\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Fractions

Définitions


Considérons le modèle ci-dessous :. Pour exprimer cette quantité en une seule fraction, nous suivons deux étapes :
  1. Identifier le dénominateur : Les unités sont divisées en deux, donc le dénominateur est 2.
  2. Compter les parts : Au total, il y a 3 parts coloriées de cette taille. Ce nombre devient le numérateur.
Par conséquent, la quantité est représentée par la fraction \(\dfrac{3}{2}\).

Définition Fraction
Une fraction a deux nombres séparés par une barre de fraction : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas).

Sur la droite numérique


Les fractions ne représentent pas seulement des parties d'une forme ; elles peuvent aussi représenter des points sur une droite numérique. L'espace entre 0 et 1 est une unité.
Si nous divisons l'unité en 2 parties égales, le point au milieu représente la fraction \(\dfrac{1}{2}\).

Méthode Représenter les fractions sur la droite numérique
Pour représenter la fraction \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) sur la droite numérique :
  1. Dessine une droite et marque les points \(0\) et \(1\).
  2. Divise le segment de \(0\) à \(1\) en \(\textcolor{colorprop}{3}\) parties égales (le dénominateur).
  3. Compte \(\textcolor{colordef}{2}\) parts à partir de \(0\) (le numérateur) et marque le point en \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) .

Fractions équivalentes


Un gâteau est coupé en 3 parts égales. Une part, qui représente \(\dfrac{1}{3}\) du gâteau, est mise de côté.
Puis chacune des trois parts est coupée en deux. Le gâteau est maintenant divisé en 6 parts égales. La même quantité de gâteau qu’avant correspond maintenant à 2 de ces parts.
Même si le nombre de morceaux a changé, la quantité de gâteau coloriée a-t-elle changé ?

Non—la quantité de gâteau n’a pas changé. Les modèles montrent que la partie coloriée est la même dans les deux cas.
\(\quad=\quad\)
Donc, les fractions \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{2}{6}\) représentent la même valeur.


Définition Fractions équivalentes
Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité. On peut obtenir une fraction équivalente en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.

Simplification


Considérons la fraction \(\dfrac{4}{6}\) : . Bien qu'il s'agisse d'une représentation valide d'une quantité, ce n'est pas la plus efficace. Parmi toutes les fractions équivalentes possibles, il en existe une qui utilise les plus petits entiers possibles pour le numérateur et le dénominateur.
Le processus pour trouver cette forme la plus simple est appelé la simplification ou la réduction d'une fraction.

Méthode Simplifier une fraction
Simplifier une fraction consiste à trouver une fraction équivalente qui utilise les plus petits nombres entiers possibles pour son numérateur et son dénominateur.
La procédure consiste à diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un facteur commun). Il peut être nécessaire de répéter ce processus jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteurs communs (autre que 1) pouvant diviser à la fois le numérateur et le dénominateur.
Exemple
Simplifie \(\dfrac{4}{6}\).


Produit en croix

Proposition Propriété du produit en croix

L'égalité des deux fractions est :$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$Pour éliminer les dénominateurs, nous pouvons multiplier les deux côtés de l'équation par un multiple commun, tel que \(b \times d\) :$$\frac{a}{b} \times (b \times d) = \frac{c}{d} \times (b \times d)$$$$\frac{a\times b \times d}{b} = \frac{c\times b \times d }{d}$$La simplification des deux côtés en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur donne :$$a \times d = c \times b$$

Exemple
Résoudre \(x\) pour \(\dfrac{10}{5}=\dfrac{x}{8}\).


Ordonner les fractions


Pour déterminer laquelle de deux fractions est la plus grande, les fractions doivent représenter des parts de la même taille. Considérons deux fractions, \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\).
\(\;\)
Visuellement, il est difficile de les comparer car l'une est divisée en quarts et l'autre en huitièmes. Pour effectuer une comparaison précise, nous devons d'abord les exprimer avec un dénominateur commun.

Définition Ordonner les fractions avec le même dénominateur
Pour deux fractions ayant le même dénominateur, celle dont le numérateur est plus grand est la plus grande.
Exemple
Compare \(\dfrac{6}{8}\) et \(\dfrac{5}{8}\).

\(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \)

Méthode Comparer des fractions avec des dénominateurs différents
La procédure standard pour comparer deux fractions avec des dénominateurs différents est la suivante :
  1. Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun aux deux dénominateurs. Une méthode simple consiste à multiplier les dénominateurs entre eux.
  2. Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun choisi.
  3. Comparer les numérateurs : Une fois que les dénominateurs sont identiques, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande.
Exemple
Comparer \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\).

Nous allons appliquer la procédure en trois étapes.
  • 1. Trouver un dénominateur commun : Les dénominateurs sont 4 et 8. Un multiple commun est 8.
  • 2. Créer des fractions équivalentes :
    • La fraction \(\dfrac{5}{8}\) a déjà le dénominateur commun.
    • Convertir \(\dfrac{3}{4}\) en une fraction équivalente avec un dénominateur de 8. Pour passer du dénominateur 4 à 8, nous multiplions par 2. Par conséquent, nous devons aussi multiplier le numérateur par 2.
      \quad \quad
  • 3. Comparer les numérateurs : Nous comparons maintenant les fractions équivalentes.
    \(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \)
  • Conclusion : Par conséquent, on conclut que \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\).

Addition et soustraction avec des dénominateurs communs


Considérons une unité divisée en quatre parts égales (des quarts). Une portion vaut \(\dfrac{2}{4}=\) , et une seconde portion vaut \(\dfrac{1}{4}=\) .
Quelle fraction de l’unité est représentée quand on combine ces deux portions ?

Pour trouver le total, on combine les parts coloriées. Comme toutes les parts ont la même taille (des quarts), on additionne simplement : \(2+1=3\) parts coloriées.
La fraction résultante est \(\dfrac{3}{4}\).


Définition Addition de fractions avec des dénominateurs communs
Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur :
Définition Soustraction de fractions avec des dénominateurs communs
Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur :

Addition et soustraction avec des dénominateurs différents


Les opérations d'addition et de soustraction ne peuvent être effectuées que sur des fractions qui représentent des parts de la même taille, c'est-à-dire des fractions ayant un dénominateur commun.
Considérons le problème de l'addition de \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{4}\).
\(+\)
Comme les fractions ont des dénominateurs différents (2 et 4), les parts sont de tailles différentes. Une addition directe des numérateurs n'est pas possible. Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord exprimer les fractions avec un dénominateur commun.

Méthode Procédure pour l'addition ou la soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, suivre cette procédure en trois étapes :
  1. Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun des dénominateurs.
  2. Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun.
  3. Additionner ou soustraire les numérateurs : Maintenant que les dénominateurs sont identiques, effectuer l'opération sur les numérateurs et conserver le dénominateur commun.
Exemple
Calcule \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\).

  • Trouver un dénominateur commun : Pour additionner des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.
    • Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, \(\dots\)
    • Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, \(\dots\)
    • Le plus petit dénominateur commun est 12.
  • $$\begin{aligned}[t]\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}&= \frac{3 \times \textcolor{olive}{3}}{4 \times \textcolor{olive}{3}}+\frac{5 \times \textcolor{olive}{2}}{6 \times \textcolor{olive}{2}}&&\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}&&\quad\text{(dénominateur commun}= 12)\\ &=\dfrac{9+10}{12}&&\quad\text{(additionner les numérateurs)}\\ &=\dfrac{19}{12}&&\\ \end{aligned}$$
  • Représentation visuelle :
    \(+\) \(=\) \(+\)
    \(=\)

Fractions comme quotients


Considérons un scénario où deux unités identiques (gâteaux) doivent être partagées équitablement entre trois personnes.
Ce scénario représente le problème de division \(2 \div 3\). Comment le résultat de cette division peut-il être exprimé sous forme de fraction ?

Pour résoudre ce problème, chaque unité est divisée en trois parties égales (tiers). Chacune des trois personnes reçoit une part de chacune des deux unités.
La part totale de chaque individu se compose de deux morceaux, où chaque morceau représente \(\dfrac{1}{3}\) d'une unité. Par conséquent, chaque personne reçoit un total de \(\dfrac{2}{3}\) d'une unité. Cela démontre que la division \(2 \div 3\) est égale à la fraction \(\dfrac{2}{3}\).


Proposition Fraction comme quotient
Pour tous les entiers \(a\) et \(b\) (où \(b \neq 0\)), la division de \(a\) par \(b\) est représentée par la fraction \(\dfrac{a}{b}\).$$a \div b = \frac{a}{b}$$Dans ce contexte :
  • Le numérateur (\(a\)) correspond au dividende.
  • Le dénominateur (\(b\)) correspond au diviseur.
Par conséquent, la fraction \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par le diviseur \(b\), donne le dividende \(a\).$$ \frac{a}{b} \times b = a $$
Exemple
La fraction \(\dfrac{2}{3}\) signifie "2 divisé par 3".
De plus, la fraction \(\dfrac{2}{3}\) est le nombre qui, lorsqu'il est multiplié par \(3\), donne \(2\) :$$\dfrac{2}{3}\times 3 = 2 $$

Fraction comme ratio et opérateur


La justification mathématique de l'expression « \(\dfrac{a}{b}\) d'un nombre \(N\) » en tant qu'opération de multiplication est dérivée du principe des proportions. La procédure est la suivante :
  1. Établir le ratio connu : Une fraction peut représenter un ratio connu, \(\dfrac{a}{b}\).
  2. Établir un ratio équivalent : Nous voulons trouver une quantité inconnue, \(x\), qui a le même ratio par rapport à un nouveau total, \(N\). Cela donne le ratio \(\dfrac{x}{N}\).
  3. Former une proportion : Une équation est formée en affirmant que les deux ratios sont équivalents : $$ \frac{a}{b} = \frac{x}{N} $$
  4. Résoudre pour l'inconnue : Pour isoler la variable \(x\), les deux côtés de l'équation sont multipliés par \(N\). Cela donne la formule opérationnelle : $$ x = \frac{a}{b} \times N $$

Méthode Du ratio à l'opération
Pour déterminer une fraction d’une quantité, multiplie cette quantité par la fraction :$$\textcolor{colorprop}{\frac{a}{b}\,\text{de }N=\frac{a}{b}\times N}$$
Exemple
Dans une classe de 30 élèves, le ratio « filles sur total » est \(\dfrac{2}{3}\) (c’est-à-dire deux tiers de la classe sont des filles). Combien y a-t-il de filles ?

La fraction \(\dfrac{2}{3}\) indique la part de la classe qui est composée de filles.
  • Méthode 1 (retour à l’unité). On trouve une part : \(30\div 3=10\). Puis deux parts : \(10\times 2=\textcolor{colorprop}{20}\).
    \qquad
  • Méthode 2 (formule).$$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}}&=\frac{2}{3}\text{ de }\textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2}{3}\times \textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2\times 30}{3}\\ &=(2\times 30)\div 3\\ &=\textcolor{colorprop}{20}.\end{aligned}$$
Vérification. \(\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}\).

Fractions comme nombres décimaux


Les fractions et les nombres décimaux sont deux notations différentes pour représenter les mêmes nombres rationnels. Tous deux peuvent décrire des valeurs qui se situent entre des nombres entiers. La capacité de convertir entre ces deux formes est une compétence mathématique fondamentale. Par exemple, la quantité « un demi » peut s'écrire soit comme une fraction, soit comme un nombre décimal :$$ \frac{1}{2} = 0,5 $$Cette section formalisera les procédures de conversion entre ces deux représentations.

Méthode Conversion d'une fraction en nombre décimal
Il existe deux méthodes principales pour convertir une fraction en son équivalent décimal.
  • Méthode 1 : Division directe
    Puisqu'une fraction \(\frac{a}{b}\) est équivalente à la division \(a \div b\), effectuer la division du numérateur par le dénominateur.
  • Méthode 2 : Dénominateur en puissance de 10
    Trouver une fraction équivalente dont le dénominateur est une puissance de 10 (par ex., 10, 100, 1000). Le numérateur de cette nouvelle fraction peut alors être écrit sous forme décimale.
Exemple
Convertir \(\dfrac{3}{4}\) en nombre décimal.

  • Application de la méthode 1 (Division directe) : $$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75 $$
  • Application de la méthode 2 (Puissance de 10) : Nous cherchons un nombre par lequel multiplier le dénominateur (4) pour obtenir une puissance de 10. Nous savons que \(4 \times 25 = 100\). $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \textcolor{olive}{\times 25}}{4 \textcolor{olive}{\times 25}} = \frac{75}{100} $$ La fraction « soixante-quinze centièmes » s'écrit sous la forme décimale \(0,75\).

Méthode Conversion d'un nombre décimal en fraction
La procédure pour convertir un nombre décimal fini en fraction est la suivante :
  1. Écrire le nombre décimal comme numérateur d'une fraction sans la virgule.
  2. Le dénominateur est 1 suivi d'autant de zéros qu'il y a de décimales dans le nombre original.
  3. Simplifier la fraction à sa plus simple expression, si nécessaire.
Exemple
Convertir \(1{,}3\) en fraction.

  • Le nombre \(1{,}3\) a une décimale.
  • Écrire le nombre sans la virgule comme numérateur : 13.
  • Le dénominateur sera 1 suivi d'un zéro : 10.
La fraction résultante est \(\dfrac{13}{10}\).

Représentation des fractions supérieures à un


Les fractions peuvent représenter des valeurs supérieures à un. Considérons la fraction \(\dfrac{5}{2}\), qui représente 5 parts de taille "demi".
Bien que cette « fraction impropre » soit une représentation mathématique valide, il est souvent plus intuitif d'exprimer de telles quantités comme une combinaison d'unités entières et d'une partie fractionnaire restante. Cette section explorera la relation entre ces deux formes.

Définition Fractions propres et impropres
Les fractions sont classées en fonction de la relation entre le numérateur et le dénominateur.
  • Une fraction propre est une fraction où le numérateur est inférieur au dénominateur. Sa valeur est toujours inférieure à 1. Exemple : \(\dfrac{2}{3}\).
  • Une fraction impropre est une fraction où le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. Sa valeur est toujours supérieure ou égale à 1. Exemple : \(\dfrac{5}{3}\).
Définition Nombre mixte
Un nombre mixte est une autre manière de représenter une fraction impropre. Il se compose d'une partie entière (le nombre d'unités complètes) et d'une partie fractionnaire propre.
La fraction impropre \(\dfrac{5}{2}\) peut être visualisée comme deux unités entières et un demi.
Ceci s'écrit comme le nombre mixte \(2\dfrac{1}{2}\). Par convention, le signe d'addition est omis :$$ 2\frac{1}{2} \quad \text{est équivalent à} \quad 2 + \frac{1}{2} $$Attention : un nombre mixte comme \(2\frac{1}{2}\) signifie toujours \(2+\frac{1}{2}\), et non \(2\times\frac{1}{2}\). Pour indiquer une multiplication, on peut écrire \(2\times\frac{1}{2}\), \(2\cdot\frac{1}{2}\) ou \((2)\!\left(\frac{1}{2}\right)\).