Nombres complexes : approche algébrique

Le système des nombres réels, bien que vaste, est incomplet. Une équation du second degré simple telle que $x^2 = -1$ n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels. Pour résoudre ce problème, on étend la droite des réels à un plan bidimensionnel en introduisant un nouveau nombre, l'unité imaginaire $i$. Cette extension forme l'ensemble des nombres complexes, $\C$, un système dans lequel non seulement $x^2 = -1$ a une solution, mais où tout polynôme non constant à coefficients réels (ou complexes) possède un ensemble complet de solutions dans $\C$ (théorème fondamental de l'algèbre). Ce chapitre présente les fondements algébriques des nombres complexes et leurs opérations.

Le nombre $i$ et l'ensemble des nombres complexes

Définition L'unité imaginaire $i$

L'unité imaginaire, notée $i$, est définie comme un nombre tel que :$$\textcolor{colordef}{i^2 = -1}$$

Définition Nombre complexe

Un nombre complexe est un nombre de la forme $z = a + ib$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i$ est l'unité imaginaire. L'ensemble de tous les nombres complexes est noté $\C$.

Remarques

$i$ ne peut pas être un nombre réel, car aucun nombre réel au carré n'est égal à $-1$.
Un nombre réel $a$ est un nombre complexe pour lequel $b=0$, écrit sous la forme $a = a+0i$. Ainsi, on peut voir $\R$ comme une partie de $\C$.
Un nombre pour lequel $a=0$, tel que $ib$, est appelé un nombre imaginaire pur.

Définition Partie réelle et partie imaginaire

Pour un nombre complexe $z = a + ib$ (avec $a,b \in \R$) :

$a$ est la partie réelle de $z$, notée $\Re(z)$.
$b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\Im(z)$.

Par définition, $\Re(z)$ et $\Im(z)$ sont des nombres réels.

Exemple

Pour $z = 2+3i$ :

$\Re(2+3i)=2$
$\Im(2+3i)=3$

Opérations avec les nombres complexes

L'arithmétique des nombres complexes suit les règles usuelles de l'algèbre, en utilisant la relation fondamentale $i^2=-1$.

Définition Opérations algébriques

Soient $z = a+ib$ et $w = c+id$, où $a,b,c,d \in \R$.

Addition :$$\begin{aligned}[t]z + w &= (a+ib) + (c+id) \\ &= (a+c)+i(b+d).\end{aligned}$$
Soustraction :$$\begin{aligned}[t]z - w &= (a+ib) - (c+id) \\ &= (a-c)+i(b-d).\end{aligned}$$
Multiplication :$$\begin{aligned}[t]z \times w &= (a+ib)(c+id) \\ &= ac+iad +ibc+i^2bd \\ &= ac+iad +ibc-bd \quad (i^2=-1)\\ &= (ac-bd)+ i(ad+bc).\end{aligned}$$
Division (avec $w \neq 0$) :$$\begin{aligned}[t]\dfrac{z}{w}&= \frac{a+ib}{c+id} = \left(\frac{a+ib}{c+id}\right)\left(\frac{c-id}{c-id}\right) \\ &= \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} \\ &= \frac{ac-iad+ibc-i^2bd}{c^2-(id)^2} \\ &= \frac{(ac+bd) + i(bc-ad)}{c^2+d^2}.\end{aligned}$$

Égalité des nombres complexes

Proposition Égalité des nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales :$$ a+ib=c+id \;\Leftrightarrow\; a=c \text{ et } b=d. $$

Preuve

($\Rightarrow$) Supposons que $a+ib=c+id$. Alors$$(a-c) + i(b-d) = 0.$$Cela implique $a-c = i(d-b)$. Si $d \neq b$, alors$$i = \frac{a-c}{d-b}.$$Comme $a,b,c,d$ sont des réels, le membre de droite est un nombre réel, alors que $i$ n'est pas réel (car $i^2=-1$ n'a pas de solution dans $\R$). C'est une contradiction. Par conséquent, l'hypothèse $d \neq b$ doit être fausse, ce qui signifie que $d=b$. En substituant cela dans $a-c = i(d-b)$, on obtient $a-c = 0$, donc $a=c$.
($\Leftarrow$) Supposons que $a=c$ et $b=d$. Alors $ib=id$. En additionnant les égalités $a=c$ et $ib=id$, on obtient$$a+ib = c+id.$$

Conjugué d'un nombre complexe

Définition Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + ib$ (avec $a,b\in\R$) est $\conjugate{z} = a - ib$. Le conjugué de $z$ est souvent noté $\conjugate{z}$ ou $z^{*}$.

Exemple

Le conjugué de $2+3i$ est $\conjugate{2+3i} = 2-3i$.

Proposition Propriétés du conjugué

Étant donné deux nombres complexes $z$ et $w$ :$$\begin{aligned}[t]\conjugate{\conjugate{z}} &= z, \\ \conjugate{z + w} &= \conjugate{z} + \conjugate{w}, \\ \conjugate{z - w} &= \conjugate{z} - \conjugate{w}, \\ \conjugate{zw} &= \conjugate{z} \; \conjugate{w}, \\ \conjugate{\left(\frac{z}{w}\right)} &= \frac{\conjugate{z}}{\conjugate{w}},\quad \text{si } w \neq 0.\end{aligned}$$

Preuve

Soient $z=a+ib$ et $w=c+id$.Par exemple,$$\begin{aligned}\conjugate{z + w}&=\conjugate{(a+c)+i(b+d)}\\ &=(a+c)-i(b+d) \\ &= a-ib+c-id \\ &= \conjugate{z}+\conjugate{w}.\end{aligned}$$Les autres propriétés se démontrent de manière similaire, en développant et en utilisant $i^2=-1$.

Nombres complexes : approche algébrique

Le nombre \(i\) et l'ensemble des nombres complexes

Opérations avec les nombres complexes

Égalité des nombres complexes

Conjugué d'un nombre complexe