Nombres Complexes : approche géométrique

Alors que l'approche algébrique fournit les règles de manipulation des nombres complexes, l'approche géométrique offre une manière à la fois puissante et intuitive de comprendre leur signification. En représentant les nombres complexes comme des points ou des vecteurs dans un plan, nous pouvons visualiser leurs opérations comme des transformations géométriques telles que des rotations, des symétries et des homothéties. Ce chapitre explore la géométrie du plan complexe et présente les notions de module, d'argument ainsi que les motifs géométriques formés par les racines des nombres complexes.

Plan complexe

Nous avons vu qu'un nombre complexe peut s'écrire sous forme algébrique $z = a+ib$ où $a = \Re(z)$ et $b = \Im(z)$ sont deux nombres réels.
Il existe une correspondance biunivoque entre tout nombre complexe $a+ib$ et le point $(a, b)$.
Nous pouvons donc représenter tout nombre complexe dans un plan en lui associant un point unique, ce qui donne une représentation géométrique à ce qui n'était jusqu'alors qu'un objet algébrique. Ce plan est appelé le plan complexe.

Définition Plan complexe

Le plan complexe est le plan rapporté à un repère orthonormal tel que :

l'axe horizontal, appelé l'axe des réels, est l'ensemble des nombres réels ;
l'axe vertical, appelé l'axe des imaginaires purs, est l'ensemble des nombres imaginaires purs.

Définition Correspondance entre représentations cartésienne et complexe

Le point $M(a; b)$ est le point image du nombre complexe $z=a+ib$.
Le vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est le vecteur image du nombre complexe $z=a+ib$.
Le nombre complexe $z=a+ib$ est l'affixe du point $M(a; b)$ et du vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.

Module et argument

Géométriquement, chaque nombre complexe possède deux caractéristiques essentielles : sa distance à l'origine et sa direction par rapport à l'axe des réels positifs.

Définition Module

Le module d'un nombre complexe $z = x+iy$, noté $|z|$, est la distance de l'origine à son point image dans le plan complexe. D'après le théorème de Pythagore, il est défini par :$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$Le module est un nombre réel positif ou nul.

Définition Argument

L'argument d'un nombre complexe non nul $z$, noté $\arg(z)$, est toute mesure de l'angle réel $\theta$ orienté entre l'axe des réels positifs et le vecteur image de $z$.

Remarque

Un argument d'un nombre complexe n'est pas unique, car on peut ajouter n'importe quel multiple de $2\pi$ à l'angle. Pour le rendre unique, on définit la valeur principale de l'argument comme étant la valeur de $\theta$ dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.
L'argument du nombre complexe $0$ n'est pas défini.

Exemple

Les nombres imaginaires purs non nuls ont pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ ou $-\dfrac{\pi}{2}$.

Méthode Calculer l'argument

Pour déterminer un argument $\theta$ d'un nombre complexe non nul $z=a+ib$ :

Calculer le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$.
Factoriser par le module pour identifier les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique : $$ z = |z| \left( \frac{a}{|z|} + i \frac{b}{|z|} \right). $$
Identifier l'angle. On cherche un angle $\theta$ qui vérifie le système d'équations : $$ \begin{cases} \cos(\theta) = \dfrac{a}{|z|} \\ \sin(\theta) = \dfrac{b}{|z|} \end{cases} $$ Cette valeur de $\theta$ est un argument de $z$.

Exemple

Déterminer un argument du nombre complexe $z = -1+i\sqrt{3}$.

Correction

On calcule d'abord le module de $z$ : $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2.$$ On factorise le module : $$z = 2 \times \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$
On cherche un réel $\theta$ tel que : $$ \begin{cases} \cos(\theta) = -\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ vérifie les deux équations.
Donc un argument de $z$ est $\dfrac{2\pi}{3}$.

Nombres complexes de module 1 et exponentielle imaginaire

Définition Cercle unité dans le plan complexe

On appelle cercle trigonométrique, noté $\mathbb{U}$, l'ensemble des nombres complexes de module $1$ :$$\mathbb{U}=\{z \in \mathbb{C} \mid |z |=1\}.$$

Proposition Forme trigonométrique des nombres de module 1

Si $z\in \mathbb{U}$, alors il existe $\theta\in \R$ tel que$$z=\cos \theta+i \sin \theta.$$Ici, $\theta$ est un argument de $z$.

Motivation pour la notation d'Euler

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(\theta) = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$En utilisant les formules d'addition du cosinus et du sinus, on montre que, pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ :$$f(\theta + \theta') = f(\theta)\, f(\theta').$$Par analogie avec la fonction exponentielle réelle ($e^{x+y}=e^x e^y$), on adopte la notation$$f(\theta) = e^{i\theta}.$$

Définition Exponentielle imaginaire

Pour tout nombre réel $\theta$, on définit l'exponentielle imaginaire, notée $e^{i\theta}$, comme le nombre complexe$$e^{i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta.$$

Proposition Propriétés de l'exponentielle imaginaire

Pour tous nombres réels $\theta$ et $\theta'$, et pour tout entier $n$, l'exponentielle imaginaire vérifie les propriétés fondamentales suivantes :

Module : $|e^{i\theta}| = 1$
Argument : $\arg(e^{i\theta}) \equiv \theta \pmod{2\pi}$
Conjugué : $\conjugate{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$
Produit : $e^{i(\theta+\theta')} = e^{i\theta}\, e^{i\theta'}$
Puissance : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$

Formes polaire et d'euler

Tout nombre complexe non nul peut être représenté en partant d'un nombre sur le cercle trigonométrique et en le dilatant par son module.

Définition Forme trigonométrique

Un nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z|$ et d'un argument $\theta \in \arg(z)$ peut s'écrire sous forme trigonométrique :$$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta). $$

Définition Forme exponentielle

En utilisant l'exponentielle imaginaire, un nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z|$ et d'un argument $\theta \in \arg(z)$ peut s'écrire sous forme exponentielle :$$ z = re^{i\theta}. $$

Remarque

Cette forme rend les règles géométriques de la multiplication particulièrement intuitives :$$(r_1 e^{i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = (r_1r_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$$Multiplier des nombres complexes revient à multiplier leurs modules et à additionner leurs arguments.

Théorème de De Moivre

Proposition Théorème de De Moivre

Pour tout nombre complexe $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ et pour tout entier $n$ :$$ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)). $$Sous forme exponentielle, cela s'exprime de manière concise :$$ (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}. $$

Preuve

La démonstration la plus directe utilise la forme exponentielle, qui étend les lois usuelles sur les puissances aux nombres complexes.
Soit $z = re^{i\theta}$. En élevant à la puissance $n$, on obtient$$\begin{aligned} z^n &= (re^{i\theta})^n \\ &= r^n \left(e^{i\theta}\right)^n \quad &&\text{(puissance d'un produit)} \\ &= r^n e^{i(n\theta)} \quad &&\text{(puissance d'une puissance)}.\end{aligned}$$En revenant à la forme trigonométrique, on obtient :$$ z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)). $$Le théorème est ainsi démontré pour tout entier $n$.

Exemple Calcul d'une puissance avec la forme exponentielle

Calculer $(1+\sqrt{3}i)^5$.

Étape 1 : Conversion en forme exponentielle.
$\begin{aligned}[t] r &= |1+\sqrt{3}i| \\ &= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \end{aligned} \qquad\text{et}\qquad \begin{aligned}[t] \theta &= \arg(1+\sqrt{3}i) \\ &= \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) \\ &= \frac{\pi}{3}. \end{aligned}$
Donc, $1+\sqrt{3}i = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Étape 2 : Application du théorème de De Moivre. $$\begin{aligned} (1+\sqrt{3}i)^5 &= \left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^5\\ &= 2^5e^{i\frac{5\pi}{3}}\\ &= 32\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) \\ &= 32\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 16 - 16\sqrt{3}i. \end{aligned}$$

Propriétés du module et de l'argument

Proposition Propriétés du module

$|\conjugate{z}| = |z|$
$|z|^2 = z\conjugate{z}$
$|z_1 z_2| = |z_1|\, |z_2|$
$\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ pour $z_2 \neq 0$
$|z^n| = |z|^n$ pour tout entier $n$.

Preuve

Ces propriétés peuvent être démontrées rigoureusement en utilisant la définition algébrique du module. Les démonstrations sont laissées en exercices.

Proposition Propriétés des arguments

Pour tous nombres complexes non nuls $z_1$ et $z_2$, et pour tout entier $n$ :

pour tout nombre complexe non nul $z$, $\arg(\conjugate{z}) \equiv -\arg(z) \pmod{2\pi}$
$\arg(z_1 z_2) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}$
$\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi}$
pour tout nombre complexe non nul $z$, $\arg(z^n) \equiv n \arg(z) \pmod{2\pi}$.

Preuve

Ces propriétés se démontrent plus facilement en utilisant la forme exponentielle. Les démonstrations sont laissées en exercices.

Géométrie dans le plan

Proposition Addition et soustraction

Additionner ou soustraire des nombres complexes est équivalent à l'addition ou la soustraction vectorielle de leurs vecteurs images, selon la règle du parallélogramme.

Addition ($z_1+z_2$) : le vecteur image de la somme est la diagonale principale du parallélogramme formé par les vecteurs images de $z_1$ et $z_2$.
Soustraction ($z_1-z_2$) : le vecteur image de la différence est le vecteur reliant le point d'affixe $z_2$ au point d'affixe $z_1$.

Proposition Affixe d'un vecteur et distance entre deux points

Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.

Le vecteur $\Vect{AB}$ a pour affixe $z_{\Vect{AB}} = z_B - z_A$.
La distance entre les points $A$ et $B$ est le module de cette affixe : $$ AB = |z_B - z_A|. $$

Proposition Affixe du milieu d'un segment

Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes $z_A$ et $z_B$.
Le milieu $M$ du segment $\SegmentFr{AB}$ a pour affixe$$ z_M = \frac{z_A + z_B}{2}. $$

Proposition Angle

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$. La mesure de l'angle $\AngleFr{BAC}$ est donnée par$$ \AngleFr{BAC} = \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right). $$

Preuve

La mesure de l'angle $\AngleFr{BAC}$ est la différence entre l'angle du vecteur $\Vect{AC}$ et l'angle du vecteur $\Vect{AB}$, tous deux mesurés par rapport à l'axe des réels positifs.

Soit $\theta$ l'angle du vecteur $\Vect{AC}$ et $\phi$ l'angle du vecteur $\Vect{AB}$. D'après la définition de l'argument de l'affixe d'un vecteur, nous avons :

L'affixe de $\Vect{AC}$ est $z_C-z_A$, donc $\theta = \arg(z_C-z_A)$.
L'affixe de $\Vect{AB}$ est $z_B-z_A$, donc $\phi = \arg(z_B-z_A)$.

L'angle de la configuration géométrique est la différence de ces deux arguments :$$\begin{aligned} \AngleFr{BAC} &= \theta - \phi \\ &= \arg(z_C-z_A) - \arg(z_B-z_A).\end{aligned}$$En utilisant la propriété de l'argument d'un quotient, $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$, on obtient :$$ \AngleFr{BAC} = \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right). $$Ceci est vrai à $2\pi$ près.

Proposition Multiplication et division

Multiplier ou diviser des nombres complexes correspond à une mise à l'échelle de leurs modules et à une rotation de leurs arguments.

Multiplication ($z_1 z_2$) : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
Division ($\dfrac{z_1}{z_2}$) : on divise les modules et on soustrait les arguments.

Plus précisément, multiplier un nombre complexe $z$ par $w = re^{i\phi}$ a pour effet de dilater le module de $z$ d'un facteur $r$ et de le faire tourner d'un angle $\phi$.

Proposition Transformations géométriques fondamentales

Conjugué ($z \to \conjugate{z}$) : une symétrie par rapport à l'axe des réels.
Opposé ($z \to -z$) : une rotation de $180^\circ$ (ou $\pi$ radians) autour de l'origine.
Multiplication par $i$ ($z \to iz$) : une rotation de $90^\circ$ (ou $\pi/2$ radians) dans le sens anti-horaire autour de l'origine.

Lieux géométriques dans le plan complexe

Les équations et inéquations impliquant des nombres complexes peuvent définir des formes ou des régions géométriques, appelées lieux géométriques, dans le plan complexe. La compréhension de la signification géométrique du module et de l'argument est la clé pour interpréter ces lieux.

Proposition Lieux géométriques fondamentaux

Cercles : l'équation $|z-c| = r$ décrit un cercle de centre d'affixe $c$ et de rayon $r$. C'est l'ensemble de tous les points d'affixe $z$ qui sont à une distance fixe $r$ du point d'affixe $c$.
Médiatrices : l'équation $|z-a| = |z-b|$ décrit la médiatrice du segment reliant les points d'affixes $a$ et $b$. C'est l'ensemble de tous les points d'affixe $z$ qui sont équidistants des points d'affixes $a$ et $b$.
Demi-droites : l'équation $\arg(z-c) = \alpha \pmod{2\pi}$ décrit une demi-droite d'origine le point d'affixe $c$ (exclu) et faisant un angle $\alpha$ avec l'axe des réels positifs.

Les inéquations décrivent des régions. Par exemple, $|z-c| < r$ représente l'intérieur d'un cercle (un disque ouvert), et $|z-c| \ge r$ représente le cercle et son extérieur.

Racines de Nombres Complexes

Tout comme le théorème de De Moivre fournit une méthode puissante pour élever des nombres complexes à une puissance, il nous donne également un moyen systématique de trouver les racines $n$-ièmes de n'importe quel nombre complexe. Nous commençons par le cas particulier des racines de $1$.

Définition Racines n-ièmes de l'unité

Pour tout entier $n \ge 1$, on appelle racine $n$-ième de l'unité tout nombre complexe $z$ tel que $z^n = 1$. L'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité est noté $\mathbb{U}_n$.

Proposition Structure de l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité

Pour tout entier $n \ge 1$, l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité est :$$\mathbb{U}_n=\left\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} \;|\; k=0,1,2,\dots,n-1\right\}.$$Géométriquement, les points images des racines $n$-ièmes de l'unité forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec un sommet au point d'affixe $1$.

Proposition Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Un nombre complexe non nul $c = \rho e^{i\alpha}$ a exactement $n$ racines $n$-ièmes distinctes, données par la formule$$ z_k = \rho^{\frac{1}{n}} e^{i\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right)} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \dots, n-1. $$Géométriquement, les racines forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $\rho^{1/n}$.

Preuve

On cherche à résoudre l'équation $z^n=c$ d'inconnue $z$. Posons $z = re^{i\theta}$ et $c=\rho e^{i\alpha}$.$$\begin{aligned} (re^{i\theta})^n &= \rho e^{i\alpha} \\ r^n e^{in\theta} &= \rho e^{i\alpha}\end{aligned}$$Pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs modules doivent être égaux et leurs arguments doivent être égaux à un multiple de $2\pi$ près.

Égalité des modules : $r^n = \rho \implies r = \rho^{1/n}$ (car r est un réel positif).
Égalité des arguments : $n\theta = \alpha + 2k\pi \implies \theta = \frac{\alpha + 2k\pi}{n}$ pour $k \in \mathbb{Z}$.

En substituant ces résultats, on obtient la solution générale. On obtient $n$ racines distinctes en prenant les valeurs $k=0, 1, \dots, n-1$.

Exemple

Trouver les trois racines cubiques de $c = 8i$.

Correction

Étape 1 : Conversion en forme exponentielle.
$\rho = |8i| = 8$. $\alpha = \arg(8i) = \frac{\pi}{2}$. Donc, $c = 8e^{i\frac{\pi}{2}}$.
Étape 2 : Application de la formule des racines.
Le module des racines est $r = 8^{1/3} = 2$.
Les arguments sont $\phi_k = \frac{\pi/2 + 2k\pi}{3}$ pour $k=0,1,2$.
Étape 3 : Calcul de chaque racine.
$k=0: z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{6}} = 2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}+i$.
$k=1: z_1 = 2e^{i\frac{5\pi}{6}} = 2(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}+i$.
$k=2: z_2 = 2e^{i\frac{3\pi}{2}} = 2(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}) = -2i$.

Les racines forment un triangle équilatéral sur un cercle de rayon 2.