Calcul différentiel

Le calcul différentiel est une branche des mathématiques qui traite des taux de variation. La dérivée d'une fonction en un point donné décrit le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Le processus de recherche d'une dérivée est appelé la dérivation. Géométriquement, la dérivée en un point est la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.Plus généralement, pour une fonction \(f\), on peut définir une fonction dérivée ou fonction pente, notée \(f'\), qui permet de calculer la pente de la tangente en n'importe quel point de la fonction.
Nous avons déjà appris à dériver des fonctions simples impliquant des puissances de \(x\). Dans ce chapitre, nous explorerons les règles et techniques pour dériver des fonctions plus complexes.

Le taux de variation d'une fonction \(f\) entre deux points \(A(a, f(a))\) et \(B(b, f(b))\) est la pente de la droite sécante \((AB)\).$$ \textcolor{colordef}{\text{Taux de variation} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}} $$

Pour déterminer le taux de variation en un unique point \(A\), nous pouvons examiner le taux de variation moyen sur un très petit intervalle. Soit le second point \(B(a+h, f(a+h))\), où \(h\) est une petite variation en \(x\). La pente de la sécante \((AB)\) est donnée par :$$ \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} $$Lorsque nous laissons \(B\) se rapprocher de \(A\), la valeur de \(h\) tend vers 0. La droite sécante s'approche de la droite tangente au point A. La limite des pentes des sécantes est la pente de la tangente, que nous définissons comme le nombre dérivé.

La dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(a\), notée \(f'(a)\), est le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Elle est définie par la limite :$$ \textcolor{colordef}{f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}} $$Géométriquement, \(f'(a)\) est la pente de la tangente au graphe de \(f\) au point \((a, f(a))\).

Déterminer le nombre dérivé en \(x=1\) de \(f(x)=x^2\).

En trouvant la dérivée en un point général \(x\) au lieu d'un point spécifique \(a\), nous pouvons construire une nouvelle fonction, \(f'(x)\), dont la valeur en tout \(x\) est la pente de la tangente à la fonction originale \(f(x)\) en ce point.
Le processus de recherche de la dérivée à l'aide de cette limite est appelé la dérivation à partir de la définition.

La fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\), est la fonction définie par :$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Pour \(f(x)=x^2\), déterminer sa fonction dérivée \(f'\).

Bien que la notation « prime » \(f'(x)\) soit compacte, une notation alternative due à Gottfried Wilhelm Leibniz est souvent plus descriptive et polyvalente, en particulier pour la règle de la dérivation en chaîne ou les équations différentielles.

Soit \(y\) une fonction de \(x\), c'est-à-dire \(y=f(x)\).
La fonction dérivée peut s'écrire :$$ \dfrac{dy}{dx}=f'(x) $$Ceci se lit « dé y sur dé x » et représente la dérivée de \(y\) par rapport à la variable \(x\).

• Le terme \(\dfrac{dy}{dx}\) doit être considéré comme un seul opérateur, et non comme une fraction. Cependant, il provient de l'idée de la fraction \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) lorsque la variation de \(x\) devient infinitésimale.
• On peut aussi utiliser la notation \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\), qui se lit « la dérivée par rapport à \(x\) de \(f(x)\) ».

Pour \(y=x^2\), déterminer \(\dfrac{dy}{dx}\).

Avant d'explorer des règles de dérivation plus avancées, il est important de comprendre les conditions dans lesquelles une fonction peut être dérivée. Cela nous amène aux concepts de continuité et de dérivabilité.

• Une fonction est continue si son graphe peut être tracé sans lever le crayon du papier. Il n'y a ni coupures, ni trous, ni sauts.
• Une fonction est dérivable si elle est continue et que son graphe est « lisse », c'est-à-dire qu'il ne présente ni coins pointus ni tangentes verticales.

La relation la plus importante est que la dérivabilité implique la continuité. Si une fonction a une pente de tangente bien définie en un point, elle doit être continue en ce point. Cependant, l'inverse n'est pas vrai ; une fonction peut être continue mais non dérivable.

Une fonction \(f\) n'est pas dérivable en un point \(x=a\) si son graphe présente :

• Une discontinuité (un trou ou un saut).
• Un coin pointu (où la pente à gauche n'est pas égale à la pente à droite).
• Une tangente verticale (où la pente est infinie).

Le graphe d'une fonction \(y=f(x)\) est tracé. Pour quelles valeurs de \(x\) la fonction n'est-elle pas dérivable, et pourquoi ?

Bien que le calcul d'une dérivée à partir de la définition par la limite soit fondamental pour comprendre le concept, c'est souvent un processus long et répétitif. Pour dériver des fonctions plus complexes de manière efficace, les mathématiciens ont développé un ensemble de règles puissantes. Cette section présentera ces règles essentielles, qui constituent le fondement de la dérivation pratique. En les maîtrisant, vous serez capable de déterminer la dérivée de presque toutes les fonctions que vous rencontrerez.

Nous commençons par les règles fondamentales qui s'appliquent aux composantes les plus courantes des fonctions, telles que les constantes, les puissances et les combinaisons arithmétiques simples. Ces règles peuvent être utilisées pour dériver n'importe quelle fonction polynomiale, ainsi que de nombreuses autres fonctions simples, sans avoir à recourir à chaque fois à la définition par la limite.

• Règle de la constante : Si \(f(x)=c\), alors \(f'(x)=0\).
• Règle de la puissance : Si \(f(x)=x^n\), alors \(f'(x)=nx^{n-1}\) pour tout \(n \in \mathbb{R}\).
• Règle du multiple constant : Si \(f(x)=c \cdot u(x)\), alors \(f'(x)=c \cdot u'(x)\).
• Règle de la somme : Si \(f(x)=u(x) + v(x)\), alors \(f'(x)=u'(x) + v'(x)\).

Déterminer la dérivée de \(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2\).

De nombreuses fonctions complexes sont créées en composant des fonctions plus simples. Une fonction composée a la forme \(f(x) = v(u(x))\), où une fonction (la fonction "intérieure", \(u\)) est l'argument d'une autre (la fonction "extérieure", \(v\)). Par exemple, dans la fonction \(f(x) = (x^2+1)^3\), la fonction intérieure est \(u(x)=x^2+1\) et la fonction extérieure est \(v(x)=x^3\).
La règle de la dérivation en chaîne offre une méthode puissante pour dériver de telles fonctions en trouvant les dérivées des fonctions intérieure et extérieure séparément.

Si \(f(x)=v(u(x))\) alors :$$ f'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x) $$En notation de Leibniz, si \(y=v(u)\), alors$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} $$

Déterminer la dérivée de \(f(x) = (x^2+1)^3\).

Alors que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, ce n'est pas le cas pour un produit. Pour déterminer la dérivée d'une fonction qui est le produit de deux autres fonctions, comme \(f(x) = x^2 \sin(x)\), nous devons utiliser une formule spécifique appelée la règle du produit.

Si \(f(x)=u(x)v(x)\), alors$$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$En notation de Leibniz, si \(y=u\cdot v\) :$$ \dfrac{dy}{dx}= \dfrac{du}{dx}v + u\dfrac{dv}{dx} $$

En mots : « La dérivée de la première fois la seconde, plus la première fois la dérivée de la seconde. »

Déterminer la dérivée de \(f(x) = (x+1)(x^2+3)\).

Tout comme pour les produits, déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions nécessite une formule spécifique. La règle du quotient est utilisée pour dériver des fonctions de la forme \(f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\), telles que \(f(x) = \dfrac{e^x}{x^2+1}\).

Si \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\), alors$$ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$En notation de Leibniz, \(y=\dfrac{u}{v}\), alors$$ \frac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2} $$

Déterminer la dérivée de \(f(x) = \frac{x}{x+1}\).

Jusqu'à présent, nous avons dérivé des fonctions définies de manière explicite, sous la forme \(y=f(x)\). Cependant, certaines courbes sont définies de manière implicite par une relation entre \(x\) et \(y\), comme le cercle \(x^2+y^2=25\). Dans ces cas, il peut être difficile ou impossible d'isoler \(y\) directement. La dérivation implicite nous permet de trouver \(\dfrac{dy}{dx}\) sans isoler \(y\).

1. Dériver les deux membres de l'équation par rapport à \(x\).
2. Lors de la dérivation d'un terme contenant \(y\), appliquer la règle de la dérivation en chaîne. Comme \(y\) est une fonction de \(x\), la dérivée de \(y\) est \(\dfrac{dy}{dx}\). Par exemple, \(\dfrac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \cdot \dfrac{dy}{dx}\).
3. Après la dérivation, résoudre l'équation résultante pour isoler \(\dfrac{dy}{dx}\).

Déterminer \(\dfrac{dy}{dx}\) pour le cercle \(x^2+y^2=3\).

Après avoir établi les règles fondamentales pour combiner les dérivées (règles de la somme, du produit, du quotient et de la dérivation en chaîne), nous nous tournons maintenant vers la recherche des dérivées des plus importantes familles de fonctions : les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.
Ces fonctions constituent les éléments de base de la plupart des modèles mathématiques en sciences et en ingénierie. Mémoriser leurs dérivées, ainsi que les règles pour les combiner, vous donnera la boîte à outils complète nécessaire pour dériver presque toutes les fonctions rencontrées dans ce cours. Chacune de ces dérivées peut être démontrée à partir de la définition par la limite, mais elles sont si fréquemment utilisées qu'elles doivent être apprises par cœur.

La fonction exponentielle, en particulier \(f(x)=e^x\), occupe une place unique et fondamentale en calcul différentiel. Son taux de variation est directement proportionnel à sa valeur, ce qui en fait le langage mathématique de nombreux processus naturels comme la croissance démographique et les intérêts composés. Nous verrons que cette fonction a une dérivée remarquablement simple.

La dérivée de la fonction exponentielle naturelle est elle-même :$$ \dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x $$

La dérivée d'une fonction exponentielle avec une fonction en exposant est donnée par :$$ \left(e^{u(x)}\right)' = e^{u(x)}u'(x) $$En notation de Leibniz :$$ \dfrac{d}{dx}\left(e^{u}\right) = e^{u}\dfrac{du}{dx} $$

Déterminer la dérivée de \(f(x)=e^{x^2}\).

Pour toute base \(a>0\), la dérivée de \(f(x)=a^x\) est :$$ \dfrac{d}{dx}(a^x) = \ln(a) \cdot a^x $$

La fonction logarithme népérien, \(f(x)=\ln(x)\), est la fonction inverse de la fonction exponentielle \(e^x\). Cette relation inverse est la clé pour déterminer sa dérivée. Tout comme la fonction exponentielle a une dérivée remarquablement simple, il en va de même pour le logarithme. Cette dérivée est fondamentale en calcul, en particulier en intégration, car elle nous permet de déterminer la primitive des fonctions de la forme \(1/x\).

La dérivée de la fonction logarithme népérien pour \(x>0\) est :$$ \dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x} $$

La dérivée du logarithme népérien d'une fonction est donnée par :$$ \left(\ln(u(x))\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)} $$En notation de Leibniz :$$ \dfrac{d}{dx}\left(\ln(u)\right) = \dfrac{1}{u}\,\dfrac{du}{dx} $$

Déterminer la dérivée de \(f(x) = \ln(2x+3)\).

Pour les fonctions logarithmiques complexes, utilisez toujours les propriétés des logarithmes pour développer ou simplifier l'expression avant de dériver. Cela peut transformer un problème difficile en un problème très simple.
Rappel des propriétés : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\), \(\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)\), et \(\ln(a^n)=n\ln(a)\).

Déterminer la dérivée de \(f(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\).

Pour toute base \(a>0, a\neq 1\), la dérivée de \(f(x)=\log_a(x)\) est :$$ \dfrac{d}{dx}(\log_a x) = \dfrac{1}{x\ln(a)} $$

Les fonctions trigonométriques décrivent des phénomènes périodiques, qui sont courants en physique et en ingénierie. Leurs dérivées suivent un schéma cyclique à la fois élégant et puissant. Les démonstrations pour les dérivées de \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\) sont issues de la définition par la limite et reposent sur deux limites trigonométriques fondamentales.

Pour \(x\) en radians :$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x)-1}{x} = 0 $$

Les dérivées des fonctions trigonométriques de base sont :$$ \dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \quad \text{et} \quad \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $$

La dérivée de la fonction tangente est :$$ \dfrac{d}{dx}(\tan x) = 1+\tan^2 x $$

• \((\sin(u(x)))' = u'(x)\cos(u(x))\)
• \((\cos(u(x)))' = -u'(x)\sin(u(x))\)
• \((\tan(u(x)))' = u'(x)\bigl(1+\tan^2(u(x))\bigr)\)

En notation de Leibniz :

• \(\dfrac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u)\dfrac{du}{dx}\)
• \(\dfrac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u)\dfrac{du}{dx}\)
• \(\dfrac{d}{dx}(\tan(u)) = \bigl(1+\tan^2(u)\bigr)\dfrac{du}{dx}\)

Déterminer la dérivée de \(f(x) = \cos(x^2+3x)\).

La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de la première dérivée, \(f'\).$$ f''(x) = \dfrac{d}{dx}(f'(x)) \quad \text{ou en notation de Leibniz,} \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx} \right)$$

Déterminer la dérivée seconde de \(f(x)=x^4 - 5x^2\).