\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Entiers relatifs

Définition


Imaginons un monde avec deux types de particules : les positives (+) et les négatives (-). Elles interagissent de manière spécifique.
  • Lorsque des particules du même type se rencontrent, elles unissent leurs forces.
  • Lorsqu'une particule positive et une négative se rencontrent, elles s'annulent, ne laissant rien. C'est une paire nulle.
  • Voyons ce qui se passe si 2 positifs rencontrent 1 négatif. Une paire nulle se forme, laissant 1 positif.
  • Pour indiquer le type de particule, on place un signe devant le nombre :
    • Le signe + pour un groupe de positifs.
    • Le signe - pour un groupe de négatifs.
  • Voyons maintenant ce qui se passe lorsque 3 positifs rencontrent 1 négatif.
    Il reste 2 positifs.
  • Finalement, voyons ce qui se passe lorsque 2 positifs rencontrent 2 négatifs.
    Il ne reste plus aucune particule : il reste \(0\).

Définition Entiers relatifs
Les entiers relatifs sont l'ensemble qui contient les entiers naturels (\(1, 2, 3, \dots\)), leurs opposés (\(-1, -2, -3, \dots\)) et zéro.
  • Les nombres positifs (\(\textcolor{colordef}{+1}, \textcolor{colordef}{+2},\dots\)) sont écrits avec un signe positif \((+)\). Ce signe est souvent omis (\(\textcolor{colordef}{+2}=\textcolor{colordef}{2}\)).
    \(\textcolor{colordef}{+2}=\)
  • Les nombres négatifs (\(\textcolor{colorprop}{-1}, \textcolor{colorprop}{-2},\dots\)) sont écrits avec un signe négatif \((-)\).
    \(\textcolor{colorprop}{-3}=\)
  • Zéro (\(0\)) n'est ni positif ni négatif.
  • Deux nombres sont opposés si leur somme est \(0\).

    \(\textcolor{colorprop}{-2}\) est l'opposé de \(\textcolor{colordef}{+2}\).
  • Pour éviter la confusion entre le signe d'un nombre et un signe d'opération, on utilise souvent des parenthèses. Par exemple, \(\textcolor{colordef}{+1}+\textcolor{colorprop}{-2}\) peut s'écrire \(\textcolor{colordef}{(+1)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\).
Exemple
Calcule \(\textcolor{colordef}{(+1)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\).

  • Donc, \(\textcolor{colordef}{(+1)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colorprop}{-1}\).

Définition Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre est le nombre sans son signe.
  • La valeur absolue de \(\textcolor{colordef}{+2}=\) est \(2\).
  • La valeur absolue de \(\textcolor{colorprop}{-3}=\) est \(3\).

Règles de l'addition

Méthode Règles de l'addition
  • Lorsqu'on ajoute deux nombres positifs, tu additionnes leurs valeurs absolues. La somme est un nombre positif :$$\textcolor{colordef}{(+2)}+\textcolor{colordef}{(+4)}=\textcolor{colordef}{+6} \quad \text{car }2+4=6.$$
  • Lorsqu'on ajoute deux nombres négatifs, tu additionnes leurs valeurs absolues. La somme est un nombre négatif :$$\textcolor{colorprop}{(-5)}+\textcolor{colorprop}{(-3)}=\textcolor{colorprop}{-8} \quad \text{car }5+3=8.$$
  • Lorsqu'on ajoute un nombre positif et un nombre négatif, tu soustrais la plus petite valeur absolue de la plus grande, puis tu utilises le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
    \(\textcolor{colorprop}{(-2)}+\textcolor{colordef}{(+5)}=\textcolor{colordef}{+3} \quad \text{car }5-2=3\)
    \(\textcolor{colordef}{(+2)}+\textcolor{colorprop}{(-6)}=\textcolor{colorprop}{-4} \quad \text{car }6-2=4\)
Exemple
Calcule \(\textcolor{colorprop}{(-10)}+\textcolor{colordef}{(+3)}\).

  • \(\textcolor{colorprop}{(-10)}+\textcolor{colordef}{(+3)}=\textcolor{colorprop}{-7} \quad \text{car }10-3=7.\)

Soustraction


    • Pour la soustraction, \(\textcolor{colordef}{(+3)}-\textcolor{colordef}{(+2)}\) :
      nous retirons \(2\) positifs de \(3\) positifs, ce qui nous laisse avec \(1\) positif.
    • Pour l'addition, \(\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\) :
      nous retirons encore \(2\) positifs de \(3\) positifs.
    • Donc, ces deux opérations sont équivalentes :
      \(\textcolor{colordef}{(+3)}-\textcolor{colordef}{(+2)}=\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\)
      Cela montre que soustraire un nombre positif revient au même qu'ajouter son opposé.
    • Pour la soustraction, \(\textcolor{colorprop}{(-3)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}\) :
      nous retirons \(2\) négatifs de \(3\) négatifs, ce qui nous laisse avec \(1\) négatif.
    • Pour l'addition, \(\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+2)}\) :
      nous retirons encore \(2\) négatifs de \(3\) négatifs.
    • Donc, ces deux opérations sont équivalentes :
      \(\textcolor{colorprop}{(-3)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+2)}\)
      Cela montre que soustraire un nombre négatif revient au même qu'ajouter son opposé.
  • En conclusion, ces exemples montrent un principe fondamental de l'arithmétique : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Définition Soustraction
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Exemple
Calcule \(\textcolor{colordef}{(+4)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}\).

$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colordef}{(+4)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}&=\textcolor{colordef}{(+4)}+\textcolor{colordef}{(+2)}&&\text{(ajouter l'opposé)}\\ &=\textcolor{colordef}{+6}&&\text{(même signe : ajouter les valeurs absolues)}\end{aligned}$$

Sur la droite numérique


  • Pour représenter à la fois les nombres positifs et négatifs sur une droite numérique, nous étendons la droite dans les deux directions à partir de zéro.
  • À chaque déplacement de gauche à droite de \(1\), le nombre augmente de \(1\) : \(0+1=\textcolor{colordef}{+1}\), \(\textcolor{colordef}{+1}+1=\textcolor{colordef}{+2},\dots\)
  • À chaque déplacement de droite à gauche de \(1\), le nombre diminue de \(1\) : \(0-1=\textcolor{colorprop}{-1}\), \(\textcolor{colorprop}{-1}-1=\textcolor{colorprop}{-2},\dots\)

Définition Droite numérique
Une droite numérique est une droite avec des marques à intervalles égaux pour indiquer les nombres.
Exemple
Trouve la valeur de \(x\).

  • Donc, \(x=\textcolor{colorprop}{-2}\).

Ordonner


Dans l'ensemble des entiers relatifs, l'ordre est défini comme suit :$$\dots\lt\textcolor{colorprop}{-3}\lt\textcolor{colorprop}{-2}\lt\textcolor{colorprop}{-1}\lt 0 \lt \textcolor{colordef}{+1}\lt\textcolor{colordef}{+2}\lt\textcolor{colordef}{+3}\lt\dots$$Ainsi, en se déplaçant sur la droite numérique de gauche à droite, les nombres augmentent.
  • Comme \(\textcolor{colordef}{+3}\) est à droite de \(\textcolor{colorprop}{-5}\), \(\textcolor{colorprop}{-5} \lt \textcolor{colordef}{+3}\). Donc, lorsqu'un nombre est positif et l'autre négatif, le nombre positif est plus grand.
  • Comme \(\textcolor{colorprop}{-2}\) est à droite de \(\textcolor{colorprop}{-4}\), \(\textcolor{colorprop}{-4}\lt \textcolor{colorprop}{-2}\). Donc, lorsque les deux nombres sont négatifs, le nombre le plus proche de zéro est plus grand (le nombre avec la plus petite valeur absolue est plus grand).
  • Comme \(\textcolor{colordef}{+6}\) est à droite de \(\textcolor{colordef}{+4}\), \(\textcolor{colordef}{+4}\lt \textcolor{colordef}{+6}\). Donc, lorsque les deux nombres sont positifs, le nombre le plus éloigné de zéro est plus grand (le nombre avec la plus grande valeur absolue est plus grand).

Méthode Comparer deux nombres
  • Lorsqu'un nombre est positif et l'autre négatif, le nombre positif est plus grand.
  • Lorsque les deux nombres sont négatifs, le nombre le plus proche de zéro est plus grand (le nombre avec la plus petite valeur absolue est plus grand).
  • Lorsque les deux nombres sont positifs, le nombre le plus éloigné de zéro est plus grand (le nombre avec la plus grande valeur absolue est plus grand).
Exemple
Compare \(\textcolor{colorprop}{-4}\) et \(\textcolor{colordef}{+3}\).

  • Comme \(\textcolor{colordef}{+3}\) est positif et \(\textcolor{colorprop}{-4}\) est négatif, le nombre positif est plus grand que le nombre négatif : \(\textcolor{colorprop}{-4} < \textcolor{colordef}{+3}\).

Multiplication


La multiplication de deux nombres entiers peut être vue comme une addition répétée : \(3\times 2=2+2+2=6\).
On étend maintenant cette idée aux nombres relatifs :
  • \(\textcolor{colordef}{(+)}\times \textcolor{colordef}{(+)}\) :$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colordef}{(+3)}\times \textcolor{colordef}{(+2)}&=3\times \textcolor{colordef}{(+2)}\\ &=\textcolor{colordef}{(+2)} + \textcolor{colordef}{(+2)} + \textcolor{colordef}{(+2)}\\ &=\textcolor{colordef}{+6}\end{aligned}$$
    Donc, un positif multiplié par un positif donne un positif.
  • \(\textcolor{colordef}{(+)}\times \textcolor{colorprop}{(-)}\) :$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colordef}{(+3)}\times \textcolor{colorprop}{(-2)}&=3\times \textcolor{colorprop}{(-2)}\\ &=\textcolor{colorprop}{(-2)} + \textcolor{colorprop}{(-2)} + \textcolor{colorprop}{(-2)}\\ &=\textcolor{colorprop}{-6}\end{aligned}$$
    Donc, un positif multiplié par un négatif donne un négatif.
  • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \times \textcolor{colordef}{(+)}\) : La multiplication est commutative, donc l'ordre n'a pas d'importance.$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colorprop}{(-2)} \times \textcolor{colordef}{(+3)} &=\textcolor{colordef}{(+3)}\times \textcolor{colorprop}{(-2)}\\ &=\textcolor{colorprop}{-6}\end{aligned}$$Donc, un négatif multiplié par un positif donne un négatif.
  • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \times \textcolor{colorprop}{(-)}\) :On sait que \(0\times \textcolor{colorprop}{(-2)}=0\). Or\(0=\textcolor{colordef}{(+3)} + \textcolor{colorprop}{(-3)}\), donc :$$\begin{aligned}[t](\textcolor{colordef}{(+3)} + \textcolor{colorprop}{(-3)})\times \textcolor{colorprop}{(-2)} &= 0\\ \textcolor{colordef}{(+3)}\times\textcolor{colorprop}{(-2)} + \textcolor{colorprop}{(-3)}\times\textcolor{colorprop}{(-2)} &= 0\\ \textcolor{colorprop}{-6} + \big(\textcolor{colorprop}{(-3)}\times\textcolor{colorprop}{(-2)}\big) &= 0\\ \textcolor{colorprop}{(-3)}\times \textcolor{colorprop}{(-2)}&=\textcolor{colordef}{+6}\end{aligned}$$Donc, un négatif multiplié par un négatif donne un positif.

Définition Multiplication
Le produit de deux nombres relatifs se calcule :
  • en multipliant leurs valeurs absolues ;
  • puis en décidant du signe avec les règles suivantes :
    • \(\textcolor{colordef}{(+)}\times \textcolor{colordef}{(+)} = \textcolor{colordef}{(+)}\) : un positif multiplié par un positif donne un positif.
    • \(\textcolor{colordef}{(+)}\times \textcolor{colorprop}{(-)} = \textcolor{colorprop}{(-)}\) : un positif multiplié par un négatif donne un négatif.
    • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \times \textcolor{colordef}{(+)} = \textcolor{colorprop}{(-)}\) : un négatif multiplié par un positif donne un négatif.
    • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \times \textcolor{colorprop}{(-)} = \textcolor{colordef}{(+)}\) : un négatif multiplié par un négatif donne un positif.
Exemple
Calcule \(\textcolor{colordef}{(+2)}\times \textcolor{colorprop}{(-5)}\).

$$\textcolor{colordef}{(+2)}\times \textcolor{colorprop}{(-5)}= \textcolor{colorprop}{-10}\quad (2\times 5 = 10 \text{ et } \textcolor{colordef}{(+)}\times \textcolor{colorprop}{(-)} = \textcolor{colorprop}{(-)})$$

Division


La multiplication et la division sont des opérations inverses :$$\textcolor{black}{3} \times \textcolor{black}{2} = \textcolor{black}{6}, \text{ donc } \textcolor{black}{6} \div \textcolor{black}{3} = \textcolor{black}{2}.$$(Ici, on ne divise jamais par \(0\).)
Maintenant, voyons la division avec des nombres négatifs :
  • \(\textcolor{colordef}{(+)} \div \textcolor{colordef}{(+)}\) :$$\textcolor{colordef}{(+3)} \times \textcolor{colordef}{(+2)}=\textcolor{colordef}{+6}, \text{ donc }\textcolor{colordef}{(+6)} \div \textcolor{colordef}{(+3)}=\textcolor{colordef}{(+2)}.$$Ainsi, un positif divisé par un positif donne un positif.
  • \(\textcolor{colordef}{(+)} \div \textcolor{colorprop}{(-)}\) :$$\textcolor{colorprop}{(-3)} \times \textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colordef}{+6}, \text{ donc }\textcolor{colordef}{(+6)} \div \textcolor{colorprop}{(-3)}=\textcolor{colorprop}{(-2)}.$$Ainsi, un positif divisé par un négatif donne un négatif.
  • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \div \textcolor{colordef}{(+)}\) :$$\textcolor{colordef}{(+3)} \times \textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colorprop}{-6}, \text{ donc }\textcolor{colorprop}{(-6)} \div \textcolor{colordef}{(+3)}=\textcolor{colorprop}{(-2)}.$$Ainsi, un négatif divisé par un positif donne un négatif.
  • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \div \textcolor{colorprop}{(-)}\) :$$\textcolor{colorprop}{(-3)} \times \textcolor{colordef}{(+2)}=\textcolor{colorprop}{-6}, \text{ donc }\textcolor{colorprop}{(-6)} \div \textcolor{colorprop}{(-3)}=\textcolor{colordef}{(+2)}.$$Ainsi, un négatif divisé par un négatif donne un positif.

Définition Division
Le quotient de deux nombres relatifs (avec un diviseur non nul) se calcule :
  • en divisant leurs valeurs absolues ;
  • puis en décidant du signe avec les règles suivantes :
    • \(\textcolor{colordef}{(+)}\div \textcolor{colordef}{(+)} = \textcolor{colordef}{(+)}\) : un positif divisé par un positif donne un positif.
    • \(\textcolor{colordef}{(+)}\div \textcolor{colorprop}{(-)} = \textcolor{colorprop}{(-)}\) : un positif divisé par un négatif donne un négatif.
    • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \div \textcolor{colordef}{(+)} = \textcolor{colorprop}{(-)}\) : un négatif divisé par un positif donne un négatif.
    • \(\textcolor{colorprop}{(-)} \div \textcolor{colorprop}{(-)} = \textcolor{colordef}{(+)}\) : un négatif divisé par un négatif donne un positif.
Exemple
Calcule \(\textcolor{colordef}{(+10)}\div \textcolor{colorprop}{(-5)}\).

$$\textcolor{colordef}{(+10)}\div \textcolor{colorprop}{(-5)}= \textcolor{colorprop}{-2}\quad (10\div 5 = 2 \text{ et } \textcolor{colordef}{(+)}\div \textcolor{colorprop}{(-)} = \textcolor{colorprop}{(-)})$$