnées.
Tracer une droite horizontale à partir de cette valeur dans le repère.
Trouver le ou les points d'intersection où la droite horizontale croise la courbe de la fonction.
Se déplacer verticalement vers l'axe des abscisses depuis chaque point d'intersection pour lire la ou les valeurs d'entrée correspondantes. Ce sont les antécédents cherchés.

Exemple

En utilisant le graphique de la fonction $f$ ci-dessous, trouve le ou les antécédents de 3.

Correction

Nous appliquons la méthode graphique :

Nous localisons $y=3$ sur l'axe vertical.
Nous traçons une droite horizontale à $y=3$.
Cette droite coupe la courbe en deux points.
Nous nous déplaçons verticalement depuis ces points vers l'axe des abscisses pour lire les valeurs, qui sont $-2$ et $2$.

Les antécédents de 3 sont $\boldsymbol{-2}$ et $\boldsymbol{2}$.

Trouver un antécédent graphiquement est utile pour la visualisation, mais pour une réponse exacte, nous pouvons utiliser l'algèbre.

Méthode Trouver les antécédents par le calcul

Pour trouver le ou les antécédents d'une valeur $y$ pour une fonction $f(x)$ :

Poser l'équation en égalant la formule de la fonction à la valeur de sortie : $\boldsymbol{f(x) = y}$.
Résoudre l'équation obtenue pour trouver $x$.

Exemple

Soit $f(x) = 3x + 12$. Trouve le ou les antécédents de 0.

Correction

Nous devons trouver la valeur de $x$ telle que $f(x)=0$. Nous posons l'équation et la résolvons :$$\begin{aligned} f(x) &= 0 \\ 3x + 12 &= 0 \\ 3x &= -12 && \color{gray}\text{(soustraire 12 des deux côtés)} \\ x &= \frac{-12}{3} &&\color{gray}\text{(diviser les deux côtés par 3)} \\ x &= -4\end{aligned}$$L'antécédent de 0 est $\boldsymbol{x = -4}$.
Vérification : $f(-4) = 3(-4) + 12 = -12 + 12 = 0$. La réponse est correcte.

Ensemble de définition et ensemble image

Définition Ensemble de définition et ensemble image

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $f(x)$ a un sens (c’est-à-dire pour lesquelles la règle de la fonction donne un nombre réel).
L'ensemble image d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie $f(x)$ effectivement obtenues lorsque $x$ parcourt l'ensemble de définition.

Sauf indication contraire, nous travaillons avec des fonctions à valeurs réelles : l’ensemble de définition et l’ensemble image sont donc des sous-ensembles des nombres réels.

Méthode Déterminer l'ensemble de définition

Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction (dans les réels), nous devons repérer et exclure toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $f(x)$ n’a pas de sens. À ce niveau, nous recherchons principalement deux types de restrictions :

Division par zéro : Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul.
Racines carrées de nombres négatifs : Pour une racine carrée réelle, l'expression à l'intérieur de la racine (le radicande) doit être supérieure ou égale à zéro.

Dans les problèmes concrets, le contexte (par exemple un temps ou une longueur qui ne peut pas être négatif) peut encore restreindre l'ensemble de définition.

Exemple

Détermine l'ensemble de définition de la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.

Correction

La fonction n'est pas définie lorsque le dénominateur est nul. On pose le dénominateur égal à zéro et on résout pour $x$ :$$x-2 = 0 \implies x=2.$$Donc $x=2$ est interdit.
La fonction est définie pour tous les nombres réels sauf pour $x=2$, c’est-à-dire pour tous les $x$ de l’ensemble $\{x \mid x \neq 2\}$.

Algèbre des fonctions

Découverte

Soient $\textcolor{colordef}{f(x)=2x+1}$ et $\textcolor{colorprop}{g(x)=x^2}$.
$\textcolor{olive}{(f+g)(x)}$ signifie que, pour toute valeur de $x$ appartenant aux ensembles de définition des deux fonctions, on calcule séparément $\textcolor{colordef}{f(x)}$ et $\textcolor{colorprop}{g(x)}$, puis on additionne les résultats. Autrement dit, $(f+g)$ est une nouvelle fonction définie par $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
Ceci est illustré par la machine à fonctions ci-dessous :

Donc,$$\begin{aligned}[t]\textcolor{olive}{(f+g)(x)} &= \textcolor{colordef}{f(x)} + \textcolor{colorprop}{g(x)} \\ &= \textcolor{colordef}{2x+1} + \textcolor{colorprop}{x^2}.\end{aligned}$$

Définition Opérations sur les fonctions

Étant donné deux fonctions $f$ et $g$, nous pouvons définir de nouvelles fonctions en effectuant des opérations arithmétiques sur leurs valeurs de sortie, pour chaque $x$ où elles sont toutes les deux définies :

Somme : $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
Différence : $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
Produit : $(fg)(x) = f(x) \times g(x)$
Quotient : $\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, à condition que $g(x) \neq 0$.

Pour la somme, la différence et le produit, l'ensemble de définition de la nouvelle fonction est l'intersection des ensembles de définition de $f$ et de $g$ (tous les $x$ pour lesquels à la fois $f(x)$ et $g(x)$ sont définies).
Pour le quotient, l'ensemble de définition est l'intersection des ensembles de définition de $f$ et $g$, en excluant tout $x$ tel que $g(x)=0$.

Exemple

Soient $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^4-1$. Détermine $(f+g)(x)$.

Correction

$\begin{aligned}(f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= (2x+1) + (x^4-1) \\ &= x^4 + 2x.\end{aligned}$
Comme $f$ et $g$ sont des polynômes, $(f+g)(x)$ est définie pour tout nombre réel $x$.

Composition de fonctions

Découverte

Soient $\textcolor{colordef}{f(x)=x^2}$ et $\textcolor{colorprop}{g(x)=2x+1}$.
La composition $\textcolor{olive}{(f \circ g)(x)}$ signifie qu’on applique d’abord $g$ à $x$, puis $f$ au résultat. Autrement dit, $x$ passe par la machine $g$ (devient $2x+1$), puis cette sortie passe par la machine $f$.

Algébriquement, on écrit :$$\begin{aligned}[t](f \circ g)(x) &= \textcolor{colordef}{f}(\textcolor{colorprop}{g(x)}) \\ &= \textcolor{colordef}{f}(2x+1) \\ &= (2x+1)^2.\end{aligned}$$

Définition Composition de fonctions

Étant donné deux fonctions $f$ et $g$, la fonction composée, notée $\boldsymbol{f \circ g}$ (lire « $f$ rond $g$ »), est définie par :$$\boldsymbol{(f \circ g)(x) = f(g(x))}$$pour tout $x$ appartenant à l'ensemble de définition de $g$ tel que $g(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $f$.
On applique d'abord la fonction $g$ à $x$, puis on applique la fonction $f$ au résultat $g(x)$.

Exemple

Soient $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+1$.

Détermine $(f \circ g)(x)$.
Détermine $(g \circ f)(x)$.
La composition est-elle commutative ? (c.-à-d. est-ce que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ ?)

Correction

$\begin{aligned}[t] (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(2x+1) \\ &= (2x+1)^2 \\ &= 4x^2 + 4x + 1. \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x^2) \\ &= 2(x^2) + 1 \\ &= 2x^2 + 1. \end{aligned}$
Non. Puisque $4x^2 + 4x + 1 \neq 2x^2 + 1$, les deux fonctions composées sont différentes : la composition de fonctions n'est donc pas commutative en général.

Fonctions inverses

En arithmétique, on connaît les opérations inverses. Par exemple, la soustraction est l'inverse de l'addition car elle « annule » l'addition. Si on part de 5, qu'on ajoute 3 pour obtenir 8, puis qu'on soustrait 3, on revient à 5 :$$(5+3) - 3 = 5.$$De même, la division est l'inverse de la multiplication :$$(5\times 3) \div 3 = 5.$$Le concept de fonction inverse suit la même idée. Une fonction inverse, notée $\boldsymbol{f^{-1}}$, est une fonction qui « défait » ou inverse l'action d'une autre fonction, $f$.
Si une fonction $f$ transforme une entrée $x$ en une sortie $y$, la fonction inverse $f^{-1}$ ramène cette sortie $y$ à l'entrée originale $x$. Cela crée une boucle parfaite :

Cependant, toute fonction n’admet pas de fonction inverse : pour qu'une fonction inverse existe, chaque valeur de sortie $y$ doit provenir d'une seule valeur d'entrée $x$ (la fonction ne doit jamais prendre deux fois la même valeur sur son ensemble de définition).

Définition Fonction inverse

Soit $f$ une fonction de domaine $D$ et d’ensemble image $R$. Une fonction $f^{-1}$ de domaine $R$ et d’ensemble image $D$ est la fonction inverse de $f$ si elle « défait » l'action de $f$. Cela signifie que si $f$ associe une entrée $x$ à une sortie $y$, alors $f^{-1}$ ramène $y$ à $x$ :$$ \text{Si } f(x) = y, \text{ alors } f^{-1}(y) = x. $$Cette relation doit être vraie pour tout $x$ de l’ensemble de définition $D$ (et tout $y$ de l’ensemble image $R$). En termes de composition, cela signifie :$$f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{pour tout } x \in D,$$et$$f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{pour tout } x \in R.$$En particulier, pour qu’une fonction inverse existe, chaque valeur de sortie $y$ dans l’ensemble image de $f$ doit correspondre à une unique valeur d’entrée $x$.

Méthode Trouver la fonction inverse

Pour trouver la fonction inverse d’une fonction $f$ (lorsqu’elle existe) :

Pose $y = f(x)$.
Résous l’équation pour $x$ en fonction de $y$. Tu obtiens une expression de la forme $x = f^{-1}(y)$.
Échange les variables $x$ et $y$ pour écrire la fonction inverse en fonction de $x$. Le résultat est $y = f^{-1}(x)$.

Cette procédure définit une fonction inverse seulement si chaque valeur de sortie correspond à une unique valeur d’entrée (c’est-à-dire si $f$ est inversible sur son domaine).

Exemple

Trouver la fonction inverse de $f(x) = 4x - 8$.

Correction

Pose $y = 4x - 8$ et résous pour $x$ :$$\begin{aligned}y &= 4x - 8 \\ y + 8 &= 4x \\ x &= \dfrac{y + 8}{4}.\end{aligned}$$Maintenant, échange les variables $x$ et $y$ :$$y = \dfrac{x + 8}{4}.$$Donc, la fonction inverse est $\boldsymbol{f^{-1}(x) = \dfrac{x + 8}{4}}$.
Vérification :$$\begin{aligned}f\bigl(f^{-1}(x)\bigr) &= 4\left(\dfrac{x+8}{4}\right) - 8 = x+8-8 = x,\\ f^{-1}(f(x)) &= \dfrac{(4x-8)+8}{4} = \dfrac{4x}{4} = x,\end{aligned}$$ce qui montre que $f^{-1}$ est bien la fonction inverse de $f$.

Proposition Symétrie des fonctions inverses

Les courbes représentatives d'une fonction $f$ et de son inverse $f^{-1}$ sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation $\boldsymbol{y = x}$. Autrement dit, si un point $(a,b)$ appartient à la courbe de $y=f(x)$, alors le point $(b,a)$ appartient à la courbe de $y=f^{-1}(x)$.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)