Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont des fonctions réelles qui relient la mesure d’un angle dans un triangle rectangle aux rapports entre deux côtés de ce triangle. Elles jouent un rôle fondamental en géométrie et sont largement utilisées dans de nombreux domaines scientifiques, comme la navigation, la mécanique, l’astronomie, la géodésie, et bien d’autres. Les fonctions trigonométriques sont aussi parmi les exemples les plus simples de fonctions périodiques, ce qui les rend essentielles pour modéliser des phénomènes périodiques (comme les ondes) et pour des applications comme l’analyse de Fourier.

Une fonction \(f\) est périodique si elle se répète à intervalles réguliers.

Une fonction \(f\) est dite périodique s'il existe une constante \(P>0\) telle que :$$ f(x+P) = f(x), \quad \text{pour tout } x $$

• La période est la longueur d'une répétition ou d'un cycle complet. C'est la plus petite valeur positive \(p\) telle que \(f(x+p)=f(x)\) pour tout \(x\).
• L'axe principal est la droite horizontale autour de laquelle l'onde oscille, donnée par $$y = \frac{\text{valeur maximale} + \text{valeur minimale}}{2}$$
• L'amplitude est la distance entre l'axe principal et un point maximum ou minimum, donnée par $$\frac{\text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}}{2}$$

Parmi les nombreux types de fonctions périodiques, ce chapitre se concentrera sur celles qui présentent un motif régulier en forme de vague. Pour modéliser ces fonctions sinusoïdales, nous utiliserons les fonctions trigonométriques sinus et cosinus.

Soit \(M(\cos x,\, \sin x)\) le point du cercle trigonométrique correspondant à un angle \(x\) (exprimé en radians).

• L’angle \(x\) sur le cercle trigonométrique correspond à l’antécédent (l’« entrée ») de la fonction sinus.
• L’ordonnée du point \(M\) sur le cercle, \(\sin x\), donne la valeur (l’« image ») de la fonction sinus.

Ainsi, représenter \(x \mapsto \sin x\) donne la courbe de la fonction sinus.
Voir par exemple : \href{https://www.geogebra.org/m/j7w29vj4}{démo Geogebra}.

La fonction sinus, notée \(\sin\), est définie par \(x\mapsto \sin(x)\), où \(x\) représente un angle en radians.

Complète le tableau suivant avec les valeurs de la fonction sinus aux principaux angles :

\(x\)	0	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\dfrac{2\pi}{3}\)	\(\dfrac{3\pi}{4}\)	\(\dfrac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)
\(\sin(x)\)

Si l’on projette les valeurs de \(\cos x\) à partir du cercle trigonométrique sur un graphique, on obtient la courbe de la fonction cosinus \(x \mapsto \cos x\).

La fonction cosinus, notée \(\cos\), est définie par \(x\mapsto\cos(x)\), où \(x\) représente un angle en radians.

Complète le tableau suivant avec les valeurs de la fonction cosinus aux principaux angles :

\(x\)	0	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\dfrac{2\pi}{3}\)	\(\dfrac{3\pi}{4}\)	\(\dfrac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)
\(\cos(x)\)

• Périodicité : Les deux fonctions sont périodiques de période \(2\pi\).
• Domaine et ensemble image : Le domaine est \(\mathbb{R}\). L'ensemble image est \([-1, 1]\).
• Symétrie : Le cosinus est une fonction paire (\(\cos(-x)=\cos(x)\)). Le sinus est une fonction impaire (\(\sin(-x)=-\sin(x)\)).
• Amplitude : L'amplitude des fonctions de base est 1.

Maintenant que nous sommes familiers avec les graphes de \(y = \sin x\) et \(y = \cos x\), nous pouvons utiliser les transformations pour tracer des fonctions trigonométriques plus compliquées.

Pour les fonctions de la forme \(y = a\sin(b(x-c)) + d\) et \(y = a\cos(b(x-c)) + d\) :

• \(|a|\) est l'amplitude.
• \(\frac{2\pi}{|b|}\) est la période.
• \(c\) est le déphasage (translation horizontale).
• \(d\) est le décalage vertical (l'axe principal est \(y=d\)).

Pour des paramètres réels \(a,b,c,d\) avec \(b\neq 0\), le graphe de \(y = a\sin\!\big(b(x-c)\big) + d\) s’obtient à partir de \(y=\sin x\) par :

1. une dilatation verticale de facteur \(|a|\) ; si \(a<0\), réflexion par rapport à l’axe horizontal,
2. une dilatation horizontale de facteur \(\dfrac{1}{|b|}\) ; si \(b<0\), réflexion par rapport à l’axe vertical,
3. une translation horizontale de \(c\) unités (vers la droite si \(c>0\), vers la gauche si \(c<0\)) et une translation verticale de \(d\) unités (vers le haut si \(d>0\), vers le bas si \(d<0\)).

Trace le graphe de \(y=\sqrt{2} \sin x-1\) pour \(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi\).

La fonction tangente est définie par :$$\textcolor{colordef}{\tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x}}$$

Le graphe de \(y = \tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x}\) a :

• Ensemble de définition : \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \forall k\in\mathbb{Z} \}\) (tous les nombres réels \(x\) sauf ceux pour lesquels \(\cos x = 0\)).
• Période : \(\pi\).
• Asymptotes Verticales : en \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) pour tout entier \(k\).
• Ensemble Image : \(\mathbb{R}\).

• La cosécante est \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\), pour \(\sin(x) \neq 0\).
• La sécante est \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), pour \(\cos(x) \neq 0\).
• La cotangente est \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\), pour \(\sin(x) \neq 0\).

Le graphe de \(y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\) est montré ci-dessous.

• Période : \(2\pi\).
• Asymptotes verticales : En \(x = k\pi\) (où \(\sin x = 0\)).
• Ensemble image : \(]-\infty, -1] \cup [1, \infty[\).

Le graphe de \(y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\) est montré ci-dessous.

• Période : \(2\pi\).
• Asymptotes verticales : En \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) (où \(\cos x = 0\)).
• Ensemble image : \(]{-\infty}, -1] \cup [1, \infty[\).

Le graphe de \(y = \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\) est montré ci-dessous.

• Période : \(\pi\).
• Asymptotes verticales : En \(x = k\pi\) (où \(\sin x = 0\)).
• Ensemble image : \(\mathbb{R}\).

Les fonctions trigonométriques inverses, aussi appelées fonctions arc, permettent de trouver l'angle à partir de la valeur d'un ratio trigonométrique. Elles sont les inverses des fonctions sinus, cosinus et tangente, mais avec des domaines restreints pour les rendre bijectives.

La fonction arcsinus, notée \(\arcsin\) ou \(\sin^{-1}\), est définie comme la fonction qui renvoie l'angle \(x\) tel que \(\sin x = y\), où \(-1 \le y \le 1\) et \(-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\).

• Domaine de définition : \([-1, 1]\)
• Ensemble image : \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

Le graphe de \(\textcolor{colordef}{y = \arcsin x}\) est la réflexion de \(\textcolor{colorprop}{y = \sin x}\) par rapport à la droite \(\textcolor{olive}{y = x}\), restreint à la branche principale.

La fonction arccosinus, notée \(\arccos\) ou \(\cos^{-1}\), est définie comme la fonction qui renvoie l'angle \(x\) tel que \(\cos x = y\), où \(-1 \le y \le 1\) et \(0 \le x \le \pi\).

• Domaine de définition : \([-1, 1]\)
• Ensemble image : \([0, \pi]\)

Le graphe de \(\textcolor{colordef}{y = \arccos x}\) est la réflexion de \(\textcolor{colorprop}{y = \cos x}\) par rapport à la droite \(\textcolor{olive}{y = x}\), restreint à la branche principale.

La fonction arctangente, notée \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\), est définie comme la fonction qui renvoie l'angle \(x\) tel que \(\tan x = y\), où \(y \in \mathbb{R}\) et \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\).

• Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
• Ensemble image : \(\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\)

Le graphe de \(y = \arctan x\) est la réflexion de \(y = \tan x\) par rapport à la droite \(y = x\), restreint à la branche principale.

• \(\arcsin(\sin x) = x\) pour \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
• \(\arccos(\cos x) = x\) pour \(x \in [0, \pi]\)
• \(\arctan(\tan x) = x\) pour \(x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\)

Évaluer \(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

1. Utiliser les identités pour simplifier l'équation sous une forme n'impliquant qu'une seule fonction trigonométrique, par ex., \(\sin(X)=k\).
2. Trouver la valeur principale (la première solution) en utilisant une fonction réciproque, \(X = \arcsin(k)\).
3. Utiliser la symétrie et la périodicité de la fonction pour trouver toutes les solutions dans une période.
4. Ajouter des multiples de la période (\(2k\pi\) ou \(k\pi\)) pour trouver la solution générale ou toutes les solutions dans un domaine spécifié.

Trouver la solution générale de l'équation \(2\sin(3x) = \sqrt{3}\), puis en déduire toutes les solutions dans l'intervalle \(0 \le x \le \pi\).

Pour trouver un modèle sinusoïdal de la forme \(y = a\sin(b(x-c)) + d\) qui correspond à un ensemble de données périodiques :

1. Trouver le décalage vertical, \(d\) : Calculer l'axe principal, qui est la moyenne des valeurs maximale et minimale. $$d = \frac{\text{valeur max} + \text{valeur min}}{2}$$
2. Trouver l'amplitude, \(a\) : Calculer la moitié de la distance entre les valeurs maximale et minimale. $$a = \frac{\text{valeur max} - \text{valeur min}}{2}$$
3. Trouver la période et le paramètre \(b\) : Déterminer la période, \(P\), qui est la longueur d'un cycle complet des données. Utiliser la formule \(P = \frac{2\pi}{b}\) pour trouver \(b\). $$b = \frac{2\pi}{P}$$
4. Trouver le déphasage, \(c\) : Substituer un point de données \((x,y)\) dans l'équation \(y = a\sin(b(x-c))+d\) et résoudre pour le décalage horizontal \(c\). Il est souvent plus simple de choisir un point où la fonction croise son axe principal.

Les températures maximales moyennes mensuelles pour Le Cap, en Afrique du Sud, sont indiquées ci-dessous :

Mois (\(t\))	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Temp (\(T\))	28	27	25.5	22	18.5	16	15	16	18	21.5	24	26

Trouver une fonction sinusoïdale de la forme \(T = a\sin(b(t-c))+d\) pour modéliser la température.