Cinématique
La cinématique est l'étude du mouvement des objets sans tenir compte des forces qui le provoquent. Dans ce chapitre, nous utiliserons le calcul (dérivation et intégration) pour décrire formellement le mouvement le long d'une ligne droite. Nous développerons des fonctions de déplacement, de vitesse et d'accélération, et nous étudierons les relations qui les lient.
Déplacement
Définition Fonction de déplacement
Pour un objet \(P\) en mouvement le long d'une ligne droite, la fonction de déplacement \(s(t)\) donne la position de l'objet (sa distance algébrique par rapport à une origine fixe) pour tout instant \(t \ge 0\).
Exemple
Le déplacement d'une particule par rapport à une origine O est donné par \(s(t) = t^2 - 4t + 3\) cm pour \(0 \le t \le 5\) secondes.
- Trouver le déplacement initial.
- Déterminer quand la particule est à l'origine.
- Déplacement initial (\(t=0\)) :
\(s(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3\) cm. La particule se trouve initialement à 3 cm à droite de l'origine (dans le sens positif). - À l'origine (\(s(t)=0\)) :
\(t^2 - 4t + 3 = 0 \implies (t-1)(t-3) = 0\).
La particule est à l'origine aux instants \(t=1\) s et \(t=3\) s.
Vitesse
Définition Vitesse moyenne
La vitesse moyenne d'un objet se déplaçant dans l'intervalle de temps de \(t=t_1\) à \(t=t_2\) est donnée par$$\begin{aligned} \text{vitesse moyenne} &= \frac{\text{variation du déplacement}}{\text{variation du temps}} \\
&= \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}.\end{aligned}$$
Définition Fonction vitesse
La vitesse instantanée \(v(t)\) d'un objet est le taux de variation de son déplacement. On l'obtient en dérivant la fonction de déplacement \(s(t)\) :$$ \textcolor{colordef}{v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}} $$
Remarque
- Si \(v(t) > 0\), l'objet se déplace vers la droite (dans le sens positif).
- Si \(v(t) < 0\), l'objet se déplace vers la gauche (dans le sens négatif).
- Si \(v(t) = 0\), l'objet est momentanément au repos.
Proposition Déplacement à partir de la vitesse
Le changement de déplacement sur l'intervalle \([t_1, t_2]\) est donné par l'intégrale définie de la fonction vitesse :$$ s(t_2) - s(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \,dt. $$
Vitesse (scalaire)
Définition Vitesse (scalaire)
La vitesse (scalaire) d'un objet est la valeur absolue de sa vitesse :\(S(t) = |v(t)|\).
Proposition Distance
La distance totale parcourue sur \([t_1, t_2]\) est l'intégrale définie de la vitesse scalaire :$$ \text{Distance} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \,dt. $$
Accélération
Définition Fonction accélération
L'accélération \(a(t)\) d'un objet est le taux de variation de sa vitesse. C'est la dérivée seconde de la fonction de déplacement :$$ \textcolor{colordef}{a(t) = v'(t) = s''(t)} $$
Les fonctions cinématiques sont liées par la dérivation et l'intégration.
Proposition Test des signes pour la vitesse
- La vitesse augmente quand \(v(t)\) et \(a(t)\) ont le même signe.
- La vitesse diminue quand \(v(t)\) et \(a(t)\) ont des signes opposés.
Exemple
Le déplacement d'une particule est donné par \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\) cm, pour \(t \ge 0\).
- Trouver les expressions de la vitesse et de l'accélération.
- Déterminer pour quels instants la vitesse de la particule augmente.
- Vitesse et accélération : $$ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \;\text{cm/s}, $$ $$ a(t) = v'(t) = 6t - 12 \;\text{cm/s}^2. $$
- Vitesse croissante :
La vitesse augmente lorsque \(v(t)\) et \(a(t)\) ont le même signe. On trouve d'abord les zéros : $$ v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t=1,\; 3, $$ $$ a(t) = 6(t-2) = 0 \implies t=2. $$ On dresse un tableau de signes commun :