Intérêts

Qu'est-ce que l'intérêt ?

Nous avons tous entendu parler des taux d’intérêt — par exemple pour un prêt immobilier, un crédit à la consommation ou un livret d’épargne. Mais que signifie réellement l’intérêt ?
L'intérêt correspond essentiellement au « loyer » que tu paies pour emprunter de l'argent. C'est le montant supplémentaire versé pour utiliser l'argent de quelqu'un d'autre pendant une certaine durée. Le pourcentage utilisé pour calculer ce montant supplémentaire chaque année s'appelle le taux d'intérêt.
Exemple d'intérêt :
Imagine que tu empruntes $\dollar 100$ aujourd'hui et que tu t'engages à le rembourser dans un an. Si tu rends exactement $\dollar 100$ après un an, il n'y a pas d'intérêt. Cependant, le prêteur peut demander une compensation pour t'avoir prêté cet argent.
Il peut réclamer un pourcentage du montant initial. Par exemple, avec un taux d'intérêt de $10\pourcent$ par an, l'intérêt payé se calcule ainsi :$$\begin{aligned}\text{Intérêt payé} &= \text{Pourcentage du montant initial} \\ &= \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant initial} \\ &= 10\pourcent \times 100 \\ &= \frac{10}{100} \times 100 \\ &= 10~\text{dollars}\end{aligned}$$Ainsi, après un an, tu devras rembourser :$$\begin{aligned}\text{Montant après 1 an} &= \text{Montant initial} + \text{Intérêt payé} \\ &= 100 + 10 \\ &= 110~\text{dollars}\end{aligned}$$Dans cet exemple, tu rembourseras donc $\dollar 110$ au lieu de $\dollar 100$. Les $\dollar 10$ supplémentaires représentent l'intérêt, c'est-à-dire le coût de l'emprunt pour une année.

Définition Principal

Le principal est le montant initial d'argent qui est soit investi, soit prêté.

Définition Intérêt

L'intérêt est le coût payé pour emprunter de l'argent ou le montant gagné en prêtant ou en investissant de l'argent.

Intérêt simple

Découverte

Supposons que tu empruntes $\dollar 100$ avec un taux d'intérêt de $10\pourcent$ par an. Avec l'intérêt simple, l'intérêt est calculé uniquement sur le montant initial chaque année.

$\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 1 an} &= 10\pourcent \times 100 \\&= \frac{10}{100} \times 100 \\&= 10~\text{dollars}\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 2 ans} &= 2 \times 10\pourcent \times 100 \\&= 2 \times \frac{10}{100} \times 100 \\&= 20~\text{dollars}\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 3 ans} &= 3 \times 10\pourcent \times 100 \\&= 3 \times \frac{10}{100} \times 100 \\&= 30~\text{dollars}\end{aligned}$

Ces observations mènent à la formule de l'intérêt simple :$$\text{Intérêt simple} = \text{Nombre d'années} \times \text{Taux d'intérêt} \times \text{Principal}$$

Définition Intérêt simple

L'intérêt simple est calculé chaque année comme un pourcentage fixe du principal (montant initial) emprunté ou investi. Avec l'intérêt simple, le même montant d'intérêt est ajouté chaque année.

Proposition Formule de l'intérêt simple

L'intérêt simple, noté $I$, se calcule ainsi :$$I = t \times r \times P$$où :

$P$ est le principal (montant initial)
$r$ est le taux d'intérêt annuel (sous forme décimale, par exemple $3\pourcent = 0{,}03$)
$t$ est la durée (en années)

Le montant final, noté $A$, est :$$A = P + I$$On peut donc aussi écrire :$$A = P(1 + rt)$$

Exemple

Calcule l'intérêt simple sur un principal de $\dollar 500$ avec un taux de $3\pourcent$ par an sur une durée de $5$ ans. Puis détermine le montant final.

Correction

On écrit le taux sous forme décimale : $3\pourcent = 0{,}03$.$$\begin{aligned}[t]I &= t \times r \times P \\ &=5 \times 0{,}03 \times 500 \\ &= 5 \times 15 \\ &= 75~\text{dollars}\end{aligned}$$Le montant final est :$$\begin{aligned}[t]A &= P + I\\ &= 500 + 75\\ &= 575~\text{dollars}\end{aligned}$$