Applications de l'intégration en géométrie

Dans le chapitre précédent, nous avons défini l'intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) comme l'aire algébrique entre la courbe représentative de \(f\) et l'axe des abscisses. Cela signifie que les aires au-dessus de l'axe sont positives, tandis que les aires en dessous sont négatives.
Cependant, lorsqu'un problème demande de trouver l'aire géométrique ou simplement l'aire d'une région, il se réfère à l'espace physique, toujours positif, que cette région occupe. Dans ce cas, nous devons nous assurer que toutes les parties de la région, qu'elles soient au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses, contribuent de manière positive à l'aire totale. Cette section présente une méthode pour calculer cette aire géométrique totale.

Pour trouver l'aire géométrique totale \(\mathcal{A}\) délimitée par une courbe \(y=f(x)\) et l'axe des abscisses de \(a\) à \(b\) :

1. Trouver les intersections avec l'axe des abscisses : Déterminer où la fonction coupe l'axe des abscisses en résolvant \(f(x)=0\). Identifier toutes les racines \(c_1, c_2, \dots\) qui se trouvent dans l'intervalle \([a,b]\).
2. Séparer l'intégrale : Diviser l'intégrale principale en intégrales plus petites à chaque racine trouvée.
3. Calculer chaque intégrale définie : Calculer l'intégrale pour chaque sous-intervalle. Certaines donneront des valeurs positives (où \(f(x) \ge 0\)) et d'autres des valeurs négatives (où \(f(x) \le 0\)).
4. Sommer les valeurs absolues : L'aire géométrique totale est la somme des valeurs absolues de ces intégrales. Si l'intégrale d'une sous-région est négative, on prend sa valeur positive avant de l'ajouter au total.

Calculer l'aire géométrique totale entre la courbe \(y=x^2-1\) et l'axe des abscisses de \(x=0\) à \(x=2\).

L'aire géométrique totale \(\mathcal{A}\) entre la courbe d'une fonction \(f(x)\) et l'axe des abscisses de \(x=a\) à \(x=b\) est donnée par l'intégrale de la valeur absolue de la fonction :$$ \mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\, \mathrm dx $$

La méthode consistant à séparer l'intégrale et à sommer les valeurs absolues est équivalente à cette définition formelle de l'aire géométrique totale.

Un solide de révolution est un objet tridimensionnel formé par la rotation d'une forme bidimensionnelle autour d'un axe.
Considérons l'aire sous la courbe \(y=f(x)\) de \(x=a\) à \(x=b\). Si nous faisons tourner cette aire de \(360^\circ\) (\(2\pi\) radians) autour de l'axe des abscisses, elle engendre un solide de révolution.

Pour trouver le volume de ce solide, nous utilisons la même stratégie que pour l'aire : découper le solide en de nombreuses tranches fines et sommer leurs volumes.Chaque tranche est un disque cylindrique très mince, formé par la rotation d'un des rectangles d'une somme de Riemann autour de l'axe des abscisses. Le volume d'un cylindre est \(\pi r^2h\). Pour un disque en \(x_i\) d'épaisseur \(\Delta x\) :

• Le rayon est la hauteur de la fonction, \(r = f(x_i)\).
• La hauteur (épaisseur) du disque est \(h = \Delta x\).

Le volume d'un disque est \(V_i = \pi [f(x_i)]^2 \Delta x\). Le volume total est la somme des volumes de tous les disques :$$\begin{aligned}\mathcal{V}&\approx \sum_{i=0}^{n-1}V_i\\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} \pi [f(x_i)]^2 \Delta x\\ \end{aligned} $$Pour trouver le volume exact, on prend la limite lorsque le nombre de disques tend vers l'infini et que leur épaisseur tend vers \(0\), ce qui nous donne l'intégrale définie :$$\begin{aligned}\mathcal{V}&= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \pi [f(x_i)]^2 \Delta x\\ &= \int_a^b \pi [f(x)]^2\, dx\\ &=\pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx\\ \end{aligned} $$

En supposant \(f(x)\geq 0\) sur \([a,b]\), le volume \(V\) engendré par la rotation de la région délimitée par la courbe \(y=f(x)\), l'axe des abscisses, et les droites \(x=a\) et \(x=b\) autour de l'axe des abscisses est donné par :$$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx $$

Trouver le volume du solide engendré par la rotation de la région sous la courbe \(y=\sqrt{x}\) de \(x=1\) à \(x=4\) autour de l'axe des abscisses.

En supposant \(g(y)\ge 0\) sur \([c,d]\), le volume \(V\) engendré par la rotation de la région délimitée par la courbe \(x=g(y)\), l'axe des ordonnées, et les droites \(y=c\) et \(y=d\) autour de l'axe des ordonnées est donné par :$$ V = \pi \int_c^d [g(y)]^2\, dy $$

Pour utiliser cette formule, la fonction doit être exprimée sous la forme \(x=g(y)\), où \(y\) est la variable indépendante. Cela peut nécessiter de réécrire l'équation de la fonction.

Trouver le volume du solide engendré par la rotation de la région délimitée par la courbe \(y=\sqrt{x}\), l'axe des ordonnées, et la droite \(y=2\) autour de l'axe des ordonnées.