Limites

Le philosophe grec Zénon d'Élée a soutenu que le mouvement était impossible. Dans son paradoxe d'Achille et de la Tortue, le rapide héros Achille ne peut jamais rattraper une tortue lente ayant une avance, car le temps qu'Achille atteigne le point de départ de la tortue, celle-ci a déjà avancé un peu plus loin. Quand Achille parcourt cette nouvelle distance, la tortue a de nouveau avancé. Ce processus se répète indéfiniment, ce qui semble suggérer qu'Achille ne peut jamais combler l'écart.
Ce paradoxe soulève un problème mathématique profond : comment gérer l'infiniment petit et le concept de « s'approcher » d'une valeur ? Il a fallu plus de deux millénaires à des mathématiciens comme Augustin-Louis Cauchy et Karl Weierstrass pour formaliser la réponse avec le concept de la limite. Une limite décrit la valeur dont une fonction « s'approche » à mesure que sa variable se rapproche d'un certain point. C'est un concept fondamental du calcul différentiel et intégral, car il permet de définir à la fois les dérivées et les intégrales.

Définition

Définition Limite

Une fonction $f$ a pour limite $L$ en $a$ lorsque les valeurs de $f(x)$ se rapprochent arbitrairement de l'unique nombre réel $L$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ (sans être nécessairement égal à $a$), et ce des deux côtés. On écrit :$$ \textcolor{colordef}{\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L}\quad\text{ou}\quad\textcolor{colordef}{f(x) \xrightarrow[x \to a]{} L}\quad\text{ou}\quad\textcolor{colordef}{\text{quand } x \to a,\ f(x)\to L}$$

L'idée cruciale d'une limite est qu'elle décrit le comportement d'une fonction au voisinage d'un point, et non au point lui-même. La valeur de $f(a)$, ou même son existence, n'a aucune importance pour la valeur de la limite.
Considérons la fonction $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$. En $x=1$, la fonction n'est pas définie. Cependant, pour tout $x \neq 1$, nous pouvons simplifier :$$ f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. $$Le graphe de $f(x)$ est la droite $y=x+1$ avec un "trou" en $x=1$. Lorsque $x$ se rapproche de 1, la valeur de $f(x)$ se rapproche de 2. Par conséquent, $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2$, bien que $f(1)$ ne soit pas définie.

Existence d'une limite

Définition Limites unilatérales

La limite à droite, $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$, est la valeur dont $f(x)$ s'approche lorsque $x$ tend vers $a$ par des valeurs supérieures à $a$.
La limite à gauche, $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$, est la valeur dont $f(x)$ s'approche lorsque $x$ tend vers $a$ par des valeurs inférieures à $a$.

Proposition Existence d'une limite

La limite $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales :$$ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ et } \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = L $$

Exemple

Considérons la fonction définie par morceaux $f(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ x^2, & x \ge 1 \end{cases}$. La limite $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe-t-elle ?

Correction

Pour déterminer si la limite existe, nous devons trouver les limites à gauche et à droite et vérifier si elles sont égales.

Limite à gauche : Quand $x \to 1^-$, on utilise la règle pour $x<1$.$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x) = 1 $$
Limite à droite : Quand $x \to 1^+$, on utilise la règle pour $x \ge 1$.$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1 $$

Puisque la limite à gauche (1) est égale à la limite à droite (1), la limite existe et $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$.

Exemple

Considérons la fonction définie par morceaux $f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 1 \\ x^2, & x \ge 1 \end{cases}$. La limite $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe-t-elle ?

Correction

Pour déterminer si la limite existe, nous devons trouver les limites à gauche et à droite et vérifier si elles sont égales.

Limite à gauche : Quand $x \to 1^-$, on utilise la règle pour $x<1$.$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 1+1 = 2 $$
Limite à droite : Quand $x \to 1^+$, on utilise la règle pour $x \ge 1$.$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1 $$

Puisque la limite à gauche (2) n'est pas égale à la limite à droite (1), la limite $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas. Le graphique montre un "saut" en $x=1$.

Limites infinies et asymptotes verticales

Nous avons vu qu'une limite n'existe pas si la fonction s'approche de valeurs différentes à gauche et à droite. Une autre raison pour laquelle une limite peut ne pas exister est si les valeurs de la fonction croissent sans borne, tendant vers l'infini positif ou négatif. Bien que ces limites n'existent pas techniquement comme nombres finis, nous utilisons la notation de limite comme un moyen précis de décrire ce « comportement non borné », qui correspond à une asymptote verticale sur un graphique.

Définition Limite infinie

La notation $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ signifie que les valeurs de $f(x)$ peuvent être rendues arbitrairement grandes et positives en prenant $x$ suffisamment proche de $a$ (des deux côtés).
De même, pour $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$.
Dans ce cas, on dit que la limite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ : ce n'est pas un nombre réel fini.

Définition Asymptote verticale

La droite $x=a$ est une asymptote verticale du graphe de la fonction $f(x)$ si la fonction tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $a$ par la gauche ou par la droite.

Exemple

Étudier $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}$.

Correction

La substitution directe de $x=0$ donne $\dfrac{1}{0}$, ce qui n'est pas défini et suggère une asymptote verticale en $x=0$. On vérifie les limites unilatérales :

Quand $x \to 0^+$, $x^2$ est un petit nombre positif, donc $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$.
Quand $x \to 0^-$, $x^2$ est aussi un petit nombre positif, donc $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$.

Comme les valeurs de la fonction tendent vers $+\infty$ lorsque $x$ s'approche de 0 des deux côtés, on décrit ce comportement par $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$.

Limites à l'infini

Les limites à l'infini décrivent le comportement aux extrémités d'une fonction. Lorsque $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ (ou $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$), la droite $y=L$ est une asymptote horizontale du graphe.

Définition Limite à l'infini

Une fonction $f$ a pour limite $L$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ si les valeurs de $f(x)$ peuvent être rendues arbitrairement proches de l'unique nombre réel $L$ dès que $x$ est suffisamment grand. On écrit :$$ \textcolor{colordef}{\lim_{x \to +\infty} f(x) = L}\quad\text{ou}\quad\textcolor{colordef}{f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} L}. $$

Une définition similaire s'applique lorsque $x \to -\infty$.

Définition Asymptote horizontale

La droite $y=L$ est une asymptote horizontale du graphe de la fonction $f(x)$ si l'une des conditions de limite suivantes est remplie :$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $$

Limites de référence et opérations

Proposition Limites de référence

Les limites suivantes pour les fonctions usuelles servent de base aux calculs plus complexes :

Fonction	$\mathbf{x \to -\infty}$	$\mathbf{x \to +\infty}$	$\mathbf{x \to 0^-}$	$\mathbf{x \to 0^+}$
$1/x$	$0$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
$x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$+\infty$ (pair) / $-\infty$ (impair)	$+\infty$	$0$	$0$
$e^x$	$0$	$+\infty$	$1$	$1$
$\sqrt{x}$	Indéfini	$+\infty$	Indéfini	$0$
$1/\sqrt{x}$	Indéfini	$0$	Indéfini	$+\infty$

Bien que les tableaux de valeurs et les graphiques soient utiles pour comprendre le concept de limite, ils ne sont pas efficaces pour l'évaluation. Heureusement, les limites suivent un ensemble de règles algébriques prévisibles, connues sous le nom de lois sur les limites, qui nous permettent de les calculer directement.

Proposition Opérations sur les limites

Soient $L$ et $L'$ des nombres réels. Les tableaux suivants résument les règles pour les limites de sommes, produits et quotients impliquant l'infini.

Somme et Produit :

$\lim f(x)$	$\lim g(x)$	$\lim (f(x)+g(x))$	$\lim (f(x) \times g(x))$
$L$	$L'$	$L+L'$	$L \times L'$
$L\neq 0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (si même signe)	$\pm \infty$ (règle des signes)
$0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	Forme indéterminée
$+\infty$	$-\infty$	Forme indéterminée	$-\infty$

Quotient :

$\lim f(x)$	$\lim g(x)$	$\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$
$L$	$L' \neq 0$	$\dfrac{L}{L'}$
$L$	$\pm \infty$	$0$
$L \neq 0$	$0$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$L' \neq 0$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$0$	$0$	Forme indéterminée
$\pm \infty$	$\pm \infty$	Forme indéterminée

Méthode Évaluation des limites

Substitution directe (quand c'est possible) : Commence toujours par remplacer $x$ par $a$ dans $f(x)$.
- Si l'expression est définie en $x=a$ (pas de division par $0$, pas de racine carrée d'un nombre négatif, etc.) et si la fonction est continue en $a$ (cas des polynômes, des fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas, de $e^x$, de $\ln x$ sur son domaine, etc.), alors :$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a).$$
- Si l'expression n'est pas définie, ou si la fonction peut présenter une discontinuité, la substitution directe ne suffit pas : il faut transformer l'expression ou étudier des limites unilatérales.
Manipulation algébrique : Si la substitution aboutit à une forme indéterminée comme $\dfrac{0}{0}$, on simplifie l'expression en :
- factorisant et en simplifiant les facteurs communs (quand c'est autorisé) ;
- utilisant un conjugué (pour les expressions avec des racines) ;
- réécrivant l'expression (mise au même dénominateur, mise en facteur des termes dominants, etc.).
Après simplification, on réessaie la substitution directe.

Attention : La substitution directe est fiable pour les fonctions continues. En revanche, si une fonction présente une discontinuité (un « saut »), un trou, ou des formules différentes de chaque côté d’un point (comme la fonction partie entière $\lfloor x \rfloor$), la substitution peut être trompeuse. Il faut alors étudier les limites à gauche et à droite, ou transformer l’expression avant de conclure.

Limite d'une fonction composée

Proposition Limite d'une fonction composée

Soient $a, L$ et $M$ des nombres réels ou $\pm\infty$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = L$ et si $\displaystyle\lim_{X \to L} f(X) = M$, alors :$$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = M. $$

En pratique, pour déterminer la limite de $f(g(x))$, on regarde d'abord vers quoi tend la partie « intérieure » $g(x)$, puis on cherche la limite de $f$ en ce résultat.

Exemple

Évaluer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}}$.

Correction

On décompose la fonction en une partie intérieure $g(x)$ et une partie extérieure $f(X)$ :

Limite intérieure : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$.
Limite extérieure : $\displaystyle\lim_{X \to 0} e^X = e^0 = 1$.

Par composition, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}} = 1$.

Théorème des gendarmes

Certaines limites, en particulier celles impliquant des fonctions oscillantes comme $\sin(1/x)$, ne peuvent pas être évaluées par substitution directe ou par manipulation algébrique standard. Dans ces cas, on peut utiliser le théorème des gendarmes (ou théorème de l'encadrement). L'idée est de trouver deux fonctions plus simples qui « encadrent » ou « prennent en sandwich » la fonction plus complexe. Si ces deux fonctions extérieures tendent vers la même limite, alors la fonction piégée au milieu doit également tendre vers cette même limite.

Proposition Théorème des gendarmes

Supposons que pour tout $x$ dans un intervalle autour de $a$ (sauf peut-être en $x=a$) :$$ g(x) \le f(x) \le h(x) $$et supposons que :$$ \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L. $$Alors, on peut en conclure que :$$ \lim_{x \to a} f(x) = L. $$

Exemple

Évaluer $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$.

Correction

Nous ne pouvons pas utiliser la substitution directe car $\sin(1/0)$ n'est pas défini. La fonction $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ est composée de deux parties : $x^2$, qui tend vers 0, et $\sin(1/x)$, qui oscille infiniment entre $-1$ et $1$ lorsque $x \to 0$. Cela suggère d'utiliser le théorème des gendarmes.
On commence par l'encadrement connu de la fonction sinus :$$ -1 \le \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1. $$Comme $x^2 \ge 0$, on peut multiplier toute l'inégalité par $x^2$ sans changer le sens des signes d'inégalité :$$ -x^2 \le x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2. $$Nous avons maintenant "encadré" notre fonction entre $g(x)=-x^2$ et $h(x)=x^2$. Ensuite, nous trouvons les limites de ces fonctions extérieures lorsque $x \to 0$ :$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} (x^2) = 0. $$Puisque notre fonction est piégée entre deux fonctions qui tendent toutes les deux vers la limite 0, d'après le théorème des gendarmes, notre limite doit également être 0 :$$ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0. $$

Fonction	\(\mathbf{x \to -\infty}\)	\(\mathbf{x \to +\infty}\)	\(\mathbf{x \to 0^-}\)	\(\mathbf{x \to 0^+}\)
\(1/x\)	\(0\)	\(0\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\))	\(+\infty\) (pair) / \(-\infty\) (impair)	\(+\infty\)	\(0\)	\(0\)
\(e^x\)	\(0\)	\(+\infty\)	\(1\)	\(1\)
\(\sqrt{x}\)	Indéfini	\(+\infty\)	Indéfini	\(0\)
\(1/\sqrt{x}\)	Indéfini	\(0\)	Indéfini	\(+\infty\)

\(\lim f(x)\)	\(\lim g(x)\)	\(\lim (f(x)+g(x))\)	\(\lim (f(x) \times g(x))\)
\(L\)	\(L'\)	\(L+L'\)	\(L \times L'\)
\(L\neq 0\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\) (si même signe)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
\(0\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	Forme indéterminée
\(+\infty\)	\(-\infty\)	Forme indéterminée	\(-\infty\)

\(\lim f(x)\)	\(\lim g(x)\)	\(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}\)
\(L\)	\(L' \neq 0\)	\(\dfrac{L}{L'}\)
\(L\)	\(\pm \infty\)	\(0\)
\(L \neq 0\)	\(0\)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
\(\pm \infty\)	\(L' \neq 0\)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
\(0\)	\(0\)	Forme indéterminée
\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	Forme indéterminée