Statistiques

Les statistiques sont partout autour de nous, des moyennes sportives aux bulletins d'information sur la météo.

• Un joueur de basket-ball marque en moyenne 14,6 points par match.
• L'année dernière a été l'année la plus chaude jamais enregistrée depuis 1897.

Les statistiques sont la science qui consiste à concevoir des enquêtes, puis à collecter, organiser, analyser et interpréter des données pour répondre à une question spécifique.

Une enquête statistique suit ces cinq étapes clés :

1. Poser la question : Définir clairement ce que l'on veut étudier.
2. Collecter les données : Rassembler les informations pertinentes pour la question.
3. Analyser les données : Calculer des statistiques descriptives, comme des effectifs, des moyennes ou des modes.
4. Représenter les données : Afficher les données organisées de manière visuelle avec des graphiques.
5. Interpréter les données : Tirer des conclusions pour répondre à la question.

Un problème statistique est une question claire et précise à laquelle on peut répondre en collectant et en analysant des données.

Étudions le problème : « Quelle est la matière scolaire préférée des élèves de notre école ? »

Une population est l'ensemble des personnes ou des objets que tu veux étudier.

Pour notre problème, la population est l'ensemble des élèves de notre école.

Les données sont l’ensemble des informations qu’on collecte, comme des chiffres, des mots, des mesures ou des observations.

Les données que nous collectons seront la liste des réponses de chaque élève, comme « Maths », « Arts », « Sciences », « Arts », « Sport », etc.

Les données peuvent être décrites par différents types de variables :

• Variable qualitative (catégorielle) : décrit une qualité ou une catégorie. Les réponses possibles sont des mots ou des étiquettes. Pense à : « Quel type ? » (par ex. : couleur des yeux, plat préféré).
• Variable quantitative (numérique) : décrit une quantité ou un nombre que l'on peut compter ou mesurer. Pense à : « Combien ? » ou « Combien de ? » (par ex. : taille, nombre de frères et sœurs).

Pour notre enquête :

• La variable « Matière préférée » est qualitative car les réponses sont des catégories (Maths, Arts, etc.).
• La variable « Combien d'heures consacres-tu à tes devoirs par semaine ? » est quantitative car la réponse sera un nombre qui peut être mesuré (par ex., 2 heures, 5 heures).

Lorsque nous menons une enquête, nous devons décider auprès de qui collecter les données. Devons-nous interroger toute la population, ou seulement un groupe plus restreint ?

• Un recensement collecte des données auprès de chaque membre de la population. C'est précis mais peut être très lent et coûteux pour de grandes populations.
• Un sondage (ou échantillonnage) collecte des données auprès d'un groupe plus petit et gérable issu de la population, appelé un échantillon. C'est beaucoup plus rapide, mais l'échantillon doit être choisi avec soin pour être représentatif de l'ensemble de la population.

Une enquête pose la question : « Quelle est la matière préférée des élèves de cette école ? »
Si tu interroges chaque élève de l'école, est-ce un recensement ou un sondage ?

Une enquête pose la question : « Quelle est la matière préférée des élèves de cette école ? »
Si tu n'interroges que les élèves de ta classe de maths, est-ce un recensement ou un sondage ?

Une fois que tu as ta question et que tu as identifié ta population, tu as besoin d'une méthode systématique pour collecter et enregistrer les réponses. Pour un recensement d'un petit groupe (comme ta classe), un tableau de comptage est un outil efficace.

1. Préparer un tableau de comptage : Avant de commencer, crée un tableau avec une colonne pour chaque catégorie de réponse possible et une colonne pour les bâtons.
2. Mener l'enquête : Pose la question de l'enquête à chaque personne de ta population, une par une.
3. Enregistrer chaque réponse : Pour chaque réponse que tu reçois, place un bâton dans la ligne de la catégorie correspondante. N'oublie pas de faire du cinquième bâton une ligne diagonale qui barre les quatre premiers pour faciliter le comptage.

Collecter des données pour la question « Quelle est ta matière préférée ? »
Au fur et à mesure que tu interroges chacun des 25 élèves, tu remplis la colonne des bâtons. Après avoir interrogé les 25 élèves, ton tableau de comptage ressemblerait à ceci :

Matière	Bâtons
Maths
Sciences
Sport
Arts

L’un des moyens les plus courants de recueillir des informations sur une population est d’utiliser un échantillon. Pour qu’un échantillon soit pertinent, il doit représenter fidèlement l’ensemble de la population. Deux défis majeurs se posent : éviter les biais et choisir une taille d’échantillon suffisamment grande pour refléter la diversité de la population.

• Biais de sélection : Un exemple célèbre de biais est le sondage du magazine Literary Digest avant l’élection présidentielle américaine de 1936. Le magazine a envoyé des millions de questionnaires en se basant sur des annuaires téléphoniques et des registres de véhicules. Or, pendant la Grande Dépression, de nombreuses personnes n’avaient ni téléphone ni voiture. Cela a conduit à un échantillon fortement biaisé en faveur des personnes aisées, plus enclines à voter républicain à cette époque. À cause de ce biais, le sondage a prédit à tort une large victoire d’Alfred Landon, alors que Franklin D. Roosevelt a en réalité largement remporté l’élection.
• Taille de l’échantillon : Lors de la crise des missiles de Cuba en 1962, les services de renseignement américains ont sous-estimé le nombre et le type de missiles soviétiques présents sur l’île parce qu’ils disposaient de peu de données de reconnaissance. Ce faible « échantillon » de photos ne couvrait qu’une partie du territoire et plusieurs sites de lancement, dont certains avec des missiles à plus longue portée, ont d’abord été manqués. Même s’il ne s’agissait pas d’un sondage statistique, cet exemple illustre la façon dont des données trop limitées (un échantillon très petit ou incomplet) peuvent conduire à des erreurs graves, surtout dans des situations critiques.

L'erreur d'échantillonnage est la différence naturelle et attendue entre une statistique calculée à partir d'un échantillon et la vraie valeur pour l'ensemble de la population. Elle existe simplement parce qu'un échantillon n’est qu’une partie du tout, et non le tout lui-même, et parce que les individus choisis au hasard ne correspondent jamais exactement à l’ensemble de la population.

Le biais de sélection est une erreur systématique qui se produit lorsque la méthode de sélection d'un échantillon le rend non représentatif de la population. Contrairement à l'erreur d'échantillonnage aléatoire, le biais pousse les résultats dans une direction spécifique et ne disparaît pas simplement en augmentant la taille de l’échantillon.

Une enquête pose la question : « Quelle est la matière préférée des élèves de cette école ? » Pour collecter les données, tu interroges uniquement les élèves de ta classe de mathématiques.
Ceci est un échantillon biaisé.

• La population est l'ensemble des élèves de toute l'école.
• L'échantillon ne comprend que les élèves de ta classe de mathématiques.

Les résultats seront probablement biaisés car cet échantillon n'est pas représentatif de toute l'école. Par exemple, les élèves d'une classe de maths pourraient être plus enclins à choisir les maths comme matière préférée que des élèves sélectionnés dans une classe d’arts ou dans la population scolaire générale. Les élèves d’autres niveaux ou d’autres sections ne sont pas du tout pris en compte. Par conséquent, ta conclusion ne peut pas être généralisée à l'ensemble de l'école.

Pour garantir que les résultats d'un sondage soient aussi précis que possible, les statisticiens utilisent deux stratégies principales :

1. Utiliser l'échantillonnage aléatoire : Pour éviter le biais de sélection, chaque membre de la population doit avoir une chance égale d'être choisi pour l'échantillon. C'est le fondement d'un sondage fiable.
2. Augmenter la taille de l'échantillon : À mesure que la taille de l'échantillon augmente, il est plus probable qu'il reflète fidèlement la diversité de la population, et l'erreur d'échantillonnage aléatoire diminue généralement. Cependant, augmenter la taille de l’échantillon ne supprime pas un biais de sélection si la méthode de choix des individus est déjà biaisée.

L’effectif est le nombre de fois que chaque catégorie apparaît dans nos données.
La fréquence (ou fréquence relative) est la proportion des données qui correspond à une catégorie. On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.$$ \text{Fréquence (en }\pourcent\text{)} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \times 100\pourcent $$

On calcule les fréquences relatives pour notre enquête sur la « Matière préférée » auprès de 25 élèves :

Matière	Effectif	Fréquence
Maths	8	\(8/25\times 100\pourcent = 32\pourcent\)
Sciences	5	\(5/25\times 100\pourcent = 20\pourcent\)
Sport	7	\(7/25\times 100\pourcent = 28\pourcent\)
Arts	5	\(5/25\times 100\pourcent = 20\pourcent\)
Total	25	100\(\pourcent\)

Une mesure de tendance centrale est une valeur unique qui tente de décrire un ensemble de données en identifiant la position centrale au sein de cet ensemble. Les principales mesures sont la moyenne, la médiane et le mode.

Le mode est la valeur ou la catégorie qui apparaît le plus souvent. Un ensemble de données peut avoir plus d'un mode.

Les résultats de l'enquête « Matière préférée » sont présentés dans le tableau d'effectifs ci-dessous.

Matière	Effectif
Maths	8
Sciences	5
Sport	7
Arts	5

Quel est le mode de cet ensemble de données ?

La moyenne est la somme de toutes les valeurs numériques divisée par le nombre de valeurs.$$ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} \\ &= \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}\end{aligned}$$

Pour l'ensemble de données \(1, 4, 2, 3, 5, 4, 5, 4, 4\), quelle est la moyenne ?

La médiane est la valeur centrale d'un ensemble de données qui a été ordonné du plus petit au plus grand.

• S’il y a un nombre impair de valeurs, la médiane est l'unique valeur du milieu.
• S’il y a un nombre pair de valeurs, il y a deux valeurs centrales et la médiane est la moyenne de ces deux valeurs.

Pour l'ensemble de données \(1, 4, 2, 3, 5, 4, 5, 4, 4\), quelle est la médiane ?

Une mesure de dispersion décrit à quel point les valeurs d'un ensemble de données sont variées ou « étalées ». Alors que la tendance centrale nous renseigne sur le centre, la dispersion nous renseigne sur la consistance des données. Les principales mesures sont l'étendue, l'écart interquartile (EIQ) et l'écart-type.

Considérons les notes de deux élèves :

• Notes de l'élève A : 10, 50, 90
• Notes de l'élève B : 45, 50, 55

Les deux élèves ont la même note moyenne (50), mais les notes de l'élève A sont très dispersées (grande dispersion), tandis que celles de l'élève B sont très constantes (faible dispersion).

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’un ensemble de données. Elle donne une mesure rapide de la dispersion totale.$$ \text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale} $$

Détermine l’étendue pour les données : \(1, 19, 10, 2, 18, 10, 5, 15, 10\).

Les quartiles sont les valeurs qui divisent un ensemble de données ordonné en quatre parties égales.

• Le premier quartile (Q1) est la médiane de la moitié inférieure des données.
• La médiane (Q2) est la médiane de l'ensemble des données.
• Le troisième quartile (Q3) est la médiane de la moitié supérieure des données.

Lorsqu'il y a un nombre impair de valeurs, on ne compte pas la médiane (Q2) dans la moitié inférieure ni dans la moitié supérieure pour calculer Q1 et Q3.
L'écart interquartile (EIQ) est l'étendue des 50\(\pourcent\) du milieu des données. Il est moins affecté par les valeurs extrêmes que l'étendue.$$ \text{EIQ} = Q_3 - Q_1 $$

Trouve les quartiles et l’écart interquartile pour les données : \(1, 19, 10, 2, 18, 10, 5, 15, 10\).

La mesure de dispersion la plus puissante est l'écart-type. Il mesure la distance moyenne de chaque point de donnée par rapport à la moyenne. Un petit écart-type signifie que les données sont regroupées près de la moyenne (comme l'élève B), tandis qu'un grand écart-type signifie que les données sont dispersées (comme l'élève A).

L'écart-type (\(\sigma\)) s'obtient en prenant la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$$où \(\bar{x}\) est la moyenne et \(n\) le nombre de valeurs.

Calcule l’écart-type pour les données suivantes : $$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$$

Une fois les données organisées dans un tableau, nous pouvons créer des graphiques pour voir les tendances visuellement. Les diagrammes en bâtons sont excellents pour comparer les effectifs, tandis que les diagrammes circulaires sont idéaux pour montrer les proportions.

Un diagramme en bâtons utilise des barres rectangulaires où la hauteur de chaque barre représente son effectif. Il peut être utilisé pour des données qualitatives ou quantitatives.

• Pour les données qualitatives (catégorielles), chaque barre représente une catégorie distincte (ex : « Maths », « Sciences »). Les barres sont généralement dessinées avec des espaces entre elles pour montrer que les catégories sont séparées.
• Pour les données quantitatives (numériques), chaque barre représente un nombre spécifique (ex : une note de « 3 » ou « 4 frères et sœurs »). Les nombres sont placés dans l'ordre sur l'axe horizontal.

Trace un diagramme en bâtons pour nos données de l'enquête « Matière préférée ».

Matière	Effectif
Maths	8
Sciences	5
Sport	7
Arts	5

Un diagramme circulaire montre la proportion de chaque catégorie sous forme de part d'un cercle. Si la fréquence relative d'une catégorie est écrite sous forme décimale (par exemple \(0{,}32\)), l'angle de sa part se calcule ainsi :$$ \text{Angle} = \text{fréquence relative} \times 360^\circ. $$

Trace un diagramme circulaire pour nos données de l'enquête « Matière préférée » (Total = 25 élèves).

Matière	Effectif	Fréquence
Maths	8	\(32\pourcent\)
Sciences	5	\(20\pourcent\)
Sport	7	\(28\pourcent\)
Arts	5	\(20\pourcent\)

Bien que des mesures comme la moyenne et l'écart-type soient puissantes, elles ne donnent pas une image complète de la distribution des données. Un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) est un outil visuel qui résume un ensemble de données en montrant à la fois son centre et sa dispersion.

Un diagramme en boîte affiche visuellement le résumé à cinq nombres au-dessus d'une droite numérique.

• Une boîte centrale est dessinée du premier quartile (Q1) au troisième quartile (Q3).
• Une ligne à l'intérieur de la boîte marque la médiane (Q2).
• Des moustaches (lignes) s'étendent de la boîte jusqu'aux valeurs minimale et maximale.

La boîte représente les 50\(\pourcent\) du milieu des données (l'EIQ), la ligne intérieure montre le centre, et les moustaches montrent l'étendue complète.

1. Ordonner les données de la plus petite à la plus grande.
2. Trouver le résumé à cinq nombres : Calculer le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum.
3. Dessiner une droite numérique qui couvre toute l'étendue de vos données.
4. Dessiner la boîte et la médiane : Dessiner une boîte de Q1 à Q3 et une ligne verticale à l'intérieur à la position de la médiane.
5. Dessiner les moustaches : Tracer des lignes de la boîte jusqu'aux valeurs minimale et maximale.

Ce diagramme en boîte montre le nombre de minutes que des passagers ont passées dans une salle d'embarquement.À partir du diagramme, trouve la médiane, l'étendue et l'écart interquartile.

L'interprétation est l'étape finale et la plus importante. C'est là que tu expliques l'histoire que racontent tes données. Suis ces étapes pour rédiger une bonne interprétation.

1. Énoncer les principaux résultats : Commence par décrire les points les plus évidents. Quelle est la catégorie la plus populaire (le mode) ? Quelle est la moins populaire ?
2. Faire des comparaisons : Utilise des mots de comparaison (par ex., « plus que », « moins que », « deux fois plus ») pour comparer les différentes catégories. Fais des calculs simples si nécessaire.
3. Utiliser des données spécifiques comme preuves : Appuie tes affirmations avec des chiffres. Utilise les effectifs (comptes) ou les fréquences (pourcentages) de ton tableau ou graphique.
4. Tirer une conclusion : Rédige une phrase de conclusion qui répond directement à ta question statistique de départ.
5. Réfléchir et poser de nouvelles questions : Pense à ce que tes données ne te disent pas. Ce résultat s'applique-t-il à toute l'école, ou seulement à ta classe ? Que pourrais-tu étudier ensuite ?

Appliquons la méthode en 5 étapes pour interpréter les résultats de notre enquête sur les matières préférées.

Matière	Effectif	Fréquence
Maths	8	\(32\pourcent\)
Sciences	5	\(20\pourcent\)
Sport	7	\(28\pourcent\)
Arts	5	\(20\pourcent\)

• Principaux résultats : Les données montrent que les Maths sont la matière la plus populaire. Les matières les moins populaires sont les Sciences et les Arts, qui sont à égalité.
• Comparaisons : Plus d'élèves ont choisi les Maths (8) que le Sport (7). Le nombre d'élèves qui préfèrent les Sciences est le même que ceux qui préfèrent les Arts (5).
• Preuves : Les Maths sont la matière préférée pour 32\(\pourcent\) de la classe, ce qui en fait clairement le mode.
• Conclusion : En conclusion, d'après notre enquête auprès de 25 élèves, la matière préférée dans cette classe est les mathématiques.
• Réflexion : Cette conclusion ne s'applique qu'à notre classe de 25 élèves. Une nouvelle question pour une future enquête pourrait être : « Les Maths sont-elles aussi la matière préférée dans toute l'école ? »

Chaque fois que tu rencontres une affirmation basée sur des statistiques (par ex., aux informations ou dans une publicité), tu dois l'évaluer de manière critique. Un bon statisticien prend en compte deux points clés :

1. Remettre en question la collecte de données : Toutes les statistiques d'échantillon contiennent une erreur potentielle. Demande-toi toujours :
   • L'échantillon était-il représentatif de la population, ou était-il biaisé ?
   • La taille de l'échantillon était-elle suffisamment grande pour être fiable ?
   • Quelle est la marge d'erreur d'échantillonnage potentielle ?
2. Éviter la surgénéralisation : Les statistiques décrivent des tendances de groupe, pas des vérités absolues sur les individus. C'est une erreur courante d'appliquer une moyenne de groupe à chaque membre de ce groupe.

• Affirmation : « Les filles sont meilleures en maths que les garçons. »
• Preuve avancée : Dans ma classe, la note moyenne des filles était de 15, tandis que celle des garçons était de 13.
• Évaluation critique : Bien que les résultats montrent que les filles ont mieux réussi dans cette classe spécifique, cette généralisation est abusive.
• Limites de l'échantillon : L'échantillon (une seule classe) est trop restreint pour être représentatif de la population générale. On ne peut donc pas étendre ce résultat à l'ensemble des élèves.
• Conclusion rectifiée : Une conclusion plus rigoureuse serait : « Dans cette classe en particulier, la note moyenne des filles était supérieure à celle des garçons. »