\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Logarithmes

Dans le chapitre précédent, nous avons étudié l'exponentiation, qui répond à la question : que se passe-t-il lorsqu’on multiplie un nombre par lui-même un certain nombre de fois (par exemple, \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000\)) ?
Nous allons maintenant poser la question inverse : À quel exposant doit-on élever 10 pour obtenir 1000 ?
Cette question nous amène au concept de logarithme. Un logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation : c'est l'outil que nous utilisons pour trouver un exposant inconnu.
Avant l'invention des calculatrices, les logarithmes étaient un outil révolutionnaire pour les scientifiques, transformant des multiplications complexes en additions plus simples. Aujourd'hui, ils restent essentiels pour résoudre des équations exponentielles et sont utilisés pour décrire des phénomènes scientifiques, tels que l'échelle de pH en chimie ou l'échelle de Richter pour les tremblements de terre.
Dans ce chapitre, nous allons :
  • définir les logarithmes (en base 10),
  • étudier leurs principales propriétés (les lois des logarithmes),
  • et les utiliser pour résoudre des équations exponentielles et des problèmes concrets.
Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, \(\log x\) désigne le logarithme en base 10 : \(\log x = \log_{10} x\).

Logarithmes en base 10

Définition Logarithme
Le logarithme (en base 10) d'un nombre \(y\) (où \(y > 0\)) est l'exposant auquel 10 doit être élevé pour obtenir \(y\). Il est noté :$$\log y = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = y$$Autrement dit, \(\log y\) est l'exposant \(x\) tel que \(10^x = y\).
Proposition Propriétés inverses des logarithmes
Pour les nombres réels :
  • \(10^{\log x} = x\) pour tout \(x > 0\),
  • \(\log (10^x) = x\) pour tout réel \(x\).
Ces propriétés reflètent le fait que la fonction exponentielle \(10^x\) et la fonction logarithme \(\log x\) (en base 10) sont inverses l'une de l'autre.
Exemple
Évalue \(\log 100\).

\(\begin{aligned}[t]\log(100) &= \log\left(10^{2}\right) \\&=2\\\end{aligned}\)
Comme \(10^2 = 100\), le logarithme de \(100\) (en base 10) vaut \(2\).

Logarithmes en base \(a\)

Dans la section précédente, nous avons défini le logarithme en base \(10\) d’un nombre comme la puissance à laquelle \(10\) doit être élevé pour obtenir ce nombre.
Nous pouvons utiliser le même principe pour définir les logarithmes dans d’autres bases :
Définition Logarithme en base a
Pour un nombre positif \(a \neq 1\), le logarithme en base \(a\) d'un nombre \(y\) (où \(y > 0\)) est l'exposant auquel \(a\) doit être élevé pour obtenir \(y\). Il est noté comme suit :$$\log_a y = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = y.$$
Proposition Propriétés inverses des logarithmes en base a
Soit \(a>0\) avec \(a \neq 1\).
  • \(a^{\log_a x} = x\) pour tout \(x > 0\),
  • \(\log_a (a^x) = x\) pour tout réel \(x\).
Ces propriétés montrent que la fonction exponentielle \(a^x\) et la fonction logarithme \(\log_a x\) sont inverses l'une de l'autre.
Exemple
Évalue \(\log_2 8\).

\(\begin{aligned}[t]\log_2 8 &= \log_2 (2^3) \\&=3\\\end{aligned}\)

Proposition Propriétés des logarithmes en base a
Pour \(x>0\), \(y>0\), et \(a > 0\), \(a \neq 1\) :
  • Règle du produit : \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)
  • Règle du quotient : \(\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)
  • Règle de la puissance : \(\log_a (x^k) = k \log_a x\)

$$\begin{aligned}\log_a(xy) &= \log_a\bigl(a^{\log_a x} \times a^{\log_a y}\bigr) \\ &= \log_a\bigl(a^{\log_a x + \log_a y}\bigr) \\ &= \log_a x + \log_a y \\ \\ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) &= \log_a\left(\frac{a^{\log_a x}}{a^{\log_a y}}\right) \\ &= \log_a\bigl(a^{\log_a x - \log_a y}\bigr) \\ &= \log_a x - \log_a y \\ \\ \log_a(x^k) &= \log_a\left(\bigl(a^{\log_a x}\bigr)^k\right) \\ &= \log_a\bigl(a^{k \log_a x}\bigr) \\ &= k \log_a x\\ \end{aligned}$$

Méthode Résoudre des équations exponentielles en base a
Pour résoudre \(a^x = b\) (où \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\)) :
  1. Prends le logarithme en base \(a\) des deux membres : \(\log_a (a^x) = \log_a b\)
  2. Simplifie : \(x = \log_a b\)
Exemple
Résous \(3^x = 81\).

$$\begin{aligned}3^x &= 81 \\ \log_3 (3^x) &= \log_3 (81) \\ x &= \log_3 (3^4) \\ x &= 4\end{aligned}$$

Logarithme naturel

Le logarithme naturel, souvent noté \(\ln x\), est le logarithme en base \(e\) (où \(e \approx 2{,}71828\) est la base de la fonction exponentielle naturelle). Il est l'inverse de la fonction exponentielle \(e^x\) et joue un rôle central en calcul différentiel, dans les modèles de croissance et dans de nombreuses applications scientifiques.
Définition Logarithme naturel
Le logarithme naturel (aussi appelé logarithme népérien), noté \(\ln x\), est le logarithme en base \(e\), défini pour \(x>0\) :$$\ln x = \log_e(x).$$
Proposition Propriétés inverses des logarithmes naturels
  • \(e^{\ln x} = x\) pour \(x > 0\),
  • \(\ln (e^x) = x\) pour tout réel \(x\).

Propriétés des logarithmes

Proposition Propriétés des logarithmes
Pour \(x>0\), \(y>0\) et \(a>0\) avec \(a\neq 1\) :
  • Règle du produit : \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)
  • Règle du quotient : \(\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)
  • Règle de la puissance : \(\log_a (x^k) = k \log_a x\)

$$\begin{aligned}\log_a(xy) &= \log_a\bigl(a^{\log_a x} \times a^{\log_a y}\bigr) \\ &= \log_a\bigl(a^{\log_a x + \log_a y}\bigr) \\ &= \log_a x+ \log_a y \\ \\ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) &= \log_a\left(\frac{a^{\log_a x}}{a^{\log_a y}}\right) \\ &= \log_a\bigl(a^{\log_a x - \log_a y}\bigr) \\ &= \log_a x - \log_a y \\ \\ \log_a(x^k) &= \log_a\left(\left(a^{\log_a x}\right)^k\right) \\ &= \log_a\bigl(a^{k \log_a x}\bigr) \\ &= k \log_a x\\ \end{aligned}$$

Exemple
Écris sous forme d'un seul logarithme : \(\log (5)+\log (3)\).

\(\begin{aligned}[t]\log (5)+\log (3) &= \log (5\times 3) \\&= \log 15\\\end{aligned}\)

En particulier, pour le logarithme naturel, pour \(x>0\) et \(y>0\) :
  • \(\ln (xy) = \ln x + \ln y\)
  • \(\ln \left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y\)
  • \(\ln (x^k) = k \ln x\)
Exemple
Évalue \(\ln \left(e^4\right)\).

\(\begin{aligned}[t]\ln \left(e^4\right) &= 4 \ln e \\&=4 \times 1 \\&=4\\\end{aligned}\)

Règle du changement de base

Proposition Règle du changement de base
Pour tout \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\), \(b \neq 1\), et \(x > 0\) :$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$$

Soit \(y = \log_a x\).$$ \begin{aligned}y &= \log_a x\\ a^y &= a^{\log_a x}\\ a^y &= x\\ \log_b a^y &= \log_b x \\ y \log_b a &= \log_b x \quad(\text{règle de la puissance}) \\ y &= \frac{ \log_b x}{\log_b a} \\ \log_a x &= \frac{ \log_b x}{\log_b a}\quad(\text{comme } y = \log_a x). \\ \end{aligned} $$

Cette règle nous permet de calculer des logarithmes dans n'importe quelle base en utilisant une calculatrice qui calcule des logarithmes en base \(10\) ou des logarithmes népériens.
Exemple
Calcule \(\log_2 10\) en utilisant des logarithmes naturels.

$$\begin{aligned}\log_2 10 &= \frac{\ln 10}{\ln 2} \\ &\approx \frac{2{,}302585}{0{,}693147} \\ &\approx 3{,}321928\end{aligned}$$

Méthode Utiliser le changement de base
Pour calculer \(\log_a b\) avec des logarithmes en base \(10\) :$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}.$$Avec des logarithmes naturels :$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}.$$

Utiliser les logarithmes pour résoudre des équations exponentielles

Dans les sections précédentes, nous avons résolu des équations exponentielles où les deux membres pouvaient facilement être écrits avec la même base (par exemple, \(2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3\)). Cependant, la plupart des problèmes réels impliquent des valeurs qui ne sont pas des puissances parfaites. Pour les résoudre, nous utilisons la règle de la puissance des logarithmes pour « descendre » l'exposant.
Méthode Résoudre \(a^x \equal b\)
Pour résoudre une équation où l'inconnue est en exposant :
  1. Isole le terme exponentiel (\(a^x\)) si nécessaire.
  2. Prends le logarithme (\(\log\) ou \(\ln\)) des deux membres.
  3. Utilise la règle de la puissance : \(\log(a^x) = x \log a\).
  4. Résous pour \(x\) par division.
Exemple
Résous \(2^x = 7\)).

$$\begin{aligned}2^x &= 7 \\ \log(2^x) &= \log 7 &&\text{(prendre log des deux membres)}\\ x \log 2 &= \log 7 &&\text{(règle de la puissance)}\\ x &= \frac{\log 7}{\log 2} &&\text{(diviser)}\\ \end{aligned}$$

Applications des logarithmes

Les logarithmes sont utilisés pour décrire des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur. Quelques exemples importants en sciences :
  • Échelle de pH en chimie : \(\text{pH} = -\log_{10} [H^+]\)
    (où \([H^+]\) est la concentration en ions hydrogène en moles par litre)
  • Échelle de Richter pour les séismes : \(\text{Magnitude} = \log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\)
    (où \(I\) est l’intensité du séisme, \(I_0\) est une intensité de référence)
  • Échelle des décibels (dB) pour le son : \(L = 10 \log_{10}\left(\dfrac{P}{P_0}\right)\)
    (où \(P\) est la puissance ou l’intensité mesurée, \(P_0\) est un niveau de référence)
Sur les calculatrices, la touche \(\log\) correspond généralement à \(\log_{10}\) et la touche \(\ln\) au logarithme naturel (en base \(e\)).
Exemple
Le pH d’une solution est \(3{,}2\). Trouve la concentration en ions hydrogène \([H^+]\).

On sait que :$$\begin{aligned}\text{pH} &= -\log_{10}[H^+] \\ 3{,}2 &= -\log_{10}[H^+] &&\text{(en remplaçant par la valeur donnée)}\\ -3{,}2 &= \log_{10}[H^+] &&\text{(en multipliant les deux membres par \(-1\))}\\ 10^{-3{,}2} &= 10^{\log_{10}[H^+]} &&\text{(en appliquant \(10^{(\cdot)}\) aux deux membres)}\\ [H^+] &= 10^{-3{,}2} \\ [H^+] &\approx 6{,}31 \times 10^{-4}\ \text{mol/L} &&\text{(à la calculatrice)}\end{aligned}$$