\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Formules

Comprendre les formules

Une formule est un type particulier d'équation qui décrit une relation entre deux ou plusieurs variables. Les formules sont des outils puissants en mathématiques et en sciences car elles fournissent une règle concise pour modéliser des phénomènes du monde réel, du calcul de l'aire d'une figure à la prédiction de la distance parcourue par un objet.
Définition Formule
Une formule est une équation qui exprime une variable en fonction d'autres. La variable unique qui est isolée d'un côté de l'équation est appelée le sujet de la formule.
Exemple
Dans la formule de l'aire d'un cercle, \(A = \pi r^2\), le sujet est l'aire, \(A\).
Exemple
Dans le théorème de Pythagore, \(c^2 = a^2 + b^2\), le sujet est \(c^2\).

Substitution dans les formules

Méthode Substitution de valeurs
Pour trouver la valeur du sujet d'une formule, on peut substituer les valeurs connues des autres variables et évaluer l'expression.
  1. Identifier la formule requise pour le problème.
  2. Substituer les valeurs données à la place de leurs variables correspondantes.
  3. Évaluer l'expression numérique résultante pour trouver la valeur du sujet.
Exemple
La formule de l'aire d'un carré est \(A = c^2\). Trouve l'aire d'un carré dont le côté mesure \(4 \text{ cm}\).

  1. La formule est donnée : \(A = c^2\).
  2. Substituer la valeur connue \(c = 4\) : \(A = (4)^2\).
  3. Évaluer l'expression : \(A = 16\).
L'aire du carré est de \(16 \text{ cm}^2\).

Réarrangement de formules

Méthode Changer le sujet
On peut réarranger une formule pour faire d'une autre variable le sujet. Ce processus utilise les mêmes règles que la résolution d'équations : appliquer des opérations inverses des deux côtés de la formule pour isoler la variable souhaitée.
Exemple
La formule de l'aire d'un carré est \(A = c^2\). Réarrange la formule pour faire de la longueur du côté, \(c\), le sujet.

Pour isoler \(c\), nous devons annuler l'opération "élever au carré" en prenant la racine carrée des deux côtés.$$\begin{aligned}A &= c^2 \\ \sqrt{A} &= \sqrt{c^2} \\ \sqrt{A} &= c\end{aligned}$$Puisqu'une longueur doit être positive, nous ne prenons que la racine carrée positive. La formule réarrangée est \(c = \sqrt{A}\).

Construction de formules

Méthode Construire une formule
Pour construire une formule à partir d'une description ou d'un motif :
  1. Définir les variables : Attribue des symboles (par ex., \(x, y, C\)) pour représenter les quantités concernées.
  2. Identifier la relation : Décris avec des mots comment les variables sont connectées. Cherche un montant de départ fixe (une constante) et un taux de variation (un coefficient).
  3. Traduire en algèbre : Écris la relation sous forme d'équation.
Exemple
Un taxi facture des frais initiaux de \(3\dollar \), plus \(2\dollar \) pour chaque kilomètre parcouru. Construis une formule pour le coût total, \(C\), d'un trajet de \(d\) kilomètres.

  1. Les variables sont définies : \(C\) pour le coût total et \(d\) pour la distance en kilomètres.
  2. La relation est : Le coût total est le frais fixe de \(3\dollar \) plus \(2\dollar \) multiplié par le nombre de kilomètres.
  3. La formule est : $$C = 2d + 3$$

Méthode Construire une formule à partir d'un motif
L'une des compétences les plus puissantes en mathématiques est la capacité d'observer un motif et de le généraliser en une formule.
  1. Analyser des cas spécifiques : Commence par collecter des données à partir des premiers exemples du motif. Organise ces données dans un tableau.
  2. Identifier la relation : Cherche une règle qui relie le numéro du cas (par ex., le numéro du diagramme, \(n\)) au résultat (par ex., le nombre d'allumettes, \(M\)). Cherche une valeur de départ et une différence commune.
  3. Généraliser la règle : Écris ton observation sous forme de formule en utilisant des variables.
  4. Tester ta formule : Vérifie si ta formule fonctionne pour les cas que tu as analysés et si elle peut prédire le cas suivant.
Exemple
Déduis la formule de l'aire d'un rectangle.
  • Cas Spécifique : Considère un rectangle de largeur 4 unités et de hauteur 3 unités. On peut calculer son aire en comptant les carrés unités à l'intérieur, ce qui peut être vu comme 4 colonnes de 3 carrés chacune.
    L'aire est le produit de sa largeur et de sa longueur : \(A = 4 \times 3 = 12\).
  • Cas Général : On généralise cette observation. Pour tout rectangle de largeur \(L\) et de longueur \(l\), l'aire \(A\) est donnée par le produit de ses dimensions.
    La formule est : $$A = l \times L$$
Exemple
Examine le motif de carrés faits d'allumettes :
Construis une formule pour le nombre d'allumettes, \(M\), dans le diagramme \(n\).

  1. Analyser les cas spécifiques : On compte les allumettes dans chaque diagramme et on crée un tableau.
    Numéro du diagramme (\(n\)) 1 2 3
    Nombre d'allumettes (\(M\)) 4 7 10
  2. Identifier la relation : On commence avec 4 allumettes. Pour passer au diagramme suivant, on ajoute 3 allumettes à chaque fois. La différence commune est 3. Cela indique une relation linéaire.
    • Diagramme 1 : \(4\)
    • Diagramme 2 : \(4 + 3\)
    • Diagramme 3 : \(4 + 3 + 3 = 4 + 2 \times 3\)
  3. Généraliser la règle : Pour le diagramme \(n\), on commence avec 4 et on ajoute 3 un total de \((n-1)\) fois. $$M = 4 + 3(n-1)$$ En développant et en simplifiant, on obtient : $$M = 4 + 3n - 3 \implies M = 3n + 1$$
  4. Tester la formule :
    • Pour \(n=1\) : \(M = 3(1) + 1 = 4\). Correct.
    • Pour \(n=2\) : \(M = 3(2) + 1 = 7\). Correct.
    • Pour \(n=3\) : \(M = 3(3) + 1 = 10\). Correct.
La formule pour le nombre d'allumettes dans le diagramme \(n\) est \(M = 3n + 1\).