Variables aléatoires continues

Considérons une expérience aléatoire où l’on fait tourner une toupie, et la variable aléatoire continue $X$ représente l’angle obtenu, mesuré en degrés sur l’intervalle $[0, 360[$.

La probabilité que $X$ prenne une valeur précise, comme $x = 125,333\ldots$, est nulle en raison du nombre infini de résultats possibles dans un intervalle continu. Cependant, nous pouvons calculer la probabilité que $X$ se situe dans un intervalle, tel que $[90, 180]$, en additionnant les probabilités sur de très petits sous-intervalles à l’intérieur de cet intervalle :$$\begin{aligned}P(90 \leq X \leq 180) &= \sum_{x \in [90, 180]} P(x \leq X < x + dx) \\ &= \sum_{x \in [90, 180]} \frac{P(x \leq X < x + dx)}{dx} \cdot dx\end{aligned}$$Ici, $dx$ représente un intervalle infinitésimal, et le rapport, $\frac{P(x \leq X < x + dx)}{dx}$, est la probabilité par unité de longueur. Nous définissons cela comme la fonction de densité de probabilité, $f(x)=\frac{P(x \leq X < x + dx)}{dx}$. D'après la définition de l’intégration, cette somme se transforme en :$$P(90 \leq X \leq 180) = \int_{90}^{180} f(x) \, dx$$Pour une toupie uniforme, la probabilité est répartie également sur tous les angles, donc la fdp est constante : $f(x) = \frac{1}{360}$ pour $x \in [0, 360)$. Ainsi :$$\begin{aligned}P(90 \leq X \leq 180) &= \int_{90}^{180} \frac{1}{360} \, dx \\ &= \left[ \frac{x}{360} \right]_{90}^{180} \\ &= \frac{180}{360} - \frac{90}{360} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}$$Par conséquent, la probabilité de tourner un angle entre 90 et 180 degrés est $\frac{1}{4}$.

Définitions

Variable aléatoire continue

Définition Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire est continue si l'ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle entier de nombres réels. Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur à l'intérieur de son intervalle, ce qui signifie qu'il y a une infinité de possibilités.

Densité de probabilité

Une densité de probabilité décrit la chance qu’une variable aléatoire continue prenne des valeurs dans un intervalle spécifique. Contrairement aux variables aléatoires discrètes, où les probabilités sont assignées à des résultats individuels, les variables continues utilisent la densité de probabilité pour calculer les probabilités sur des intervalles par intégration.

Définition Densité de probabilité

Une fonction $f$ est une densité de probabilité sur l’intervalle $[a, b]$ si :

$f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$ (non négative partout),
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 1$ (l’aire totale sous la courbe est égale à 1).

Exemple

La variable aléatoire $X$ prend des valeurs sur $[0, 2]$ avec la densité $f(x) = \frac{x}{2}$.

Vérifie que $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $[0, 2]$.

Correction

$f(x) = \frac{x}{2} \geq 0$ pour tout $x \in [0,2]$, car $x \geq 0$.
Calcule l’aire totale : $$ \begin{aligned}[t] \int_{0}^{2} f(x) \, dx &= \int_{0}^{2} \frac{x}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^2}{4} - 0 = 1 \end{aligned} $$ Puisque les deux conditions sont satisfaites, $f(x) = \frac{x}{2}$ est une densité de probabilité valide sur $[0, 2]$.

Définition Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire $X$ prenant des valeurs sur $[a, b]$ a une densité de probabilité $f$, si la probabilité que $X$ soit entre $c$ et $d$ ($c, d \in [a, b]$) est :$$P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} f(x) \, dx$$Cela représente l’aire sous la courbe $y = f(x)$ de $x = c$ à $x = d$.

On dit que $X$ est une variable aléatoire à densité.

Remarque

Puisque $f(x) \geq 0$, $P(c \leq X \leq d) \geq 0$.
Puisque $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 1$, $P(a \leq X \leq b) = 1$.

Exemple

La variable aléatoire $X$ avec des valeurs sur $[0, 2]$ a une densité $f(x) = \frac{x}{2}$. Calcule $P(1 \leq X \leq 2)$.

Correction

$$\begin{aligned}[t]P(1 \leq X \leq 2) &= \int_{1}^{2} \frac{x}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{2^2}{4} - \frac{1^2}{4} \\ &= 1 - \frac{1}{4}\\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}$$

Espérance

L’espérance (ou valeur attendue) d’une variable aléatoire continue est la valeur « moyenne » qu’elle prendrait si l’expérience était répétée infiniment. Elle représente le centre de la distribution et est calculée comme une moyenne pondérée, où la fdp $f(x)$ fournit la pondération :$$\begin{aligned}[t]E(X)&=\sum_{x\in[a,b]}x P(x \leqslant X < x+\mathrm d x)\\ &=\sum_{x\in[a,b]}x \dfrac{P(x \leqslant X < x+\mathrm d x)}{\mathrm d x}\mathrm d x\\ &=\int_{a}^b xf(x)\;\mathrm d x\\ \end{aligned}$$

Définition Espérance

Pour une variable aléatoire continue $X$ avec densité $f$ sur $[a, b]$, l'espérance est$$E(X) = \int_{a}^{b} x f(x) \, dx.$$

Exemple

La variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[0, 3]$ a une densité $f(x) = \frac{x^2}{9}$.

Calcule $E(X)$.

Correction

Calcule $E(X)$ : $$ \begin{aligned}[t] E(X) &= \int_{0}^{3} x \cdot \frac{x^2}{9} \, dx \\ &= \int_{0}^{3} \frac{x^3}{9} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^4}{36} \right]_{0}^{3} \\ &= \frac{3^4}{36} - 0 \\ &= 2,25 \\ \end{aligned} $$

Exemple

La variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[0,2]$ a une densité $f(x) = \frac{x}{2}$.

Calcule $E(X)$.

Correction

Calcule $E(X)$ :$$\begin{aligned}[t]E(X) &= \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} \, dx \\ &= \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^3}{6} - 0 \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3} \\ \end{aligned}$$

Variance

La variance d’une variable aléatoire continue mesure l’étendue de ses valeurs autour de la valeur attendue si l’expérience était répétée infiniment. Elle quantifie la dispersion de la distribution et peut être calculée comme pour une variable aléatoire discrète:$$\begin{aligned}[t]V(X) &= \sum_{x \in [a, b]} (x - E(X))^2 P(x \leq X < x + dx) \\ &= \sum_{x \in [a, b]} (x - E(X))^2 \frac{P(x \leq X < x + dx)}{dx} \cdot dx \\ &= \int_{a}^{b} (x - E(X))^2 f(x) \, dx\end{aligned}$$

Définition Variance et écart type

Pour une variable aléatoire continue $X$ avec densité $f$ sur $[a, b]$ la variance est$$V(X) = \int_{a}^{b} (x - E(X))^2 f(x) \, dx.$$L'écart type est$$\sigma = \sqrt{V(X)}.$$

Proposition Formule de calcul pour la variance

Une formule plus pratique pour le calcul de la variance est :$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Exemple

La variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[0,2]$ a une densité $f(x) = \frac{x}{2}$.
Calcule $V(X)$.

Correction

Calcule $E(X)$ : $$ \begin{aligned}[t] E(X) &= \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} \, dx \\ &= \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^3}{6} - 0 \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\\ \end{aligned} $$
Calcule $\int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx$ : $$ \begin{aligned}[t] \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx &=\int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{x}{2} \, dx\\ &= \int_{0}^{2} \frac{x^3}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^4}{8} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^4}{8} - 0 \\ &= \frac{16}{8} \\ &= 2 \end{aligned} $$
Calcule $V(X)$ en utilisant la formule alternative : $$ \begin{aligned}[t] V(X) &= \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx - [E(X)]^2 \\ &= 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 \\ &= 2 - \frac{16}{9} \\ &= \frac{18}{9} - \frac{16}{9} \\ &= \frac{2}{9} \end{aligned} $$

Distribution uniforme continue

La distribution uniforme continue s’applique à des événements qui sont également probables sur un intervalle, comme dans l’exemple de la toupie. La densité est constante sur cet intervalle.

Définition Distribution uniforme continue

Une variable aléatoire continue $X$ suit une distribution uniforme continue sur $[a, b]$ si sa densité est :$$f(x) = \frac{1}{b - a} \quad \text{pour} \quad a \leq x \leq b$$

Proposition Propriétés

Soit $ X $ une variable aléatoire continue suivant une distribution uniforme continue sur l’intervalle $[a, b]$ :

pour tout $ c, d \in [a, b] : P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$,
$E(X) = \frac{a + b}{2}$.
$V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$.

Preuve

Probabilité : $$ \begin{aligned}[t] P(c \leq X \leq d) &= \int_{c}^{d} \frac{1}{b - a} \, dx \\ &= \left[ \frac{x}{b - a} \right]_{c}^{d} \\ &= \frac{d - c}{b - a} \end{aligned} $$
Espérance : $$ \begin{aligned}[t] E(X) &= \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b - a} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2(b - a)} \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)}\\ &= \frac{(b - a)(b + a)}{2(b - a)}\\ &= \frac{a + b}{2} \end{aligned} $$
Variance : On utilise la formule $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. On calcule d'abord $E(X^2)$. $$ \begin{aligned}[t] E(X^2) &= \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b-a} \, dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3} \end{aligned} $$ Maintenant on peut calculer la variance : $$ \begin{aligned}[t] V(X) &= \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\ &= \frac{4(a^2+ab+b^2) - 3(a+b)^2}{12} \\ &= \frac{4a^2+4ab+4b^2 - 3(a^2+2ab+b^2)}{12} \\ &= \frac{4a^2+4ab+4b^2 - 3a^2-6ab-3b^2}{12} \\ &= \frac{a^2-2ab+b^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12} \end{aligned} $$

Distribution normale

Distribution normale standard

La distribution normale est une distribution continue essentielle en statistique, souvent utilisée pour modéliser des phénomènes réels (par exemple, tailles, scores de tests) grâce au théorème central limite. Ce théorème stipule que la somme ou la moyenne de nombreuses variables aléatoires indépendantes, sous certaines conditions, se rapproche d’une distribution normale lorsque la taille de l’échantillon augmente. La courbe normale est en forme de cloche, symétrique et centrée sur sa moyenne.
Par exemple, nous traçons un histogramme des tailles des garçons à l’université. La distribution représentée par l’histogramme suit une courbe en forme de cloche, également appelée distribution normale.

Définition Distribution normale standard

Une variable aléatoire continue $X$ suit une distribution normale standard si sa moyenne est de 0 et sa variance de 1. Sa densité est :$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad -\infty < x < \infty$$On note $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$.

Remarque

La probabilité totale est 1 :$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx = 1$$Ceci correspond à l’aire totale sous la courbe.

Distribution normale

Définition Distribution normale

Une variable aléatoire continue $X$ suit une distribution normale si sa densité est :$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2}, \quad -\infty < x < \infty$$où $\mu$ est la moyenne et $\sigma^2$ est la variance. Le graphique est une courbe normale (en forme de cloche), notée $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$.

Note sur l'utilisation de la technologie

L'intégrale de la densité de probabilité de la distribution normale ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires. Par conséquent, le calcul des probabilités pour une distribution normale, tel que $P(a \leq X \leq b)$, doit être effectué à l'aide d'une calculatrice graphique (GDC) ou d'un logiciel de statistique.

Proposition Espérance et Variance

Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ :

$E(X) = \mu$,
$V(X) = \sigma^2$.

Règle empirique pour la distribution Normale

Proposition Règle empirique pour la distribution normale

Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, les probabilités pour les intervalles centrés sur la moyenne sont approximativement :

$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68,3\pourcent$
$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95,4\pourcent$
$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99,7\pourcent$

La règle empirique stipule que pour une distribution normale, des pourcentages spécifiques de données se situent dans des intervalles autour de la moyenne. En raison de la symétrie de la courbe normale, nous pouvons décomposer ces pourcentages pour trouver les probabilités de sections individuelles, chacune ayant une largeur d'un écart-type.
Par exemple, par symétrie, l'aire de $\mu$ à $\mu+\sigma$ est la moitié de l'aire totale de $\mu-\sigma$ à $\mu+\sigma$ : $$P(\mu \leq X \leq \mu + \sigma) = \frac{P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)}{2} \approx 34{,}13\pourcent$$Cela nous donne une carte détaillée de la distribution normale :

Exemple

La taille des élèves d'une école suit une loi normale de moyenne $\mu = 172 \, \text{cm}$ et d'écart-type $\sigma = 8 \, \text{cm}$.

Déterminer le pourcentage d'élèves dont la taille est comprise entre 164 cm et 172 cm.
Déterminer le pourcentage d'élèves dont la taille est comprise entre 164 cm et 180 cm.
Déterminer le pourcentage d'élèves dont la taille est supérieure à 196 cm.
Déterminer le pourcentage d'élèves dont la taille est inférieure à 196 cm.
Dans un groupe de 500 élèves, combien s'attend-on à trouver d'élèves ayant une taille comprise entre 164 cm et 180 cm ?

Correction

D'abord, on étiquette la distribution avec la moyenne et l'écart-type donnés :

$P(164 \leq X \leq 172) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu) = 34,13\pourcent$.
$P(164 \leq X \leq 180) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) = 34,13\pourcent + 34,13\pourcent = 68,26\pourcent$.
$P(X > 196) = P(X \geq \mu + 3\sigma) = 0,13\pourcent$.
$P(X < 196) = 1 - P(X \geq 196) = 100\pourcent - 0,13\pourcent = 99,87\pourcent$.
Nombre attendu = $68,26\pourcent \times 500 = 0,6826 \times 500 \approx 341$ élèves.

Quantiles

Définition Quantile

Le $p$-quantile d'une variable aléatoire $X$ est la valeur $x_p$ telle que $P(X \leq x_p) = p$. Par exemple, le quantile d'ordre 0,95 (ou 95ème centile) est la valeur $x_{0,95}$ en dessous de laquelle se trouvent 95$\pourcent$ des valeurs de la distribution.

Exemple

Soit $X \sim \mathcal{N}(7, 2^2)$. Trouver la valeur $k$ telle que $P(X \leq k) = 0,95$.

Correction

En utilisant la fonction normale inverse d'une calculatrice avec aire$=0,95$, $\mu = 7$, et $\sigma = 2$, on trouve $k \approx 10,29$.