Fonctions exponentielles

Dans les chapitres précédents, nous avons appris à évaluer des expressions comme $a^n$, où l'exposant $n$ était un entier ou un nombre rationnel. Ce chapitre étend ce concept à la fonction exponentielle, écrite sous la forme $f(x) = a^x$, où l'exposant $x$ peut être n'importe quel nombre réel.
Nous explorerons les caractéristiques clés et les graphiques de ces fonctions et verrons comment elles sont utilisées pour modéliser des phénomènes du monde réel impliquant une croissance ou une décroissance rapide, tels que la dynamique des populations et les intérêts composés.

Fonction exponentielle

Définition Fonction exponentielle

La fonction exponentielle a la forme $f(x)=a^x$, où la base $a$ est une constante positive et $a \neq 1$.

Proposition Caractéristiques clés du graphe de $y\equal a^x$

Toutes les fonctions exponentielles de la forme $f(x) = a^x$ partagent plusieurs caractéristiques graphiques clés :

Domaine de définition : Le domaine est l'ensemble des nombres réels, $]-\infty, \infty[$.
Ensemble image : L'ensemble image est l'ensemble des nombres réels positifs, $]0, \infty[$.
Asymptote horizontale : Le graphe a une asymptote horizontale à l'axe des abscisses ($y=0$). La fonction s'approche de cette ligne mais ne la touche jamais.
Ordonnée à l'origine : Le graphe passe toujours par le point $(0, 1)$, car $a^0 = 1$ pour toute base $a$ valide.
Forme générale : La forme du graphe est déterminée par la valeur de la base, $a$ :
- Si $\boldsymbol{a > 1}$, la fonction montre une croissance exponentielle et est croissante.
- Si $\boldsymbol{0 < a < 1}$, la fonction montre une décroissance exponentielle et est décroissante.

$\quad$

Relations exponentielles vs. relations linéaires

De nombreux schémas de croissance et de décroissance dans le monde réel peuvent être modélisés par des fonctions linéaires ou exponentielles. La clé pour les distinguer est de comprendre comment la quantité change à intervalles réguliers.

Les relations linéaires impliquent un changement additif. La même quantité est ajoutée ou soustraite à chaque pas de temps. Pense à économiser 50 dollars chaque mois.
Les relations exponentielles impliquent un changement multiplicatif. La quantité est multipliée par le même facteur à chaque pas de temps. Pense à une population qui double chaque année.

Cette différence fondamentale peut être identifiée mathématiquement en vérifiant s'il existe une différence constante ou un rapport constant.

Proposition Identifier les relations linéaires vs. exponentielles

Pour un ensemble de données où la variable indépendante ($x$) augmente par intervalles constants :

Si la différence entre les valeurs consécutives de la variable dépendante ($y$) est constante, la relation est linéaire.
Si le rapport des valeurs consécutives de la variable dépendante ($y$) est constant, la relation est exponentielle.

Preuve

Relation Linéaire :
Soit la relation linéaire $y = ax + b$.
Considérons deux points, $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$, tels que la différence de leurs abscisses soit une constante, $k$.
Donc, $x_2 - x_1 = k$.
Les ordonnées correspondantes sont $y_1 = ax_1 + b$ et $y_2 = ax_2 + b$.
La différence entre ces ordonnées est :$$ \begin{aligned}[t]y_2 - y_1 &= (ax_2 + b) - (ax_1 + b) \\ &= ax_2 - ax_1 \\ &= a(x_2 - x_1) \\ &= ak\end{aligned} $$Comme $a$ (la pente) et $k$ (la variation en $x$) sont toutes deux des constantes, la différence $y_2 - y_1$ est également une constante.
Relation Exponentielle :
Soit la relation exponentielle $y = c \cdot a^x$.
Considérons deux points, $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$, tels que la différence de leurs abscisses soit une constante, $k$.
Donc, $x_2 - x_1 = k$.
Les ordonnées correspondantes sont $y_1 = c \cdot a^{x_1}$ et $y_2 = c \cdot a^{x_2}$.
Le rapport de ces ordonnées est :$$ \begin{aligned}[t]\frac{y_2}{y_1} &= \frac{c \cdot a^{x_2}}{c \cdot a^{x_1}} \\ &= a^{x_2 - x_1} \\ &= a^k\end{aligned} $$Comme $a$ (la base) et $k$ (la variation en $x$) sont toutes deux des constantes, le rapport $\frac{y_2}{y_1}$ est également une constante. Cette constante est souvent appelée la raison.

Méthode Analyser les données d'un tableau

Pour déterminer si une relation est linéaire ou exponentielle à partir d'un tableau de valeurs :

S'assurer que les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant.
Vérifier s'il y a une différence commune : Calculer la différence entre les valeurs de $y$ consécutives ($y_2 - y_1$, $y_3 - y_2$, etc.). Si cette valeur est constante, la relation est linéaire.
Vérifier s'il y a une raison commune : Si la différence n'est pas constante, calculer le rapport des valeurs de $y$ consécutives ($\frac{y_2}{y_1}$, $\frac{y_3}{y_2}$, etc.). Si cette valeur est constante, la relation est exponentielle.

Exemple

Considère la relation représentée par ce tableau :

$x$	0	1	2	3
$y$	5	8	11	14

La relation est-elle linéaire ou exponentielle ?

Correction

Les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant de 1.
Nous vérifions s'il y a une différence commune entre les valeurs de $y$ consécutives :

$y_2 - y_1 = 8 - 5 = \boldsymbol{3}$
$y_3 - y_2 = 11 - 8 = \boldsymbol{3}$
$y_4 - y_3 = 14 - 11 = \boldsymbol{3}$

Comme la différence est constante, la relation est linéaire.$$\begin{aligned}x: &\ 0 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 1 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 2 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 3\\ y: &\ 5 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 8 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 11 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 14\\ \end{aligned}$$

Exemple

Considère la relation représentée par ce tableau :

$x$	0	1	2	3
$y$	2	6	18	54

La relation est-elle linéaire ou exponentielle ?

Correction

Les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant de 1.
D'abord, nous vérifions s'il y a une différence commune : $6-2=4$, mais $18-6=12$. La différence n'est pas constante, donc la relation n'est pas linéaire.
Ensuite, nous vérifions s'il y a une raison commune entre les valeurs de $y$ consécutives :

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{6}{2} = \boldsymbol{3}$
$\frac{y_3}{y_2} = \frac{18}{6} = \boldsymbol{3}$
$\frac{y_4}{y_3} = \frac{54}{18} = \boldsymbol{3}$

Comme le rapport est constant, la relation est exponentielle.$$\begin{aligned}x: &\ 0\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 1\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 2\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 3 \\ y: &\ 2\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 6\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 18\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 54 \\ \end{aligned}$$

Modèles exponentiels

Les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser des grandeurs qui changent par un facteur multiplicatif constant sur des intervalles de temps égaux. Ce principe fondamental les distingue des fonctions linéaires, qui changent par une différence constante (addition ou soustraction).
Il existe deux principaux types de modèles exponentiels :

Croissance exponentielle : La quantité augmente par un facteur constant supérieur à 1. On observe ce phénomène dans la croissance démographique et les intérêts composés.
Décroissance exponentielle : La quantité diminue par un facteur constant compris entre 0 et 1. On observe ce phénomène dans la désintégration radioactive et la dépréciation des actifs.

Ces modèles peuvent être discrets, se produisant par étapes distinctes (par ex., des intérêts composés annuellement), ou continus, se produisant de manière fluide dans le temps (par ex., la croissance bactérienne).

Définition Modèle général pour la croissance et la décroissance exponentielle

Une relation exponentielle est décrite par la fonction :$$ A(t) = A_0 \times R^t $$où :

$A(t)$ est la quantité au temps $t$.
$A_0$ est la quantité initiale (la quantité à $t=0$).
$R$ est le facteur de croissance ou de décroissance constant par unité de temps.
$t$ est le temps écoulé.

Exemple

La population de renards, $P$, dans une zone spécifiée, $t$ années après le début de l'observation, est modélisée par l'équation : $P(t)=300(1,25)^t$.

Combien de renards y a-t-il initialement ?
Quel est le taux de croissance annuel en pourcentage ?
Combien de renards y a-t-il après 5 ans ?

Correction

La population initiale correspond à $t=0$. $$P(0) = 300(1,25)^0 = 300 \times 1 = \boldsymbol{300} \text{ renards}$$
Le facteur de croissance est $R=1,25$. Comme $R = 1+r$, on a $1,25 = 1+r$, ce qui donne $r=0,25$.
Le taux de croissance annuel est de $\boldsymbol{25\pourcent}$.
On remplace $t=5$ dans l'équation. La population devant être un nombre entier, nous arrondissons au renard le plus proche. $$P(5) = 300(1,25)^5 \approx 915,52... \approx \boldsymbol{916} \text{ renards}$$

Exemple

Une somme de $5\,000 \dollar$ est investie à 6$\pourcent$ par an avec intérêts composés annuellement.

Trouver un modèle pour le montant, $A$, après $t$ années.
Trouver le montant après 4 ans.

Correction

Le montant initial est $A_0 = 5\,000$. Le taux d'intérêt annuel est $r = 0,06$.
Le facteur de croissance est $R = 1+r = 1+0,06 = 1,06$.
Le modèle est $\boldsymbol{A(t) = 5\,000(1,06)^t}$.
Après 4 ans, le montant est : $$A(4) = 5\,000(1,06)^4 \approx 6\,312,38...$$ Le montant est de $\boldsymbol{6\,312,38 \dollar }$.

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	5	8	11	14

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	2	6	18	54