Continuité

Définition

Définition Continuité en un point

Une fonction $f$ est continue en un point $x=a$ si trois conditions sont remplies :

$f(a)$ est définie (le point existe).
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe (la limite existe).
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (la limite est égale à la valeur de la fonction).

Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon du papier.

Types de discontinuité

Discontinuité amovible (ou prolongeable par continuité) : Se produit lorsque la limite existe mais n'est pas égale à la valeur de la fonction, ou si la fonction n'est pas définie au point. Cela correspond à un « trou » dans le graphe.
Discontinuité non amovible (ou essentielle) : Se produit lorsque la limite n'existe pas. Cela correspond à un « saut » (où les limites à gauche et à droite diffèrent), à une asymptote verticale (une discontinuité infinie) ou encore à un comportement très oscillant.

Proposition Catalogue de fonctions continues

Les types de fonctions suivants sont continus en chaque nombre de leur domaine de définition :

Polynômes (ex., $f(x)=x^2-3x+5$)
Fonctions rationnelles (ex., $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$, continue pour $x \neq 2$)
Fonctions racines (ex., $f(x)=\sqrt[n]{x}$, continue sur leur domaine)
Fonctions trigonométriques (ex., $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$, etc., continues sur leurs domaines)
Fonctions trigonométriques inverses (ex., $\arctan(x), \arcsin(x)$, etc.)
Exponentielle (ex., $f(x)=e^x$)
Logarithme népérien (ex., $f(x)=\ln(x)$, continue pour $x>0$)

De plus, toute somme, différence, produit ou composition de ces fonctions est également continue sur son domaine.

Limite d'une fonction composée

Proposition Limite d'une fonction composée

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = L$ et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors :$$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(L). $$

En bref, si la fonction extérieure est continue, on peut « faire entrer la limite à l'intérieur de la fonction ».

Exemple

Évaluer $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)$.

Correction

On applique la règle de la limite d'une fonction composée. Comme la fonction logarithme népérien est continue pour toutes les entrées positives, on peut « faire entrer » la limite à l'intérieur de la fonction :$$\begin{aligned}\lim_{x \to \infty} \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)&= \ln\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{x}\right) && (\text{car } \ln \text{ est continue sur } ]0,+\infty[) \\ &= \ln\left(\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)\right) && (\text{par simplification algébrique}) \\ &= \ln(1+0) \\ &= \ln(1) \\ &= 0.\end{aligned}$$