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Fonctions quadratiques

Dans les études précédentes, on a exploré les fonctions linéaires, dont les graphes sont des droites. On passe maintenant au niveau de complexité suivant : les fonctions quadratiques. Ce sont des fonctions contenant un terme en (\(x^2\)), et leurs graphes sont des courbes élégantes et symétriques appelées paraboles. Les fonctions quadratiques sont essentielles en mathématiques et en sciences pour modéliser des phénomènes allant de la trajectoire d’un ballon lancé à la forme d’une antenne parabolique. Dans ce chapitre, on apprendra à identifier ces fonctions, à les écrire sous différentes formes, à les tracer et à les résoudre.

Formes de la fonction quadratique

Une fonction quadratique peut être exprimée sous trois formes principales. Chaque forme met en évidence différentes caractéristiques clés de son graphe, la parabole. Être capable de reconnaître et de passer d'une forme à l'autre est une compétence fondamentale.

Forme développée

Définition Fonction quadratique
Une fonction quadratique est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où \(a, b\) et \(c\) sont des nombres réels et \(\boldsymbol{a \neq 0}\).

Forme canonique

Définition Forme canonique
La forme canonique d'une fonction quadratique est :$$f(x) = a(x-h)^2 + k $$où \(a, h,\) et \(k\) sont des nombres réels et \(\boldsymbol{a \neq 0}\).
Méthode Convertir de la forme canonique à la forme développée
Pour convertir de la forme canonique à la forme développée, développe le terme au carré et regroupe les termes semblables.
Exemple
Convertir \(f(x) = 2(x-3)^2 + 1\) sous forme développée.

$$ \begin{aligned}f(x) &= 2(x^2 - 6x + 9) + 1 &&\color{gray}{(\text{Développer }(x-3)^2}) \\ &= 2x^2 - 12x + 18 + 1 &&\color{gray}{\text{(Distribuer le 2)}} \\ &= \boldsymbol{2x^2 - 12x + 19} &&\color{gray}{\text{(Combiner les constantes)}}\end{aligned} $$

Méthode Convertir de la forme développée à la forme canonique
Il existe deux méthodes courantes pour convertir une fonction quadratique de la forme développée, \(f(x)=ax^2+bx+c\), à la forme canonique, \(f(x)=a(x-h)^2+k\).
  • Méthode 1 : Complétion du carré
    1. Factorise le coefficient \(a\) des termes en \(x^2\) et \(x\) : \(a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c\).
    2. À l'intérieur des parenthèses, ajoute et soustrais le carré de la moitié du coefficient de \(x\) : \(a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c\).
    3. Factorise le trinôme carré parfait : \(a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c\).
    4. Distribue \(a\) au terme constant et simplifie pour obtenir la forme \(a(x-h)^2 + k\).
  • Méthode 2 : Utilisation de la formule du sommet
    1. Trouve l'abscisse du sommet en utilisant la formule : \(\boldsymbol{h = -\frac{b}{2a}}\).
    2. Trouve l'ordonnée du sommet en remplaçant \(h\) dans la fonction : \(\boldsymbol{k = f(h)}\).
    3. Remplace les valeurs de \(a\), \(h\) et \(k\) dans la forme canonique : \(f(x) = a(x-h)^2 + k\).
Exemple
Convertis \(f(x) = 2x^2 - 12x + 19\) sous forme canonique.

  • Méthode 1 : Complétion du carré$$ \begin{aligned}f(x) &= 2(x^2 - 6x) + 19 && \color{gray}\text{(Factoriser par 2)} \\ &= 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 19 && \color{gray}\text{(Ajouter et soustraire } (6/2)^2 = 9) \\ &= 2\left((x-3)^2 - 9\right) + 19 && \color{gray}\text{(Factoriser le carré parfait)} \\ &= 2(x-3)^2 - 18 + 19 && \color{gray}\text{(Distribuer 2)} \\ &= \boldsymbol{2(x-3)^2 + 1}\end{aligned} $$
  • Méthode 2 : Utilisation de la formule du sommet
    Pour \(f(x)=2x^2 - 12x + 19\), on a \(a=2, b=-12, c=19\).
    1. Trouver h : \(h = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-12}{2(2)} = \dfrac{12}{4} = 3\).
    2. Trouver k : \(k = f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 19 = 2(9) - 36 + 19 = 18 - 36 + 19 = 1\).
    3. Écrire sous forme canonique : Avec \(a=2, h=3, k=1\), la fonction est \(\boldsymbol{f(x) = 2(x-3)^2 + 1}\).

Forme factorisée

Définition Forme factorisée
La forme factorisée d'une fonction quadratique est :$$f(x) = a(x-p)(x-q) $$où \(a, p,\) et \(q\) sont des nombres réels et \(\boldsymbol{a \neq 0}\).
Méthode Convertir de la forme factorisée à la forme développée
Pour passer de la forme factorisée à la forme développée, développe les parenthèses et regroupe les termes semblables.
Exemple
Convertir \(f(x) = 2(x-3)(x-1)\) sous forme développée.

$$ \begin{aligned}f(x) &=2(x-3)(x-1)\\ &= 2(x^2 - x - 3x + 3) \\ &= 2(x^2 - 4x + 3) \\ &= \boldsymbol{2x^2 - 8x + 6}\end{aligned} $$

Méthode Convertir de la forme développée à la forme factorisée
Pour passer de la forme développée à la forme factorisée, trouve les racines de la fonction en résolvant \(f(x)=0\). Si les racines sont \(p\) et \(q\), la forme factorisée est \(f(x)=a(x-p)(x-q)\). La valeur de \(a\) est la même que dans la forme développée.
Exemple
Convertir \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\) sous forme factorisée.

On résout \(2x^2 - 8x + 6 = 0\). D'abord, on divise par 2 : \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Les racines sont \(p=1, q=3\).
La forme factorisée est \(\boldsymbol{f(x) = 2(x-1)(x-3)}\).

Analyse et tracé de paraboles

Chaque forme d’une fonction quadratique révèle des caractéristiques clés de son graphe parabolique. En comprenant comment interpréter chaque forme, on peut tracer avec précision le graphe et analyser le comportement de la fonction. On commence par la fonction quadratique la plus simple, \((y=x^2)\), et on utilise des transformations pour comprendre les autres formes.

La parabole de base : \(y\equal x^2\)

Proposition Caractéristiques clés
Le graphe de la fonction \(f(x)=x^2\) est une parabole avec les propriétés suivantes :
  • Elle est concave vers le haut.
  • Son axe de symétrie est la droite \(x = 0\).
  • Son sommet est au point \((0, 0)\).

Forme canonique et transformations

La forme canonique \(f(x)=a(x-h)^2 + k\) est le résultat de l'application de transformations au graphe de base de \(y=x^2\).
Proposition Caractéristiques clés de la forme canonique
Le graphe de \(y=a(x-h)^2 + k\) est une parabole avec :
  • Concavité : Déterminée par le signe de \(a\).
    • Si \(a > 0\), concave vers le haut.
    • Si \(a < 0\), concave vers le bas.
  • Axe de symétrie : La droite \(x = h\).
  • Sommet : Le point \((h, k)\).

Le graphe de \(y=a(x-h)^2+k\) est obtenu en transformant le graphe de \(y=x^2\) comme suit :
  • Translation horizontale de h : \(y=(x-h)^2\). Cela déplace le sommet de \((0,0)\) à \((h,0)\).
  • Dilatation verticale par a : \(y=a(x-h)^2\). La concavité dépend maintenant du signe de \(a\).
  • Translation verticale de k : \(y=a(x-h)^2+k\). Cela déplace le sommet de \((h,0)\) à \((h,k)\).
Ainsi, le sommet final est \((h,k)\) et l'axe de symétrie est \(x=h\).

Forme factorisée et abscisses à l'origine

Proposition Caractéristiques clés de la forme factorisée
Le graphe d'une fonction quadratique \(f(x)=a(x-p)(x-q)\) est une parabole avec :
  • Concavité : Déterminée par le signe de \(a\).
    • Si \(a > 0\), concave vers le haut.
    • Si \(a < 0\), concave vers le bas.
  • Abscisses à l'origine : Le graphe coupe l'axe des abscisses en \((p,0)\) et \((q,0)\).
    • Si \(p \neq q\), il y a deux abscisses à l'origine distinctes.
    • Si \(p=q\), il n'y a qu'une seule abscisse à l'origine en \((p,0)\), qui est aussi le sommet. Le graphe touche l'axe des abscisses en ce point.
  • Axe de symétrie : La droite \(x = \frac{p+q}{2}\).
  • Sommet : Le point \((\frac{p+q}{2},f(\frac{p+q}{2}))\).

  • Abscisses à l'origine : Les abscisses à l'origine sont trouvées en résolvant \(f(x)=0\). $$ a(x-p)(x-q)=0 $$ Par la loi du produit nul, ceci est vrai si \(x-p=0\) ou \(x-q=0\). Ainsi, les racines sont \(\boldsymbol{x=p}\) et \(\boldsymbol{x=q}\).
  • Axe de symétrie et sommet : Un axe de symétrie en \(x=h\) exige que la fonction ait la même valeur pour toute distance horizontale \(d\) à gauche ou à droite de l'axe. Algébriquement, cela signifie que \(f(h-d) = f(h+d)\) pour tout \(d\).
    Testons l'axe de symétrie proposé \(h=\frac{p+q}{2}\). Nous devons montrer que \(f\left(\frac{p+q}{2} - d\right) = f\left(\frac{p+q}{2} + d\right)\).
    • Côté gauche : $$ \begin{aligned} f\left(\frac{p+q}{2} - d\right) &= a\left(\left(\frac{p+q}{2} - d\right) - p\right)\left(\left(\frac{p+q}{2} - d\right) - q\right) \\ &= a\left(\frac{q-p}{2} - d\right)\left(\frac{p-q}{2} - d\right) \\ &= a\left(-\left(\frac{p-q}{2} + d\right)\right)\left(\frac{p-q}{2} - d\right) \\ &= -a\left(\left(\frac{p-q}{2}\right)^2 - d^2\right) \end{aligned} $$
    • Côté droit : $$ \begin{aligned} f\left(\frac{p+q}{2} + d\right) &= a\left(\left(\frac{p+q}{2} + d\right) - p\right)\left(\left(\frac{p+q}{2} + d\right) - q\right) \\ &= a\left(\frac{q-p}{2} + d\right)\left(\frac{p-q}{2} + d\right) \\ &= a\left(-\left(\frac{p-q}{2} - d\right)\right)\left(\frac{p-q}{2} + d\right) \\ &= -a\left(\left(\frac{p-q}{2}\right)^2 - d^2\right) \end{aligned} $$
    Puisque les deux côtés sont égaux, la droite \(\boldsymbol{x = \frac{p+q}{2}}\) est l'axe de symétrie. Le sommet doit se trouver sur cette droite, donc son abscisse est \(\frac{p+q}{2}\).

Forme développée et le discriminant

Proposition Caractéristiques clés de la forme développée
Le graphe d'une fonction quadratique \(f(x)=ax^2+bx+c\) est une parabole avec :
  • Concavité : Déterminée par le signe de \(a\).
    • Si \(a > 0\), concave vers le haut.
    • Si \(a < 0\), concave vers le bas.
  • Axe de symétrie : La droite \(x = -\frac{b}{2a}\).
  • Sommet : Le point \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\).
  • Ordonnée à l'origine : Le point \((0, c)\).

En développant la forme canonique \(f(x) = a(x-h)^2+k\), on obtient :$$f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k = ax^2 - 2ahx + (ah^2+k)$$En comparant avec la forme développée \(f(x)=ax^2+bx+c\), on peut identifier les coefficients :$$b = -2ah \implies h = -\frac{b}{2a}$$Cela confirme les formules pour l'axe de symétrie et le sommet.

Le discriminant d'une fonction quadratique indique le nombre d'abscisses à l'origine (racines réelles).
Définition Discriminant
Pour une fonction quadratique \(f(x) = ax^2 + bx + c\), le discriminant, noté \(\boldsymbol{\Delta}\), est :$$ \boldsymbol{\Delta = b^2 - 4ac} $$
Proposition Nature des racines
  • Si \(\boldsymbol{\Delta > 0}\), il y a deux abscisses à l'origine distinctes. Les racines sont \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
  • Si \(\boldsymbol{\Delta = 0}\), il y a une seule abscisse à l'origine (au sommet). La racine est \(x = \frac{-b}{2a}\).
  • Si \(\boldsymbol{\Delta < 0}\), il n'y a aucune abscisse à l'origine.

Applications des fonctions quadratiques

Intersection de courbes

Un problème courant consiste à trouver où les graphes de deux fonctions se rencontrent. Les points d'intersection sont les points \((x,y)\) qui satisfont les deux équations simultanément. En égalisant les expressions des fonctions, nous pouvons créer une nouvelle équation pour trouver les abscisses de ces points.
Méthode Trouver les points d'intersection
Pour trouver les points d'intersection entre les graphes de deux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) :
  1. Égaliser les expressions des fonctions : \(\boldsymbol{f(x) = g(x)}\).
  2. Résoudre cette équation pour \(x\). Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.
  3. Substituer chaque abscisse dans l'une des fonctions originales (\(f\) ou \(g\)) pour trouver l'ordonnée correspondante.
Exemple
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole \(f(x) = x^2 - x - 2\) et de la droite \(g(x) = x+1\).

On trouve les points d'intersection en posant \(f(x) = g(x)\) et en résolvant pour \(x\).$$ \begin{aligned}f(x) &= g(x) \\ x^2 - x - 2 &= x+1 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \\ (x-3)(x+1) &= 0\end{aligned} $$Cela donne deux solutions pour \(x\) : \(x=3\) et \(x=-1\).
Maintenant, on trouve les ordonnées correspondantes en substituant ces valeurs dans la fonction linéaire \(g(x)=x+1\) :
  • Si \(x=3\), \(y = 3+1 = 4\).
  • Si \(x=-1\), \(y = -1+1 = 0\).
Les graphes se coupent aux points \(\boldsymbol{(-1, 0)}\) et \(\boldsymbol{(3, 4)}\).

Optimisation quadratique

Parce que le graphe d'une fonction quadratique a un sommet qui est soit le point le plus haut (maximum), soit le point le plus bas (minimum) du graphe, les fonctions quadratiques sont extrêmement utiles pour résoudre des **problèmes d'optimisation**. Ce sont des problèmes où nous voulons trouver la valeur maximale ou minimale d'une certaine quantité.
Méthode Résoudre des problèmes d'optimisation
  1. Lire le problème pour identifier la quantité à maximiser ou minimiser.
  2. Définir les variables et écrire une fonction quadratique qui modélise cette quantité.
  3. Trouver les coordonnées du sommet \((h,k)\) de la parabole.
    • \(h = -\frac{b}{2a}\) donne la valeur d'entrée (par ex., temps, longueur, prix) où l'optimum se produit.
    • \(k = f(h)\) donne la valeur optimale (maximale ou minimale) elle-même.
  4. Répondre à la question dans le contexte du problème, en t'assurant d'inclure les unités.
Exemple
Un fermier veut clôturer une zone rectangulaire à côté d'une rivière. Il a 120 m de clôture et n'a pas besoin de clôturer le côté le long de la rivière. Quelles dimensions maximiseront l'aire ?

  1. Définir les variables et la fonction : Soit \(x\) la largeur du rectangle (perpendiculaire à la rivière) et soit \(y\) la longueur (parallèle à la rivière). La clôture totale de 120 m couvre les deux côtés de largeur \(x\) et le seul côté de longueur \(y\). L'équation du périmètre est donc : $$\begin{aligned} 2x + y &= 120 \\ y &= 120 - 2x\end{aligned} $$ L'aire, \(A\), que l'on veut maximiser, est donnée par la fonction : $$\begin{aligned}A(x) &= \text{largeur} \times \text{longueur}\\ &= x \cdot y \\ &= x(120 - 2x)\\ &= -2x^2 + 120x\end{aligned} $$
  2. Analyser la fonction : C'est une fonction quadratique avec \(a=-2\). Comme \(a<0\), la parabole s'ouvre vers le bas et a une valeur maximale à son sommet.
  3. Trouver le sommet : L'abscisse du sommet donne la largeur qui maximise l'aire. $$ x_{sommet} = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2(-2)} = -\frac{120}{-4} = 30 $$ Cela signifie que la largeur optimale est de 30 m.
  4. Trouver les dimensions :
    • Largeur : \(x = 30\) m.
    • Longueur : \(y = 120 - 2x = 120 - 2(30) = 60\) m.
  5. Énoncer la conclusion : Les dimensions qui maximisent l'aire sont 30 m par 60 m. L'aire maximale elle-même est \(A(30) = 30 \times 60 = 1800 \text{ m}^2\).