Operations with Whole Numbers

L'addition, c'est rassembler des groupes pour trouver le total, qu'on appelle la somme. Le symbole \(+\) signifie « ajouter ».
On peut représenter « \(\textcolor{colordef}{\text{deux cent dix-huit }}\text{plus}\textcolor{colorprop}{\text{ cent vingt-trois}}\text{ égale }\textcolor{olive}{\text{trois cent quarante et un}}\) » de plusieurs manières :

• Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{218} + \textcolor{colorprop}{123} = \textcolor{olive}{341}$$
• Avec des cubes :\(+\)\(=\)
• Avec une addition en colonne :
• Avec un modèle partie-tout :

Calculons : $$\textcolor{colordef}{288} + \textcolor{colorprop}{545}$$

• Étape 1 : Aligner les nombres par valeur de position.
  Écris les nombres l'un au-dessus de l'autre. Assure-toi que les unités, les dizaines et les centaines sont dans des colonnes bien droites.
• Étape 2 : Additionner les unités. $$\textcolor{colordef}{8} \text{ unités} + \textcolor{colorprop}{5} \text{ unités} = 13 \text{ unités}$$ 13 unités, c'est 1 dizaine et 3 unités. On écrit le \(\textcolor{olive}{3}\) dans la colonne des unités et on met la dizaine en retenue au-dessus de la colonne des dizaines.
• Étape 3 : Additionner les dizaines. $$1 \text{ dizaine (retenue)} + \textcolor{colordef}{8} \text{ dizaines} + \textcolor{colorprop}{4} \text{ dizaines} = 13 \text{ dizaines}$$ 13 dizaines, c'est 1 centaine et 3 dizaines. On écrit le \(\textcolor{olive}{3}\) dans la colonne des dizaines et on met la centaine en retenue.
• Étape 4 : Additionner les centaines. $$1 \text{ centaine (retenue)} + \textcolor{colordef}{2} \text{ centaines} + \textcolor{colorprop}{5} \text{ centaines} = \textcolor{olive}{8} \text{ centaines}$$ On écrit le \(\textcolor{olive}{8}\) dans la colonne des centaines.
• Le Résultat : $$\textcolor{colordef}{288} + \textcolor{colorprop}{545} = \textcolor{olive}{833}$$

\(+\) \(=\)

Calcule \(189+784\)

La soustraction, c'est enlever une quantité d'un groupe pour trouver ce qu'il reste. Ce résultat s'appelle la différence. Le signe moins (\(-\)) nous dit de soustraire.
On peut représenter « deux-cent-trente-sept moins cent-quatorze égale cent-vingt-trois » de différentes manières :

• Avec des nombres : $$237 - 114 = 123$$
• Avec des cubes : \(-\) \(=\)
• Avec une soustraction en colonne :
• Avec un modèle partie-tout :

Calculons :\(32 - 14\)

• Étape 1 : Poser la soustraction.
• Étape 2 : Vérifier la colonne des unités. Tu dois faire \(2 - 4\), mais il n'y a pas assez d'unités.
• Étape 3 : Compenser. Ajoute 10 unités au nombre du haut (ce qui donne 12 unités). Pour que cela reste juste, il faut aussi ajouter 1 dizaine au nombre du bas (ce qui donne 2 dizaines).
• Étape 4 : Soustraire les unités. C'est facile maintenant : $$12 \text{ unités} - 4 \text{ unités} = 8 \text{ unités}$$
• Étape 5 : Soustraire les dizaines. $$3 \text{ dizaines (de 32)} - 1 \text{ dizaine (de 14)} - 1 \text{ dizaine (compensée)} = 1 \text{ dizaine}$$
• Résultat : La différence est de 1 dizaine et 8 unités. Donc, $$32 - 14 = 18$$

\(-\) \(=\)

Calcule \(784 - 189\)

La multiplication est une façon rapide de montrer une addition répétée. On peut représenter l'idée de « quatre fois trois égale douze » de nombreuses manières :

• Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
• En groupes : $$\textcolor{colordef}{4}\text{ groupes de }\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
• En addition répétée :$$\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
• Avec des cubes :
• Avec un modèle partie-tout :

Pour calculer \(23 \times 37\) :

1. Étape 1 : Aligner les nombres verticalement par valeur de position.
2. Étape 2 : Multiplier par le chiffre des unités. Multiplier le nombre du haut (23) par le chiffre des unités du nombre du bas (7) \(\textcolor{colordef}{23}\times\textcolor{colordef}{7}=\textcolor{colorprop}{161}\).
3. Étape 3 : Multiplier par le chiffre des dizaines.
   • D'abord, placer un \(\textcolor{olive}{0}\) de position dans la colonne des unités de la deuxième ligne. C'est parce que nous multiplions maintenant par le chiffre des dizaines (\(\textcolor{colordef}{3}\), qui représente 30). Ce zéro décale notre réponse d'une position vers la gauche.
   • Ensuite, multiplier le nombre du haut (23) par le chiffre des dizaines (\(\textcolor{colordef}{3}\)). Calculer \(\textcolor{colordef}{23}\times\textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{69}\) et l'écrire à gauche du zéro de position.
   
4. Étape 4 : Additionner les produits partiels. Additionner les résultats des étapes 2 et 3 : \(\textcolor{colordef}{161}+\textcolor{colordef}{690}=\textcolor{colorprop}{851}\)
5. Résultat : \(23 \times 37 = 851\).

Calcule \(123 \times 21\)

La division est l'opération inverse de la multiplication. C'est le processus qui consiste à déterminer combien de fois un nombre est contenu dans un autre.
Les composantes d'une expression de division sont formellement nommées :

• Le dividende : le nombre qui est divisé.
• Le diviseur : le nombre par lequel on divise le dividende.
• Le quotient : le résultat de la division.

L'opération est indiquée par le symbole de division (\(\div\)).$$\textcolor{olive}{\text{Dividende}} \div \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} = \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}$$ Par exemple, le fait de multiplication \(\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{6}\) correspond à :$$\underbrace{\textcolor{olive}{6}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}} \div \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} = \underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}} $$La division peut être représentée de plusieurs manières :

• Forme numérique : $$\textcolor{olive}{6}\div \textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{2}$$
• En mots : Six divisé par trois égale deux.
• Modèle en grille :

La division euclidienne est le processus de division d'un entier (le dividende) par un autre (le diviseur) lorsque la division n'est pas exacte. Ce processus produit un quotient entier et un reste.
Les composantes d'une expression de division euclidienne sont formellement nommées :

• Le dividende : le nombre qui est divisé.
• Le diviseur : le nombre par lequel on divise le dividende.
• Le quotient : le nombre entier de fois que le diviseur est contenu dans le dividende.
• Le reste : la quantité restante après la division.

Cette relation est définie par l'identité :$$\textcolor{olive}{\text{Dividende}} = (\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}) + \textcolor{orange}{\text{Reste}}$$Règles importantes :

• Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
• Si le reste est \(0\), la division est exacte.

La division euclidienne peut être représentée de plusieurs manières :

• En mots :Sept divisé par trois égale deux, avec un reste de \(\textcolor{orange}{\text{un}}\)
• Phrase de division :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}} \div \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} = \divionRemainderFr{\underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}}}{\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}}$$
• Identité euclidienne :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}}= (\underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} \times \underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}}) +\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}$$
• Modèle en groupes :
• Algorithme de la division posée :

Pour faire une division avec reste, comme \(\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}\), suis ces étapes :

• Poser : écrire le dividende (\(\textcolor{olive}{130}\)) dans la potence et le diviseur (\(\textcolor{colordef}{4}\)) à l’extérieur.
• Diviser la première partie : Dans \(\textcolor{olive}{13}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\boxed{12}\ (\le \textcolor{olive}{13}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{4}=\cancel{16}\ (> \textcolor{olive}{13}).$$On écrit \(\textcolor{colorprop}{3}\) en haut et \(12\) sous \(13\).
• Abaisser : On soustrait \(\textcolor{olive}{13}-12=\textcolor{olive}{1}\) puis on abaisse le chiffre suivant (\(0\)) pour obtenir \(\textcolor{olive}{10}\).
• Diviser le nouveau nombre (10) : Dans \(\textcolor{olive}{10}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{2}=\boxed{8}\ (\le \textcolor{olive}{10}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\cancel{12}\ (> \textcolor{olive}{10}).$$On écrit \(\textcolor{colorprop}{2}\) en haut, on pose \(8\) sous \(10\), puis on soustrait.
• Réponse : \(\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}= \divionRemainderFr{\textcolor{colorprop}{32}}{\textcolor{orange}{2}}\) et \(\textcolor{olive}{130}=\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{32}+\textcolor{orange}{2}\).

Calcule \(125 \div 4\)

Pour évaluer une expression, on suit ces étapes dans l'ordre :

1. Parenthèses () : Toujours résoudre ce qui est à l'intérieur des parenthèses en premier.
2. Multiplication (\(\times\)) et Division (\(\div\)) : Fais-les ensuite, en allant de gauche à droite.
3. Addition (+) et soustraction (-) : Fais-les en dernier, en allant aussi de gauche à droite.

Calcule \(4 + 2 \times 3\)

Pour résoudre un problème écrit de manière systématique, la procédure en cinq étapes suivante peut être appliquée :

1. Comprendre l'objectif : Lire attentivement le problème pour identifier la question principale et les informations fournies.
2. Planifier les étapes : Déterminer la séquence des opérations mathématiques nécessaires pour parvenir à la solution.
3. Écrire l'expression : Traduire les étapes planifiées en une seule expression mathématique, en utilisant des parenthèses si nécessaire pour assurer le bon ordre des opérations.
4. Calculer la solution : Évaluer l'expression pour trouver la réponse numérique.
5. Énoncer la conclusion : Rédiger une phrase finale qui répond directement à la question posée dans le problème.

Hugo planifie sa fête d'anniversaire et doit acheter un gâteau et du jus.Les articles sur sa liste sont :

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Hugo dispose d'un budget de 30 euros. Déterminer s'il a les moyens d'acheter tous les articles.