Produit Scalaire

Le produit scalaire est une opération fondamentale en algèbre vectorielle. Il est utilisé dans divers domaines comme la physique (par exemple pour calculer un travail ou des projections) et en mathématiques (pour déterminer les angles entre vecteurs et l'orthogonalité).

Définition

Découverte

Le concept de produit scalaire offre un moyen de multiplier deux vecteurs pour obtenir un scalaire (un nombre réel). Cette opération peut être envisagée sous deux aspects fondamentaux : l'un géométrique, impliquant l'angle entre les vecteurs, et l'autre analytique, utilisant leurs coordonnées. Un résultat clé de l'algèbre vectorielle, dérivé du théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus), est que ces deux perspectives sont entièrement cohérentes.
Explorons cela en considérant deux vecteurs, $\Vect{u}=\begin{pmatrix} x \\y\\ \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}=\begin{pmatrix} x' \\y'\\ \end{pmatrix}$, avec un angle $\theta$ entre eux.

Le théorème d'Al-Kashi appliqué au triangle formé par $\Vect{u}$, $\Vect{v}$ et $\Vect{v}-\Vect{u}$ énonce :$$\|\Vect{v}-\Vect{u}\|^2 = \|\Vect{u}\|^2+\|\Vect{v}\|^2-2\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\| \cos \theta$$En développant les normes au carré en termes de coordonnées :

$\|\Vect{u}\|^2=x^2 +y^2$
$\|\Vect{v}\|^2=x'^2 +y'^2$
$\|\Vect{v}-\Vect{u}\|^2=\left(x'-x\right)^2+\left(y'-y\right)^2$ puisque $\Vect{v}-\Vect{u}=\begin{pmatrix} x'-x \\y'-y\\ \end{pmatrix}$.

En substituant dans le théorème d'Al-Kashi :$$\begin{aligned}\left(x'-x\right)^2+\left(y'-y\right)^2 &= (x^2 +y^2) + (x'^2 +y'^2)-2\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\| \cos \theta \\ x'^2 -2xx'+ x^2 + y'^2 -2yy'+y^2 &= x^2 +y^2 + x'^2 +y'^2-2\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\| \cos \theta \\ -2xx'- 2yy' &= -2\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\| \cos \theta \\ xx'+ yy' &= \|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\| \cos \theta \\ \end{aligned}$$Cette égalité fondamentale montre que l'expression analytique $xx'+ yy'$ est équivalente à l'expression géométrique $\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\| \cos \theta$. Cela nous permet de définir le produit scalaire de deux manières équivalentes.

Définition Produit Scalaire Géométrique

Le produit scalaire de deux vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ est défini par :$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\| \|\Vect{v}\| \cos \theta$$où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs.

$\Vect{u} \cdot \Vect{v}$ se lit « $\Vect{u}$ scalaire $\Vect{v}$ ».
Le produit scalaire est un nombre réel (un scalaire), et non un vecteur. Il est :

positif si $0< \theta < \frac{\pi}{2}$ (angle aigu) ;
nul si $\theta = \frac{\pi}{2}$ (vecteurs orthogonaux), ou si au moins un des vecteurs est le vecteur nul ;
négatif si $\frac{\pi}{2}<\theta \leq \pi$ (angle obtus).

$\quad$

Définition Produit Scalaire avec la Notation des Points

Le produit scalaire de $\Vect{AB}$ par $\Vect{AC}$ est défini par :$$\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = AB \times AC \times \cos(\AngleFr{BAC}),$$où $AB$ et $AC$ désignent les longueurs des segments $\SegmentFr{AB}$ et $\SegmentFr{AC}$.

Exemple

Pour $AB = 2$, $AC = 5$ et $\AngleFr{BAC} = \frac{\pi}{4}$, calculer $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC}$.

Correction

$$\begin{aligned}\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} &= AB \times AC \times \cos(\AngleFr{BAC}) \\ &= 2 \times 5 \times \cos\left( \frac{\pi}{4} \right)\\ &= 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\ &= 5 \sqrt{2}\\ \end{aligned}$$

Définition Produit Scalaire Analytique

Pour des vecteurs de $\mathbb{R}^2$ de coordonnées $\Vect{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, le produit scalaire est défini par :$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} = xx' + yy'.$$Pour des vecteurs de $\mathbb{R}^3$ de coordonnées $\Vect{u} = \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y'\\ z' \end{pmatrix}$, cette définition se généralise en :$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} =xx' + yy' +zz'.$$

Bases orthonormées

Définition Base orthonormée

Une base du plan (ou de l'espace) est dite orthonormée si ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux et si leur norme est égale à 1.

En 2D, la base $(\Vect{i}, \Vect{j})$ est orthonormée si :$$\Vect{i} \cdot \Vect{j} = 0, \quad \|\Vect{i}\| = 1 \quad \text{et} \quad \|\Vect{j}\| = 1.$$
En 3D, la base $(\Vect{i}, \Vect{j}, \Vect{k})$ est orthonormée si :$$\Vect{i} \cdot \Vect{j} = \Vect{j} \cdot \Vect{k} = \Vect{k} \cdot \Vect{i} = 0 \quad \text{et} \quad \|\Vect{i}\| = \|\Vect{j}\| = \|\Vect{k}\| = 1.$$

Proposition Expressions analytiques

Dans une base orthonormée, pour des vecteurs $\Vect{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :

Produit Scalaire : $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = xx' + yy'$.
Norme : $\|\Vect{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Distance : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.

Important : Si la base n'est pas orthonormée, la formule $xx' + yy'$ ne peut pas être utilisée pour calculer le produit scalaire. Dans ce cas, il faut utiliser la définition géométrique ou les identités de polarisation.

Définition Repère orthonormé

Un repère orthonormé de l'espace (ou du plan) est constitué d'un point $O$, appelé origine, et d'une base orthonormée.

En 2D, il est noté $(O; \Vect{i}, \Vect{j})$. Un point $M$ a pour coordonnées $(x, y)$ si et seulement si : $$\Vect{OM} = x\Vect{i} + y\Vect{j}$$
En 3D, il est noté $(O; \Vect{i}, \Vect{j}, \Vect{k})$. Un point $M$ a pour coordonnées $(x, y, z)$ si et seulement si : $$\Vect{OM} = x\Vect{i} + y\Vect{j} + z\Vect{k}$$

Dans de nombreux problèmes de géométrie, en particulier ceux impliquant des distances ou des angles dans des figures complexes, la mise en place d'un repère orthonormé est souvent la stratégie la plus efficace. Cette approche, appelée méthode analytique, permet de transformer un problème de géométrie pure en une série de calculs algébriques.

Exemple

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$. On cherche la mesure de l’angle $\theta$ entre les diagonales de faces $[AF]$ et $[AH]$.

Mise en place du repère : Comme il s’agit d’un cube, on peut définir le repère orthonormé $(A;\Vect{AB},\Vect{AD},\Vect{AE})$.
- $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$.
- Ainsi $F(1,0,1)$ et $H(0,1,1)$.
Détermination des vecteurs et de leurs propriétés :$$\Vect{AF}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\qquad\Vect{AH}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}.$$
- Produit scalaire : $\Vect{AF}\cdot \Vect{AH}=(1\times 0)+(0\times 1)+(1\times 1)=1$.
- Normes : $\|\Vect{AF}\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$ et $\|\Vect{AH}\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
Calcul de l’angle :$$\cos\theta=\frac{\Vect{AF}\cdot \Vect{AH}}{\|\Vect{AF}\|\,\|\Vect{AH}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}\quad \Longrightarrow \quad\theta=60^\circ.$$

Propriétés

Proposition Carré scalaire d'un vecteur

$$\Vect{u} \cdot \Vect{u} = \|\Vect{u}\|^2$$

Preuve

Soit $\Vect{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. En utilisant la définition analytique :$$\begin{aligned}[t] \Vect{u} \cdot \Vect{u} &= x \cdot x + y \cdot y \\ & =x^2 + y^2\\ &= ( \sqrt{x^2+y^2} )^2\\ &= \|\Vect{u}\|^2\end{aligned}$$

Proposition Symétrie

Le produit scalaire est commutatif :$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \Vect{v} \cdot \Vect{u}.$$

Preuve

Soient $\Vect{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$. En utilisant la définition analytique et la commutativité du produit réel :$$\begin{aligned}[t] \Vect{u} \cdot \Vect{v} &= xx' + yy' \\ & = x'x + y'y\\ &=\Vect{v} \cdot \Vect{u}.\\ \end{aligned}$$

Proposition Bilinéarité

Le produit scalaire est linéaire par rapport à chacun de ses arguments vectoriels.

$\Vect{u} \cdot (\Vect{v} + \Vect{w}) = \Vect{u} \cdot \Vect{v} + \Vect{u} \cdot \Vect{w}$ (distributivité par rapport au second argument) ;
$(\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot \Vect{w} = \Vect{u} \cdot \Vect{w} + \Vect{v} \cdot \Vect{w}$ (distributivité par rapport au premier argument) ;
$\Vect{u} \cdot (k\Vect{v}) = k(\Vect{u} \cdot \Vect{v})$ et $(k\Vect{u})\cdot\Vect{v} = k(\Vect{u}\cdot\Vect{v})$, où $k$ est un nombre réel.

Proposition Identités remarquables

$\|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 = \|\Vect{u}\|^2 + 2\Vect{u} \cdot \Vect{v} + \|\Vect{v}\|^2$.
$\|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2 = \|\Vect{u}\|^2 - 2\Vect{u} \cdot \Vect{v} + \|\Vect{v}\|^2$.
$(\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} - \Vect{v}) = \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2$.

Preuve

$$\begin{aligned}[t]\|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 &= (\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} + \Vect{v})\\ &= \Vect{u}\cdot\Vect{u} + \Vect{u}\cdot\Vect{v} + \Vect{v}\cdot\Vect{u} + \Vect{v}\cdot\Vect{v} && \text{(distributivité)} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 + 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) + \|\Vect{v}\|^2 && \text{(symétrie et $\Vect{u}\cdot\Vect{u}=\|\Vect{u}\|^2$)}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2 &= (\Vect{u} - \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} - \Vect{v})\\ &= \Vect{u}\cdot\Vect{u} - \Vect{u}\cdot\Vect{v} - \Vect{v}\cdot\Vect{u} + \Vect{v}\cdot\Vect{v} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 - 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) + \|\Vect{v}\|^2\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}(\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} - \Vect{v}) &= \Vect{u}\cdot\Vect{u} - \Vect{u}\cdot\Vect{v} + \Vect{v}\cdot\Vect{u} - \Vect{v}\cdot\Vect{v} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 - \Vect{u}\cdot\Vect{v} + \Vect{u}\cdot\Vect{v} - \|\Vect{v}\|^2 && \text{(symétrie)} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2\end{aligned}$$

Proposition Identité de polarisation

$$\Vect{u} \cdot \Vect{v}=\frac{1}{2}\left( \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2 \right).$$

Preuve

Cette identité est déduite directement des identités remarquables. En partant du développement de $\|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2$ :$$ \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 = \|\Vect{u}\|^2 + 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) + \|\Vect{v}\|^2.$$Nous pouvons réarranger l'équation pour isoler $\Vect{u} \cdot \Vect{v}$ :$$ 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) = \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2.$$En divisant par 2, on obtient l'identité :$$ \Vect{u} \cdot \Vect{v} = \frac{1}{2} \left( \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2 \right). $$De manière équivalente, en utilisant $\|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2$, on obtient aussi$$ \Vect{u} \cdot \Vect{v} = \frac{1}{2} \left( \|\Vect{u}\|^2 + \|\Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2 \right). $$

Interprétations géométriques

Proposition Condition de colinéarité

Soient $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ deux vecteurs non nuls.

Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires et de même sens, alors $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.
Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires et de sens opposés, alors $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = -\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.

Preuve

Ceci découle directement de la définition géométrique $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|\cos\theta$.

Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens, l'angle $\theta$ entre eux est $0$. Comme $\cos(0) = 1$, le résultat est $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.
S'ils sont colinéaires et de sens opposés, l'angle $\theta$ est $\pi$. Comme $\cos(\pi) = -1$, le résultat est $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = -\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.

Définition Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul :$$\Vect{u} \perp \Vect{v} \iff \Vect{u} \cdot \Vect{v} = 0.$$

Proposition Droites perpendiculaires

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul :$$(AB) \perp (CD) \iff \Vect{AB} \cdot \Vect{CD} = 0.$$

Proposition Projection orthogonale

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $\Line{AB}$. Alors :$$\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = \Vect{AB} \cdot \Vect{AH}.$$

Ceci implique :

Si $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$ sont de même sens, $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = AB \times AH$.
Si $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$ sont de sens opposés, $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = -AB \times AH$.

Preuve

En utilisant la relation de Chasles, on peut écrire $\Vect{AC} = \Vect{AH} + \Vect{HC}$ :$$\begin{aligned}\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} &= \Vect{AB} \cdot (\Vect{AH} + \Vect{HC}) \\ &= \Vect{AB} \cdot \Vect{AH} + \Vect{AB} \cdot \Vect{HC}.\end{aligned}$$Puisque $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{HC}$ sont orthogonaux. Par conséquent, leur produit scalaire est nul : $\Vect{AB} \cdot \Vect{HC} = 0$. Il nous reste donc$$\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = \Vect{AB} \cdot \Vect{AH}.$$La deuxième partie de la proposition découle de la condition de colinéarité appliquée à $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$.

Théorème de la médiane et applications

Proposition Théorème de la médiane

Étant donné deux points $A$ et $B$ et leur milieu $I$ (c'est-à-dire $I$ milieu de $\SegmentFr{AB}$), pour tout point $M$ du plan, on a :$$\Vect{MA} \cdot \Vect{MB}=MI^2-\frac{1}{4} AB^2.$$

Preuve

En utilisant la relation de Chasles, on introduit le point milieu $I$ :$$\begin{aligned}\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} &= (\Vect{MI}+\Vect{IA}) \cdot (\Vect{MI}+\Vect{IB})\\ &= (\Vect{MI}+\Vect{IA}) \cdot (\Vect{MI}-\Vect{IA}) && \text{(car $I$ est le milieu, $\Vect{IB}=-\Vect{IA}$)}\\ &= MI^2-IA^2 && \text{(identité remarquable)}\\ &= MI^2-\left(\frac{1}{2}AB\right)^2 && \text{(car $IA = \frac{1}{2}AB$)} \\ &= MI^2-\frac{1}{4} AB^2\end{aligned}$$

Proposition Cercle défini par l'orthogonalité

L'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $\SegmentFr{AB}$.

Preuve

On applique le théorème de la médiane, qui énonce $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = MI^2 - \frac{1}{4}AB^2$. La condition pour l'orthogonalité est $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0$. En substituant, on obtient :$$\begin{aligned}MI^2 - \frac{1}{4}AB^2 &= 0 \\ MI^2 &= \frac{1}{4}AB^2 \\ MI &= \sqrt{\frac{1}{4}AB^2} \\ MI &= \frac{1}{2}AB.\end{aligned}$$Ce résultat signifie que la distance de tout point $M$ au point milieu $I$ est constante et égale à la moitié de la longueur du segment $\SegmentFr{AB}$. C'est la définition du cercle de centre $I$ et de diamètre $\SegmentFr{AB}$.