Fonctions

Concepts fondamentaux des fonctions

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est comme une machine qui suit une règle précise. Pour chaque nombre que tu y mets, tu obtiens exactement un nombre en sortie.
Imaginons une machine dont la règle est « multiplier par 2 ».

Si on met un 3, on obtient un 6. Si on met un 5, on obtient un 10. Un tableau de valeurs nous aide à organiser ces paires :

Entrée	3	5	8	10
Sortie	6	10	16	20

Pour travailler plus efficacement avec ces règles, les mathématiciens ont développé une notation spéciale.
Pour représenter cette machine, on écrit $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{\text{entrée}}) = \textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$. Les parenthèses $($ $)$ indiquent l'action de la fonction $\textcolor{olive}{f}$ sur l'entrée.
On utilise la notation fonctionnelle pour nommer les fonctions et leurs variables, en remplaçant "$\textcolor{colordef}{\text{entrée}}$" par "$\textcolor{colordef}{x}$" et "$\textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$" par "$\textcolor{colorprop}{f(x)}$".
Une fonction associe chaque élément d'un ensemble de départ, le domaine de définition $X$, à un élément d'un ensemble d'arrivée, le codomaine $Y$. On écrit cela $f: X \to Y$. La règle spécifique qui associe un élément individuel $x$ du domaine à un élément $f(x)$ du codomaine s'écrit $x \mapsto f(x)$.
Nous pouvons écrire cette fonction comme :$$\Function{\textcolor{olive}{f}}{\textcolor{colordef}{X}}{\textcolor{colorprop}{Y}}{\textcolor{colordef}{x}}{\textcolor{colorprop}{f(x)}}$$Par exemple, si la règle est "le double de l'entrée" et que nous lions des nombres réels à des nombres réels, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ :

on a donc $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{x}) = \textcolor{colorprop}{2x}$, ce qui s'écrit :$$\Function{\textcolor{olive}{f}}{\textcolor{colordef}{\mathbb{R}}}{\textcolor{colorprop}{\mathbb{R}}}{\textcolor{colordef}{x}}{\textcolor{colorprop}{2x}}$$Lorsque l'entrée est $\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}$, on obtient :$$\begin{aligned}\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{1}) &= 2 \times \textcolor{colordef}{(1)}\\ &= \textcolor{colorprop}{2}\end{aligned}$$

Définition Fonction

Une fonction $f: X \to Y$ est une règle qui associe à chaque élément $x$ d'un ensemble $X$ un unique élément $f(x)$ d'un ensemble $Y$.

L'ensemble $X$ de toutes les entrées possibles est appelé l'ensemble de définition de $f$.
L'ensemble $Y$ est appelé l'ensemble d'arrivée de $f$.

On écrit $f:x \mapsto f(x)$ pour indiquer la règle qui à un élément $x$ associe son image correspondante $f(x)$.$$\Function{\textcolor{olive}{f}}{\textcolor{colordef}{X}}{\textcolor{colorprop}{Y}}{\textcolor{colordef}{x}}{\textcolor{colorprop}{f(x)}}$$

$f$ est le nom de la fonction.
$x$ est la variable d'entrée, un élément de l'ensemble de définition.
$f(x)$ est la valeur de sortie dans l'ensemble d'arrivée lorsque l'entrée est $x$. On lit « $f$ de $x$ ».
$f(x)$ est l'image de $x$ par $f$.
$x$ est un antécédent de $y=f(x)$.

Exemple

Soit la fonction $\Function{f}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}}{x}{2x-1}$. Trouve l'image de $5$ par $f$.

Correction

Pour trouver $f(5)$, on remplace la valeur d'entrée $x=5$ dans la règle de la fonction :$$\begin{aligned}[t]f(5) &= 2(5) - 1 \\ &= 10 - 1 \\ &= \boldsymbol{9}\end{aligned}$$

Méthode Trouver les antécédents par le calcul

Pour trouver le ou les antécédents d'une valeur $y$ pour une fonction $f(x)$ :

Poser l'équation en égalant la formule de la fonction à la valeur de sortie : $\boldsymbol{f(x) = y}$.
Résoudre l'équation obtenue pour trouver $x$.

Exemple

Soit $f(x) = 3x + 12$. Trouve le ou les antécédents de 0.

Correction

Nous devons trouver la valeur de $x$ telle que $f(x)=0$. Nous posons l'équation et la résolvons :$$\begin{aligned} f(x) &= 0 \\ 3x + 12 &= 0 \\ 3x &= -12 && \color{gray}\text{(soustraire 12 des deux côtés)} \\ x &= \frac{-12}{3} &&\color{gray}\text{(diviser les deux côtés par 3)} \\ x &= -4\end{aligned}$$L'antécédent de 0 est $\boldsymbol{x = -4}$.
Vérification : $f(-4) = 3(-4) + 12 = -12 + 12 = 0$. La réponse est correcte.

Ensemble de définition et ensemble image

Définition Ensemble image

L'ensemble image d'une fonction $f:X\to Y$ est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie réellement produites par la fonction. C'est l'ensemble de toutes les images des éléments de l'ensemble de définition.$$ \text{Ensemble image} = f(X)=\{f(x):x\in X\} $$L'ensemble image est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée ($f(X) \subseteq Y$). Alors que l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des sorties potentielles, l'ensemble image est l'ensemble des sorties réelles.

Exemple

Pour la fonction $\Function{f}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}}{x}{x^2}$:

L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ (tous les nombres réels).
L'ensemble d'arrivée est aussi $\mathbb{R}$.
Cependant, comme $x^2\geq 0$, l'ensemble image est $[0, \infty[$, qui est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée.

Définition Ensemble de définition naturel

Lorsqu'une fonction est donnée par une formule et que l'ensemble de définition n'est pas explicitement spécifié, l'ensemble de définition naturel est le plus grand ensemble de nombres réels pour lequel la formule donne un nombre réel défini.

Remarque

Lorsque la règle d'une fonction est donnée sans spécifier explicitement l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée, nous supposons que le domaine est l'ensemble de définition naturel et que l'ensemble d'arrivée est l'ensemble de tous les nombres réels, $\mathbb{R}$.
Par exemple, lorsque nous écrivons $f:x\mapsto \sqrt{x}$, nous supposons implicitement que l'ensemble de définition est l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, $[0, +\infty[$, et que l'ensemble d'arrivée est $\mathbb{R}$. Ainsi, c'est une abréviation pour $\Function{f}{[0, +\infty[}{\mathbb{R}}{x}{\sqrt{x}}$.
Parfois, nous parlons simplement de "la fonction $\sqrt{x}$". C'est aussi une abréviation pour la fonction définie sur son ensemble de définition naturel.

Méthode Déterminer l'ensemble de définition naturel

Pour déterminer l'ensemble de définition naturel d'une fonction, nous supposons que le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels ($\mathbb{R}$), puis nous excluons toutes les valeurs de $x$ qui conduiraient à une opération mathématique indéfinie. À ce niveau, nous recherchons les restrictions causées par :

Fonctions rationnelles : Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul. Nous résolvons `dénominateur = 0` pour trouver les valeurs à exclure.
Racines paires : L'expression à l'intérieur d'une racine paire (comme une racine carrée, $\sqrt{\cdot}$, ou une racine quatrième, $\sqrt{\cdot}$) doit être positive ou nulle ($\ge 0$).
Logarithmes : L'argument d'un logarithme doit être strictement positif ($> 0$). (Note : Ceci sera couvert plus en détail dans le chapitre sur les logarithmes).

Exemple

Détermine l'ensemble de définition naturel de la fonction $f:x\mapsto\frac{1}{x-2}$.

Correction

La fonction implique une division. La division n'est pas définie lorsque le dénominateur est nul. Par conséquent, nous devons exclure toute valeur de $x$ qui annule le dénominateur $x-2$.
On pose le dénominateur égal à zéro et on résout pour $x$ :$$x-2 = 0 \Leftrightarrow x=2$$L'ensemble de définition naturel est l'ensemble de tous les nombres réels sauf $2$. En utilisant la notation ensembliste, on écrit :$$\text{Domaine} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\} \quad \text{ou} \quad \mathbb{R} \setminus \{2\}$$En notation d'intervalle, c'est $]-\infty, 2[ \cup ]2, +\infty[$.

Tableaux de valeurs

Définition Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs est un tableau qui organise la relation entre les valeurs d'entrée ($x$) et leurs valeurs de sortie correspondantes ($f(x)$) pour une fonction.

Exemple

Complète le tableau de valeurs pour la fonction $f:x\mapsto x^2$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$

Correction

On remplace chaque valeur de $x$ dans la fonction $f(x)=x^2$ :

$\begin{aligned}[t] f(-2) &= (-2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(-1) &= (-1)^2\\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(0) &= (0)^2 \\ &= 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(1) &= (1)^2 \\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(2) &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$

Le tableau complété est :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Courbes représentatives

Alors qu'un tableau de valeurs est utile pour énumérer quelques couples entrée–sortie d'une fonction, un graphe est un outil puissant pour visualiser la façon dont la sortie varie lorsque l'entrée change. Un graphe nous donne une image du comportement de la fonction.

Définition Courbe représentative d'une fonction

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x, f(x))$ placés dans un repère du plan. L'entrée, $x$, est placée sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses), et la sortie, $f(x)$, est placée sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées). Lorsque nous relions ces points, nous formons la courbe de la fonction.$$\text{Graphe de } f = \{(x,f(x)): x \in X\}$$

Méthode Tracer un graphe à partir d'un tableau

Pour tracer la courbe d'une fonction à partir de son tableau de valeurs :

Trace un repère avec une échelle adaptée sur chaque axe et nomme les axes.
Pour chaque couple $(x, f(x))$ du tableau, place le point correspondant dans le repère.
Si la fonction est définie pour tous les $x$ de l’intervalle représenté, relie les points par une droite ou une courbe lisse.

Exemple

Trace la courbe représentative de la fonction $f(x) = x - 1$ en utilisant son tableau de valeurs.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Correction

On place les points $(-2, -3)$, $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$ et $(3, 2)$ à partir du tableau. Ces points sont alignés, donc on les relie pour tracer la courbe de $f(x)=x-1$.

Méthode Trouver $f(x)$ par lecture graphique

Pour trouver la valeur de sortie $f(x)$ pour une entrée $x$ donnée à l'aide d'un graphe :

Localise la valeur d'entrée sur l'axe horizontal des abscisses (x).
Déplace-toi verticalement à partir de ce point jusqu'à rencontrer la courbe de la fonction.
Déplace-toi horizontalement depuis ce point d'intersection jusqu'à l'axe vertical des ordonnées (y) et lis la valeur correspondante. Cette valeur de $y$ est la sortie $f(x)$.

Exemple

En utilisant le graphe de la fonction $f$ ci-dessous, trouve la valeur de $f(2)$.

Correction

Nous suivons la méthode graphique :

Partir de $x=2$ sur l'axe horizontal.
Monter jusqu'à rencontrer la courbe.
Se déplacer horizontalement jusqu'à l'axe vertical et lire la valeur, qui est $3$.

Par conséquent, $\boldsymbol{f(2) = 3}$.

Nous avons appris à prendre une entrée ($x$) et à trouver sa sortie ($f(x)$). Maintenant, nous allons apprendre à travailler à l'envers : si nous connaissons la sortie, pouvons-nous trouver la ou les entrées qui l'ont produite ? Ce processus s'appelle trouver le ou les antécédents d'une valeur donnée.

Méthode Trouver les antécédents par lecture graphique

Pour trouver le ou les antécédents d'une valeur $y$ (c.-à-d. trouver tous les $x$ tels que $f(x)=y$) :

Localiser la valeur de sortie $y$ sur l'axe vertical des ordonnées.
Tracer une droite horizontale à partir de cette valeur dans le repère.
Trouver le ou les points d'intersection où la droite horizontale croise la courbe de la fonction.
Se déplacer verticalement vers l'axe des abscisses depuis chaque point d'intersection pour lire la ou les valeurs d'entrée correspondantes. Ce sont les antécédents cherchés.

Exemple

En utilisant le graphique de la fonction $f$ ci-dessous, trouve le ou les antécédents de 3.

Correction

Nous appliquons la méthode graphique :

Nous localisons $y=3$ sur l'axe vertical.
Nous traçons une droite horizontale à $y=3$.
Cette droite coupe la courbe en deux points.
Nous nous déplaçons verticalement depuis ces points vers l'axe des abscisses pour lire les valeurs, qui sont $-2$ et $2$.

Les antécédents de 3 sont $\boldsymbol{-2}$ et $\boldsymbol{2}$.

Trouver un antécédent graphiquement est utile pour la visualisation, mais pour une réponse exacte, nous pouvons utiliser l'algèbre.

Fonctions bijectives

Pour qu'une fonction soit parfaitement réversible (c'est-à-dire, pour qu'elle admette une fonction inverse), elle doit créer une correspondance parfaite entre les éléments de son ensemble de définition et de son ensemble d'arrivée. Cela mène au concept de bijection, qui est une fonction à la fois injective et surjective.

Définition Fonctions injectives$\virgule$ surjectives et bijectives

Soit une fonction $f: X \to Y$.

$f$ est injective si des entrées différentes produisent des sorties différentes. Pour tous $x_1, x_2 \in X$, si $x_1 \neq x_2$, alors $f(x_1) \neq f(x_2)$.
$f$ est surjective si son ensemble image est égal à son ensemble d'arrivée ($f(X)=Y$). Cela signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée $Y$ est l'image d'au moins un élément de l'ensemble de définition $X$.
$f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Cela signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'exactement un élément de l'ensemble de définition.

Exemple

Considérons deux versions de la fonction carré :

$\Function{f}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}}{x}{x^2}$
$\Function{g}{[0,\infty[}{[0,\infty[}{x}{x^2}$

La fonction $f$ n'est pas bijective. Elle n'est pas injective car $f(-2)=f(2)$. Elle n'est pas surjective car son ensemble image, $[0, \infty [$, n'est pas égal à son ensemble d'arrivée, $\mathbb{R}$.
La fonction $g$ est bijective. Elle est injective car son domaine de définition est restreint aux nombres non-négatifs. Elle est surjective car son ensemble image, $[0, \infty [$, est égal à son ensemble d'arrivée spécifié, $[0, \infty [$.

Méthode Test de la droite horizontale pour la bijectivité

Pour déterminer visuellement si une fonction $f: X \to Y$ est bijective :

Tracer la courbe représentative de la fonction $f(x)$.
Imaginer que l'on trace des droites horizontales à travers le graphique pour chaque valeur de $y$ possible dans l'ensemble d'arrivée $Y$.
Conclusion :
- La fonction est bijective si et seulement si chaque droite horizontale (pour tout $y \in Y$) coupe la courbe exactement une fois.
  - Le fait de couper au plus une fois montre qu'elle est injective.
  - Le fait de couper au moin une fois montre qu'elle est surjective.

Exemple

Utiliser le test de la droite horizontale pour déterminer si la fonction $\Function{f}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}}{x}{x^2}$ est bijective.

Correction

D'abord, on trace le graphe de la fonction $f(x) = x^2$. L'ensemble d'arrivée spécifié est $\mathbb{R}$.

Nous testons les deux conditions :

Injectivité : La droite horizontale $y=4$ coupe la courbe en deux points distincts, $(-2,4)$ et $(2,4)$. Puisqu'une droite horizontale coupe la courbe plus d'une fois, la fonction n'est pas injective.
Surjectivité : La droite horizontale $y=-1$ est dans l'ensemble d'arrivée ($\mathbb{R}$) mais ne coupe pas du tout la courbe. Cela signifie que $-1$ n'a pas d'antécédent. Puisqu'il y a un élément dans l'ensemble d'arrivée qui n'est pas dans l'ensemble image, la fonction n'est pas surjective.

Comme la fonction n'est ni injective ni surjective, elle n'est pas bijective.

Opérations sur les fonctions

Algèbre des fonctions

Découverte

Soient $\textcolor{colordef}{f(x)=2x+1}$ et $\textcolor{colorprop}{g(x)=x^2}$.
$\textcolor{olive}{(f+g)(x)}$ signifie que, pour toute valeur de $x$ appartenant aux ensembles de définition des deux fonctions, on calcule séparément $\textcolor{colordef}{f(x)}$ et $\textcolor{colorprop}{g(x)}$, puis on additionne les résultats. Autrement dit, $(f+g)$ est une nouvelle fonction définie par $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
Ceci est illustré par la machine à fonctions ci-dessous :

Donc,$$\begin{aligned}[t]\textcolor{olive}{(f+g)(x)} &= \textcolor{colordef}{f(x)} + \textcolor{colorprop}{g(x)} \\ &= \textcolor{colordef}{2x+1} + \textcolor{colorprop}{x^2}.\end{aligned}$$

Définition Opérations sur les fonctions

Étant donné deux fonctions $f$ et $g$, nous pouvons définir de nouvelles fonctions en effectuant des opérations arithmétiques sur leurs valeurs de sortie, pour chaque $x$ où elles sont toutes les deux définies :

Somme : $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
Différence : $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
Produit : $(fg)(x) = f(x) \times g(x)$
Quotient : $\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, à condition que $g(x) \neq 0$.

Pour la somme, la différence et le produit, l'ensemble de définition de la nouvelle fonction est l'intersection des ensembles de définition de $f$ et de $g$ (tous les $x$ pour lesquels à la fois $f(x)$ et $g(x)$ sont définies).
Pour le quotient, l'ensemble de définition est l'intersection des ensembles de définition de $f$ et $g$, en excluant tout $x$ tel que $g(x)=0$.

Exemple

Soient $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^4-1$. Détermine $(f+g)(x)$.

Correction

$\begin{aligned}(f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= (2x+1) + (x^4-1) \\ &= x^4 + 2x.\end{aligned}$
Comme $f$ et $g$ sont des polynômes, $(f+g)(x)$ est définie pour tout nombre réel $x$.

Composition de fonctions

Découverte

Soient $\textcolor{colordef}{f(x)=x^2}$ et $\textcolor{colorprop}{g(x)=2x+1}$.
La composition $\textcolor{olive}{(f \circ g)(x)}$ signifie qu’on applique d’abord $g$ à $x$, puis $f$ au résultat. Autrement dit, $x$ passe par la machine $g$ (devient $2x+1$), puis cette sortie passe par la machine $f$.

Algébriquement, on écrit :$$\begin{aligned}[t](f \circ g)(x) &= \textcolor{colordef}{f}(\textcolor{colorprop}{g(x)}) \\ &= \textcolor{colordef}{f}(2x+1) \\ &= (2x+1)^2.\end{aligned}$$

Définition Composition de fonctions

Étant donné deux fonctions $f$ et $g$, la fonction composée, notée $\boldsymbol{f \circ g}$ (lire « $f$ rond $g$ »), est définie par :$$\boldsymbol{(f \circ g)(x) = f(g(x))}$$pour tout $x$ appartenant à l'ensemble de définition de $g$ tel que $g(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $f$.
On applique d'abord la fonction $g$ à $x$, puis on applique la fonction $f$ au résultat $g(x)$.

Exemple

Soient $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+1$.

Détermine $(f \circ g)(x)$.
Détermine $(g \circ f)(x)$.
La composition est-elle commutative ? (c.-à-d. est-ce que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ ?)

Correction

$\begin{aligned}[t] (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(2x+1) \\ &= (2x+1)^2 \\ &= 4x^2 + 4x + 1. \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x^2) \\ &= 2(x^2) + 1 \\ &= 2x^2 + 1. \end{aligned}$
Non. Puisque $4x^2 + 4x + 1 \neq 2x^2 + 1$, les deux fonctions composées sont différentes : la composition de fonctions n'est donc pas commutative en général.

Fonctions inverses

En arithmétique, on connaît les opérations inverses. Par exemple, la soustraction est l'inverse de l'addition car elle « annule » l'addition. Si on part de 5, qu'on ajoute 3 pour obtenir 8, puis qu'on soustrait 3, on revient à 5 :$$(5+3) - 3 = 5.$$De même, la division est l'inverse de la multiplication :$$(5\times 3) \div 3 = 5.$$Le concept de fonction inverse suit la même idée. Une fonction inverse, notée $\boldsymbol{f^{-1}}$, est une fonction qui « défait » ou inverse l'action d'une autre fonction, $f$.
Si une fonction $f$ transforme une entrée $x$ en une sortie $y$, la fonction inverse $f^{-1}$ ramène cette sortie $y$ à l'entrée originale $x$. Cela crée une boucle parfaite :

Cependant, toute fonction n’admet pas de fonction inverse : pour qu'une fonction inverse existe, chaque valeur de sortie $y$ doit provenir d'une seule valeur d'entrée $x$ (la fonction ne doit jamais prendre deux fois la même valeur sur son ensemble de définition).

Définition Fonction inverse

Soit $f: X \to Y$ une fonction bijective.
La fonction inverse, notée $f^{-1}$, est la fonction $\boldsymbol{f^{-1}: Y \to X}$ qui inverse l'action de $f$.
Cela signifie que si $f$ associe une entrée $x$ à une sortie $y$, alors $f^{-1}$ associe cette sortie $y$ à l'entrée originale $x$. Cette relation est définie par :$$ f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x $$

La composée d'une fonction et de son inverse donne la fonction identité (qui renvoie l'entrée originale) :

$(f^{-1} \circ f)(x) = x$ pour tout $x$ dans l'ensemble de définition de $f$ ($X$).
$(f \circ f^{-1})(y) = y$ pour tout $y$ dans l'ensemble de définition de $f^{-1}$ ($Y$).

Méthode Trouver la fonction inverse

Pour trouver la fonction inverse d’une fonction $f$ (lorsqu’elle existe) :

Pose $y = f(x)$.
Résous l’équation pour $x$ en fonction de $y$. Tu obtiens une expression de la forme $x = f^{-1}(y)$.
Échange les variables $x$ et $y$ pour écrire la fonction inverse en fonction de $x$. Le résultat est $y = f^{-1}(x)$.

Cette procédure définit une fonction inverse seulement si chaque valeur de sortie correspond à une unique valeur d’entrée (c’est-à-dire si $f$ est inversible sur son domaine).

Exemple

Trouver l’inverse de la fonction $\Function{f}{[0,\infty[}{[0,\infty[}{x}{\sqrt{x}}$.

Correction

La fonction est $f(x) = \sqrt{x}$ avec pour Domaine : $[0, \infty[$ et Ensemble image : $[0, \infty[$.

Poser $y = \sqrt{x}$.
Résoudre pour $x$ : Puisque le domaine de $f$ est non-négatif, $x \ge 0$, et l'ensemble image est non-négatif, $y \ge 0$. On peut élever les deux côtés au carré : $$ y^2 = x \Leftrightarrow x = y^2 $$
Échanger les variables pour obtenir la règle : $y = x^2$.
L'ensemble de définition de $f^{-1}$ est l'ensemble image de $f$, qui est $[0, \infty[$. L'ensemble image de $f^{-1}$ est l'ensemble de définition de $f$, qui est $[0, \infty[$.

Donc, la fonction inverse est $\boldsymbol{\Function{f^{-1}}{[0,\infty[}{[0,\infty[}{x}{x^2}}$.

Proposition Symétrie des fonctions inverses

La courbe représentative d'une fonction $f$ et celle de son inverse $f^{-1}$ sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation $\boldsymbol{y = x}$.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)