Intégrales

La mesure des aires est un besoin fondamental pour la science et la société depuis l'Antiquité. Dans l'Égypte ancienne, les arpenteurs utilisaient des cordes à nœuds pour construire des angles droits, leur permettant de mesurer et de rétablir les limites des champs rectangulaires emportées par les crues annuelles du Nil. Bien que le calcul de l'aire de formes aux côtés rectilignes soit simple, l'analyse mathématique offre un outil révolutionnaire pour déterminer l'aire de régions délimitées par des courbes.

Dans ce chapitre, nous allons développer une méthode pour trouver l'aire exacte, $\mathcal{A}$, de la région délimitée par la courbe d'une fonction $y=f(x)$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x=a$ et $x=b$. Cette aire est notée par l'intégrale définie :

Intégrale définie comme une aire

Approximation de l'aire par des sommes de Riemann

Méthode Approximation de l'aire par des sommes de Riemann

Nous cherchons à mesurer l'aire hachurée, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$, sous la courbe d'une fonction positive $y=f(x)$.

L'idée clé, développée par Bernhard Riemann, est d'approximer cette aire par une somme de rectangles fins, connue sous le nom de Somme de Riemann.

Approximation avec 1 rectangle : Nous pouvons faire une première approximation grossière en remplissant l'aire avec un unique rectangle de largeur $(b-a)$ et de hauteur $f(a)$ (la valeur de la fonction à l'extrémité gauche de l'intervalle).L'aire est approximée par :$$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \approx (b-a)f(a)$$Il s'agit clairement d'une sous-estimation.
Approximation avec 4 rectangles : Pour améliorer l'approximation, nous divisons l'intervalle $[a,b]$ en 4 sous-intervalles égaux, chacun de largeur $\frac{b-a}{4}$. Nous construisons un rectangle sur chaque sous-intervalle, en utilisant la valeur de la fonction à l'extrémité gauche comme hauteur.L'aire totale de ces quatre rectangles donne une bien meilleure approximation :$$\begin{aligned}[t]\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx &\approx \frac{b-a}{4}f(x_0)+\frac{b-a}{4}f(x_1)+\frac{b-a}{4}f(x_2)+\frac{b-a}{4}f(x_3) \\ &\approx \frac{b-a}{4} \left[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right]\end{aligned}$$
Approximation avec $n$ rectangles : On peut généraliser cela en divisant l'intervalle en $n$ sous-intervalles égaux, chacun de largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. En notant $x_i=a+i\Delta x$ pour $i=0,1,\dots,n-1$, la somme des aires des $n$ rectangles est :$$ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x. $$Lorsque nous augmentons le nombre de rectangles ($n \to \infty$), la largeur de chaque rectangle devient infiniment petite, et la somme de leurs aires correspond parfaitement à l'aire sous la courbe :$$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \lim_{n\to\infty} S_n.$$

Définition de l'intégrale définie

Définition Intégrale définie

L'intégrale définie d'une fonction continue $f$ de $a$ à $b$ est la limite de la somme de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini. On la note :$$ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x $$où l'intervalle $[a,b]$ est découpé en $n$ sous-intervalles de largeur $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ et où $x_i$ est un point quelconque du $i$-ème sous-intervalle.

$a$ et $b$ sont les bornes d'intégration.
$f(x)$ est l'intégrande.

Cette notation, introduite par Leibniz, capture l'idée de sommer ($\int$ est un 'S' allongé pour summa) les aires d'une infinité de rectangles de hauteur $f(x)$ et de largeur infinitésimale $dx$.

Définition Aire algébrique

L'intégrale définie calcule l'aire algébrique.

L'aire au-dessus de l'axe des abscisses est comptée positivement.
L'aire en dessous de l'axe des abscisses est comptée négativement.

L'intégrale est la somme de ces aires algébriques.

Exemple

Déterminer l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{2} 1\,\mathrm dx$ en l'interprétant comme une aire.

Correction

L'intégrale représente l'aire sous la fonction constante $f(x)=1$ de $x=-1$ à $x=2$. Cela forme un rectangle de largeur $2 - (-1) = 3$ et de hauteur $1$. L'aire est donc $3 \times 1 = 3$.

Propriétés de l'intégrale définie

Proposition Propriétés de l'intégration

Soient $f$ et $g$ des fonctions continues et $k$ une constante.

Intervalle de largeur nulle :$$\displaystyle\int_a^a f(x) \;dx= 0.$$
Additivité des intervalles (Relation de Chasles) : Pour tout $c$ entre $a$ et $b$ :$$\displaystyle\int_a^b f(x)\;dx = \int_a^c f(x) \; dx + \int_c^b f(x)\;dx$$
Linéarité :$$\displaystyle\int_a^b (f(x)+g(x)) \; dx= \int_a^b f(x) \; dx+ \int_a^b g(x) \; dx$$$$\displaystyle\int_a^b k f(x) \; dx= k \int_a^b f(x) \; dx.$$

Théorèmes fondamentaux de l'analyse

Jusqu'à présent, nous avons défini l'intégrale définie comme la limite d'une somme — un concept géométrique d'aire. Par ailleurs, la dérivation est un processus de recherche de taux de variation. Le théorème fondamental de l'analyse établit un lien profond et puissant entre ces deux idées apparemment sans rapport : l'intégration et la dérivation sont des processus inverses l'un de l'autre.

Primitives

Définition Primitive

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ si $F'(x) = f(x)$. Le processus de recherche d'une primitive est appelé primitivation ou intégration indéfinie.

Puisque la dérivée d'une constante est nulle, une fonction $f$ n'a pas une primitive unique. Par exemple, si $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x)=2x$, alors $G(x)=x^2+5$ est aussi une primitive, car $G'(x) = 2x+0 = 2x$. Toutes les primitives d'une fonction ne diffèrent que par une constante.

Définition Intégrale Indéfinie (Ensemble des primitives)

L'ensemble de toutes les primitives d'une fonction $f$ est appelé l'intégrale indéfinie de $f$ et est noté :$$ \int f(x)\,\mathrm dx = F(x)+C $$où $F$ est une primitive quelconque de $f$ et $C$ est une constante arbitraire appelée la constante d'intégration.

Calcul de primitives

Le processus de détermination des primitives repose sur l’inversion des règles de dérivation. Tout comme nous disposons d'un tableau de dérivées pour les fonctions usuelles, nous pouvons créer un tableau correspondant pour les primitives.

Proposition Primitives des fonctions usuelles

$$\begin{array}{|c|c|}\hline Fonction f:x\mapsto & Une Primitive F:x\mapsto \\ \hline k \text{ (une constante)} & k x\\ \hline x^{n}, n \neq-1 & \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \\ \hline e^{x} & e^{x} \\ \hline \frac{1}{x} & \ln|x| \\ \hline \cos(x) & \sin(x) \\ \hline \sin(x) & -\cos(x) \\ \hline\end{array}$$

Preuve

On obtient ce tableau par "lecture inverse" du tableau des dérivées usuelles.

Exemple

Trouver une primitive de $f(x)=\frac{1}{x^2}$.

Correction

D'abord, on réécrit la fonction en utilisant un exposant négatif : $f(x)=x^{-2}$.
Une primitive de la fonction puissance $f(x)=x^n$ (pour $n\neq -1$) est $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Avec $n=-2$, on obtient :$$\begin{aligned} F(x) &= \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \\ &= \frac{x^{-1}}{-1} \\ &= -\frac{1}{x}\end{aligned}$$

Proposition Linéarité de l'intégration

Soient $u$ et $v$ deux fonctions admettant pour primitives $U$ et $V$, et $k$ une constante.

Une primitive de $u+v$ est $U+V$.
Une primitive de $ku$ est $kU$.

Cela nous permet de trouver la primitive d'une somme de fonctions terme à terme.

Exemple

Trouver une primitive de $f(x)=2x+3$.

Correction

On utilise la propriété de linéarité pour trouver la primitive de chaque terme séparément.

Une primitive de $2x$ est $2 \cdot \dfrac{x^2}{2} = x^2$.
Une primitive de $3$ est $3x$.

En les combinant, une primitive de $f(x)=2x+3$ est $F(x) = x^2+3x$.

Proposition Primitives de fonctions composées (inverse de la dérivation en chaîne)

Soit $u$ une fonction dérivable de $x$.$$\begin{array}{|c|c|}\hline Fonction f(x) & Une Primitive F(x) \\ \hline u'(x) [u(x)]^n, \quad n \neq -1 & \dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} \\ \hline \dfrac{u'(x)}{u(x)} & \ln|u(x)| \\ \hline u'(x)e^{u(x)} & e^{u(x)} \\ \hline\end{array}$$

Exemple

Trouver une primitive de $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

Correction

La fonction $f(x)$ est de la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
Posons $u(x) = x^2+1$. Sa dérivée est alors $u'(x) = 2x$.
On peut donc écrire $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
D'après le tableau, une primitive est $F(x) = \ln|u(x)|$.
En substituant, on obtient $F(x) = \ln|x^2+1|$. Comme $x^2+1$ est toujours positif, on peut retirer les barres de valeur absolue :$$ F(x) = \ln(x^2+1) $$

Théorème fondamental de l'analyse

Theorem Théorème fondamental de l'analyse

Si $f$ est une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$ et si $F$ est une primitive quelconque de $f$, alors :$$ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a) $$Ce résultat est souvent écrit en utilisant la notation $\left[ F(x) \right]_a^b = F(b)-F(a)$.

Preuve

Le théorème stipule que l'intégration et la dérivation sont des processus inverses. On peut le comprendre en examinant la "fonction aire".

Définition de la fonction aire : Définissons une fonction $A(x)$ comme étant l'aire sous la courbe $y=f(t)$ d'un point de départ fixe $a$ à une borne variable $x$ : $$ A(x) = \int_a^x f(t) \, dt. $$ Notre but est de montrer que la dérivée de cette fonction aire, $A'(x)$, est simplement la fonction originale $f(x)$.
L'aire d'une bande fine : L'aire d'une fine bande verticale entre $x$ et $x+h$ est la différence entre l'aire totale jusqu'à $x+h$ et l'aire totale jusqu'à $x$ : $$ \text{Aire de la bande} = A(x+h) - A(x). $$
Approximation de l'aire de la bande : Comme le montre le diagramme, si la largeur $h$ est très petite, cette bande fine est presque un rectangle parfait.
- La largeur du rectangle est $h$.
- La hauteur du rectangle est approximativement $f(x)$.
On peut donc approximer l'aire de la bande : $$ \text{Aire de la bande} \approx f(x) \cdot h. $$
Lien avec la dérivée : Nous avons maintenant deux expressions pour l'aire de la bande : $$ A(x+h) - A(x) \approx f(x) \cdot h. $$ En divisant par $h$, on obtient le taux d'accroissement de la fonction $A(x)$ : $$ \frac{A(x+h) - A(x)}{h} \approx f(x). $$
Passage à la limite : Cette approximation devient une égalité parfaite lorsque la largeur de la bande, $h$, tend vers zéro. En prenant la limite des deux côtés : $$ \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(x). $$ L'expression de gauche est, par définition, la dérivée de la fonction aire, $A'(x)$ : $$ A'(x) = f(x). $$
Trouver la formule : Soit maintenant $F(x)$ une primitive quelconque de $f(x)$. Comme toutes les primitives d'une fonction ne diffèrent que par une constante, nous savons que : $$ A(x) = F(x) + C $$ pour une certaine constante $C$. Pour trouver $C$, nous pouvons évaluer cette expression en $x=a$ : $$ A(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0 $$ donc $$ F(a) + C = 0 \implies C = -F(a). $$ Ainsi, la fonction aire est $A(x) = F(x) - F(a)$.
Pour trouver l'aire totale jusqu'à $x=b$, il suffit d'évaluer $A(b)$ : $$ \int_a^b f(x)\,dx = A(b) = F(b) - F(a). $$ Ceci achève la démonstration.

Remarque

Ce théorème est fondamental car il relie le concept géométrique d'aire (l'intégrale définie) au processus algébrique de recherche de primitive. Il nous donne une méthode puissante pour calculer des aires exactes sans avoir à utiliser la limite d'une somme de Riemann.

Exemple

Calculer $\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm dx$.

Correction

Trouver une primitive : Une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.
Appliquer le Théorème Fondamental : $$\begin{aligned}\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm dx &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = F(2) - F(0) \\ &=\frac{2^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}\end{aligned}$$

Cela signifie que l'aire exacte sous la courbe $y=x^2$ sur l'intervalle $[0,2]$ est égale à $\dfrac 8 3$.

Techniques d'intégration

Bien que nous puissions intégrer des fonctions de base en inversant les règles de dérivation, de nombreuses fonctions nécessitent des techniques plus avancées. Cette section couvre deux méthodes clés qui sont les inverses de la dérivation en chaîne et de la dérivation d'un produit : l'intégration par substitution et l'intégration par parties.

Intégration par reconnaissance de primitives

Méthode Intégration par inspection

Une stratégie courante consiste à faire une hypothèse éclairée pour la primitive, à la dériver, puis à ajuster les facteurs constants.

Hypothèse : Observer la fonction et proposer une primitive possible.
Dérivation : Dériver votre hypothèse.
Ajustement : Comparer votre résultat à l'intégrande original et multiplier par un facteur constant pour corriger les différences.

Exemple

Calculer l'intégrale de $\sin(3x)$.

Correction

Hypothèse : La primitive de $\sin$ est $-\cos$. Une bonne hypothèse pour la primitive est $F(x) = -\cos(3x)$.
Dérivation : En utilisant la règle de dérivation en chaîne, la dérivée de notre hypothèse est $F'(x) = -(-\sin(3x)) \cdot 3 = 3\sin(3x)$.
Ajustement : Notre résultat, $3\sin(3x)$, est 3 fois plus grand que l'intégrande original, $\sin(3x)$. Nous devons donc diviser notre hypothèse initiale par 3.

La primitive correcte est $-\dfrac{1}{3}\cos(3x)$. Donc,$$ \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C $$

Intégration par changement de variable

L'intégration par changement de variable est une technique puissante qui inverse la règle de dérivation en chaîne. Elle est utilisée quand un intégrande contient à la fois une fonction et sa dérivée.
Considérons l'intégrale $\int (2x^3+1)^7 (6x^2) \, dx$. On peut voir que l'expression contient une « fonction intérieure », $u(x) = 2x^3+1$, et sa dérivée, $u'(x) = 6x^2$. Cette structure est un indicateur clair pour une substitution.
Posons une nouvelle variable, $u = 2x^3+1$. En dérivant par rapport à $x$, on obtient $\dfrac{du}{dx}=6x^2$, ce qui se réécrit sous la forme différentielle $du = 6x^2\,dx$. Nous pouvons maintenant substituer $u$ et $du$ dans l'intégrale originale :$$\begin{aligned} \int \underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}} \underbrace{(6x^2)\,dx}_{du} &= \int u^{7}\,du \\ &= \frac{1}{8}u^{8}+C\end{aligned}$$Finalement, on substitue en retour pour exprimer le résultat en termes de $x$ :$$ \int (2x^3+1)^7 (6x^2) \, dx =\frac{1}{8}(2x^3+1)^{8}+C $$

Proposition Intégration par changement de variable

Pour l'intégration par changement de variable :

Intégrale indéfinie :$$\int f(u(x))u'(x) \, dx = \int f(u) \, du $$
Intégrale définie :$$\int_a^b f(u(x))u'(x) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u) \, du $$

Exemple

Calculer $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\;dx$.

Correction

Substitution : Posons $u = x^2+1$. Alors $du = 2x\,dx$.
Changement des bornes :
- Si $x=0$, $u=1$.
- Si $x=1$, $u=2$.
Intégration : On substitue pour obtenir une intégrale plus simple en $u$ : $$\begin{aligned} \int_0^1 \underbrace{(x^2 + 1)^3}_{u^3} \underbrace{2x\;dx}_{du} &= \int_1^2 u^3 \, du \\ &= \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 \\ &= \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \\ &= 4 - \frac{1}{4}\\ & = \frac{15}{4} \end{aligned}$$

Intégration par parties

L'intégration par parties est une technique puissante pour intégrer le produit de deux fonctions. Elle est dérivée de la règle de dérivation d'un produit et en est l'opération inverse.

Proposition Intégration par parties

Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ :

Intégrale indéfinie : $$ \int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \, dx $$
Intégrale définie : $$ \int_a^b u(x)v'(x) \, dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx $$

Preuve

La règle de dérivation d'un produit stipule que pour deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ :$$ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$En intégrant les deux membres par rapport à $x$ :$$ \int (u(x)v(x))' \, dx = \int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx $$Puisque l'intégration est l'opération inverse de la dérivation, le membre de gauche se simplifie en $u(x)v(x)$ :$$ u(x)v(x) = \int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx $$En réarrangeant cette équation, on obtient la formule d'intégration par parties :$$ \int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \, dx $$

Remarque

La clé de cette méthode est de choisir $u$ et $v'$ de manière stratégique. Le but est de sélectionner un $u$ qui se simplifie par dérivation (par ex., un polynôme) et un $v'$ qui est facile à intégrer. La nouvelle intégrale, $\int u'v \, dx$, doit être plus simple à résoudre que l'originale.

Exemple

Calculer $\displaystyle\int_0^1 x e^x \; dx$.

Correction

On a un produit de deux fonctions, $x$ et $e^x$. On choisit $u$ et $v'$ :

Posons $u(x)=x$ (car sa dérivée $u'(x)=1$ est plus simple).
Posons $v'(x)=e^x$ (car sa primitive $v(x)=e^x$ est facile à trouver).

On applique la formule pour les intégrales définies :$$\begin{aligned}\int_0^1 x e^x \; dx & = \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 1\cdot e^x \;dx \\ & = (e - 0) - [e^x]_0^1 \\ & = e - (e-1) \\ & = 1.\end{aligned}$$