Fractions

$$\begin{aligned}[t]\dfrac{4}{6} &= \dfrac{2 \times \textcolor{olive}{\cancel{2}}}{3 \times \textcolor{olive}{\cancel{2}}} \quad \text{(Annuler le facteur commun : 2)}\\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}$$

L'égalité des deux fractions est :$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$Pour éliminer les dénominateurs, nous pouvons multiplier les deux côtés de l'équation par un multiple commun, tel que \(b \times d\) :$$\frac{a}{b} \times (b \times d) = \frac{c}{d} \times (b \times d)$$$$\frac{a\times b \times d}{b} = \frac{c\times b \times d }{d}$$La simplification des deux côtés en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur donne :$$a \times d = c \times b$$Ce résultat, \(ad = bc\), est connu sous le nom de produit en croix. Il fournit une méthode directe pour vérifier l'équivalence des fractions et pour trouver une variable inconnue dans une proportion.

• $$\begin{aligned}[t]\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} &= \dfrac{1 + 2}{4} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$
• \(+\) \(=\)

• Trouver un dénominateur commun : Pour additionner des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.
  • Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, \(\dots\)
  • Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, \(\dots\)
  • Le plus petit dénominateur commun est 12.
• $$\begin{aligned}[t]\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}&= \frac{3 \times \textcolor{olive}{3}}{4 \times \textcolor{olive}{3}}+\frac{5 \times \textcolor{olive}{2}}{6 \times \textcolor{olive}{2}}&&\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}&&\quad\text{(dénominateur commun}= 12)\\ &=\dfrac{9+10}{12}&&\quad\text{(additionner les numérateurs)}\\ &=\dfrac{19}{12}&&\\ \end{aligned}$$
• Représentation visuelle :

  \(+\)	\(=\)	\(+\)
  	\(=\)

La multiplication par un nombre entier peut être comprise comme une addition répétée. Ce principe s'étend aux fractions. Par exemple, l'expression \(3 \times \dfrac{1}{4}\) est équivalente à l'addition de la fraction \(\dfrac{1}{4}\) à elle-même trois fois. Puisqu'il s'agit de fractions de même dénominateur, nous pouvons additionner leurs numérateurs.$$\begin{aligned}3 \times \dfrac{1}{4} &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\\ &= \dfrac{1+1+1}{4}\\ &=\dfrac{3 \times 1}{4} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$

\(3\times\)	\(=\)	\(+\) \(+\)
	\(=\)

Cela démontre la logique sous-jacente à la procédure de multiplication d'une fraction par un nombre entier.

En appliquant la définition, nous multiplions l'entier (3) par le numérateur (2) et conservons le dénominateur (5). $$ \begin{aligned} 3 \times \dfrac{2}{5} &= \dfrac{3 \times 2}{5} \\ &= \dfrac{6}{5} \end{aligned} $$Le calcul peut être visualisé comme l'addition répétée de \(\dfrac{2}{5}\):

\(3\times\)	\(=\)	\(+\) \(+\)
	\(=\)

La multiplication de deux fractions peut être modélisée par la recherche de l'aire d'un rectangle dont les longueurs des côtés sont données par ces fractions. Considérons le produit \(\textcolor{colordef}{\dfrac{2}{3}} \times \textcolor{colorprop}{\dfrac{1}{2}}\). Cela correspond à l'aire du rectangle ombré à l'intérieur d'un carré unité. Pour déterminer l'aire de la région ombrée, nous observons ce qui suit :

• Le carré unité est partitionné en \(\textcolor{colordef}{3}\) colonnes et \(\textcolor{colorprop}{2}\) rangées, ce qui donne un total de \(3 \times 2 = 6\) sous-rectangles égaux. Cela détermine le dénominateur de la fraction résultante.
• La région ombrée couvre \(\textcolor{colordef}{2}\) colonnes et \(\textcolor{colorprop}{1}\) rangée, comprenant un total de \(2 \times 1 = \textcolor{olive}{2}\) de ces sous-rectangles. Cela détermine le numérateur.

Par conséquent, l'aire de la région ombrée est \(\textcolor{olive}{\dfrac{2}{6}}\). Ce modèle de l'aire démontre que le produit des fractions est trouvé en multipliant leurs numérateurs et leurs dénominateurs respectivement.

En appliquant la règle de multiplication des fractions :$$\begin{aligned}[t]\dfrac{5}{2} \times \dfrac{3}{4} &= \dfrac{5 \times 3}{2 \times 4} \\ &= \dfrac{15}{8}\end{aligned}$$

Le nombre 31 est un facteur à la fois dans un numérateur et dans un dénominateur. Il peut être annulé avant de multiplier.$$\begin{aligned}[t]\dfrac{31}{7} \times \dfrac{12}{31}&= \dfrac{\textcolor{colordef}{\cancel{31}} \times 12}{7 \times \textcolor{colordef}{\cancel{31}}} \quad \text{(Simplifier le facteur commun 31)} \\ &= \dfrac{12}{7}\end{aligned}$$

La preuve que \(\dfrac{b}{a}\) est l'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est la suivante :$$\begin{aligned}[t]\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} &= \dfrac{a \times b}{b \times a} \\ &= \dfrac{ab}{ab} \\ &= 1\end{aligned}$$

L'inverse de \(\dfrac{5}{7}\) est \(\dfrac{7}{5}\).

En appliquant la procédure de division de fractions :$$\begin{aligned}[t]\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} &= \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} && \text{(Multiplier par l'inverse du diviseur)} \\ &= \frac{2 \times 7}{3 \times 5} && \text{(Multiplier les numérateurs et les dénominateurs)} \\ &= \frac{14}{15}\end{aligned}$$

Le signe d'une fraction est déterminé par les règles de la division des nombres entiers, car la barre de fraction représente une division. Analysons le placement d'un unique signe négatif.
Considérons la division de \(-3\) par \(2\) :$$\frac{-3}{2} = \overbrace{(-3)}^{\text{négatif}} \div \overbrace{2}^{\text{positif}} = \overbrace{-\left(3\div 2\right)}^{\text{négatif}} = -\frac{3}{2}\,.$$Considérons maintenant la division de \(3\) par \(-2\) :$$\frac{3}{-2} = \overbrace{3}^{\text{positif}} \div \overbrace{(-2)}^{\text{négatif}} = \overbrace{-\left(3\div 2\right)}^{\text{négatif}} = -\frac{3}{2}\,.$$Dans les deux cas, le résultat est le même nombre rationnel négatif, \(-\dfrac{3}{2}\). Cela démontre qu'un seul signe négatif, que ce soit au numérateur ou au dénominateur, rend la fraction négative.

La simplification suit ces étapes :$$\begin{aligned}[t]\frac{-4}{-6} &= \frac{4}{6} && \text{(Application de la règle des signes : négatif } \div \text{ négatif } = \text{ positif)} \\ &= \frac{2 \times \cancel{2}}{3 \times \cancel{2}} && \text{(Factorisation et annulation du facteur commun 2)} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}$$

Considérons un scénario où deux unités identiques (gâteaux) doivent être partagées équitablement entre trois personnes. Ce scénario représente le problème de division \(2 \div 3\). Comment le résultat de cette division peut-il être exprimé sous forme de fraction ?

La justification mathématique de l'expression « \(\dfrac{a}{b}\) d'un nombre \(N\) » en tant qu'opération de multiplication est dérivée du principe des proportions. La procédure est la suivante :

1. Établir le ratio connu : Une fraction peut représenter un ratio connu, \(\dfrac{a}{b}\).
2. Établir un ratio équivalent : Nous voulons trouver une quantité inconnue, \(x\), qui a le même ratio par rapport à un nouveau total, \(N\). Cela donne le ratio \(\dfrac{x}{N}\).
3. Former une proportion : Une équation est formée en affirmant que les deux ratios sont équivalents : $$ \frac{a}{b} = \frac{x}{N} $$
4. Résoudre pour l'inconnue : Pour isoler la variable \(x\), les deux côtés de l'équation sont multipliés par \(N\). Cela donne la formule opérationnelle : $$ x = \frac{a}{b} \times N $$

La fraction \(\dfrac{2}{3}\) indique la part de la classe qui est composée de filles.

• Méthode 1 (retour à l’unité). On trouve une part : \(30\div 3=10\). Puis deux parts : \(10\times 2=\textcolor{colorprop}{20}\).\qquad
• Méthode 2 (formule).$$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}}&=\frac{2}{3}\text{ de }\textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2}{3}\times \textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2\times 30}{3}\\ &=(2\times 30)\div 3\\ &=\textcolor{colorprop}{20}.\end{aligned}$$

Vérification. \(\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}\).

Les fractions et les nombres décimaux sont deux notations différentes pour représenter les mêmes nombres rationnels. Tous deux peuvent décrire des valeurs qui se situent entre des nombres entiers. La capacité de convertir entre ces deux formes est une compétence mathématique fondamentale. Par exemple, la quantité « un demi » peut s'écrire soit comme une fraction, soit comme un nombre décimal :$$ \frac{1}{2} = 0,5 $$Cette section formalisera les procédures de conversion entre ces deux représentations.

• Application de la méthode 1 (Division directe) : $$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75 $$
• Application de la méthode 2 (Puissance de 10) : Nous cherchons un nombre par lequel multiplier le dénominateur (4) pour obtenir une puissance de 10. Nous savons que \(4 \times 25 = 100\). $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \textcolor{olive}{\times 25}}{4 \textcolor{olive}{\times 25}} = \frac{75}{100} $$ La fraction « soixante-quinze centièmes » s'écrit sous la forme décimale \(0,75\).

• Le nombre \(1{,}3\) a une décimale.
• Écrire le nombre sans la virgule comme numérateur : 13.
• Le dénominateur sera 1 suivi d'un zéro : 10.

La fraction résultante est \(\dfrac{13}{10}\).

Les fractions peuvent représenter des valeurs supérieures à un. Considérons la fraction \(\dfrac{5}{2}\), qui représente 5 parts de taille "demi".Bien que cette « fraction impropre » soit une représentation mathématique valide, il est souvent plus intuitif d'exprimer de telles quantités comme une combinaison d'unités entières et d'une partie fractionnaire restante. Cette section explorera la relation entre ces deux formes.

En appliquant l'ordre des opérations pour les fractions :$$\begin{aligned}[t]\frac{1+7}{3\times 4} &= \frac{(1+7)}{(3\times 4)} && \text{(Reconnaître le regroupement implicite)} \\ &= \frac{8}{12} && \text{(Évaluer le numérateur et le dénominateur)} \\ &= \frac{2 \times \cancel{4}}{3 \times \cancel{4}} && \text{(Simplifier en annulant le facteur commun 4)} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}$$