Radians et cercle unité
Mesure en radians
La mesure d’un angle indique la fraction d’un tour complet qu’il représente. Bien que les degrés (360° dans un cercle) soient une unité courante, ils sont une invention humaine arbitraire. Une unité plus naturelle en mathématiques est le radian.
Définition Mesure en radians
La mesure en radians d'un angle \(\theta\) est définie comme la longueur de l'arc qu'il intercepte sur un cercle unité (un cercle de rayon 1).
Proposition Angle d'un tour complet
La circonférence d'un cercle unité est \(C = 2\pi(1) = 2\pi\). Par conséquent, un cercle complet contient \(2\pi\) radians.
Cela donne la conversion fondamentale : \(360^\circ = 2\pi\) radians, qui se simplifie en \(180^\circ = \pi\) radians.
Cela donne la conversion fondamentale : \(360^\circ = 2\pi\) radians, qui se simplifie en \(180^\circ = \pi\) radians.
Méthode Conversion degrés/radians
D’après la relation \(180^\circ = \pi\) radians :
- Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\).
- Pour convertir des radians en degrés, on multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\).
Exemple
Convertis \(60^{\circ}\) en radians.
\(\begin{aligned}[t]60^{\circ}&=60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}\\&=\frac{\pi}{3}\end{aligned}\)
Définition Angles positifs et négatifs
- Une mesure d'angle positive représente une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Une mesure d'angle négative représente une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.
Exemple
Dessine les angles \(\dfrac{3\pi}{2}\) et \(-\dfrac{\pi}{2}\).
Proposition Angles de référence sur le cercle
Trigonométrie sur le cercle unité
Définition Cercle unité
Le cercle unité est un cercle de rayon 1 centré à l'origine.
Proposition Relation entre angle et coordonnées
Pour tout angle \(\theta\), mesuré dans le sens anti-horaire à partir de l'axe des abscisses positif, le point correspondant \(M(x,y)\) sur le cercle définit les valeurs du cosinus et du sinus.
- La coordonnée \(x\) est le cosinus de l'angle : \(\cos \theta = x\)
- La coordonnée \(y\) est le sinus de l'angle : \(\sin \theta = y\)
Exemple
Trouve les valeurs \(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
Sur le cercle unité, le point correspondant à l'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) a pour coordonnées \((0,1)\) :
\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \quad\) coordonnée \(y\)
\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \quad\) coordonnée \(y\)
Proposition Signe de sinus et cosinus
| Quadrant | \(\cos \theta\) | \(\sin \theta\) |
| 1 | \(+\) | \(+\) |
| 2 | \(-\) | \(+\) |
| 3 | \(-\) | \(-\) |
| 4 | \(+\) | \(-\) |
Identités trigonométriques
Proposition Identité pythagoricienne
Pour tout angle \(\theta\) :$$ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $$
Soit \(M(\cos \theta,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Proposition Maximum et minimum des ratios trigonométriques
$$-1 \leqslant \cos \theta \leqslant 1\quad\text{ et }\quad-1 \leqslant \sin \theta \leqslant 1$$
- Preuve géométrique :
- Preuve analytique (pour le cosinus ; la preuve pour le sinus est analogue) :$$\begin{aligned}0 &\leqslant \sin ^2 \theta &&\text{(un carré est toujours positif ou nul)} \\ \cos ^2 \theta &\leqslant \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta &&\text{(on ajoute } \cos ^2 \theta \text{ aux deux membres)} \\ \cos ^2 \theta &\leqslant 1 &&(\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1) \\ |\cos \theta| &\leqslant 1 &&\text{(en prenant les racines carrées)}\\ -1 &\leqslant \cos \theta \leqslant 1 &&\end{aligned}$$Le même raisonnement appliqué à \(\sin \theta\) donne \(-1 \leqslant \sin \theta \leqslant 1\).
Proposition Identité de périodicité
Pour tout angle \(\theta\) et tout entier \(k\) :$$ \cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta \quad \text{et} \quad \sin(\theta + 2k\pi) = \sin\theta $$
Soit \(M(\cos \theta,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\theta+2\pi),\sin(\theta+2\pi))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta+2\pi\).
Donc \(\cos (\theta+2 \pi)=\cos \theta\) et \(\sin (\theta+2 \pi)=\sin \theta\).
Le même raisonnement vaut pour tout multiple de \(2\pi\), c’est-à-dire pour tout entier \(k\).
Soit \(M'(\cos(\theta+2\pi),\sin(\theta+2\pi))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta+2\pi\).
Donc \(\cos (\theta+2 \pi)=\cos \theta\) et \(\sin (\theta+2 \pi)=\sin \theta\).
Le même raisonnement vaut pour tout multiple de \(2\pi\), c’est-à-dire pour tout entier \(k\).
Proposition Ajouter \(\pi\) aux ratios trigonométriques
Symétrie centrale de centre l’origine :$$\begin{aligned}\sin (\pi+\theta)&=-\sin \theta \\
\cos (\pi+\theta)&=-\cos \theta\end{aligned}$$
Soit \(\theta\) un angle.
Soit \(M(\cos \theta,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\pi+\theta),\sin(\pi+\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\pi+\theta\).
Une rotation d'angle \(\pi\) est un demi-tour autour de l'origine \(O\), ce qui revient à une symétrie centrale de centre \(O\). Les coordonnées de \(M'\) sont donc les opposées des coordonnées de \(M\).
Donc\(\begin{aligned}[t]\sin (\pi+\theta)&=-\sin \theta \\\cos (\pi+\theta)&=-\cos \theta\end{aligned}\)
Soit \(M(\cos \theta,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\pi+\theta),\sin(\pi+\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\pi+\theta\).
Une rotation d'angle \(\pi\) est un demi-tour autour de l'origine \(O\), ce qui revient à une symétrie centrale de centre \(O\). Les coordonnées de \(M'\) sont donc les opposées des coordonnées de \(M\).
Donc\(\begin{aligned}[t]\sin (\pi+\theta)&=-\sin \theta \\\cos (\pi+\theta)&=-\cos \theta\end{aligned}\)
Proposition Opposé des ratios trigonométriques
Symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses :$$\begin{aligned}\sin (-\theta)&=-\sin \theta \\
\cos (-\theta)&=\cos \theta\end{aligned}$$
Soit \(M(\cos \theta,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(-\theta),\sin(-\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(-\theta\).
Le point \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses. La coordonnée \(x\) de \(M'\) est donc la même que celle de \(M\), et la coordonnée \(y\) de \(M'\) est l'opposée de celle de \(M\).
Donc\(\begin{aligned}[t]\sin (-\theta)&=-\sin \theta \\\cos (-\theta)&=\cos \theta\end{aligned}\)
Soit \(M'(\cos(-\theta),\sin(-\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(-\theta\).
Le point \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses. La coordonnée \(x\) de \(M'\) est donc la même que celle de \(M\), et la coordonnée \(y\) de \(M'\) est l'opposée de celle de \(M\).
Donc\(\begin{aligned}[t]\sin (-\theta)&=-\sin \theta \\\cos (-\theta)&=\cos \theta\end{aligned}\)
Proposition Identités avec \(\frac{\pi}{2} - \theta\)
Symétrie par rapport à la droite \(y=x\) : $$\begin{aligned}\cos\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \sin \theta \\
\sin\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \cos \theta \\
\end{aligned}$$
Soit \(\theta\) un angle.
Soit \(M(\cos \theta,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\frac \pi 2 -\theta),\sin(\frac \pi 2 -\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\dfrac \pi 2 -\theta\).
Les points \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\), donc la coordonnée \(x\) de \(M\) est la coordonnée \(y\) de \(M'\), et la coordonnée \(y\) de \(M\) est la coordonnée \(x\) de \(M'\).
Donc\(\begin{aligned}[t]\cos\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \sin \theta \\\sin\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \cos \theta \\\end{aligned}\)
Soit \(M(\cos \theta,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\frac \pi 2 -\theta),\sin(\frac \pi 2 -\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\dfrac \pi 2 -\theta\).
Les points \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\), donc la coordonnée \(x\) de \(M\) est la coordonnée \(y\) de \(M'\), et la coordonnée \(y\) de \(M\) est la coordonnée \(x\) de \(M'\).
Donc\(\begin{aligned}[t]\cos\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \sin \theta \\\sin\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \cos \theta \\\end{aligned}\)
Multiples de \(\frac{\pi}{4}\)
Proposition Coordonnées pour l'angle \(\frac{\pi}{4}\)
$$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text { et } \quad \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} $$
Comme \(\AngleFr{OMH}=\AngleFr{MOH}\), le triangle \(OHM\) est isocèle.
Soit \(a=OH=HM\).$$\begin{aligned} a^2+a^2 &=1^2 \quad \text { (théorème de Pythagore pour le triangle rectangle } OHM)\\ 2 a^2 &=1 \\ a^2 &=\frac{1}{2} \\ a &=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text { car } a\geqslant 0\end{aligned}$$Donc \(M\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
Comme \(\cos \theta\) est la coordonnée \(x\) de \(M\) et \(\sin \theta\) est la coordonnée \(y\) de \(M\) :$$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text { et } \quad \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Proposition Multiples de \(\frac{\pi}{4}\)
Les coordonnées de chaque point sont trouvées en utilisant les symétries de réflexion par rapport aux axes ou à l'origine.
Les signes des coordonnées sont déterminés par le quadrant dans lequel se trouve l'angle.
Exemple
Trouve \(\cos \dfrac{3 \pi}{4}\).
\(\cos \dfrac{3 \pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Multiples de \(\frac{\pi}{6}\)
Proposition Coordonnées de l'angle \(\frac{\pi}{3}\)
$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \quad \text { et } \quad \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Comme \(ON=OM=1\), le triangle \(OMN\) est isocèle. Donc \(\AngleFr{MON}=\AngleFr{MNO}=\dfrac \pi 3\).
Comme la somme des angles dans un triangle est \(\pi\), on a \(\AngleFr{OMN}=\dfrac \pi 3\).
Le triangle \(OMN\) est donc équilatéral.
L'altitude \(MH\) bissecte la base \(ON\).
Ainsi \(OH=\dfrac{1}{2}\).$$\begin{aligned} OH^2+HM^2 &=OM^2 \quad \text { (théorème de Pythagore pour le triangle rectangle } OHM)\\ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + HM^2 &=1 \\ HM^2 &=\frac{3}{4} \\ HM &=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text { car } HM\geqslant 0\end{aligned}$$Comme \(\cos \theta\) est la coordonnée \(x\) de \(M\) et \(\sin \theta\) est la coordonnée \(y\) de \(M\) :$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \quad \text{ et } \quad \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Proposition Multiples de \(\frac{\pi}{6}\)
Les coordonnées de chaque point sont trouvées en appliquant des symétries de réflexion par rapport aux axes ou à l'origine.
Exemple
Trouve \(\cos \dfrac{2 \pi}{3}\) et \(\sin \dfrac{2 \pi}{3}\).
Fonction tangente
Définition Fonction tangente
La tangente d'un angle \(\theta\) est définie, dès que \(\cos \theta \neq 0\), comme le rapport du sinus au cosinus :$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.$$Autrement dit, \(\tan \theta\) est définie pour tout réel \(\theta\) tel que \(\theta \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) pour tout entier \(k\).
Proposition Interprétation géométrique de la tangente
Sur le cercle unité, pour tout angle \(\theta\) tel que \(\cos \theta \neq 0\), la demi-droite issue de l'origine formant l'angle \(\theta\) avec l'axe des abscisses coupe la droite tangente verticale \(x = 1\) au point \((1,\tan \theta)\). En particulier, \(\tan \theta\) est l'ordonnée de ce point d'intersection.
La demi-droite issue de l'origine avec un angle \(\theta\) passe par le point \(P(\cos \theta, \sin \theta)\) sur le cercle unité.Si \(\cos \theta \neq 0\), la pente de la droite passant par l'origine et \(P\) vaut$$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta,$$et l'équation de cette droite est donc \(y = (\tan \theta)\,x\).L'intersection de cette droite avec la droite verticale \(x = 1\) se produit lorsque \(y = (\tan \theta)\cdot 1 = \tan \theta\). Ainsi, le point d'intersection est \((1,\tan \theta)\).
Proposition Valeurs de la tangente pour les angles usuels
| \(\theta\) | \(\sin \theta\) | \(\cos \theta\) | \(\tan \theta\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(1\) | \(0\) | non définie |
Formules d'addition et de différence
Proposition Cosinus de la différence
$$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B.$$
Considérons deux vecteurs unitaires sur le cercle unité :$$\vec{u} = \begin{pmatrix}\cos A \\
\sin A \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\vec{v} = \begin{pmatrix}\cos B \\
\sin B \end{pmatrix}.$$L'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) vaut \(A - B\).
On peut exprimer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) de deux manières :
On peut exprimer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) de deux manières :
- En utilisant la définition géométrique :$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \,\|\vec{v}\| \cos(A - B) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(A - B) = \cos(A - B).$$
- En utilisant la forme coordonnée :$$\vec{u} \cdot \vec{v}= \begin{pmatrix}\cos A \\ \sin A \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\cos B \\ \sin B \end{pmatrix}= (\cos A)(\cos B) + (\sin A)(\sin B).$$
Proposition Formule du cosinus de la somme
$$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B.$$
On remplace \(B\) par \(-B\) dans la formule du cosinus d'une différence :$$\begin{aligned}\cos(A + B) &= \cos\bigl(A - (-B)\bigr)\\
&= \cos A \cos(-B) + \sin A \sin(-B)\\
&= \cos A \cos B + \sin A (-\sin B)\quad(\text{car } \cos(-\theta) = \cos \theta\text{ et }\sin(-\theta) = -\sin \theta)\\
&= \cos A \cos B - \sin A \sin B.\end{aligned}$$
Proposition Formule du sinus de la somme et de la différence
$$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B,$$$$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B.$$
En utilisant l'identité des angles complémentaires \(\sin \theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\) :$$\begin{aligned}\sin(A + B) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - (A + B)\right)\\
&= \cos\left( \left(\frac{\pi}{2} - A\right) - B \right)\\
&= \cos\left(\frac{\pi}{2} - A\right) \cos B + \sin\left(\frac{\pi}{2} - A\right) \sin B\\
&= \sin A \cos B + \cos A \sin B.\end{aligned}$$Pour la différence, on écrit$$\begin{aligned}\sin(A - B) &= \sin\bigl(A + (-B)\bigr)\\
&= \sin A \cos(-B) + \cos A \sin(-B)\\
&= \sin A \cos B - \cos A \sin B.\end{aligned}$$
Proposition Formule de la tangente de la somme et de la différence
Pour des angles \(A\) et \(B\) tels que toutes les expressions suivantes soient définies,$$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B},$$$$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}.$$
On suppose \(\cos A \cos B \neq 0\) et \(\cos(A + B) \neq 0\) afin que tous les rapports soient définis :$$\begin{aligned}\tan(A + B) &= \frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)} \\
&= \frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} \\
&= \frac{\dfrac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B}}{\dfrac{\cos A \cos B - \sin A \sin B}{\cos A \cos B}} \quad \text{(on divise le numérateur et le dénominateur par } \cos A \cos B\text{)} \\
&= \frac{\dfrac{\sin A}{\cos A} + \dfrac{\sin B}{\cos B}}{1 - \dfrac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}}\\
&= \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}.\end{aligned}$$La formule pour \(\tan(A-B)\) s'obtient en remplaçant \(B\) par \(-B\) et en utilisant \(\tan(-B) = -\tan B\).