\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Nombres décimaux

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?


Dans notre système numérique, la position d'un chiffre nous indique sa valeur. Observons le nombre 235.
\(235=\)
Il est composé de trois parties :
  • Le 5 est à la position des unités, ce qui signifie 5 unités (\(5\)).
  • Le 3 est à la position des dizaines, ce qui signifie 3 dizaines (\(30\)).
  • Le 2 est à la position des centaines, ce qui signifie 2 centaines (\(200\)).
Notre système numérique suit un modèle basé sur 10.
  • Quand on se déplace vers la gauche \(\leftarrow\), chaque position est 10 fois plus grande. (10 unités font une dizaine, 10 dizaines font une centaine).
  • Quand on se déplace vers la droite \(\rightarrow\), chaque position est 10 fois plus petite. (Une centaine divisée par 10 est une dizaine, une dizaine divisée par 10 est une unité).
Que se passe-t-il si on continue de se déplacer vers la droite ? Qu'est-ce qu'une unité divisée par 10 ?
On obtient une partie appelée un dixième. Un dixième est une fraction, écrite \(\dfrac{1}{10}\).
Pour écrire des nombres qui incluent ces plus petites parties, on utilise une virgule pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire.
\(35{,}4\) =
Ce nombre signifie 3 dizaines, 5 unités et 4 dixièmes.

Définition Nombre décimal
Un nombre décimal utilise une virgule pour montrer une valeur qui inclut des parties inférieures à 1. On peut représenter un nombre décimal de différentes manières :
  • Écriture décimale :
    \(35,48\)
  • Forme décomposée :$$\begin{aligned} 3\text{ dizaines} &+& 5\text{ unités} &+& 4\text{ dixièmes} &+& 8\text{ centièmes} \\ 30 &+& 5 &+& \frac{4}{10} &+& \frac{8}{100}\\ 3\times 10 &+& 5\times 1 &+& 4\times \frac{1}{10} &+& 8\times \frac{1}{100}\\ \end{aligned}$$
  • Tableau de numération :
    Dizaines Unités , Dixièmes Centièmes
    3 5 , 4 8
  • Cubes de base dix :

Les décimaux sur la droite numérique


Une droite numérique est comme une carte pour les nombres. Les nombres décimaux y ont leur propre place.
  • Trouver les dixièmes
    Si on prend l'espace entre deux nombres entiers, comme 0 et 1, et qu'on le divise en 10 parties égales, chaque partie est un dixième (0,1).
  • Trouver les centièmes
    Si on "zoome" sur une petite section, comme celle entre 0 et 0,1, et qu'on la divise en 10 parties égales, chaque nouvelle partie est un centième (0,01).

Méthode Placer un nombre décimal sur une droite numérique
Pour placer un nombre décimal comme 2,27 sur une droite numérique :
  1. Trouver le début et la fin. Le nombre 2,27 se situe entre 2,2 et 2,3.
  2. Dessiner la ligne et la diviser en 10 parties égales. Chaque partie représentera un centième.
  3. Compter à partir du début. Les marques seront 2,21, 2,22, 2,23, etc. Trouver la 7ème marque pour placer 2,27.

Ordonner les nombres décimaux

Méthode Comparer les décimaux étape par étape
Pour savoir quel nombre décimal est le plus grand, il faut suivre ces étapes :
  1. Les aligner : Placer les nombres l'un au-dessus de l'autre, en s'assurant que les virgules sont parfaitement alignées.
  2. Leur donner la même longueur : Ajouter des zéros à la fin du nombre le plus court jusqu'à ce que les deux aient le même nombre de décimales. Cela ne change pas leur valeur.
  3. Comparer de gauche à droite : En commençant par la gauche, comparer les chiffres dans chaque colonne. Le premier nombre ayant un chiffre plus grand est le plus grand nombre.
Exemple
Compare 6,22 et 6,3.

  1. Les aligner :
    \(6,22\)
    \(6,3\)
  2. Leur donner la même longueur : On ajoute un zéro à 6,3 pour en faire 6,30.
    \(6,22\)
    \(6,30\)
  3. Comparer :
    • Position des unités : Les deux ont un 6. (Égalité)
    • Position des dixièmes : Le nombre du haut a un 2, celui du bas a un 3.
    Comme 3 est supérieur à 2, le nombre 6,30 est supérieur à 6,22. Donc, \(6,22 < 6,3\).
\(\lt\)

Arrondir les nombres décimaux

Méthode La règle de l'arrondi en quatre étapes
  1. Souligner le chiffre cible : Trouver et souligner le chiffre à la position à laquelle il faut arrondir.
  2. Regarder le chiffre à droite : Regarder le chiffre immédiatement à droite du chiffre souligné.
  3. Décider d'arrondir :
    • Si le chiffre à droite est 5 ou plus, ajouter un au chiffre entouré.
    • Si le chiffre à droite est 4 ou moins, le chiffre souligné reste le même.
  4. Laisser tomber le reste : Tous les chiffres à droite du chiffre souligné sont supprimés.
Exemple
Arrondir le nombre \(12,346\) au dixième le plus proche.

Suivons les étapes :
  1. Souligner le chiffre (la position des dixièmes) : \(12,\underline{3}46\)
  2. Regarder le chiffre à droite : Le chiffre à droite est 4.
  3. Décider : Comme 4 est "4 ou moins", le chiffre souligné 3 reste le même.
  4. Laisser tomber le reste : Le 4 et le 6 sont supprimés.
Le nombre arrondi est 12,3.

Multiplier par des puissances de 10

Quand on multiplie un nombre par 10, il devient 10 fois plus grand. Cela signifie que chaque chiffre se déplace d'une position vers la gauche dans le tableau de numération. Un raccourci simple est de déplacer la virgule vers la droite.
Méthode Déplacer la virgule pour multiplier
Pour multiplier par une puissance de 10, il faut déplacer la virgule vers la droite du même nombre de places qu'il y a de zéros.
  • Multiplier par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 place vers la droite.
  • Multiplier par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 places vers la droite.
  • Multiplier par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 places vers la droite.
S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.
Exemple
Calcule \(10\times 5{,}24 \)


Diviser par des puissances de 10

Quand on divise un nombre par 10, il devient 10 fois plus petit. Cela signifie que chaque chiffre se déplace d'une position vers la droite. Le raccourci est de déplacer la virgule vers la gauche.
Méthode Déplacer la virgule pour diviser
Pour diviser par une puissance de 10, il faut déplacer la virgule vers la gauche du même nombre de places qu'il y a de zéros.
  • Diviser par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 place vers la gauche.
  • Diviser par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 places vers la gauche.
  • Diviser par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 places vers la gauche.
S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.
Exemple
Calcule \(23{,}2\div 10\)