Fonctions logarithmiques
Dans le chapitre précédent, nous avons défini le logarithme comme l'opération inverse de l'exponentiation. De la même manière que ces deux opérations sont liées algébriquement, leurs graphiques sont également profondément connectés.
Ce chapitre est consacré à la visualisation des fonctions logarithmiques. Nous verrons comment le graphe d'une fonction logarithmique, telle que \(y = \log_a(x)\), est une réflexion de sa fonction exponentielle correspondante, \(y = a^x\), par rapport à la droite \(y=x\).
Nous explorerons les caractéristiques clés qui définissent ces graphes, y compris leur domaine de définition et leur ensemble image, leurs asymptotes verticales et leurs points d'intersection avec les axes. Nous commencerons par la fonction logarithmique la plus courante, le logarithme naturel (\(y=\ln x\)), puis nous étendrons notre analyse aux logarithmes de n'importe quelle base, \(a\).
Ce chapitre est consacré à la visualisation des fonctions logarithmiques. Nous verrons comment le graphe d'une fonction logarithmique, telle que \(y = \log_a(x)\), est une réflexion de sa fonction exponentielle correspondante, \(y = a^x\), par rapport à la droite \(y=x\).
Nous explorerons les caractéristiques clés qui définissent ces graphes, y compris leur domaine de définition et leur ensemble image, leurs asymptotes verticales et leurs points d'intersection avec les axes. Nous commencerons par la fonction logarithmique la plus courante, le logarithme naturel (\(y=\ln x\)), puis nous étendrons notre analyse aux logarithmes de n'importe quelle base, \(a\).
Fonction logarithme naturel
Définition Fonction logarithme naturel
La fonction logarithme naturel est \(x\mapsto \ln x\).
- Domaine de définition : \(]0, +\infty[\)
- Ensemble image : \(]-\infty, +\infty[\)
Proposition Graphe de la fonction logarithme naturel
Le graphe de \(\textcolor{colordef}{y = \ln x}\) est la réflexion de \(\textcolor{colorprop}{y = e^x}\) par rapport à la droite \(\textcolor{olive}{y = x}\). Il possède une asymptote verticale en \(x=0\), passe par le point \((1,0)\), et est croissant.
Fonction logarithme en base \(a\)
Définition Fonction logarithme en base a
La fonction logarithme en base a est \(f(x) = \log_a(x)\), où \(a\) est une constante positive et \(a \neq 1\).
- Domaine de définition : \(]0, +\infty[\)
- Ensemble image : \(]-\infty, +\infty[\)
Proposition Graphe de la fonction logarithme en base a
Le graphe de \(\textcolor{colordef}{y = \log_a(x)}\) est la réflexion de \(\textcolor{colorprop}{y = a^x}\) par rapport à la droite \(\textcolor{olive}{y = x}\). Il possède une asymptote verticale en \(x=0\) et passe par le point \((1,0)\).
\(\quad\)
- Si \(a > 1\), la fonction est croissante.
- Si \(0 < a < 1\), la fonction est décroissante.
\(\quad\)