Séries de Maclaurin

De nombreuses fonctions, en particulier les fonctions transcendantes comme $\sin(x)$ et $e^x$, sont difficiles à évaluer sans calculatrice. Cependant, on peut approximer ces fonctions en utilisant des polynômes. C'est l'idée centrale des séries de Maclaurin.
En faisant coïncider la valeur d'une fonction et toutes ses dérivées en un seul point, $x=0$, avec celles d'une série de puissances, on obtient la série de Maclaurin de la fonction. Les sommes partielles de cette série sont des polynômes qui approximent la fonction au voisinage de $x=0$, et, sur un intervalle de convergence, la série infinie peut même donner une égalité exacte. Ce chapitre présente la méthode de construction de ces approximations polynomiales, expose les séries standards à connaître et explore leurs applications.

Séries de Maclaurin

De l'approximation à l'égalité : construction d'un polynôme

L'idée d'une série de Maclaurin se construit sur le concept familier de l'approximation linéaire, que l'on peut améliorer en ajoutant des termes de degré plus élevé pour faire coïncider les dérivées d'ordre supérieur en $x=0$.

Approximation linéaire (Degré 1) : Au voisinage de $x=0$, la meilleure approximation linéaire de $f(x)$ est la tangente en ce point :$$ f(x) \approx f(0) + f'(0)x. $$C'est la première approximation de Maclaurin.
Approximation quadratique (Degré 2) : Pour une meilleure approximation au voisinage de $x=0$, on ajoute un terme de degré $2$ dont on choisit le coefficient de sorte que la dérivée seconde de l'approximation coïncide avec celle de la fonction en $x=0$ :$$ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2. $$
Approximation polynomiale (Degré $n$) : En continuant ce processus, le polynôme de Maclaurin de degré $n$ coïncide avec les $n$ premières dérivées de la fonction en $x=0$ :$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.$$
La limite : la série de Maclaurin : En laissant le degré du polynôme tendre vers l'infini, et lorsque la série ainsi obtenue converge vers $f(x)$ (pour $x$ dans un certain intervalle autour de $0$), l'approximation devient une égalité exacte sur cet intervalle. On obtient alors la série de Maclaurin :$$ f(x) = f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\dots $$ou, sous forme compacte,$$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k. $$

Définition Série de Maclaurin

La série de Maclaurin d'une fonction $f(x)$ indéfiniment dérivable en $x=0$ est la série de puissances$$\begin{aligned}f(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \\ &= f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots\end{aligned}$$Lorsque cette série infinie converge vers $f(x)$ pour $x$ dans un certain intervalle autour de $0$, on dit que $f$ est représentée par sa série de Maclaurin sur cet intervalle. L'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la série converge vers la valeur de la fonction est appelé l'intervalle de convergence.

Méthode Déterminer une série de Maclaurin

Pour déterminer la série de Maclaurin d'une fonction $f(x)$ :

Dériver de manière répétée : calculer les dérivées successives $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, etc., jusqu'à faire apparaître un motif clair.
Évaluer en $x=0$ : calculer $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, etc.
Construire la série : substituer ces valeurs dans la formule$$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k. $$

Exemple

Déterminer la série de Maclaurin pour la fonction $f(x)=e^x$.

Correction

On suit la méthode en trois étapes.

Dériver : $f(x)=e^x \implies f^{(k)}(x)=e^x$ pour tout $k \ge 0$.
Évaluer en $x=0$ : $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$ pour tout $k$.
Construire la série : $$ \begin{aligned} e^x &= \dfrac{f(0)}{0!}x^0 + \dfrac{f'(0)}{1!}x^1 + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots \\ &= \dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!}x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \dots \\ &= 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dots \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}. \end{aligned} $$

Proposition Séries de Maclaurin standards

$e^x$ $= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dots$ pour $x \in \mathbb{R}$
$\ln(1+x)$ $= \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k} = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dots$ pour $|x| < 1$
$\sin(x)$ $= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dots$ pour $x \in \mathbb{R}$
$\cos(x)$ $= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dots$ pour $x \in \mathbb{R}$
$\arctan(x)$ $= \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{ (-1)^kx^{2k+1}}{2k+1} = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dots$ pour $|x| \le 1$
$(1+x)^p$ $= 1 + px + \dfrac{p(p-1)}{2!}x^2 + \dfrac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^3 + \dots$ pour $|x| < 1$ (pour tout réel $p$)

Les séries suivantes sont fondamentales et sont fournies dans le livret de formules.

Polynômes de Maclaurin pour l'approximation

Définition Polynôme de Maclaurin

Un polynôme de Maclaurin de degré $n$, noté $P_n(x)$, est la somme finie des $n+1$ premiers termes de la série de Maclaurin, utilisée pour approximer la fonction au voisinage de $x=0$ :$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.$$

Exemple

Déterminer le polynôme de Maclaurin de degré 4 pour la fonction $f(x)=e^x$ et l'utiliser pour approximer $e^{0,1}$.

Correction

D'après l'exemple précédent, la série de Maclaurin pour $e^x$ est$$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots$$Le polynôme de Maclaurin de degré 4 est :$$P_4(x) = 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}.$$Pour approximer $e^{0,1}$, on calcule $P_4(0,1)$ :$$e^{0,1} \approx 1 + 0,1 + \dfrac{(0,1)^2}{2} + \dfrac{(0,1)^3}{6} + \dfrac{(0,1)^4}{24} \approx 1,10517.$$

Substitution et dérivation/intégration terme à terme

Une technique puissante consiste à obtenir de nouvelles séries à partir de celles que nous connaissons déjà (comme la série géométrique), sans avoir à utiliser la formule de dérivation depuis le début à chaque fois.

Méthode Substitution

On peut déterminer la série d'une fonction composée $f(g(x))$ en partant de la série de $f(u)$ et en substituant $u=g(x)$, puis en adaptant l'intervalle de convergence en conséquence.

Exemple

En partant de la série géométrique $\dfrac{1}{1-u} = \sum_{k=0}^\infty u^k$ pour $|u|<1$, déterminer la série de Maclaurin pour $\dfrac{1}{1+x}$.

Correction

On utilise la formule de la série géométrique et on substitue $u = -x$. La condition $|u|<1$ devient $|-x|<1$, ce qui est équivalent à $|x|<1$.$$\begin{aligned}\dfrac{1}{1-u} &= \sum_{k=0}^{\infty} u^k \\ \dfrac{1}{1-(-x)} &= \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k\quad(\text{soit }u=-x) \\ \dfrac{1}{1+x} &= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k \\ \dfrac{1}{1+x} &= 1 - x + x^2 - x^3 + \dots \quad\text{pour }|x|<1.\end{aligned}$$

Méthode Dérivation et Intégration

On peut dériver ou intégrer terme à terme une série de Maclaurin connue, à l'intérieur de son intervalle de convergence, pour déterminer la série de sa dérivée ou de son intégrale.

Exemple

En partant de la série $\dfrac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^k$ pour $|x|<1$, déterminer la série de Maclaurin pour $\ln(1+x)$.

Correction

On sait que $\displaystyle\int_0^u \dfrac{1}{1+x}\, dx = [\ln(1+x)]_0^u = \ln(1+u)$. On intègre la série terme à terme (valable pour $|u|<1$) :$$\begin{aligned}\dfrac{1}{1+x} & = 1-x+x^2-x^3+\dots \\ \int_0^u \dfrac{1}{1+x}\, dx & = \int_0^u \left( 1-x+x^2-x^3+\dots\right) \, dx\\ \ln(1+u) & = \int_0^u 1 \, dx-\int_0^u x \, dx+\int_0^u x^2 \, dx-\int_0^u x^3 \, dx+\dots \\ \ln(1+u) & = \left[ x\right]_0^u - \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^u + \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^u - \left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^u + \dots \\ \ln(1+u) & = u - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^3}{3} - \dfrac{u^4}{4}+\dots\\ \ln(1+x) & = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4}+\dots\quad(\text{substituer $u$ par $x$})\\ \ln(1+x) & = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k},\quad |x|<1.\end{aligned}$$

Exemple

En partant de la série géométrique $\dfrac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k$ pour $|x|<1$, déterminer la série de Maclaurin pour $\dfrac{1}{(1-x)^2}$.

Correction

On sait que $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1-x}\right) = \dfrac{1}{(1-x)^2}$. On dérive la série terme à terme (valable pour $|x|<1$) :$$\begin{aligned}\dfrac{1}{1-x} & = 1+x+x^2+x^3+\dots \\ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1-x}\right) & = \dfrac{d}{dx}\left( 1+x+x^2+x^3+\dots\right) \\ \dfrac{1}{(1-x)^2} & = \dfrac{d}{dx}\left( 1\right)+\dfrac{d}{dx}\left(x\right)+\dfrac{d}{dx}\left(x^2\right)+\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)+\dfrac{d}{dx}\left(x^4\right)+\dots \\ \dfrac{1}{(1-x)^2} & = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \\ \dfrac{1}{(1-x)^2} & = \sum_{k=0}^\infty (k+1)x^k,\quad |x|<1.\end{aligned}$$

Linéarité des séries de Maclaurin

Les séries de Maclaurin se comportent comme des polynômes : on peut les additionner, les soustraire et les multiplier par des constantes terme à terme. La série résultante converge sur l'intersection des intervalles de convergence des séries individuelles.

Proposition Propriété de linéarité

Si les séries de Maclaurin pour $f(x)$ et $g(x)$ sont connues, et si $c$ est une constante, alors :

Somme / différence : La série de $f(x) \pm g(x)$ est obtenue en additionnant ou en soustrayant terme à terme leurs séries respectives.
Multiple scalaire : La série de $c \cdot f(x)$ est la série de $f(x)$ dont chaque terme est multiplié par $c$.

Exemple

Déterminer la série de Maclaurin pour $f(x) = \cosh(x)$ jusqu'au terme en $x^4$, en utilisant les séries de $e^x$ et $e^{-x}$ (rappel : $\cosh(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$).

Correction

D'abord, on écrit la série pour $e^x$ et on détermine la série pour $e^{-x}$ par substitution :$$ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots $$$$ e^{-x} = 1 - x + \dfrac{x^2}{2!} - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dots $$Ensuite, on additionne les deux séries. Les termes de puissance impaire s'annulent :$$e^x + e^{-x} = 2 + 2\dfrac{x^2}{2!} + 2\dfrac{x^4}{4!} + \dots$$Enfin, on multiplie la série entière par le scalaire $\dfrac{1}{2}$ :$$\cosh(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots$$Ainsi, jusqu'au terme en $x^4$,$$\cosh(x) \approx 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}.$$