\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Relations entre les angles

Dans ce chapitre, nous explorerons les relations essentielles entre les angles, qui sont indispensables pour résoudre des problèmes de géométrie. Tu apprendras ce que sont les angles complémentaires (de somme \(90^\circ\), formant un angle droit), les angles supplémentaires (de somme \(180^\circ\), formant un angle plat), les angles opposés par le sommet (formés par l’intersection de deux droites), ainsi que les angles créés par des droites parallèles coupées par une transversale : angles correspondants, alternés et co-intérieurs. Ces notions s'appuient sur ta compréhension des angles droits (\(90^\circ\)), des angles plats (\(180^\circ\)) et des angles pleins (\(360^\circ\)). Ces relations particulières entre les angles t’aideront à reconnaître des droites parallèles et à calculer des angles inconnus dans des figures géométriques.

Angles complémentaires et supplémentaires

Définition Complémentaires
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est \(90^\circ\). Des angles complémentaires forment ensemble un angle droit, comme le coin d’un carré.
Exemple
Calcule la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\) s’il est complémentaire d’un angle de \(35^\circ\).

La somme de deux angles complémentaires est égale à \(90^\circ\).$$\begin{aligned}x^\circ + 35^\circ &= 90^\circ \\ x^\circ &= 90^\circ - 35^\circ \quad (\text{on soustrait } 35^\circ) \\ &= 55^\circ\end{aligned}$$

Définition Supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est \(180^\circ\). Des angles supplémentaires forment ensemble un angle plat (une ligne droite).
Exemple
Calcule la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\) s’il est supplémentaire d’un angle de \(110^\circ\).

La somme de deux angles supplémentaires est égale à \(180^\circ\).$$\begin{aligned}x^\circ + 110^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ &= 180^\circ - 110^\circ \quad (\text{on soustrait } 110^\circ) \\ &= 70^\circ\end{aligned}$$

Angles opposés par le sommet

Définition Angles opposés par le sommet
Les angles opposés par le sommet sont des angles situés l’un en face de l’autre au point où deux droites se coupent. Ils partagent le même sommet.
Proposition Égalité des angles opposés par le sommet
Les angles opposés par le sommet sont égaux.

\(\textcolor{colordef}{a^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ}\)

Considérons deux droites se coupant en un point, formant des angles opposés \(a^\circ\) et \(b^\circ\), et un angle adjacent \(c^\circ\).
Puisque \(a^\circ\) et \(c^\circ\) forment un angle plat :$$\textcolor{colordef}{a^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = 180^\circ \quad (\text{angle plat})$$De même, \(b^\circ\) et \(c^\circ\) forment un angle plat :$$\textcolor{colorprop}{b^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = 180^\circ \quad (\text{angle plat})$$Ainsi, \(\textcolor{colordef}{a^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ}\). En soustrayant \(\textcolor{olive}{c^\circ}\) des deux côtés, on obtient :$$\textcolor{colordef}{a^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ}$$

Exemple
Calcule la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\).

Les angles opposés par le sommet sont égaux.$$\begin{aligned}x^\circ &= 70^\circ \quad (\text{les angles opposés sont égaux})\end{aligned}$$

Angles correspondants\(\virgule\) alternés et co-intérieurs

Définition Angles correspondants/alternés/co-intérieurs
  • Les angles correspondants se trouvent du même côté d’une transversale qui intersecte deux droites et occupent des positions correspondantes, comme les coins en haut à droite de chaque intersection.
  • Les angles alternés (angles alternés-internes) se trouvent sur des côtés opposés d’une transversale et sont situés entre les deux droites coupées par cette transversale, formant une forme de "Z".
  • Les angles co-intérieurs se trouvent du même côté d’une transversale et entre les deux droites qu’elle coupe, formant une forme de "C".
Exemple
Identifie les éléments suivants pour le diagramme donné :
  1. Les angles correspondants.
  2. Les angles alternés.
  3. Les angles co-intérieurs.

  1. Angles correspondants : \(\textcolor{colorprop}{a^\circ}\) et \(\textcolor{purple}{e^\circ}\), \(\textcolor{colordef}{b^\circ}\) et \(\textcolor{green}{f^\circ}\), \(\textcolor{olive}{c^\circ}\) et \(\textcolor{teal}{g^\circ}\), \(\textcolor{yellow}{d^\circ}\) et \(\textcolor{orange}{h^\circ}\).
  2. Angles alternés : \(\textcolor{olive}{c^\circ}\) et \(\textcolor{purple}{e^\circ}\), \(\textcolor{yellow}{d^\circ}\) et \(\textcolor{green}{f^\circ}\).
  3. Angles co-intérieurs : \(\textcolor{olive}{c^\circ}\) et \(\textcolor{green}{f^\circ}\), \(\textcolor{yellow}{d^\circ}\) et \(\textcolor{purple}{e^\circ}\).

Propriétés des droites parallèles

Proposition Propriétés des droites parallèles
Si deux droites sont parallèles et intersectées par une transversale, alors :
  • Les angles correspondants sont égaux.
  • Les angles alternés sont égaux.
  • Les angles co-intérieurs sont supplémentaires (leur somme est \(180^\circ\)).
Exemple
Calcule la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\), sachant que les droites sont parallèles.

Puisque les angles sont alternés et que les droites sont parallèles, ils sont égaux.$$\begin{aligned}x^\circ &= 70^\circ \quad (\text{les angles alternés sont égaux})\end{aligned}$$

Proposition Droites parallèles à partir d’angles égaux
Si deux angles correspondants ou deux angles alternés formés par une même transversale sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Exemple
Démontre que les droites sont parallèles à partir des mesures d’angles données.

Puisque les angles correspondants sont égaux (\(110^\circ = 110^\circ\)), les droites sont parallèles.