\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Équations de droites

Pente


La pente (ou gradient ou coefficient directeur) d'une droite décrit sa direction et son inclinaison. C’est un nombre qui indique de combien l'ordonnée (\(y\)) d'un point sur la droite change lorsque l'abscisse (\(x\)) augmente de \(1\) unité.
  • Une pente positive signifie que la droite monte lorsque l'on se déplace vers la droite.
  • Une pente négative signifie que la droite descend lorsque l'on se déplace vers la droite.
  • Une pente nulle correspond à une droite horizontale : lorsque l’on se déplace vers la droite, il n’y a aucun changement vertical.

Définition Pente
La pente (également appelée gradient ou coefficient directeur) d'une droite non verticale est définie comme le rapport du changement vertical (\(\Delta y\)) sur le changement horizontal (\(\Delta x\)), pour deux points distincts quelconques de la droite. Ce rapport est le même quels que soient les deux points choisis sur la droite :$$\text{pente} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\text{changement vertical}}}{\textcolor{colordef}{\text{changement horizontal}}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{\Delta x} \neq 0$$
Pour une droite verticale, le changement horizontal \(\Delta x\) est toujours nul, la pente est donc indéfinie.
Exemple
Détermine la pente de la droite.

$$\begin{aligned}[t]\text{pente} &= \frac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}}\\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{1}}\\ &= 2\end{aligned}$$

Formule de la pente

Proposition Formule de la pente
La pente d'une droite non verticale passant par deux points distincts \(A\left(\textcolor{colordef}{x_A}, \textcolor{colorprop}{y_A}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{x_B}, \textcolor{colorprop}{y_B}\right)\) est donnée par la formule :$$\text{pente} = \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{x_A} \neq \textcolor{colordef}{x_B}$$L’ordre des points n’a pas d’importance, à condition de faire les soustractions au numérateur et au dénominateur dans le même ordre.
Exemple
Détermine la pente de la droite \(\LineFr{AB}\) pour \(A\left(\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{5}, \textcolor{colorprop}{4}\right)\).

$$\begin{aligned}[t]\text{pente de }\LineFr{AB} &= \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{4}-\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{5}-\textcolor{colordef}{1}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{4}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}\end{aligned}$$

Ordonnée à l’origine

Définition Ordonnée à l’origine
L'ordonnée à l’origine est la valeur de \(y\) où la droite coupe l’axe des ordonnées (lorsque \(x=0\)).
Exemple
Détermine l'ordonnée à l’origine.

L’ordonnée à l’origine est \(1\) car la droite coupe l’axe des ordonnées au point \((0,1)\).

Équations de droites


Une équation comme \(\textcolor{colorprop}{y}=2\textcolor{colordef}{x}-1\) décrit une relation entre les variables \(\textcolor{colordef}{x}\) et \(\textcolor{colorprop}{y}\). Pour toute valeur de \(\textcolor{colordef}{x}\) que nous choisissons, l'équation nous donne la valeur correspondante de \(\textcolor{colorprop}{y}\).
Nous pouvons utiliser cela pour trouver les coordonnées \((\textcolor{colordef}{x}, \textcolor{colorprop}{y})\) de points qui vérifient cette équation.
  • Si \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}\), alors \(\textcolor{colorprop}{y} = 2(\textcolor{colordef}{1}) - 1 = \textcolor{colorprop}{1}\). Cela nous donne le point \((1, 1)\).
  • Si \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{2}\), alors \(\textcolor{colorprop}{y} = 2(\textcolor{colordef}{2}) - 1 = \textcolor{colorprop}{3}\). Cela nous donne le point \((2, 3)\).
Construisons un tableau de valeurs pour trouver d'autres points :
\(\textcolor{colordef}{x}\) \(\textcolor{colordef}{0}\) \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\)
\(\textcolor{colorprop}{y}\) \(\textcolor{colorprop}{-1}\) \(\textcolor{colorprop}{1}\) \(\textcolor{colorprop}{3}\) \(\textcolor{colorprop}{5}\)
Chaque paire du tableau, par exemple \((0,-1)\) ou \((3,5)\), rend l'équation \(\textcolor{colorprop}{y}=2\textcolor{colordef}{x}-1\) vraie. Lorsque nous plaçons ces points dans un repère du plan, nous voyons qu'ils appartiennent tous à la même droite. L'équation \(\textcolor{colorprop}{y}=2\textcolor{colordef}{x}-1\) est l'équation de cette droite, car elle est vraie pour chaque point de la droite (et uniquement pour les points de cette droite).

Définition Forme Pente-Ordonnée à l'origine
La forme pente-ordonnée à l'origine de l'équation d'une droite est :$$y = mx + c$$où \(m\) est la pente (gradient) et \(c\) est l'ordonnée à l'origine.
  • La pente \(m\) indique de combien \(y\) change lorsque \(x\) augmente de \(1\).
  • L'ordonnée à l'origine \(c\) est la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\), c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des \(y\).
Exemple
Cette droite a pour pente \(m=-2\) et pour ordonnée à l'origine \(c=1\).

Tracer une droite à partir de son équation

Méthode Tracer une droite en utilisant deux points
Pour tracer une droite donnée par \(y = mx + c\) :
  1. Détermine le premier point \((x_1, y_1)\) :
    • Choisis une valeur pratique pour \(x_1\) (souvent un entier).
    • Remplace \(x_1\) dans l’équation pour calculer \(y_1\).
  2. Détermine un second point \((x_2, y_2)\) :
    • Choisis une autre valeur pour \(x_2\).
    • Remplace \(x_2\) dans l’équation pour calculer \(y_2\).
  3. Trace la droite :
    • Place les deux points sur un graphique.
    • Utilise une règle pour tracer la droite passant par ces deux points.
Exemple
Trace la droite d’équation \(y = -2x + 3\).

  • Pour \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}\),$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colorprop}{y} &= -2 \times \textcolor{colordef}{1} + 3 \\ &= \textcolor{colorprop}{1}\end{aligned}$$
  • Pour \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{2}\),$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colorprop}{y} &= -2 \times \textcolor{colordef}{2} + 3 \\ &= \textcolor{colorprop}{-1}\end{aligned}$$
  • Ainsi, les points \((\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{1})\) et \((\textcolor{colordef}{2}, \textcolor{colorprop}{-1})\) appartiennent à la droite.

Méthode Tracer une droite avec l’ordonnée à l’origine et la pente
Pour tracer une droite \(y = mx + c\) :
  1. Place l’ordonnée à l’origine :
    • Place le point \((0, c)\) sur le graphique.
  2. Utilise la pente \(m\) pour déterminer un deuxième point :
    • À partir du point \((0, c)\), décale-toi horizontalement d’une valeur choisie \(\Delta x\) (par exemple \(1\) ou \(2\) unités).
    • Puis décale-toi verticalement de \(\Delta y = m \cdot \Delta x\).
    • Place le deuxième point.
  3. Trace la droite :
    • Trace la droite passant par les deux points.
Exemple
Trace la droite d’équation \(y = 2x - 1\).

  • L’ordonnée à l’origine est \(-1\) : place le point \((0, -1)\).
  • La pente est \(2\) : à partir de \((0, -1)\), décale-toi d’\(1\) unité vers la droite (\(\Delta x = 1\)), puis de \(2\) unités vers le haut (\(\Delta y = 2\)), pour arriver en \((1, 1)\).
  • Trace la droite passant par ces deux points.