Éducation Nationale Française · PSI

Isométries d'un espace euclidien

⌚ ~51 min ▢ 6 blocs ✓ 78 exercices ➣ Prérequis : Compléments d'algèbre linéaire, Espaces préhilbertiens réels

Ce chapitre prolonge l'algèbre du cours PC, passant du cadre général d'algèbre linéaire (Compléments d'algèbre linéaire du chapitre Compléments d'algèbre linéaire) au cadre euclidien — un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Produit scalaire, bases orthonormées, supplémentaire orthogonal et projections sont rappelés de Espaces préhilbertiens réels (PCSI) et utilisés librement. Le chapitre s'organise en trois sections : d'abord les matrices orthogonales (matrices $M$ telles que $M^{\mathsf{T}} M = I_n$, leur structure et le changement de base orthonormée), puis les isométries vectorielles de $E$ (endomorphismes conservant la norme ou de façon équivalente le produit scalaire, groupe orthogonal $\mathrm{O}(E)$, symétries orthogonales), et enfin les isométries d'un plan euclidien (matrices de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$, rotations vectorielles, classification). La notation $\mathrm{O}(E)$ hérite des propriétés vérifiables d'un groupe sans recours à la machinerie axiomatique.
Tout au long du chapitre, $E$ est un espace euclidien (réel, de dimension finie, muni d'un produit scalaire $\langle \cdot \,|\, \cdot \rangle$), $n = \dim E \ge 1$, $\norme{\cdot}$ est la norme associée ; « BON » abrège « base orthonormée ».

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I Matrices orthogonales

I.1 Matrices orthogonales et groupe orthogonal

Parmi les matrices carrées réelles, certaines conservent la structure euclidienne de $\mathbb{R}^n$. Elles se caractérisent par une seule relation algébrique entre une matrice et sa transposée, et forment deux groupes emboîtés — les objets centraux de ce chapitre du côté matriciel.

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Définition — Matrice orthogonale

Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale lorsque $$ \textcolor{colordef}{M^{\mathsf{T}} M = M M^{\mathsf{T}} = I_n,} $$ ce qui équivaut à dire que $M$ est inversible avec $M^{-1} = M^{\mathsf{T}}$.

Pour une matrice carrée, chacune des deux égalités $M^{\mathsf{T}} M = I_n$ et $M M^{\mathsf{T}} = I_n$ entraîne l'autre : un inverse d'un seul côté d'une matrice carrée est automatiquement un inverse des deux côtés. Vérifier la seule égalité $M^{\mathsf{T}} M = I_n$ suffit donc.

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Théorème — Le groupe orthogonal et le groupe spécial orthogonal

L'ensemble des matrices orthogonales de taille $n$, noté $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$, est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ — le groupe orthogonal. Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut $+1$ ou $-1$. La partie $$ \mathrm{SO}_n(\mathbb{R}) = \{ M \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) : \det M = 1 \} $$ est elle-même un sous-groupe, le groupe spécial orthogonal.

Preuve

Une matrice orthogonale est inversible (son inverse est $M^{\mathsf{T}}$), donc $\mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Vérifions les propriétés de sous-groupe.

$I_n \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$, car $I_n^{\mathsf{T}} I_n = I_n$.
Stable par produit : si $M,N$ sont orthogonales, $(MN)^{\mathsf{T}}(MN) = N^{\mathsf{T}} M^{\mathsf{T}} M N = N^{\mathsf{T}} I_n N = N^{\mathsf{T}} N = I_n$.
Stable par inverse : si $M$ est orthogonale, $M^{-1} = M^{\mathsf{T}}$, et $(M^{-1})^{\mathsf{T}} M^{-1} = (M^{\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} M^{\mathsf{T}} = M M^{\mathsf{T}} = I_n$.

Donc $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Pour le déterminant, en appliquant $\det$ à $M^{\mathsf{T}} M = I_n$ on obtient $\det(M^{\mathsf{T}})\det(M) = 1$, et $\det(M^{\mathsf{T}}) = \det(M)$, donc $\det(M)^2 = 1$ et $\det M \in \{-1,1\}$. Vérifions maintenant directement les propriétés de sous-groupe pour $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ : $I_n \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ car $\det I_n = 1$ ; si $M, N \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ alors $\det(MN) = \det M \cdot \det N = 1$, donc $MN \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ ; si $M \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ alors $\det(M^{-1}) = (\det M)^{-1} = 1$, donc $M^{-1} \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$. Donc $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$.

Exemple — Trois matrices orthogonales

L'identité $I_n$ est orthogonale avec $\det = 1$, donc $I_n \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$. Pour $\theta \in \mathbb{R}$, la matrice $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ vérifie $M^{\mathsf{T}} M = I_2$ et $\det M = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, donc elle appartient à $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. La matrice de permutation $$ P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ vérifie $P^{\mathsf{T}} P = I_3$ (vérification directe) et $\det P = 1$, donc $P \in \mathrm{SO}_3(\mathbb{R})$.

Exemple — Déterminant un n'implique pas orthogonale

Avoir un déterminant égal à $\pm 1$ est nécessaire mais non suffisant pour l'orthogonalité. La matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ vérifie $\det M = 1$, pourtant $$ M^{\mathsf{T}} M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \ne I_2, $$ donc $M$ n'est pas orthogonale. L'orthogonalité est la relation $M^{\mathsf{T}} M = I_n$, jamais la seule valeur du déterminant.

Compétences à pratiquer

Identifier les matrices orthogonales

I.2 Bases orthonormées et orientation

Les matrices orthogonales admettent une lecture transparente : ce sont exactement les matrices dont les colonnes forment une famille orthonormée, et exactement les matrices qui transforment une base orthonormée en une autre. Répartir les matrices orthogonales selon le signe de leur déterminant divise alors les bases orthonormées en deux familles — les deux orientations de l'espace.

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Proposition — Matrices orthogonales et familles orthonormées

Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une famille orthonormée de $\mathbb{R}^n$ (pour le produit scalaire canonique), si et seulement si ses lignes le font.

Preuve

Soit $C_1,\dots,C_n$ les colonnes de $M$. Le coefficient de $M^{\mathsf{T}} M$ en position $(i,j)$ est le produit de la ligne $i$ de $M^{\mathsf{T}}$ — c'est-à-dire la colonne $i$ de $M$ — par la colonne $j$ de $M$ : $$ (M^{\mathsf{T}} M)_{i,j} = C_i^{\mathsf{T}} C_j = \langle C_i\,|\,C_j\rangle, $$ le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$. Donc $M^{\mathsf{T}} M = I_n$ si et seulement si $\langle C_i\,|\,C_j\rangle = \delta_{i,j}$ pour tous $i,j$, c'est-à-dire si les colonnes forment une famille orthonormée. En appliquant ceci à $M^{\mathsf{T}}$, dont les colonnes sont les lignes de $M$, on obtient l'énoncé sur les lignes ; et $M$ est orthogonale ssi $M^{\mathsf{T}}M = I_n$ ssi $MM^{\mathsf{T}} = I_n$.

Proposition — Matrices orthogonales et changements de base orthonormée

La matrice de passage entre deux bases orthonormées de $E$ est orthogonale ; réciproquement, étant donné une base orthonormée $\mathcal{B}$ et une matrice orthogonale $M$, il existe une base orthonormée $\mathcal{B}'$ dont la matrice de passage depuis $\mathcal{B}$ est $M$. Dans tout le chapitre, la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ a pour colonnes les vecteurs de $\mathcal{B}'$ exprimés dans $\mathcal{B}$.

Preuve

Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases orthonormées et $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$. Ses colonnes sont les vecteurs de coordonnées, dans $\mathcal{B}$, des vecteurs de $\mathcal{B}'$. Comme $\mathcal{B}$ est orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs égale le produit scalaire canonique de leurs colonnes de coordonnées dans $\mathcal{B}$. Donc les colonnes $i$ et $j$ de $P$ ont pour produit scalaire canonique $\langle e'_i\,|\,e'_j\rangle = \delta_{i,j}$, la famille $\mathcal{B}'$ étant orthonormée : les colonnes de $P$ forment une famille orthonormée, donc $P$ est orthogonale par la proposition précédente.
Réciproquement, soit $M$ orthogonale et $\mathcal{B}$ une base orthonormée. Soit $\mathcal{B}'$ la famille dont les colonnes de coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont les colonnes de $M$. Ces colonnes forment une famille orthonormée de $\mathbb{R}^n$ ; comme $\mathcal{B}$ est orthonormée, $\mathcal{B}'$ est une famille orthonormée de $n$ vecteurs de $E$, donc une base orthonormée, et $M$ est par construction la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$.

Définition — Orientation d'un espace euclidien

Deux bases orthonormées de $E$ définissent la même orientation lorsque la matrice de passage entre elles a pour déterminant $+1$. Orienter $E$, c'est choisir l'une des classes ainsi obtenues ; ses bases sont alors dites directes, les autres indirectes.

Proposition — Les deux orientations

« Définir la même orientation » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des bases orthonormées de $E$, et pour $n \ge 1$ elle a exactement deux classes.

Preuve

Notons $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ la matrice de passage. La relation est réflexive ($P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}} = I_n$, $\det = 1$) ; symétrique ($P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}^{-1}$, donc son déterminant est l'inverse de $\det P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$, égal à $1$ quand ce dernier l'est) ; transitive ($P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\, P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}''}$, donc les déterminants se multiplient). C'est donc une relation d'équivalence.
Pour le compte : entre deux bases orthonormées la matrice de passage est orthogonale, donc son déterminant vaut $+1$ ou $-1$ — deux bases sont dans la même classe ssi ce déterminant vaut $+1$. Les deux valeurs sont atteintes : à partir d'une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$, la famille $(-e_1,e_2,\dots,e_n)$ est encore une base orthonormée, et la matrice de passage $\mathrm{diag}(-1,1,\dots,1)$ a pour déterminant $-1$ — ceci vaut pour tout $n \ge 1$. Enfin il y a au plus deux classes : si $\mathcal{B}_2$ et $\mathcal{B}_3$ sont toutes deux dans une classe différente de $\mathcal{B}_1$, alors $\det P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2} = \det P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_3} = -1$, donc $\det P_{\mathcal{B}_2 \to \mathcal{B}_3} = \det P_{\mathcal{B}_2 \to \mathcal{B}_1}\,\det P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_3} = (-1)(-1) = 1$, donc $\mathcal{B}_2$ et $\mathcal{B}_3$ sont dans la même classe. Exactement deux classes.

Exemple — Orientations de la base canonique

Sur $\mathbb{R}^n$ on oriente d'ordinaire l'espace en déclarant la base canonique $(e_1,\dots,e_n)$ directe. Changer un vecteur en son opposé — remplacer $e_1$ par $-e_1$ — donne une base orthonormée de déterminant de passage $-1$, donc indirecte ; ceci vaut pour tout $n \ge 1$. Pour $n \ge 2$, échanger deux vecteurs — permuter $e_1$ et $e_2$ — donne aussi un déterminant de passage $-1$, donc une base indirecte.

Méthode — Vérifier qu'une matrice est orthogonale

Pour décider si une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale, et si elle appartient à $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ :

orthogonalité : soit calculer $M^{\mathsf{T}} M$ et vérifier qu'elle vaut $I_n$, soit — souvent plus rapide — vérifier que les colonnes de $M$ forment une famille orthonormée (chaque colonne de norme $1$, colonnes distinctes orthogonales) ;
appartenance à $\mathrm{SO}_n$ : une fois $M$ reconnue orthogonale, calculer $\det M$ ; alors $M \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ ssi $\det M = 1$, et $M \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ ssi $\det M = -1$.

Compétences à pratiquer

Orienter un espace euclidien

II Isométries vectorielles

II.1 Isométries vectorielles et leurs caractérisations

Une isométrie vectorielle est un endomorphisme qui ne change la longueur d'aucun vecteur. La définition utilise la norme, mais elle a une lecture équivalente immédiate en termes de produit scalaire, et deux autres caractérisations — par l'image d'une base orthonormée, par la matrice dans une base orthonormée — chacune utile en pratique. Elles sont rassemblées dans le théorème ci-dessous.

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Définition — Isométrie vectorielle

Une isométrie vectorielle de $E$ est un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ qui conserve la norme : $$ \textcolor{colordef}{\norme{u(x)} = \norme{x} \qquad \text{pour tout } x \in E.} $$

Proposition — Conservation du produit scalaire

Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ conserve la norme si et seulement s'il conserve le produit scalaire, c'est-à-dire $$ \langle u(x)\,|\,u(y)\rangle = \langle x\,|\,y\rangle \qquad \text{pour tous } x,y \in E. $$

Preuve

Si $u$ conserve le produit scalaire, alors pour tout $x$, $\norme{u(x)}^2 = \langle u(x)\,|\,u(x)\rangle = \langle x\,|\,x\rangle = \norme{x}^2$, donc $u$ conserve la norme. Réciproquement, supposons que $u$ conserve la norme. L'identité de polarisation, rappelée de Espaces préhilbertiens réels, exprime le produit scalaire à l'aide de la norme : $$ \langle a\,|\,b\rangle = \tfrac{1}{2}\bigl( \norme{a + b}^2 - \norme{a}^2 - \norme{b}^2 \bigr). $$ En l'appliquant à $a = u(x)$, $b = u(y)$ et en utilisant $u(x) + u(y) = u(x + y)$ (linéarité de $u$), $$ \begin{aligned} \langle u(x)\,|\,u(y)\rangle &= \tfrac{1}{2}\bigl( \norme{u(x) + u(y)}^2 - \norme{u(x)}^2 - \norme{u(y)}^2 \bigr)\\ &= \tfrac{1}{2}\bigl( \norme{u(x + y)}^2 - \norme{u(x)}^2 - \norme{u(y)}^2 \bigr) && \text{(linéarité)}\\ &= \tfrac{1}{2}\bigl( \norme{x + y}^2 - \norme{x}^2 - \norme{y}^2 \bigr) && \text{(}u\text{ conserve la norme)}\\ &= \langle x\,|\,y\rangle. && \text{(polarisation)} \end{aligned} $$

Proposition — Une isométrie vectorielle est un automorphisme

Toute isométrie vectorielle de $E$ est un automorphisme de $E$.

Preuve

Soit $u$ une isométrie vectorielle et $x \in \mathrm{Ker}\,u$. Alors $\norme{x} = \norme{u(x)} = \norme{0_E} = 0$, donc $x = 0_E$ : ainsi $\mathrm{Ker}\,u = \{0_E\}$ et $u$ est injectif. Comme $E$ est de dimension finie, un endomorphisme injectif est bijectif, donc $u \in \mathrm{GL}(E)$.

Définition — Le groupe orthogonal

L'ensemble des isométries vectorielles de $E$ se note $\mathrm{O}(E)$ et s'appelle le groupe orthogonal de $E$.

Proposition — Le groupe orthogonal est un sous-groupe

$\mathrm{O}(E)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$.

Preuve

Par la proposition précédente $\mathrm{O}(E) \subset \mathrm{GL}(E)$. L'identité conserve la norme, donc $\mathrm{id}_E \in \mathrm{O}(E)$. Si $u,v \in \mathrm{O}(E)$, alors $\norme{(u \circ v)(x)} = \norme{u(v(x))} = \norme{v(x)} = \norme{x}$, donc $u \circ v \in \mathrm{O}(E)$. Si $u \in \mathrm{O}(E)$, alors pour tout $x$, en appliquant la conservation de la norme par $u$ au vecteur $u^{-1}(x)$ on obtient $\norme{u^{-1}(x)} = \norme{u(u^{-1}(x))} = \norme{x}$, donc $u^{-1} \in \mathrm{O}(E)$. Donc $\mathrm{O}(E)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$.

Théorème — Caractérisations d'une isométrie vectorielle

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

[(i)] $u$ est une isométrie vectorielle ;
[(ii)] $u$ conserve le produit scalaire : $\langle u(x)\,|\,u(y)\rangle = \langle x\,|\,y\rangle$ pour tous $x,y \in E$ ;
[(iii)] l'image par $u$ d'une base orthonormée — de façon équivalente, de toute base orthonormée — est une base orthonormée ;
[(iv)] la matrice de $u$ dans une base orthonormée — de façon équivalente, dans toute base orthonormée — est orthogonale.

Preuve

Fixons une base orthonormée $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$.
(i)$\Leftrightarrow$(ii). Établi dans la Proposition « Conservation du produit scalaire » ci-dessus (identité de polarisation).
(ii)$\Rightarrow$(iii). Si $u$ conserve le produit scalaire, $\langle u(e_i)\,|\,u(e_j)\rangle = \langle e_i\,|\,e_j\rangle = \delta_{i,j}$, donc $\bigl(u(e_1),\dots,u(e_n)\bigr)$ est orthonormée ; étant formée de $n$ vecteurs, c'est une base orthonormée.
(iii)$\Rightarrow$(i). Supposons $\bigl(u(e_1),\dots,u(e_n)\bigr)$ base orthonormée. Pour $x = \sum_i x_i e_i$, la linéarité donne $u(x) = \sum_i x_i\, u(e_i)$. Les $x_i$ sont les coordonnées de $u(x)$ dans la base orthonormée $\bigl(u(e_1),\dots,u(e_n)\bigr)$, donc $\norme{u(x)}^2 = \sum_i x_i^2$ ; et $\norme{x}^2 = \sum_i x_i^2$ également, $\mathcal{B}$ étant orthonormée. Donc $\norme{u(x)} = \norme{x}$ : $u$ est une isométrie. Ainsi (i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii) ; comme (i) ne dépend pas de la base, (iii) vaut pour une base ssi pour toute.
(iii)$\Leftrightarrow$(iv). Posons $M = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$, dont les colonnes sont les coordonnées de $u(e_1), \dots, u(e_n)$ dans $\mathcal{B}$. La famille $\bigl(u(e_1),\dots,u(e_n)\bigr)$ est orthonormée (selon la métrique de $\mathcal{B}$) ssi les colonnes de $M$ sont deux à deux orthogonales et de norme $1$, c'est-à-dire ssi $M^{\mathsf{T}} M = I_n$, c'est-à-dire ssi $M$ est orthogonale. Comme (iii) ne dépend pas de la base, (iv) vaut pour une base orthonormée ssi pour toute.

Définition — Isométries positives et négatives

Soit $u \in \mathrm{O}(E)$. Sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale, donc $\det u \in \{-1,1\}$. L'isométrie $u$ est positive (ou directe) lorsque $\det u = +1$, négative (ou indirecte) lorsque $\det u = -1$. Les isométries positives forment le groupe spécial orthogonal $\mathrm{SO}(E)$, sous-groupe de $\mathrm{O}(E)$.

Exemple — L'identité et son opposée

L'identité $\mathrm{id}_E$ est une isométrie avec $\det \mathrm{id}_E = 1$ : elle est positive. Son opposée $-\mathrm{id}_E$ vérifie $\norme{-x} = \norme{x}$, c'est donc aussi une isométrie ; sa matrice dans toute base orthonormée est $-I_n$, de déterminant $(-1)^n$. Donc $-\mathrm{id}_E$ est positive lorsque $n$ est pair, négative lorsque $n$ est impair.

Exemple — Une symétrie orthogonale est une isométrie

Soit $p$ la projection orthogonale sur un sous-espace $F$, et $s = 2p - \mathrm{id}_E$ la symétrie orthogonale associée. Pour $x = x_F + x_\perp$ selon $E = F \oplus F^\perp$, on a $s(x) = x_F - x_\perp$, et par le théorème de Pythagore $\norme{s(x)}^2 = \norme{x_F}^2 + \norme{x_\perp}^2 = \norme{x}^2$. Donc $s$ est une isométrie — la sous-section suivante étudie ces symétries en détail.

Méthode — Montrer qu'un endomorphisme est une isométrie

Pour démontrer que $u \in \mathcal{L}(E)$ est une isométrie vectorielle, on choisit la caractérisation la plus économique selon les données :

si $u$ est donné par une formule, vérifier $\norme{u(x)} = \norme{x}$ directement, ou $\langle u(x)\,|\,u(y)\rangle = \langle x\,|\,y\rangle$ ;
si $u$ est donné par son action sur une base orthonormée, vérifier que les images forment une base orthonormée ;
si $u$ est donné par une matrice $M$ dans une base orthonormée, vérifier que $M$ est orthogonale ($M^{\mathsf{T}} M = I_n$).

Compétences à pratiquer

Montrer qu'un endomorphisme est une isométrie

II.2 Symétries orthogonales

Après $\pm\mathrm{id}_E$, les isométries les plus simples sont les symétries orthogonales : on fixe un sous-espace $F$, on le laisse intact, et on renverse l'orthogonal $F^\perp$. Rappelons de la première année que, pour une somme directe $E = F \oplus G$, la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ envoie $x = x_F + x_G$ sur $x_F - x_G$ et vérifie $s \circ s = \mathrm{id}_E$ ; la symétrie orthogonale est le cas $G = F^\perp$. Lorsque $F$ est un hyperplan, la symétrie s'appelle une réflexion. Deux caractérisations les rendent reconnaissables — une géométrique (une symétrie est orthogonale exactement quand elle est une isométrie), une matricielle (exactement quand sa matrice dans une base orthonormée est symétrique).

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Définition — Symétrie orthogonale et réflexion

Soit $F$ un sous-espace de $E$ et $E = F \oplus F^\perp$. La symétrie orthogonale par rapport à $F$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $F^\perp$ : elle envoie $x = x_F + x_\perp$ sur $x_F - x_\perp$. Lorsque $F$ est un hyperplan, cette symétrie orthogonale s'appelle une réflexion.

Proposition — Symétries orthogonales et isométries

Une symétrie vectorielle de $E$ est orthogonale si et seulement si c'est une isométrie vectorielle.

Preuve

$(\Rightarrow)$ Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $F$. Pour $x = x_F + x_\perp$ selon $E = F \oplus F^\perp$, $s(x) = x_F - x_\perp$. Comme $x_F \in F$ et $x_\perp \in F^\perp$ sont orthogonaux, le théorème de Pythagore donne $$ \norme{s(x)}^2 = \norme{x_F}^2 + \norme{-x_\perp}^2 = \norme{x_F}^2 + \norme{x_\perp}^2 = \norme{x}^2, $$ donc $s$ est une isométrie.
$(\Leftarrow)$ Soit $s$ une symétrie par rapport à $F$ parallèlement à une direction $G$, avec $E = F \oplus G$, et supposons $s$ isométrie. Prenons $x \in F$ et $y \in G$ ; alors $s(x + y) = x - y$, et comme $s$ est une isométrie, $$ \norme{x + y}^2 = \norme{s(x + y)}^2 = \norme{x - y}^2. $$ En développant les deux membres, $\norme{x}^2 + 2\langle x\,|\,y\rangle + \norme{y}^2 = \norme{x}^2 - 2\langle x\,|\,y\rangle + \norme{y}^2$, d'où $4\langle x\,|\,y\rangle = 0$, c'est-à-dire $\langle x\,|\,y\rangle = 0$. Donc tout vecteur de $G$ est orthogonal à tout vecteur de $F$ : $G \subset F^\perp$. Comme $E = F \oplus G$ et $E = F \oplus F^\perp$, les sous-espaces $G$ et $F^\perp$ ont la même dimension $n - \dim F$, donc $G = F^\perp$. Ainsi $s$ est la symétrie orthogonale par rapport à $F$.

Proposition — Caractérisation matricielle d'une symétrie orthogonale

Une symétrie vectorielle de $E$ est orthogonale si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée — de façon équivalente, dans toute base orthonormée — est symétrique.

Preuve

$(\Rightarrow)$ Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace $F$. Prenons une base orthonormée $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_k, e_{k+1}, \dots, e_n)$ où $(e_1, \dots, e_k)$ est une base orthonormée de $F$ et $(e_{k+1}, \dots, e_n)$ une base orthonormée de $F^\perp$. Dans cette base $s(e_i) = e_i$ pour $i \le k$ et $s(e_j) = -e_j$ pour $j > k$, donc $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(s) = \mathrm{diag}(1, \dots, 1, -1, \dots, -1)$ — diagonale, donc symétrique. Dans toute base orthonormée. Si $\mathcal{B}'$ est une autre base orthonormée, la matrice de changement de base $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ est orthogonale (BON vers BON), donc $M' := \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(s) = P^{-1} M P = P^{\mathsf{T}} M P$. Alors $(M')^{\mathsf{T}} = P^{\mathsf{T}} M^{\mathsf{T}} P = P^{\mathsf{T}} M P = M'$, donc $M'$ est aussi symétrique.
$(\Leftarrow)$ Soit $s$ une symétrie dont la matrice $M$ dans une base orthonormée est symétrique, $M = M^{\mathsf{T}}$. Une symétrie vérifie $s \circ s = \mathrm{id}_E$, donc $M^2 = I_n$. Alors $M^{\mathsf{T}} M = M\,M = M^2 = I_n$, donc $M$ est orthogonale ; par la caractérisation (iv) du Théorème ci-dessus, $s$ est une isométrie, donc une symétrie orthogonale par la proposition précédente.

Exemple — La réflexion par rapport à un hyperplan

Soit $a$ un vecteur unitaire de $E$ et $H = \{a\}^\perp$ l'hyperplan orthogonal à $a$. Exprimer la réflexion $\sigma$ par rapport à $H$ en fonction de $x$ et $a$, et vérifier directement que c'est une isométrie.

Correction

Décomposons $x$ selon $E = H \oplus \mathrm{Vect}(a)$. La composante sur la droite $\mathrm{Vect}(a)$ est la projection orthogonale de $x$ sur celle-ci ; comme $a$ est unitaire, cette projection est $\langle a\,|\,x\rangle\, a$, et la composante dans $H$ est $x - \langle a\,|\,x\rangle\, a$. La réflexion par rapport à $H$ conserve la composante dans $H$ et renverse l'autre : $$ \sigma(x) = \bigl(x - \langle a\,|\,x\rangle\, a\bigr) - \langle a\,|\,x\rangle\, a = \textcolor{colorprop}{x - 2\langle a\,|\,x\rangle\, a}. $$ C'est une isométrie : en utilisant $\norme{a} = 1$, $$ \norme{\sigma(x)}^2 = \norme{x}^2 - 4\langle a\,|\,x\rangle\langle a\,|\,x\rangle + 4\langle a\,|\,x\rangle^2\norme{a}^2 = \norme{x}^2. $$

La symétrie orthogonale par rapport à une droite $F$ du plan : la composante selon $F$ est conservée, la composante selon $F^\perp$ est renversée.

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Compétences à pratiquer

Étudier les symétries orthogonales

III Isométries en dimension 2

III.1 Les matrices orthogonales de taille 2

En dimension $2$ les matrices orthogonales s'écrivent complètement : chacune dépend d'un seul paramètre réel $\theta$, et le signe du déterminant les répartit en deux familles données par deux formes normales explicites. C'est le socle calculatoire de toute la classification des isométries planes.

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Théorème — Forme normale d'une matrice orthogonale de taille 2

Une matrice $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est orthogonale si et seulement s'il existe $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $$ M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{ou} \quad M = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}. $$ La première forme a pour déterminant $+1$, la seconde $-1$ ; donc $M \in \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ si et seulement si $M$ a la première forme.

Preuve

Chacune des deux matrices affichées est orthogonale : ses colonnes sont de norme $1$ et orthogonales (leur produit scalaire vaut $\mp\cos\theta\sin\theta \pm \sin\theta\cos\theta = 0$). Réciproquement, soit $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ orthogonale. Ses colonnes forment une famille orthonormée de $\mathbb{R}^2$ : $$ a^2 + c^2 = 1, \qquad b^2 + d^2 = 1, \qquad ab + cd = 0. $$ De $a^2 + c^2 = 1$ il existe $\theta \in \mathbb{R}$ avec $a = \cos\theta$, $c = \sin\theta$ ; de $b^2 + d^2 = 1$ il existe $\varphi \in \mathbb{R}$ avec $b = \cos\varphi$, $d = \sin\varphi$. La relation $ab + cd = 0$ s'écrit $\cos\theta\cos\varphi + \sin\theta\sin\varphi = \cos(\theta - \varphi) = 0$, donc $\theta - \varphi \equiv \tfrac{\pi}{2} \pmod{\pi}$, c'est-à-dire $\varphi \equiv \theta - \tfrac{\pi}{2}$ ou $\varphi \equiv \theta + \tfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

Si $\varphi \equiv \theta + \tfrac{\pi}{2}$ : $b = \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = -\sin\theta$, $d = \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) = \cos\theta$ — la première forme, avec $\det M = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Si $\varphi \equiv \theta - \tfrac{\pi}{2}$ : $b = \cos(\theta - \tfrac{\pi}{2}) = \sin\theta$, $d = \sin(\theta - \tfrac{\pi}{2}) = -\cos\theta$ — la seconde forme, avec $\det M = -\cos^2\theta - \sin^2\theta = -1$.

Exemple — Les deux formes pour un angle donné

Pour $\theta = \tfrac{\pi}{3}$, on a $\cos\theta = \tfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$. Les deux matrices orthogonales de taille $2$ attachées à cet angle sont $$ \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \in \mathrm{SO}_2(\mathbb{R}), \qquad \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{SO}_2(\mathbb{R}). $$ La première a pour déterminant $+1$, la seconde $-1$.

Compétences à pratiquer

Décrire les matrices orthogonales de taille 2

III.2 Rotations et classification des isométries planes

Dans toute cette sous-section $E$ est un plan euclidien orienté. La forme normale de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ dépend d'un seul angle, et les angles s'ajoutent quand les matrices se multiplient : cela fait de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ un groupe abélien transparent et permet de définir la rotation d'angle $\theta$. La classification en découle : les isométries positives du plan sont les rotations, les négatives les réflexions.

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Proposition — Le morphisme des rotations planes

Pour $\theta \in \mathbb{R}$ on note $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$. L'application $R \colon \theta \mapsto R(\theta)$ est un morphisme de groupes surjectif de $(\mathbb{R}, +)$ sur $(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}), \times)$, de noyau $2\pi\mathbb{Z}$. Par conséquent $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ est abélien, et le paramètre $\theta$ d'une matrice de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ est déterminé modulo $2\pi$.

Preuve

En calculant le produit et en utilisant les formules d'addition du cosinus et du sinus, $$ R(\theta)R(\theta') = \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta' & -\cos\theta\sin\theta' - \sin\theta\cos\theta' \\ \sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta' & \cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta' \end{pmatrix} = R(\theta + \theta'). $$ Chaque $R(\theta)$ appartient à $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ par le théorème du sous-section 4.1, donc $R$ envoie $\mathbb{R}$ dans le groupe $(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}), \times)$ ; l'identité $R(\theta)R(\theta') = R(\theta + \theta')$ fait alors de $R$ un morphisme de groupes $(\mathbb{R}, +) \to (\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}), \times)$. Il est surjectif sur $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ : le théorème du sous-section 4.1 affirme que toute matrice de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ est un $R(\theta)$. Son noyau : $R(\theta) = I_2$ ssi $\cos\theta = 1$ et $\sin\theta = 0$, ssi $\theta \in 2\pi\mathbb{Z}$. Enfin $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ est abélien car $R(\theta)R(\theta') = R(\theta + \theta') = R(\theta' + \theta) = R(\theta')R(\theta)$, et $R(\theta) = R(\theta')$ ssi $R(\theta - \theta') = I_2$ ssi $\theta - \theta' \in 2\pi\mathbb{Z}$ — le paramètre est déterminé modulo $2\pi$.

Définition — Rotation d'un plan euclidien orienté

Soit $E$ un plan euclidien orienté et $\theta \in \mathbb{R}$. La rotation d'angle $\theta$ est l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans une base orthonormée directe est $R(\theta)$.

Cette définition ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie. Si $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases orthonormées directes, la matrice de passage $P$ est orthogonale de déterminant $+1$, donc $P \in \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. La matrice de la rotation dans $\mathcal{B}'$ est alors $$ P^{-1} R(\theta)\, P = P^{-1} P\, R(\theta) = R(\theta), $$ puisque $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ est abélien, donc $R(\theta)$ et $P$ commutent — ce qui permet de réécrire $R(\theta)\,P$ en $P\,R(\theta)$ ci-dessus. La matrice est $R(\theta)$ dans toute base orthonormée directe, et la rotation d'angle $\theta$ est bien définie.

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Exemple — Nombres complexes de module un et rotations planes

Soit $\mathbb{U}$ le groupe $(\{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}, \times)$ des nombres complexes de module un, rappelé de Nombres complexes ; tout élément de $\mathbb{U}$ est $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ pour un certain $\theta \in \mathbb{R}$, et $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}$ exactement lorsque $\theta - \theta' \in 2\pi\mathbb{Z}$. Posons $\Phi(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}) = R(\theta)$. C'est bien défini : si $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}$ alors $\theta - \theta' \in 2\pi\mathbb{Z}$, donc $R(\theta) = R(\theta')$. C'est un morphisme : $\Phi(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}) = \Phi(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}) = R(\theta+\theta') = R(\theta)R(\theta')$. C'est une bijection : surjective car tout élément de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ est un $R(\theta) = \Phi(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})$, injective car $\Phi(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}) = I_2$ impose $\theta \in 2\pi\mathbb{Z}$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = 1$. Donc $\Phi$ est un isomorphisme de groupes $$ \mathbb{U} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{SO}_2(\mathbb{R}), \qquad \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \longmapsto R(\theta), $$ l'isomorphisme $\mathbb{U} \simeq \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ du programme : une rotation plane « est » un nombre complexe de module un.

Une rotation d'angle $\theta$ agit sur un vecteur en le faisant tourner de l'angle $\theta$ ; l'angle se lit directement sur la matrice $R(\theta)$.

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Théorème — Classification des isométries planes

Soit $E$ un plan euclidien orienté. Une isométrie positive de $E$ est une rotation ; une isométrie négative de $E$ est une réflexion par rapport à une droite.

Preuve

Soit $u \in \mathrm{O}(E)$ et $M$ sa matrice dans une base orthonormée ; $M \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R})$.
Cas positif ($\det u = +1$). Prenons une base orthonormée directe ; la matrice de $u$ dans celle-ci est orthogonale de déterminant $+1$, donc appartient à $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$, donc égale $R(\theta)$ pour un certain $\theta$ par le théorème du sous-section 4.1. Donc $u$ est la rotation d'angle $\theta$.
Cas négatif ($\det u = -1$). Par le théorème du sous-section 4.1, $M = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$ dans une base orthonormée. Un calcul direct donne $$ M^2 = \begin{pmatrix} \cos^2\theta + \sin^2\theta & \cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta - \cos\theta\sin\theta & \sin^2\theta + \cos^2\theta \end{pmatrix} = I_2, $$ Comme $M^2 = I_2$, $u^2 = \mathrm{id}_E$, donc $u$ est une symétrie vectorielle ; et $M$ est symétrique, donc par la caractérisation matricielle du sous-section 3.2 $u$ est une symétrie orthogonale par rapport à un certain sous-espace $F$. Dans une base orthonormée adaptée à $E = F \oplus F^\perp$, cette symétrie a la matrice diagonale portant $\dim F$ coefficients $+1$ et $\dim F^\perp$ coefficients $-1$, donc $\det u = (-1)^{\dim F^\perp}$ ; ici $\det u = -1$ impose $\dim F^\perp = 1$, donc $F$ est une droite : $u$ est la réflexion par rapport à la droite $F$.

Exemple — Le tableau de classification des isométries planes

Les isométries d'un plan euclidien se répartissent en quatre types, classés par déterminant et par valeurs propres réelles :

$\mathrm{id}_E$ : positive, $R(0) = I_2$, seule valeur propre réelle $1$ (sous-espace propre $E$) ;
$-\mathrm{id}_E$ : positive, $R(\pi) = -I_2$, seule valeur propre réelle $-1$ (sous-espace propre $E$) ;
rotation d'angle $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$ : positive, $R(\theta)$, aucune valeur propre réelle — les sous-espaces propres $E_1$ et $E_{-1}$ sont tous deux $\{0_E\}$ ;
réflexion par rapport à une droite : négative, valeurs propres réelles $1$ et $-1$, sous-espaces propres la droite et son orthogonal.

Parmi les quatre types, la rotation d'angle $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$ est la seule sans aucune valeur propre réelle.

Méthode — Identifier une isométrie plane à partir de sa matrice

Étant donné la matrice $M \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ d'une isométrie plane $u$ dans une base orthonormée directe du plan orienté :

calculer $\det M$ ;
si $\det M = +1$ : alors $M = R(\theta)$, et $u$ est la rotation d'angle $\theta$ — lire $\cos\theta$ sur le coefficient $(1,1)$ et $\sin\theta$ sur le coefficient $(2,1)$ (la base étant directe, ce $\sin\theta$ donne l'angle correctement signé) ;
si $\det M = -1$ : alors $u$ est une réflexion ; son axe est la droite des vecteurs fixes, le sous-espace propre $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_E)$.

Pour aller plus loin

Le programme PC s'arrête ici dans l'étude des isométries : isométries vectorielles et groupe orthogonal $\mathrm{O}(E)$, matrices orthogonales et $\mathrm{O}_n(\mathbb{R}) / \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$, isométries planes avec leurs rotations et réflexions. Deux prolongements naturels vivent au-delà du programme. D'abord, la classification des isométries en dimension supérieure : en dimension trois, toute isométrie directe de $\mathbb{R}^3$ est la rotation autour d'un axe passant par l'origine (l'axe étant la droite des vecteurs fixes), et toute isométrie indirecte se décompose en une rotation composée avec la réflexion par rapport à l'orthogonal de l'axe de rotation. Ensuite, le théorème de réduction d'une isométrie quelconque, qui exhibe une base orthonormée dans laquelle la matrice est diagonale par blocs avec des blocs $\pm 1$ et des blocs $2 \times 2$ de rotation — une image structurelle utile à connaître, même non exigible. Le chapitre suivant (Endomorphismes autoadjoints) revient au cadre euclidien avec les endomorphismes autoadjoints et le théorème spectral, qui fournit une réduction différente et importante valable pour les matrices symétriques.

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Compétences à pratiquer

Identifier une isométrie plane