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Modélisation avec des fonctions

La modélisation mathématique est le processus consistant à utiliser les mathématiques pour représenter, analyser et prédire des phénomènes du monde réel. Un modèle relie généralement des variables mesurables au moyen d'une fonction dont les paramètres sont déterminés à partir de données ou d'hypothèses raisonnables. De la trajectoire d'une balle aux variations des cours boursiers, les fonctions offrent un cadre précis pour décrire des tendances et produire des prédictions.

Cycle de modélisation

Définition Modèle mathématique
Un modèle mathématique est une fonction (ou un système d'équations) qui représente la relation entre des variables dans une situation réelle.
  • Les variables représentent des grandeurs qui peuvent varier (par exemple : temps, hauteur, coût).
  • Les paramètres sont des constantes choisies pour s'adapter à un contexte ou à un ensemble de données.
  • Le modèle est destiné à être utilisé sur un domaine précisé, pour lequel il a un sens.
Exemple
La relation entre la croissance bactérienne et le temps peut être modélisée par la fonction exponentielle \(N(t) = N_0e^{kt}\).
Méthode 5 étapes de la modélisation
Suivre ces étapes :
  1. Construire : Construire un modèle à partir de données ou d'une description. Cela implique de choisir une forme adaptée (linéaire, quadratique, etc.) et d'en déterminer les paramètres.
  2. Utiliser : Utiliser le modèle pour faire des prédictions.
    • Interpolation : Prédire à l'intérieur de la plage des données disponibles.
    • Extrapolation : Prédire en dehors de la plage des données (souvent moins fiable).
  3. Interpréter : Expliquer la signification des variables et des paramètres dans le contexte (par exemple : que représente l'ordonnée à l'origine ?).
  4. Évaluer : Évaluer la validité du modèle : comparaison aux données, calcul d'erreurs, analyse des résidus/corrélation (si pertinent) et vérification du réalisme des résultats.
  5. Affiner : Proposer des améliorations si le modèle est insuffisant (par exemple : ``le modèle exponentiel croît trop vite ; un modèle logistique peut être plus pertinent'').

Modèles linéaires

Les modèles linéaires sont les modèles fonctionnels les plus simples. Ils décrivent des situations où une quantité varie à un taux constant par rapport à une autre variable. Les applications courantes incluent les fonctions de coût (frais fixes + taux horaire), la distance parcourue à vitesse constante et les conversions de devises.
Définition Modèle linéaire
Un modèle linéaire relie deux variables avec un taux de variation constant :$$ f(x) = mx + c. $$
  • \(m\) : le coefficient directeur (taux de variation).
  • \(c\) : l'ordonnée à l'origine (valeur initiale), c'est-à-dire \(f(0)=c\).
Exemple
Un plombier facture des frais de déplacement fixes de 50 \(\dollar\) plus 80 \(\dollar\) par heure de travail.
Le modèle de coût est \(C(t) = 80t + 50\), où \(t\) est le temps en heures.
  1. Calculer le coût pour 10 heures.
  2. Trouver le temps nécessaire pour que le coût total dépasse 1200 \(\dollar\).
  3. Avec une nouvelle taxe, le plombier change le tarif horaire à 80 NZD et les frais fixes à 100 NZD. Écrire la nouvelle fonction de coût après ces modifications.

  1. Coût pour 10 heures : $$ C(10) = 80(10) + 50 = 800 + 50 = 850. $$ Le coût est de 850 \(\dollar\).
  2. Temps pour dépasser 1200 \(\dollar\) : $$ 80t + 50 > 1200 \implies 80t > 1150 \implies t > \frac{1150}{80} = 14,375. $$ Le coût dépasse 1200 \(\dollar\) après \(14,375\) heures (soit 14 h 22 min 30 s).
  3. Nouvelle fonction de coût : Le nouveau tarif horaire est de 80 NZD et les nouveaux frais fixes sont de 100 NZD : $$ C_{\text{new}}(t) = 80t + 100. $$

Modèles quadratiques

Les modèles quadratiques impliquent des variables élevées à la puissance 2. Ils sont essentiels pour décrire des phénomènes ayant un sommet ou un creux, comme la trajectoire d'un projectile sous l'effet de la gravité, l'aire d'un rectangle à périmètre fixe ou les fonctions de profit en économie.
Définition Modèle quadratique
Un modèle quadratique est une fonction de la forme$$ f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a\neq 0. $$
  • \(a\) contrôle la convexité/concavité et l'étirement vertical.
  • \(b\) influence la position de l'axe de symétrie.
  • \(c\) est l'ordonnée à l'origine, car \(f(0)=c\).
Proposition Propriétés de la parabole
  • Si \(a > 0\), la parabole est convexe (ouverte vers le haut) et possède une valeur minimale à son sommet : .
  • Si \(a < 0\), la parabole est concave (ouverte vers le bas) et possède une valeur maximale à son sommet : .
Le sommet (maximum ou minimum) se trouve sur l'axe de symétrie :$$ x = -\frac{b}{2a}. $$
Exemple
La hauteur d'une balle est donnée par \(h(t) = -5t^2 + 20t + 2\).
  • Trouver la hauteur de lancement.
  • Trouver la hauteur maximale.

  1. Hauteur de lancement : C'est la hauteur à \(t=0\). $$ h(0) = -5(0)^2 + 20(0) + 2 = 2 \text{ m}. $$
  2. Hauteur maximale : Le temps de hauteur maximale correspond au sommet \(t = -\frac{b}{2a}\). Ici, \(a=-5\) et \(b=20\), donc $$ t = -\frac{20}{2(-5)} = 2 \text{ s}. $$ On calcule ensuite \(h(2)\) : $$ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22 \text{ m}. $$

Modèles cubiques

Définition Modèle cubique
Un modèle cubique est une fonction de la forme$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \qquad a\neq 0. $$
  • \(a\) détermine le comportement aux extrémités du graphe et l'étirement vertical.
  • \(d\) est l'ordonnée à l'origine, car \(f(0)=d\).
Exemple
La hauteur verticale d'un enfant au-dessus du sol, \(h\) mètres, lorsqu'il descend un toboggan aquatique, peut être modélisée par la fonction :$$h(t) = \frac{4}{7}(35 - 12t + 6t^2 - t^3),$$ où \(t\) est le temps en secondes après l'entrée de l'enfant dans le toboggan.
  1. Donner la hauteur verticale du toboggan.
  2. Sachant que l'enfant atteint le sol au bas du toboggan, déterminer le domaine de la fonction.

  1. La hauteur du toboggan est la hauteur initiale à \(t=0\).$$ h(0) = \frac{4}{7}(35) = 20 \text{ m}. $$
  2. L'enfant atteint le sol lorsque \(h(t) = 0\).$$ \frac{4}{7}(35 - 12t + 6t^2 - t^3) = 0 \implies 35 - 12t + 6t^2 - t^3 = 0. $$À l'aide d'une calculatrice ou par inspection, \(t=5\) est une racine :$$ 35 - 12(5) + 6(25) - 125 = 35 - 60 + 150 - 125 = 0. $$Puisque l'enfant commence à \(t=0\) et atteint le sol à \(t=5\), le domaine physiquement pertinent est \(0 \le t \le 5\).

Modèles exponentiels

Les exemples concrets courants de modèles exponentiels incluent :
  • Croissance démographique (croissance)
  • Désintégration radioactive (décroissance)
  • Intérêts composés (croissance)
  • Refroidissement d'un objet (décroissance)
  • Concentration d'un médicament dans le sang (décroissance)
Définition Modèle exponentiel
Un modèle exponentiel est une fonction de la forme
  • \( f(x) = ka^x + c \), avec \( a>0 \) et \( a\neq 1 \)
  • \( f(x) = ke^{rx} + c \)
où \(k\neq 0\), \(r\neq 0\), et \(e\) est la constante mathématique \(2{,}718\ldots\)
Proposition Propriétés
  • En supposant \(k>0\), la croissance exponentielle est représentée par :
    • \( a^x \) où \( a > 1 \)
    • \( e^{rx} \) où \( r > 0 \)
  • En supposant \(k>0\), la décroissance exponentielle est représentée par :
    • \( a^x \) où \( 0 < a < 1 \)
    • \( e^{rx} \) où \( r < 0 \)
  • La constante \(c\) effectue une translation verticale. Lorsque \(r<0\) (ou \(0
Exemple
Un élément radioactif se désintègre selon la formule \(R(t) = 100 e^{-0{,}05t}\), où \(R\) est le rayonnement en coups par minute et \(t\) est le temps en années.
  1. Donner le rayonnement initial.
  2. Trouver la demi-vie (temps nécessaire pour que le rayonnement diminue de moitié).

  1. Rayonnement initial : À \(t=0\), $$ R(0) = 100 e^0 = 100 \text{ cpm}. $$
  2. Demi-vie : On cherche \(t\) tel que \(R(t) = 50\). $$ 50 = 100 e^{-0.05t} \implies 0,5 = e^{-0,05t}. $$ En prenant le \(\ln\) des deux côtés : $$ \ln(0,5) = -0,05t \implies t = \frac{\ln(0,5)}{-0,05} \approx 13,86 \text{ années}. $$

Modèles de variation directe/inverse

Les modèles de variation décrivent comment une quantité change par rapport à une autre. Ils sont fondamentaux en physique et en géométrie.
Définition Variation directe
Deux variables varient directement si l'une est un multiple constant de l'autre :$$ y = kx, \qquad k \text{ constante}. $$De façon équivalente, pour \(x\neq 0\), le rapport \(\frac{y}{x}\) est constant.
Exemple
  • Si \( y \) et \( x^n \) (pour un entier positif \( n \)) varient directement, alors :
    • On le note \( y \propto x^n \)
    • \( y = kx^n \) pour une constante \( k \)
    • Cela peut s'écrire \( \frac{y}{x^n} = k \) (pour \(x\neq 0\))
  • Pour \(n \ge 1\), le graphe de \(y=kx^n\) passe par l'origine \((0,0)\).
Méthode Trouver l'équation d'un modèle de variation directe
  1. Identifier les deux variables qui varient directement (ex : \(y\) et \(x^2\)).
  2. Écrire l'équation générique : \(y = kx^n\).
  3. Utiliser une paire \((x,y)\) pour déterminer la constante \(k\).
  4. Écrire l'équation spécifique.
  5. Utiliser l'équation pour résoudre les problèmes.
Exemple
La distance de freinage, \(d\) mètres, d'une voiture varie directement avec le carré de sa vitesse, \(v\) km/h. Une voiture roulant à 60 km/h a une distance de freinage de 20 mètres.
  1. Trouver une équation reliant \(d\) et \(v\).
  2. Trouver la distance de freinage pour une voiture roulant à 90 km/h.

  1. Équation : On a \(d \propto v^2\), donc \(d = kv^2\). En utilisant \(d=20\) quand \(v=60\) : $$ 20 = k(60)^2 \implies 20 = 3600k \implies k = \frac{20}{3600} = \frac{1}{180}. $$ Donc \(d = \frac{1}{180}v^2\).
  2. Prédiction : Quand \(v=90\) : $$ d = \frac{1}{180}(90)^2 = \frac{8100}{180} = 45 \text{ mètres}. $$

Définition Variation inverse
Deux variables varient inversement si leur produit est constant :$$ xy = k, \qquad k \text{ constante}. $$De façon équivalente, pour \(x\neq 0\),$$ y = \frac{k}{x}. $$
  • Cela s'appelle aussi la proportionnalité inverse.
Exemple
Si \( y \) et \( x^n \) (pour un entier positif \( n \)) varient inversement, alors :
  • On le note \( y \propto \frac{1}{x^n} \)
  • \( y = \frac{k}{x^n} \) pour une constante \( k \)
  • Cela peut s'écrire \( yx^n = k \)
Proposition Comportement asymptotique
Les graphes des modèles de variation inverse ont une asymptote verticale en \(x=0\) et, lorsque \(n\ge 1\), une asymptote horizontale en \(y=0\).
Méthode Trouver l'équation d'un modèle de variation inverse
  1. Identifier les deux variables qui varient inversement.
  2. Écrire l'équation générique : \(y = \frac{k}{x^n}\).
  3. Utiliser les informations données pour trouver la constante \(k\).
  4. Écrire l'équation spécifique.
Exemple
L'intensité, \(I\), de la lumière d'une ampoule varie inversement avec le carré de la distance, \(d\) mètres, par rapport à l'ampoule. À une distance de 2 mètres, l'intensité est de 100 unités.
  1. Écrire une équation reliant \(I\) et \(d\).
  2. Trouver l'intensité à une distance de 5 mètres.

  1. Équation : On a \(I \propto \frac{1}{d^2}\), donc \(I = \frac{k}{d^2}\). En utilisant \(I=100\) quand \(d=2\) : $$ 100 = \frac{k}{2^2} \implies 100 = \frac{k}{4} \implies k = 400. $$ Donc \(I = \frac{400}{d^2}\).
  2. Prédiction : Quand \(d=5\) : $$ I = \frac{400}{5^2} = \frac{400}{25} = 16 \text{ unités}. $$

Modèles sinusoïdaux

Les exemples concrets courants de modèles sinusoïdaux incluent tout ce qui oscille (fluctue périodiquement) :
  • \(D(t)\) est la profondeur de l'eau sur un rivage \(t\) heures après minuit
  • \(T(d)\) est la température d'une ville \(d\) jours après le 1er janvier
  • \(H(t)\) est la hauteur verticale d'une personne \(t\) secondes après être entrée dans une grande roue
Définition Modèles de sinus et cosinus
Un modèle sinus/cosinus est une fonction de la forme$$y = a\sin(b(x-c)) + d\text{ ou }y = a\cos(b(x-c)) + d$$
  • \(|a|\) est l'amplitude.
  • \(\frac{2\pi}{|b|}\) (ou \(\frac{360}{|b|}\)) est la période.
  • \(c\) est le déphasage (translation horizontale).
  • \(d\) est le décalage vertical (la droite médiane est \(y=d\)).
Exemple
La profondeur de l'eau, \(D\), en mètres, dans un port peut être modélisée par la fonction $$ D(t) = 3 \sin\left( \frac{\pi}{12} (t - 2) \right) + 12, \quad 0 \leq t < 24 $$ où \(t\) est le temps écoulé, en heures, depuis minuit.
  1. Donner la profondeur de l'eau à minuit.
  2. Trouver la profondeur minimale de l'eau et l'heure à laquelle elle se produit.
  3. Calculer pendant combien de temps la profondeur de l'eau est d'au moins 13,5 mètres chaque jour.

  1. À minuit (\(t=0\)) : $$ D(0) = 3 \sin\left( \frac{\pi}{12} (0 - 2) \right) + 12 = 3 \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 12. $$ $$ D(0) = 3(-0,5) + 12 = 10,5 \text{ mètres}. $$
  2. Profondeur minimale : La fonction sinus varie de \(-1\) à \(1\), donc le minimum se produit lorsque \(\sin(\dots)=-1\) : $$ D_{\min} = 3(-1) + 12 = 9 \text{ mètres}. $$ Cela se produit lorsque l'argument vaut \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\). Sur l'intervalle \(0\le t<24\), on peut utiliser \(\frac{3\pi}{2}\) : $$ \frac{\pi}{12}(t-2) = \frac{3\pi}{2} \implies t-2 = 18 \implies t = 20 \text{ heures (20h)}. $$
  3. Profondeur \(\ge 13,5\) : $$ 3 \sin\left( \frac{\pi}{12} (t - 2) \right) + 12 \ge 13,5 \iff \sin\left( \frac{\pi}{12} (t - 2) \right) \ge 0,5. $$ L'égalité \(\sin\theta=0,5\) est vérifiée pour \(\theta=\frac{\pi}{6}\) et \(\theta=\frac{5\pi}{6}\) (sur une période).
    • \(\frac{\pi}{12}(t-2) = \frac{\pi}{6} \implies t-2 = 2 \implies t=4\).
    • \(\frac{\pi}{12}(t-2) = \frac{5\pi}{6} \implies t-2 = 10 \implies t=12\).
    Donc, \(D(t)\ge 13,5\) pour \(4 \le t \le 12\), soit une durée de \(12-4=8\) heures.

Modèles logarithmiques

Les modèles logarithmiques sont souvent utilisés pour mesurer une magnitude ou une intensité. Exemples courants :
  • \(M(I)\) : la magnitude d'un séisme d'intensité \(I\) (échelle de Richter).
  • \(d(I)\) : le niveau sonore en décibels d'un bruit d'intensité \(I\).
  • \(\text{pH}(H^+)\) : l'acidité d'une solution en fonction de la concentration en ions hydrogène.
Définition Modèle logarithmique
Un modèle logarithmique est une fonction de la forme$$ f(x) = a + b\ln x, \qquad x>0,\; b\neq 0. $$
  • \(\ln x\) désigne le logarithme népérien (base \(e\)).
  • \(a\) est la valeur de la fonction en \(x=1\), car \(f(1)=a\).
  • \(b\) contrôle la rapidité de croissance/décroissance.
Proposition Propriétés
  • Le graphe a une asymptote verticale sur l'axe des ordonnées (\(x=0\)).
  • La fonction a une unique racine (intersection avec l'axe des abscisses) donnée par $$ f(x)=0 \iff x=e^{-\frac{a}{b}}. $$
  • Si \(b > 0\), la fonction est croissante sur \((0,+\infty)\). Si \(b < 0\), la fonction est décroissante sur \((0,+\infty)\).
Exemple
Le niveau d'intensité sonore, \(L\), en décibels (dB), peut être modélisé par la fonction$$ L(I) = a + 8 \ln I, $$où \(I\) est l'intensité sonore, en watts par mètre carré (Wm\(^{-2}\)).
  1. Sachant qu'une intensité sonore de \(1 \text{ Wm}^{-2}\) produit un niveau de \(110 \text{ dB}\), donner la valeur de \(a\).
  2. Trouver l'intensité sonore (en Wm\(^{-2}\)) d'une alarme de voiture dont le niveau est \(105 \text{ dB}\).

  1. Trouver \(a\) : En remplaçant \(I=1\) et \(L=110\) : $$ 110 = a + 8 \ln(1). $$ Comme \(\ln(1)=0\) : $$ a = 110. $$ Donc \(L(I) = 110 + 8 \ln I\).
  2. Trouver \(I\) quand \(L=105\) : $$ 105 = 110 + 8 \ln I \implies -5 = 8 \ln I \implies \ln I = -\frac{5}{8}. $$ Donc $$ I = e^{-5/8} \approx 0,535 \text{ Wm}^{-2}. $$

Modèles logistiques

Un modèle logistique est utilisé lorsqu'une variable augmente rapidement au début, puis ralentit à mesure qu'elle approche une valeur limite (saturation). Exemples :
  • \(H(t)\) : la taille d'une girafe \(t\) semaines après la naissance.
  • \(P(t)\) : la population de lapins dans une zone boisée avec des ressources limitées.
  • La propagation d'une rumeur ou d'un virus dans une population fixe.
Définition Modèle logistique
Un modèle logistique est de la forme$$ f(x) = \frac{L}{1 + Ce^{-kx}}, \qquad L>0,\; k>0. $$
  • \(L\) représente la capacité limite (valeur de saturation). C'est l'asymptote horizontale \(y=L\) lorsque \(x \to +\infty\).
  • \(C\) détermine la valeur initiale : \(f(0)=\frac{L}{1+C}\) (si \(1+C\neq 0\)).
  • \(k\) détermine le taux de croissance.
Exemple
Le nombre de poissons dans un lac, \(F\), peut être modélisé par la fonction $$ F(t) = \frac{800}{1 + Ce^{-0{,}6t}} $$ où \(t\) est le nombre de mois après l'introduction des poissons.
  1. Initialement, 50 poissons ont été introduits dans le lac. Trouver la valeur de \(C\).
  2. Donner la capacité limite du nombre de poissons dans le lac.
  3. Calculer le nombre de mois nécessaires pour qu'il y ait 500 poissons dans le lac.

  1. Trouver \(C\) : À \(t=0\), \(F=50\). $$ 50 = \frac{800}{1 + Ce^0} = \frac{800}{1+C}. $$ Donc $$ 1 + C = \frac{800}{50} = 16 \implies C = 15. $$ Ainsi \(F(t) = \frac{800}{1 + 15e^{-0,6t}}\).
  2. Capacité limite : $$ L = 800 \text{ poissons}. $$
  3. Trouver \(t\) quand \(F=500\) : $$ 500 = \frac{800}{1 + 15e^{-0,6t}} \implies 1 + 15e^{-0,6t} = \frac{800}{500} = 1,6. $$ $$ 15e^{-0,6t} = 0,6 \implies e^{-0,6t} = 0,04. $$ $$ -0,6t = \ln(0,04) \implies t = \frac{\ln(0,04)}{-0,6} \approx 5,36 \text{ mois}. $$

Modèles linéaires par morceaux

Les modèles linéaires par morceaux sont utilisés lorsque le taux de variation d'une fonction diffère selon les intervalles. Ils s'appliquent couramment aux tarifs, aux tranches d'imposition ou aux mouvements en physique.
Définition Modèle linéaire par morceaux
Un modèle linéaire par morceaux est défini par différentes expressions linéaires sur différentes parties du domaine :$$ f(x) = \begin{cases}m_1x + c_1 & \text{si } x \le a,\\ m_2x + c_2 & \text{si } x > a.\end{cases} $$
  • Le modèle peut être continu ou discontinu au point de changement \(x=a\).
  • S'il est continu et que le coefficient directeur change, le graphe présente une cassure en \(x=a\).
Exemple
Le montant mensuel total, \(C\dollar\), d'une facture de téléphone peut être modélisé par la fonction :$$C(m) = \begin{cases}10 + 0{,}02m & 0 \leq m \leq 100 \\ 9 + 0{,}03m & m > 100\end{cases}$$ où \(m\) est le nombre de minutes utilisées.
  1. Trouver le montant mensuel total si 80 minutes ont été utilisées.
  2. Sachant que le montant mensuel total est de 16,59 \(\dollar\), trouver le nombre de minutes utilisées.

  1. Calculer le coût pour \(m=80\) : Puisque \(80 \le 100\), on utilise la première expression : $$ C(80) = 10 + 0{,}02(80) = 10 + 1{,}60 =11{,}60\dollar. $$
  2. Calculer les minutes pour \(C=16,59\) : On calcule d'abord le coût à la fin du premier intervalle : $$ C(100) = 10 + 0,02(100) = 12. $$ Comme \(16,59 > 12\), on a nécessairement \(m>100\), donc on utilise la seconde expression : $$\begin{aligned} 16{,}59 &= 9 + 0{,}03m \\ 7{,}59 &= 0{,}03m \\ m &= \frac{7{,}59}{0{,}03}\\ m&= 253 \end{aligned} $$ Donc \(m=253\) minutes.