Éducation Nationale Française · PC
Réduction : éléments propres, diagonalisation
Étant donné un endomorphisme \(u\) d'un espace vectoriel \(E\), la réduction cherche une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est la plus simple possible — idéalement diagonale, de sorte que \(u\) ne fasse que dilater chaque vecteur de base. Le chapitre précédent a construit trois outils utilisés ici sans redite : sommes et sommes directes de familles finies de sous-espaces, sous-espaces stables et endomorphisme induit — le pont qui transforme une décomposition stable en matrice diagonale par blocs — et l'algèbre \(\mathbb{K}[u]\) des polynômes en \(u\) avec ses polynômes annulateurs (ceux qui vérifient \(P(u) = 0\)). Ce chapitre les combine en deux voies parallèles de la réduction.
La voie géométrique lit \(u\) par ses éléments propres : les scalaires \(\lambda\) pour lesquels l'équation \(u(x) = \lambda x\) a une solution non nulle, et les sous-espaces propres associés \(E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{Id}_E)\). Le polynôme caractéristique \(\chi_u = \det(X\,\mathrm{Id}_E - u)\) transforme la recherche des valeurs propres en recherche de racines ; le théorème de Cayley-Hamilton garantit que \(\chi_u\) annule \(u\), donc un polynôme annulateur non trivial existe toujours. La voie algébrique lit \(u\) par n'importe quel polynôme annulateur : lorsqu'un polynôme \(P\) est scindé à racines simples et annule \(u\), l'endomorphisme est diagonalisable, sans qu'il faille jamais calculer les sous-espaces propres individuellement.
Les résultats phares sont au nombre de trois. (i) Un endomorphisme est diagonalisable exactement lorsque \(E\) est la somme directe de ses sous-espaces propres — de façon équivalente, lorsque son polynôme caractéristique est scindé et, pour chaque valeur propre \(\lambda\), le sous-espace propre \(E_\lambda(u)\) a la dimension attendue (la multiplicité de \(\lambda\) dans \(\chi_u\)). (ii) Un endomorphisme est trigonalisable (sa matrice dans une certaine base est triangulaire supérieure) exactement lorsque son polynôme caractéristique est scindé — toujours le cas sur \(\mathbb{C}\). (iii) Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples — un test polynomial qui contourne le compte des sous-espaces propres.
La voie géométrique lit \(u\) par ses éléments propres : les scalaires \(\lambda\) pour lesquels l'équation \(u(x) = \lambda x\) a une solution non nulle, et les sous-espaces propres associés \(E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{Id}_E)\). Le polynôme caractéristique \(\chi_u = \det(X\,\mathrm{Id}_E - u)\) transforme la recherche des valeurs propres en recherche de racines ; le théorème de Cayley-Hamilton garantit que \(\chi_u\) annule \(u\), donc un polynôme annulateur non trivial existe toujours. La voie algébrique lit \(u\) par n'importe quel polynôme annulateur : lorsqu'un polynôme \(P\) est scindé à racines simples et annule \(u\), l'endomorphisme est diagonalisable, sans qu'il faille jamais calculer les sous-espaces propres individuellement.
Les résultats phares sont au nombre de trois. (i) Un endomorphisme est diagonalisable exactement lorsque \(E\) est la somme directe de ses sous-espaces propres — de façon équivalente, lorsque son polynôme caractéristique est scindé et, pour chaque valeur propre \(\lambda\), le sous-espace propre \(E_\lambda(u)\) a la dimension attendue (la multiplicité de \(\lambda\) dans \(\chi_u\)). (ii) Un endomorphisme est trigonalisable (sa matrice dans une certaine base est triangulaire supérieure) exactement lorsque son polynôme caractéristique est scindé — toujours le cas sur \(\mathbb{C}\). (iii) Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples — un test polynomial qui contourne le compte des sous-espaces propres.
Conventions
Tout au long de ce chapitre, \(\mathbb{K}\) est un sous-corps de \(\mathbb{C}\) et \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, non nul, avec \(n = \dim E \ge 1\). On note \(u \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme, \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) une matrice carrée, \(\operatorname{Id}_E\) l'identité et \(I_n\) la matrice identité. Déterminant, trace, rang, matrices semblables et matrice d'un endomorphisme dans une base sont ceux de Déterminants et Changements de bases ; polynômes, racines, multiplicité et polynômes scindés ceux de Polynômes ; sommes directes, sous-espaces stables et endomorphisme induit ceux de Compléments d'algèbre linéaire. Le polynôme caractéristique est défini comme \(\det(XI_n - M)\) ; son degré, son caractère unitaire et ses coefficients sont établis au section 2.
I
Éléments propres
I.1
Valeurs, vecteurs, sous-espaces propres
Le problème de la réduction part d'une seule observation : certains vecteurs sont simplement dilatés par \(u\). Un vecteur non nul \(x\) tel que \(u(x) = \lambda x\) conserve sa direction — \(u\) agit sur la droite qu'il engendre comme l'homothétie de rapport \(\lambda\). Ces directions sont la matière première de la réduction : une base entièrement constituée de telles directions rend la matrice de \(u\) diagonale. Cette sous-section les nomme et rassemble leurs premières propriétés.
Définition — Valeur propre et vecteur propre
Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) est une valeur propre de \(u\) lorsqu'il existe un vecteur \(x \neq 0_E\) tel que \(u(x) = \lambda x\). Un tel vecteur \(x\) est alors un vecteur propre de \(u\) associé à \(\lambda\). Un vecteur propre n'est, par définition, jamais le vecteur nul. Exemple — Éléments propres de trois endomorphismes familiers
Une homothétie \(\lambda_0 \operatorname{Id}_E\) admet tout vecteur non nul comme vecteur propre, tous pour l'unique valeur propre \(\lambda_0\). Un projecteur \(p\) a ses valeurs propres parmi \(0\) et \(1\) : tout vecteur de \(\operatorname{Im} p\) vérifie \(p(x) = x\) et tout vecteur de \(\operatorname{Ker} p\) vérifie \(p(x) = 0\) — \(0\) et \(1\) apparaissent toutes deux dès que \(\operatorname{Ker} p\) et \(\operatorname{Im} p\) sont toutes deux non nulles. Une symétrie vectorielle \(s\) a ses valeurs propres parmi \(-1\) et \(1\), toutes deux présentes lorsque ses sous-espaces de vecteurs fixes et opposés sont tous deux non nuls. Définition — Sous-espace propre
Soit \(\lambda \in \mathbb{K}\). Le sous-espace propre de \(u\) associé à \(\lambda\) est $$ E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E). $$ C'est un sous-espace vectoriel de \(E\), en tant que noyau d'un endomorphisme. Le scalaire \(\lambda\) est une valeur propre de \(u\) si et seulement si \(E_\lambda(u) \neq \{0_E\}\), et \(E_\lambda(u)\) est alors exactement l'ensemble des vecteurs propres associés à \(\lambda\), auquel on adjoint \(0_E\). Exemple — Un sous-espace propre comme noyau
Pour \(M = \begin{psmallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{psmallmatrix}\), prenons \(\lambda = 3\) : le sous-espace propre est \(E_3 = \operatorname{Ker}(M - 3I_2) = \operatorname{Ker}\begin{psmallmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{psmallmatrix}\). Le système \(-2x + 2y = 0\) a pour droite de solutions \(\operatorname{Vect}(1, 1)\), donc \(E_3 = \operatorname{Vect}(1, 1)\), une droite ; \(3\) est valeur propre puisque \(E_3 \neq \{0\}\). Pour \(\lambda = 0\), \(\operatorname{Ker} M = \{0\}\) (\(M\) étant inversible), donc \(0\) n'est pas valeur propre. Définition — Spectre
Le spectre de \(u\), noté \(\operatorname{Sp}(u)\), est l'ensemble des valeurs propres de \(u\) dans \(\mathbb{K}\). Pour une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) on définit de même \(\operatorname{Sp}(M)\), l'ensemble des \(\lambda \in \mathbb{K}\) pour lesquels \(MX = \lambda X\) admet une solution colonne non nulle \(X\) — un tel \(X\) étant un vecteur propre matriciel, relié aux vecteurs propres de \(u\) par la proposition de traduction matricielle ci-dessous. Exemple — Sous-espaces propres et spectre d'une matrice diagonale
Soit \(u\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(D = \operatorname{diag}(5, 5, -2)\) dans la base canonique \((e_1, e_2, e_3)\). Alors \(u(e_1) = 5e_1\), \(u(e_2) = 5e_2\) et \(u(e_3) = -2e_3\), donc le spectre est \(\operatorname{Sp}(u) = \{5, -2\}\). Les sous-espaces propres sont \(E_5(u) = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)\), un plan, et \(E_{-2}(u) = \operatorname{Vect}(e_3)\), une droite ; ici \(E_5(u) \oplus E_{-2}(u) = \mathbb{R}^3\). Proposition — Traduction matricielle
Soit \(\mathcal{B}\) une base de \(E\) et \(M = \operatorname{Mat}_\mathcal{B}(u)\). Un vecteur \(x\), de colonne de coordonnées \(X\) dans \(\mathcal{B}\), est un vecteur propre de \(u\) associé à \(\lambda\) si et seulement si \(X \neq 0\) et \(MX = \lambda X\). Par conséquent \(\operatorname{Sp}(u) = \operatorname{Sp}(M)\).
L'application coordonnées dans \(\mathcal{B}\) est un isomorphisme linéaire \(E \to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) envoyant \(x\) sur \(X\) et \(u(x)\) sur \(MX\). Ainsi \(u(x) = \lambda x\) a lieu si et seulement si \(MX = \lambda X\), et \(x \neq 0_E\) si et seulement si \(X \neq 0\). Les deux notions de vecteur propre — pour \(u\) et pour \(M\) — se correspondent donc, ainsi que les deux spectres.
Proposition — La valeur propre zéro
Le scalaire \(0\) est une valeur propre de \(u\) si et seulement si \(u\) n'est pas injective, de façon équivalente — \(E\) étant de dimension finie — si et seulement si \(u\) n'est pas inversible.
Par définition \(0\) est valeur propre de \(u\) ssi \(E_0(u) = \operatorname{Ker}(u - 0 \cdot \operatorname{Id}_E) = \operatorname{Ker} u \neq \{0_E\}\), c'est-à-dire ssi \(u\) n'est pas injective. En dimension finie un endomorphisme est injectif si et seulement s'il est bijectif, donc c'est aussi la négation de « \(u\) inversible ».
Sens géométrique
Géométriquement, un vecteur propre marque une direction que \(u\) laisse invariante : sur la droite propre qu'il engendre, \(u\) agit comme une pure dilatation. Hors d'une telle droite, \(u\) bascule en général un vecteur vers une direction nouvelle. La figure montre une droite propre, sur laquelle \(x\) et \(u(x) = \lambda x\) restent colinéaires, à côté d'une direction ordinaire, où \(y\) et \(u(y)\) pointent différemment. 
Exemple — Déterminer les éléments propres d'une matrice
Pour l'endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est $$ M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\
3 & -2 & 0 \\
-2 & 2 & 1 \end{pmatrix}, $$ on montrera au section 2 que le spectre est \(\operatorname{Sp}(M) = \{1, 2, -4\}\) — la détermination systématique des valeurs propres relève du polynôme caractéristique. En admettant ces valeurs propres, déterminer les trois sous-espaces propres.
Chaque sous-espace propre est le noyau \(E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(M - \lambda I_3)\). En résolvant le système \((M - \lambda I_3)X = 0\) pour chaque valeur propre donnée :
- \(\lambda = 1\) : \(E_1(u) = \operatorname{Vect}(1, 1, 1)\) ;
- \(\lambda = 2\) : \(E_2(u) = \operatorname{Vect}(4, 3, -2)\) ;
- \(\lambda = -4\) : \(E_{-4}(u) = \operatorname{Vect}(2, -3, 2)\).
Méthode — Tester si un scalaire est valeur propre
Pour décider si \(\lambda \in \mathbb{K}\) est valeur propre de \(u\) (matrice \(M\)) : \(\lambda \in \operatorname{Sp}(u)\) si et seulement si \(u - \lambda \operatorname{Id}_E\) n'est pas injective, de façon équivalente si et seulement si \(M - \lambda I_n\) n'est pas inversible, de façon équivalente si et seulement si \(\operatorname{rg}(M - \lambda I_n) < n\). Le sous-espace propre \(E_\lambda(u)\) est alors l'ensemble des solutions du système homogène \((M - \lambda I_n)X = 0\), de dimension \(n - \operatorname{rg}(M - \lambda I_n)\) par le théorème du rang. Compétences à pratiquer
- Calculer valeurs propres et vecteurs propres
I.2
Le spectre en dimension finie
Des valeurs propres distinctes tirent dans des directions indépendantes. C'est le fait structurel qui sous-tend toute la réduction : les sous-espaces propres attachés à des valeurs propres différentes ne se recoupent jamais au-delà de \(0_E\), ils sont en somme directe. Deux conséquences en découlent aussitôt — les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre, et un endomorphisme d'un espace de dimension \(n\) a au plus \(n\) valeurs propres.
Théorème — Sous-espaces propres de valeurs propres distinctes en somme directe
Soient \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) des valeurs propres de \(u\) deux à deux distinctes. Alors la somme \(E_{\lambda_1}(u) + \dots + E_{\lambda_p}(u)\) est directe.
On raisonne par récurrence sur \(p \ge 1\).
- Initialisation. Pour \(p = 1\) il y a un seul sous-espace et rien à démontrer.
- Hérédité. Supposons le résultat acquis pour \(p\) valeurs propres deux à deux distinctes. Soient \(\lambda_1, \dots, \lambda_{p+1}\) deux à deux distinctes, et \(x_i \in E_{\lambda_i}(u)\) tels que $$ x_1 + \dots + x_p + x_{p+1} = 0_E. \tag{\(*\)} $$ En appliquant \(u\) et en utilisant \(u(x_i) = \lambda_i x_i\), on obtient \(\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_{p+1} x_{p+1} = 0_E\). En retranchant \(\lambda_{p+1}\) fois \((*)\) : $$ (\lambda_1 - \lambda_{p+1})x_1 + \dots + (\lambda_p - \lambda_{p+1})x_p = 0_E. $$ Par hypothèse de récurrence la somme \(E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_p}\) est directe, donc chaque terme est nul : \((\lambda_i - \lambda_{p+1})x_i = 0_E\) pour \(i \le p\). Comme \(\lambda_i \neq \lambda_{p+1}\), cela force \(x_i = 0_E\) pour \(i \le p\). En reportant dans \((*)\), on obtient aussi \(x_{p+1} = 0_E\). La décomposition de \(0_E\) est triviale, donc la somme des \(p+1\) sous-espaces propres est directe.
Proposition — Vecteurs propres de valeurs propres distinctes libres
Une famille de vecteurs propres de \(u\) associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.
Soient \(x_1, \dots, x_p\) des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\), et supposons \(\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_p x_p = 0_E\). Chaque \(\alpha_i x_i\) appartient à \(E_{\lambda_i}(u)\), et la somme de ces sous-espaces propres est directe par le théorème précédent, donc \(\alpha_i x_i = 0_E\) pour tout \(i\). Comme \(x_i \neq 0_E\), on en tire \(\alpha_i = 0\) pour tout \(i\). La famille est libre.
Proposition — Le spectre est fini
Le spectre \(\operatorname{Sp}(u)\) est fini, avec \(\#\operatorname{Sp}(u) \le n = \dim E\).
Supposons que \(u\) ait \(n + 1\) valeurs propres deux à deux distinctes \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}\). En choisissant un vecteur propre \(x_i\) pour chacune, la famille \((x_1, \dots, x_{n+1})\) est libre par la proposition précédente. Or une famille libre de \(E\) compte au plus \(\dim E = n\) vecteurs — contradiction. Donc \(u\) a au plus \(n\) valeurs propres distinctes : \(\operatorname{Sp}(u)\) est fini, avec \(\#\operatorname{Sp}(u) \le n\).
Exemple — Un endomorphisme avec le nombre maximal de valeurs propres
L'endomorphisme de la réponse précédente a pour spectre \(\{1, 2, -4\}\), trois valeurs propres pour \(n = 3\) — la borne \(\#\operatorname{Sp}(u) \le n\) est atteinte. Ses trois vecteurs propres \((1,1,1)\), \((4,3,-2)\), \((2,-3,2)\) forment une famille libre, donc une base de \(\mathbb{R}^3\).
Pourquoi la dimension finie compte
Une brève parenthèse, hors de la convention de dimension finie du chapitre. Sur l'espace \(\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})\) des fonctions lisses, la dérivation \(f \mapsto f'\) admet toute valeur réelle \(\lambda\) comme valeur propre : la fonction \(x \mapsto e^{\lambda x}\) vérifie \(f' = \lambda f\). Son spectre est \(\mathbb{R}\) tout entier, infini. La finitude du spectre est donc bien un phénomène de dimension finie, reposant sur la borne « une famille libre compte au plus \(n\) vecteurs ».
Proposition — Endomorphismes qui commutent
Soient \(u, v \in \mathcal{L}(E)\) avec \(u \circ v = v \circ u\). Alors tout sous-espace propre \(E_\lambda(u)\) est stable par \(v\).
De \(u \circ v = v \circ u\) on tire \((u - \lambda \operatorname{Id}_E) \circ v = v \circ (u - \lambda \operatorname{Id}_E)\), donc \(u - \lambda \operatorname{Id}_E\) et \(v\) commutent. Par la stabilité des noyaux d'endomorphismes qui commutent — rappelée de Compléments d'algèbre linéaire — le noyau \(E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E)\) est stable par \(v\).
Proposition — Matrices semblables et spectre
Deux matrices semblables ont le même spectre : si \(A \sim B\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), alors \(\operatorname{Sp}(A) = \operatorname{Sp}(B)\).
Écrivons \(B = P^{-1}AP\) avec \(P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})\). Si \(\lambda \in \operatorname{Sp}(B)\), prenons \(X \neq 0\) avec \(BX = \lambda X\). Alors \(A(PX) = P(BX) = \lambda(PX)\), et \(PX \neq 0\) puisque \(P\) est inversible, donc \(\lambda \in \operatorname{Sp}(A)\). Ainsi \(\operatorname{Sp}(B) \subseteq \operatorname{Sp}(A)\) ; en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\) (via \(A = PBP^{-1}\)) on obtient l'inclusion réciproque.
Exemple — Un sous-espace propre stable par un endomorphisme qui commute
Soit \(u\) ayant \(n\) valeurs propres distinctes et \(v\) commutant avec \(u\). Comme \(u\) a \(n\) valeurs propres distinctes, ses \(n\) vecteurs propres forment une base et chaque sous-espace propre \(E_\lambda(u)\) est une droite propre. Chaque droite est stable par \(v\), donc \(v\) envoie tout vecteur propre de \(u\) sur un multiple de lui-même : \(v\) est lui-même diagonal dans la base propre de \(u\). Commuter avec un endomorphisme fixé à \(n\) valeurs propres distinctes force ainsi une base propre commune — un premier aperçu de la réduction simultanée. Compétences à pratiquer
- Utiliser la somme directe des sous-espaces propres
II
Le polynôme caractéristique
II.1
Définition et premières propriétés
Chercher les valeurs propres à la main — tester chaque scalaire \(\lambda\) pour la non-inversibilité de \(u - \lambda \operatorname{Id}_E\) — est sans espoir : il y a une infinité de candidats. La sortie consiste à faire de \(\lambda\) une variable. Le déterminant \(\det(XI_n - M)\) est un polynôme en \(X\), et ses racines situées dans \(\mathbb{K}\) sont exactement les valeurs propres. Ce polynôme caractéristique convertit une recherche infinie en un calcul fini.
Proposition — Valeur propre et déterminant nul
Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) est valeur propre de \(u\) si et seulement si \(\det(u - \lambda \operatorname{Id}_E) = 0\).
\(\lambda\) est valeur propre ssi \(E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E) \neq \{0_E\}\), c'est-à-dire ssi \(u - \lambda \operatorname{Id}_E\) n'est pas injective. En dimension finie un endomorphisme est injectif ssi il est inversible, et un endomorphisme est inversible ssi son déterminant est non nul. Donc « \(u - \lambda \operatorname{Id}_E\) non injective » équivaut à « \(\det(u - \lambda \operatorname{Id}_E) = 0\) ».
Définition — Polynôme caractéristique d'une matrice
Le polynôme caractéristique de \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est $$ \chi_M = \det(XI_n - M). $$ C'est un élément de \(\mathbb{K}[X]\) obtenu en développant le déterminant de la matrice \(XI_n - M\), dont les coefficients sont des polynômes de degré au plus \(1\). Exemple — Polynôme caractéristique d'une petite matrice
Pour \(M = \begin{psmallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{psmallmatrix}\), $$ \chi_M = \det\begin{pmatrix} X-1 & -2 \\
-3 & X-2 \end{pmatrix} = (X-1)(X-2) - 6 = X^2 - 3X - 4 = (X-4)(X+1), $$ donc \(\operatorname{Sp}(M) = \{4, -1\}\). Le coefficient de \(X\) vaut \(-3 = -\operatorname{tr}(M)\) et le terme constant \(-4 = \det(M)\) — anticipant le théorème sur le degré et les coefficients ci-dessous. Proposition — Invariance par similitude
Si \(A \sim B\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), alors \(\chi_A = \chi_B\).
Écrivons \(B = P^{-1}AP\) avec \(P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})\). On raisonne par évaluation, pour rester dans la théorie du déterminant sur le corps \(\mathbb{K}\). Pour tout scalaire \(x \in \mathbb{K}\), $$ \begin{aligned} \chi_B(x) &= \det(xI_n - P^{-1}AP) && \text{(définition de \(\chi_B\))} \\
&= \det\big(P^{-1}(xI_n - A)P\big) && \text{(\(xI_n = P^{-1}(xI_n)P\))} \\
&= \det(P^{-1})\det(xI_n - A)\det(P) && \text{(multiplicativité de \(\det\))} \\
&= \det(xI_n - A) = \chi_A(x) && \text{(\(\det(P^{-1})\det(P) = 1\)).} \end{aligned} $$ Les polynômes \(\chi_A\) et \(\chi_B\) coïncident donc en tout point de l'ensemble infini \(\mathbb{K}\), donc sont égaux.
Définition — Polynôme caractéristique d'un endomorphisme
Le polynôme caractéristique de \(u \in \mathcal{L}(E)\) est \(\chi_u = \chi_M\), où \(M\) est la matrice de \(u\) dans une base quelconque de \(E\). Cela ne dépend pas de la base : deux telles matrices sont semblables, et des matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Exemple — Le polynôme caractéristique ne voit pas la base
Soit \(u\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(A = \begin{psmallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{psmallmatrix}\) dans la base canonique. Les vecteurs \((2, 3)\) et \((1, -1)\) vérifient \(A\begin{psmallmatrix}2\\3\end{psmallmatrix} = \begin{psmallmatrix}8\\12\end{psmallmatrix} = 4\begin{psmallmatrix}2\\3\end{psmallmatrix}\) et \(A\begin{psmallmatrix}1\\-1\end{psmallmatrix} = \begin{psmallmatrix}-1\\1\end{psmallmatrix} = -\begin{psmallmatrix}1\\-1\end{psmallmatrix}\), donc dans la base \(\big((2,3),\,(1,-1)\big)\) la matrice de \(u\) est \(D = \operatorname{diag}(4, -1)\), semblable à \(A\). Les deux donnent \(\chi_u = X^2 - 3X - 4\) — lu sur \(A\) comme \((X-1)(X-2)-6\), et sur \(D\) aussitôt comme \((X-4)(X+1)\). Le polynôme caractéristique de \(u\) est un seul objet, calculable via n'importe quelle matrice de \(u\). Théorème — Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique
Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) est valeur propre de \(u\) si et seulement si \(\chi_u(\lambda) = 0\). Le spectre de \(u\) est l'ensemble des racines de \(\chi_u\) situées dans \(\mathbb{K}\).
Fixons une base et soit \(M\) la matrice de \(u\). En évaluant \(\chi_u = \det(XI_n - M)\) en \(\lambda\), on obtient \(\chi_u(\lambda) = \det(\lambda I_n - M)\). Or \(\lambda I_n - M = -(M - \lambda I_n)\), et le déterminant est \(n\)-linéaire en les colonnes, donc \(\det(\lambda I_n - M) = (-1)^n \det(M - \lambda I_n)\) — les deux s'annulent ensemble. Par la proposition sur le déterminant nul, \(\det(M - \lambda I_n) = 0\) exactement lorsque \(\lambda\) est valeur propre de \(u\). Donc \(\chi_u(\lambda) = 0 \iff \lambda \in \operatorname{Sp}(u)\).
Théorème — Degré et coefficients du polynôme caractéristique
Pour \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), le polynôme \(\chi_M\) est unitaire de degré \(n\), et $$ \chi_M = X^n - \operatorname{tr}(M)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det(M). $$
On démontre les trois assertions par récurrence sur \(n\), par développement par cofacteurs (valable sur l'anneau \(\mathbb{K}[X]\)) selon la première colonne de la matrice \(XI_n - M\). On note \(m_{i,j}\) les coefficients de \(M\) et \(M^{(1)} \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})\) la sous-matrice obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne de \(M\).
Cas de base \(n = 1\). \(\chi_M = X - m_{1,1}\), unitaire de degré \(1\), de coefficient en \(X^0\) égal à \(-m_{1,1} = -\operatorname{tr}(M)\) et de terme constant \(-m_{1,1} = (-1)^1 \det(M)\). \(\checkmark\)
Étape inductive. Le développement par cofacteurs de \(\chi_M = \det(XI_n - M)\) selon la première colonne s'écrit $$ \chi_M = (X - m_{1,1})\, \chi_{M^{(1)}} + \sum_{i=2}^{n} (-1)^{i+1}(-m_{i,1})\, \Delta_{i,1}, $$ où \(\Delta_{i,1}\) est le déterminant de la matrice \((n-1) \times (n-1)\) obtenue à partir de \(XI_n - M\) en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(1\). Dans cette sous-matrice, les coefficients en \(X\) survivant le long de la diagonale de \(XI_n - M\) sont ceux des positions \((j,j)\) avec \(j \ne i\) et \(j \ne 1\) — soit \(n - 2\) coefficients. En itérant le développement par cofacteurs on voit que \(\Delta_{i,1}\) est un polynôme en \(X\) de degré au plus \(n-2\). D'où $$ \chi_M = (X - m_{1,1})\, \chi_{M^{(1)}} + R(X), \qquad \deg R \le n-2. $$
Cas de base \(n = 1\). \(\chi_M = X - m_{1,1}\), unitaire de degré \(1\), de coefficient en \(X^0\) égal à \(-m_{1,1} = -\operatorname{tr}(M)\) et de terme constant \(-m_{1,1} = (-1)^1 \det(M)\). \(\checkmark\)
Étape inductive. Le développement par cofacteurs de \(\chi_M = \det(XI_n - M)\) selon la première colonne s'écrit $$ \chi_M = (X - m_{1,1})\, \chi_{M^{(1)}} + \sum_{i=2}^{n} (-1)^{i+1}(-m_{i,1})\, \Delta_{i,1}, $$ où \(\Delta_{i,1}\) est le déterminant de la matrice \((n-1) \times (n-1)\) obtenue à partir de \(XI_n - M\) en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(1\). Dans cette sous-matrice, les coefficients en \(X\) survivant le long de la diagonale de \(XI_n - M\) sont ceux des positions \((j,j)\) avec \(j \ne i\) et \(j \ne 1\) — soit \(n - 2\) coefficients. En itérant le développement par cofacteurs on voit que \(\Delta_{i,1}\) est un polynôme en \(X\) de degré au plus \(n-2\). D'où $$ \chi_M = (X - m_{1,1})\, \chi_{M^{(1)}} + R(X), \qquad \deg R \le n-2. $$
- Degré \(n\) et unitaire. Par récurrence \(\chi_{M^{(1)}}\) est unitaire de degré \(n-1\), donc \((X - m_{1,1})\chi_{M^{(1)}}\) est unitaire de degré \(n\) ; ajouter \(R\) de degré \(\le n-2\) préserve le terme dominant. Donc \(\chi_M\) est unitaire de degré \(n\).
- Coefficient de \(X^{n-1}\). Par récurrence le coefficient en \(X^{n-2}\) de \(\chi_{M^{(1)}}\) est \(-\operatorname{tr}(M^{(1)}) = -(m_{2,2} + \dots + m_{n,n})\). En développant, $$ (X - m_{1,1})\chi_{M^{(1)}} = X^n - (m_{2,2} + \dots + m_{n,n})X^{n-1} - m_{1,1}X^{n-1} + \dots, $$ dont le coefficient en \(X^{n-1}\) vaut \(-(m_{1,1} + m_{2,2} + \dots + m_{n,n}) = -\operatorname{tr}(M)\). Le reste \(R\) ne contribue pas en degré \(n-1\). Donc \(\chi_M = X^n - \operatorname{tr}(M)X^{n-1} + \dots\)
- Terme constant. Spécialiser \(X = 0\) : \(\chi_M(0) = \det(0\,I_n - M) = \det(-M) = (-1)^n \det(M)\).
Exemple — Polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire
Si \(T\) est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux \(d_1, \dots, d_n\), alors \(XI_n - T\) est triangulaire supérieure de diagonale \(X - d_1, \dots, X - d_n\), donc $$ \chi_T = \prod_{i=1}^n (X - d_i). $$ Le spectre d'une matrice triangulaire se lit directement sur sa diagonale : \(\operatorname{Sp}(T) = \{d_1, \dots, d_n\}\). Méthode — Calculer le polynôme caractéristique et le spectre
Pour trouver les valeurs propres de \(u\) donné par une matrice \(M\) : former \(XI_n - M\), calculer \(\chi_M = \det(XI_n - M)\) — par développement selon une rangée, ou en ajoutant à une ligne (ou colonne) un multiple dans \(\mathbb{K}[X]\) d'une autre, opérations valides sur l'anneau \(\mathbb{K}[X]\) ; éviter de diviser une rangée par un polynôme non constant — puis factoriser \(\chi_M\). Les valeurs propres sont les racines de \(\chi_M\) dans \(\mathbb{K}\). Les coefficients de degré \(n-1\) et constant, \(-\operatorname{tr}(M)\) et \((-1)^n\det(M)\), fournissent une vérification rapide du calcul. Compétences à pratiquer
- Calculer le polynôme caractéristique
II.2
Multiplicité d'une valeur propre
Une valeur propre peut être racine simple de \(\chi_u\) ou racine multiple. Le nombre de répétitions — sa multiplicité — est le second nombre attaché à une valeur propre, à côté de la dimension de son sous-espace propre. Les deux sont liés par une inégalité fondamentale : le sous-espace propre ne peut jamais dépasser ce que la multiplicité autorise. Cette inégalité, \(\dim E_\lambda \le m(\lambda)\), est la porte d'entrée de la diagonalisabilité.
Définition — Multiplicité d'une valeur propre
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(u\). Sa multiplicité, notée \(m(\lambda)\), est la multiplicité de \(\lambda\) en tant que racine du polynôme caractéristique \(\chi_u\). Une valeur propre de multiplicité \(1\) est dite simple. Exemple — Lire les multiplicités sur un polynôme caractéristique factorisé
Si \(\chi_u = (X - 1)(X - 2)^2\), alors \(u\) a pour valeurs propres \(1\) et \(2\), avec \(m(1) = 1\) (simple) et \(m(2) = 2\) (double). Les multiplicités ont pour somme \(\deg \chi_u = 3 = n\), comme toujours lorsque \(\chi_u\) est scindé. Exemple — Une valeur propre triple
Pour la matrice triangulaire supérieure \(T = \begin{psmallmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{psmallmatrix}\), le polynôme caractéristique est \(\chi_T = (X - 3)^3\), lu sur la diagonale. Donc \(3\) est l'unique valeur propre, de multiplicité \(m(3) = 3\) — une valeur propre triple. Pourtant \(T - 3I_3\) est de rang \(2\), donc \(\dim E_3(T) = 3 - 2 = 1\), bien en dessous de \(m(3)\) : la multiplicité compte des racines de \(\chi_T\), non des dimensions de sous-espaces propres. Proposition — Nombre de racines du polynôme caractéristique
\(\chi_u\) est unitaire de degré \(n\), donc il a au plus \(n\) racines dans \(\mathbb{K}\) ; vu comme élément de \(\mathbb{C}[X]\), il a exactement \(n\) racines comptées avec multiplicité. En particulier \(u\) a au plus \(n\) valeurs propres distinctes.
Un polynôme non nul de degré \(n\) a au plus \(n\) racines dans tout corps, comptées avec multiplicité — rappelé de Polynômes. Sur \(\mathbb{C}\), d'Alembert-Gauss rend \(\chi_u\) scindé, donc il a exactement \(n\) racines comptées avec multiplicité. Les valeurs propres de \(u\) sont parmi les racines situées dans \(\mathbb{K}\), donc au plus \(n\). Ceci redémontre, via \(\chi_u\), la finitude du spectre déjà obtenue au sous-section 1.2 par la borne de famille libre, et la précise : le compte est lié à \(\deg \chi_u = n\).
Proposition — Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit
Soit \(F\) un sous-espace de \(E\) stable par \(u\), avec \(F \neq \{0_E\}\), et soit \(u_F\) l'endomorphisme induit. Alors \(\chi_{u_F}\) divise \(\chi_u\).
Si \(F = E\) alors \(u_F = u\) et \(\chi_{u_F} = \chi_u\) divise \(\chi_u\) ; supposons désormais \(F \subsetneq E\). Posons \(p = \dim F\), de sorte que \(1 \le p < n\). Complétons une base de \(F\) en une base \(\mathcal{B}\) de \(E\). Comme \(F\) est stable par \(u\), la matrice de \(u\) dans \(\mathcal{B}\) est triangulaire supérieure par blocs, $$ M = \begin{pmatrix} A & B \\
0 & C \end{pmatrix}, \qquad A = \operatorname{Mat}(u_F), $$ rappelé de Compléments d'algèbre linéaire. Alors \(XI_n - M\) est triangulaire supérieure par blocs, de blocs diagonaux \(XI_p - A\) et \(XI_{n-p} - C\), et le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux : $$ \chi_u = \det(XI_n - M) = \det(XI_p - A)\cdot\det(XI_{n-p} - C) = \chi_{u_F}\cdot\chi_C. $$ Donc \(\chi_{u_F}\) divise \(\chi_u\).
Théorème — Dimension d'un sous-espace propre
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(u\) de multiplicité \(m(\lambda)\). Alors $$ 1 \le \dim E_\lambda(u) \le m(\lambda). $$
Posons \(d = \dim E_\lambda(u)\). Comme \(\lambda\) est valeur propre, \(E_\lambda(u) \neq \{0_E\}\), donc \(d \ge 1\).
Le sous-espace \(E_\lambda(u)\) est stable par \(u\), et l'endomorphisme induit est \(u_{E_\lambda} = \lambda \operatorname{Id}_{E_\lambda}\) — une homothétie, puisque \(u(x) = \lambda x\) pour tout \(x \in E_\lambda(u)\). Son polynôme caractéristique est donc \(\chi_{u_{E_\lambda}} = (X - \lambda)^d\). Par la proposition précédente, \((X - \lambda)^d\) divise \(\chi_u\). La multiplicité de \(\lambda\) comme racine de \(\chi_u\) est donc au moins \(d\), soit \(d \le m(\lambda)\).
Le sous-espace \(E_\lambda(u)\) est stable par \(u\), et l'endomorphisme induit est \(u_{E_\lambda} = \lambda \operatorname{Id}_{E_\lambda}\) — une homothétie, puisque \(u(x) = \lambda x\) pour tout \(x \in E_\lambda(u)\). Son polynôme caractéristique est donc \(\chi_{u_{E_\lambda}} = (X - \lambda)^d\). Par la proposition précédente, \((X - \lambda)^d\) divise \(\chi_u\). La multiplicité de \(\lambda\) comme racine de \(\chi_u\) est donc au moins \(d\), soit \(d \le m(\lambda)\).
Proposition — Une valeur propre simple a un sous-espace propre de dimension un
Si \(\lambda\) est une valeur propre simple de \(u\), alors \(\dim E_\lambda(u) = 1\).
Une valeur propre simple a \(m(\lambda) = 1\). Le théorème donne \(1 \le \dim E_\lambda(u) \le 1\), d'où \(\dim E_\lambda(u) = 1\).
Exemple — Un sous-espace propre strictement plus petit que la multiplicité
Pour \(M = \begin{psmallmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{psmallmatrix}\), \(\chi_M = (X - 2)^2\), donc \(2\) est valeur propre de multiplicité \(m(2) = 2\). Mais \(M - 2I_2 = \begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{psmallmatrix}\) est de rang \(1\), donc \(\dim E_2(M) = 2 - 1 = 1 < m(2)\). L'inégalité \(\dim E_\lambda \le m(\lambda)\) peut être stricte — et lorsqu'elle l'est, la diagonalisabilité échoue, comme le montrera le section 3. Méthode — Calculer la dimension d'un sous-espace propre
Pour trouver \(\dim E_\lambda(u)\) pour une valeur propre \(\lambda\) (matrice \(M\)) : calculer le rang de \(M - \lambda I_n\) par pivot de Gauss, puis appliquer le théorème du rang, $$ \dim E_\lambda(u) = n - \operatorname{rg}(M - \lambda I_n). $$ Ce nombre est à comparer à \(m(\lambda)\) : le verdict \(\dim E_\lambda = m(\lambda)\) ou \(\dim E_\lambda < m(\lambda)\) décide de la diagonalisabilité valeur propre par valeur propre. Compétences à pratiquer
- Exploiter la multiplicité d'une valeur propre
II.3
Le théorème de Cayley-Hamilton
Jusqu'ici un polynôme annulateur devait être trouvé à la main. Le théorème de Cayley–Hamilton en fournit un gratuitement : le polynôme caractéristique annule toujours l'endomorphisme. Tout endomorphisme porte ainsi un polynôme annulateur canonique de degré \(n\).
Théorème — Le théorème de Cayley-Hamilton
Pour tout \(u \in \mathcal{L}(E)\), le polynôme caractéristique \(\chi_u\) annule \(u\) : $$ \textcolor{colorprop}{\chi_u(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}.} $$ De façon équivalente, pour toute \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(\chi_M(M) = 0\). Démonstration non exigible au programme. Exemple — Cayley-Hamilton pour une matrice 2 par 2
Pour \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), \(\chi_M = X^2 - (a + d)X + (ad - bc)\). À partir de \(M^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a+d) \\ c(a+d) & d^2 + bc \end{pmatrix}\), les coefficients hors diagonale de \(M^2 - (a+d)M\) s'annulent et ceux de la diagonale se réduisent : $$ M^2 - (a+d)M = \begin{pmatrix} bc - ad & 0 \\
0 & bc - ad \end{pmatrix} = (bc - ad)\,I_2, $$ donc $$ \chi_M(M) = M^2 - (a+d)M + (ad - bc)I_2 = (bc - ad)I_2 + (ad - bc)I_2 = 0. $$ Méthode — Calculer un inverse ou une puissance par Cayley-Hamilton
La relation \(\chi_u(u) = 0\) est une identité polynomiale de degré \(n\) en \(u\) : - en écrivant \(\chi_u = X^n + \dots + c_1 X + c_0\), si \(c_0 \ne 0\) (c'est-à-dire \(u\) inversible) alors \(u^{-1}\) est un polynôme en \(u\), lu sur \(\chi_u(u) = 0\) ;
- toute puissance élevée \(u^k\) se ramène à une combinaison de \(\mathrm{Id}_E, u, \dots, u^{n-1}\) en prenant le reste de \(X^k\) dans la division euclidienne par \(\chi_u\).
Exemple — Un inverse par Cayley-Hamilton
Pour \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(\chi_M = (X - 1)^3 = X^3 - 3X^2 + 3X - 1\). Cayley–Hamilton donne \(M^3 - 3M^2 + 3M - I_3 = 0\), d'où \(M(M^2 - 3M + 3I_3) = I_3\) et $$ M^{-1} = M^2 - 3M + 3I_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Compétences à pratiquer
- Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton
III
Diagonalisabilité
III.1
Endomorphismes et matrices diagonalisables
Le cas favorable de la réduction est celui où une base de vecteurs propres existe. Dans une telle base \(u\) agit coordonnée par coordonnée comme une dilatation, et sa matrice est diagonale — la forme la plus simple qu'une matrice puisse prendre. Cette sous-section fixe le vocabulaire, pour les endomorphismes et pour les matrices, et en dégage le contenu géométrique : \(E\) se scinde en droites propres sur chacune desquelles \(u\) est une homothétie.
Définition — Endomorphisme et matrice diagonalisables
L'endomorphisme \(u\) est diagonalisable lorsqu'il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est diagonale. Une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est diagonalisable lorsqu'elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire \(P^{-1}MP = D\) pour un \(P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})\) et une matrice diagonale \(D\). Exemple — Une diagonalisation explicitée
La matrice \(M = \begin{psmallmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{psmallmatrix}\) est diagonalisable. Son polynôme caractéristique est \(\chi_M = (X-3)(X-2) - 2 = X^2 - 5X + 4 = (X-1)(X-4)\), à deux valeurs propres distinctes \(1\) et \(4\). En résolvant \((M - I_2)X = 0\) et \((M - 4I_2)X = 0\) on obtient les vecteurs propres \((1, -2)\) et \((1, 1)\). Avec \(P = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{psmallmatrix}\), $$ P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & 4 \end{pmatrix}, $$ les colonnes de \(P\) formant une base de vecteurs propres. Proposition — Les versions endomorphisme et matrice coïncident
Un endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans une base — de façon équivalente dans toute base — est une matrice diagonalisable. Plus généralement, la même équivalence vaut pour toute propriété matricielle invariante par similitude (en particulier la trigonalisabilité, rencontrée dans Trigonalisabilité).
Les matrices de \(u\) dans deux bases sont semblables, et la similitude est une relation d'équivalence. Donc si la matrice de \(u\) dans une base est semblable à une matrice diagonale, la matrice dans toute autre base — semblable à la première — est aussi semblable à cette matrice diagonale, par transitivité. Ainsi « la matrice est diagonalisable » ne dépend pas de la base. Et \(u\) est diagonalisable, par définition, exactement lorsqu'une base donne une matrice diagonale, c'est-à-dire exactement lorsque la matrice de \(u\) est semblable à une matrice diagonale. L'argument n'a utilisé que la transitivité de la similitude, donc il s'applique mot pour mot à toute propriété matricielle invariante par similitude — en particulier « semblable à une matrice triangulaire supérieure », le cas trigonalisable de Trigonalisabilité.
Proposition — Une base de diagonalisation est une base de vecteurs propres
Une base \(\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)\) diagonalise \(u\) si et seulement si chaque \(e_i\) est un vecteur propre de \(u\). Dans cette base les coefficients diagonaux de la matrice sont les valeurs propres associées, chaque valeur propre \(\lambda\) apparaissant exactement \(\dim E_\lambda(u)\) fois.
La matrice de \(u\) dans \(\mathcal{B}\) est diagonale, de coefficients diagonaux \(d_1, \dots, d_n\), si et seulement si \(u(e_i) = d_i e_i\) pour tout \(i\) — c'est-à-dire si et seulement si chaque \(e_i\) est un vecteur propre pour la valeur propre \(d_i\). Pour une valeur propre \(\lambda\) fixée, les vecteurs de base \(e_i\) avec \(d_i = \lambda\) sont des vecteurs propres dans \(E_\lambda(u)\) ; faisant partie d'une base ils sont libres, et ils engendrent \(E_\lambda(u)\) (tout vecteur propre pour \(\lambda\) est combinaison des vecteurs de base, nécessairement de ceux avec \(d_i = \lambda\)). Ils forment donc une base de \(E_\lambda(u)\), et \(\lambda\) apparaît \(\dim E_\lambda(u)\) fois sur la diagonale — comme le montrera la matrice \(3 \times 3\) traitée au sous-section 3.2, où \(0\) occupe deux des trois places diagonales.
Exemple — Endomorphismes diagonalisables déjà connus
L'identité et toute homothétie sont diagonalisables — elles sont déjà diagonales dans toute base. Un projecteur \(p\) est diagonalisable : \(E = \operatorname{Ker} p \oplus \operatorname{Im} p\), et une base adaptée à cette décomposition est une base de vecteurs propres (valeurs propres parmi \(0\) et \(1\)). Une symétrie vectorielle est diagonalisable de même, de valeurs propres parmi \(-1\) et \(1\). Exemple — Un endomorphisme non diagonalisable
La matrice \(M = \begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{psmallmatrix}\) n'est pas diagonalisable. Si elle valait \(PDP^{-1}\) avec \(D\) diagonale, \(D\) aurait le même spectre que \(M\), à savoir \(\{0\}\) (car \(\chi_M = X^2\)), donc \(D = 0\), d'où \(M = P\,0\,P^{-1} = 0\) — faux. L'obstruction est structurelle : \(M\) n'a qu'une seule valeur propre \(0\), mais son sous-espace propre \(E_0(M) = \ker M = \operatorname{Vect}(e_1)\) est de dimension \(1\), strictement inférieure à la dimension \(2\) de l'espace — les sous-espaces propres ne remplissent pas \(\mathbb{K}^2\).
La géométrie de la diagonalisation
Lorsque \(u\) est diagonalisable, \(E\) se décompose en somme directe de droites propres (ou de sous-espaces propres) : \(E = E_{\lambda_1}(u) \oplus E_{\lambda_2}(u) \oplus \cdots\). Un vecteur \(x\) se décompose de façon unique en \(x = x_1 + x_2 + \cdots\) avec \(x_i \in E_{\lambda_i}(u)\), et \(u\) dilate chaque morceau selon son propre rapport : \(u(x) = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots\). La figure montre le cas de deux sous-espaces propres. 
Compétences à pratiquer
- Identifier une matrice diagonalisable
III.2
Caractérisations de la diagonalisabilité
La question de savoir si \(u\) est diagonalisable est désormais tranchée par trois tests équivalents, d'abstraction décroissante. Le premier est structurel : \(E\) est la somme directe des sous-espaces propres. Le deuxième compte les dimensions. Le troisième est le test pratique : \(\chi_u\) doit être scindé, et chaque sous-espace propre doit atteindre la dimension que sa multiplicité autorise. Un raccourci suffisant clôt la sous-section — \(n\) valeurs propres distinctes suffisent.
Théorème — Diagonalisable par la somme directe des sous-espaces propres
L'endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(E\) est la somme directe de ses sous-espaces propres : $$ E = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} E_\lambda(u). $$
La somme des sous-espaces propres est toujours directe (sous-section 1.2), donc la condition est en fait « les sous-espaces propres engendrent \(E\) ».
- \((\Rightarrow)\) Si \(u\) est diagonalisable, une base de diagonalisation est une base de vecteurs propres ; chaque vecteur de base appartient à un \(E_\lambda(u)\), donc les sous-espaces propres engendrent \(E\), et leur somme directe est \(E\).
- \((\Leftarrow)\) Si \(E = \bigoplus_\lambda E_\lambda(u)\), concaténer une base de chaque \(E_\lambda(u)\) donne une base de \(E\) adaptée à la décomposition. Tout vecteur de cette base est un vecteur propre, donc la base diagonalise \(u\).
Proposition — Critère par les dimensions
L'endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si $$ \sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} \dim E_\lambda(u) = n. $$
La somme \(\sum_\lambda E_\lambda(u)\) est directe, donc sa dimension vaut \(\sum_\lambda \dim E_\lambda(u)\). Cette somme vaut \(E\) tout entier exactement lorsque cette dimension vaut \(\dim E = n\). Par le théorème précédent, c'est exactement la diagonalisabilité.
Proposition — Un endomorphisme à n valeurs propres distinctes
Si \(u\) a \(n = \dim E\) valeurs propres distinctes, alors \(u\) est diagonalisable.
Choisissons un vecteur propre pour chacune des \(n\) valeurs propres distinctes. Par le sous-section 1.2, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre, donc ces \(n\) vecteurs forment une famille libre de \(E\) ; comptant \(n = \dim E\) éléments, ils forment une base. C'est une base de vecteurs propres, donc \(u\) est diagonalisable.
Théorème — Diagonalisable par le polynôme caractéristique
L'endomorphisme \(u\) est diagonalisable sur \(\mathbb{K}\) si et seulement si son polynôme caractéristique \(\chi_u\) est scindé sur \(\mathbb{K}\) et si, pour toute valeur propre \(\lambda \in \operatorname{Sp}(u)\), \(\dim E_\lambda(u) = m(\lambda)\). - \((\Rightarrow)\) Supposons \(u\) diagonalisable. Dans une base de diagonalisation la matrice est diagonale, chaque valeur propre \(\lambda\) étant répétée \(\dim E_\lambda(u)\) fois ; son polynôme caractéristique est alors \(\chi_u = \prod_{\lambda} (X - \lambda)^{\dim E_\lambda(u)}\). Il est scindé sur \(\mathbb{K}\), et l'exposant de \((X - \lambda)\), à savoir \(m(\lambda)\), vaut \(\dim E_\lambda(u)\).
- \((\Leftarrow)\) Supposons \(\chi_u\) scindé avec \(\dim E_\lambda(u) = m(\lambda)\) pour toute \(\lambda\). Comme \(\chi_u\) est scindé de degré \(n\), les multiplicités ont pour somme \(n\) : \(\sum_\lambda m(\lambda) = n\). Donc \(\sum_\lambda \dim E_\lambda(u) = \sum_\lambda m(\lambda) = n\), et le critère par les dimensions donne la diagonalisabilité.
Méthode — Diagonaliser une matrice
Étant donné \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), procéder en deux temps. - Décider. Calculer \(\chi_M\) et le factoriser. Si \(\chi_M\) n'est pas scindé sur \(\mathbb{K}\), \(M\) n'est pas diagonalisable sur \(\mathbb{K}\). S'il est scindé, pour chaque valeur propre \(\lambda\) de multiplicité \(m(\lambda) \ge 2\) calculer \(\dim E_\lambda = n - \operatorname{rg}(M - \lambda I_n)\) et comparer à \(m(\lambda)\) ; \(M\) est diagonalisable si et seulement si l'égalité a lieu pour toute \(\lambda\) (les valeurs propres simples ne demandent aucune vérification, \(\dim E_\lambda = 1 = m(\lambda)\) automatiquement).
- Diagonaliser. Lorsque \(M\) est diagonalisable, résoudre \((M - \lambda I_n)X = 0\) pour chaque \(\lambda\) afin d'obtenir une base de \(E_\lambda\), concaténer celles-ci en les colonnes de \(P\) ; alors \(P^{-1}MP = D\) est diagonale, les valeurs propres figurant sur la diagonale dans l'ordre correspondant.
Exemple — Un verdict de non-diagonalisabilité
La matrice \(M = \begin{psmallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{psmallmatrix}\) a \(\chi_M = (X - 2)^3\), scindé sur \(\mathbb{R}\), avec l'unique valeur propre \(2\) de multiplicité \(m(2) = 3\). En appliquant la méthode : \(M - 2I_3\) est de rang \(1\), donc \(\dim E_2 = 3 - 1 = 2 < 3 = m(2)\). Le critère échoue pour la valeur propre \(2\), donc \(M\) n'est pas diagonalisable — bien que \(\chi_M\) soit scindé. Le polynôme caractéristique scindé est nécessaire mais non suffisant ; c'est le test de dimension qui tranche. Exemple — Diagonaliser une matrice 3 par 3
Diagonaliser la matrice $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). $$
\(M\) est de rang \(1\), donc \(0\) est valeur propre avec \(\dim E_0 = 3 - \operatorname{rg}(M) = 2\) ; donc \(m(0) \ge \dim E_0 = 2\) et \(X^2\) divise le polynôme \(\chi_M\), unitaire de degré \(3\), ce qui donne \(\chi_M = X^2(X - a)\) pour un certain \(a\). Le coefficient de \(X^2\) dans \(\chi_M\) vaut \(-\operatorname{tr}(M) = -3\) par le théorème sur le degré et les coefficients du sous-section 2.1, et dans \(X^2(X - a)\) il vaut \(-a\) ; donc \(a = 3\) et \(\chi_M = X^2(X - 3)\), scindé sur \(\mathbb{R}\), avec \(m(0) = 2\) et \(m(3) = 1\).
- \(\dim E_0 = 2 = m(0)\) et \(\dim E_3 = 1 = m(3)\) (simple), donc \(M\) est diagonalisable.
- \(E_0 = \operatorname{Ker} M\) : le système \(x + y + z = 0\) donne la base \((1, -1, 0)\), \((1, 0, -1)\).
- \(E_3 = \operatorname{Ker}(M - 3I_3)\) : la base \((1, 1, 1)\).
Compétences à pratiquer
- Diagonaliser une matrice
IV
Diagonalisabilité par les polynômes annulateurs
IV.1
Valeurs propres et polynômes annulateurs
Un polynôme annulateur dit quelque chose sur les valeurs propres : toute valeur propre doit en être une racine. Au-delà de la localisation du spectre, cette sous-section prépare le critère polynomial de Le critère polynomial de diagonalisabilité — un annulateur non nul scindé à racines simples suffit pour lire la diagonalisabilité, sans aucun compte de sous-espace propre.
Proposition — Valeurs propres et polynômes annulateurs
Si \(u(x) = \lambda x\), alors \(P(u)(x) = P(\lambda)\,x\) pour tout \(P \in \mathbb{K}[X]\). Par conséquent toute valeur propre de \(u\) est une racine de tout polynôme annulateur de \(u\).
De \(u(x) = \lambda x\) une récurrence immédiate donne \(u^k(x) = \lambda^k x\) pour tout \(k\). Donc, pour \(P = \sum_k a_k X^k\), $$ P(u)(x) = \sum_k a_k\, u^k(x) = \sum_k a_k\, \lambda^k x = P(\lambda)\, x. $$ Soit maintenant \(\lambda\) une valeur propre, de vecteur propre \(x \ne 0_E\), et \(P\) un polynôme annulateur. Alors \(P(\lambda)\,x = P(u)(x) = 0_E\), et \(x \ne 0_E\) force \(P(\lambda) = 0\) : \(\lambda\) est racine de \(P\).
Exemple — Borner le spectre
Si \(u^2 = u\), alors \(X^2 - X\) annule \(u\), donc toute valeur propre est racine de \(X^2 - X\) : \(\mathrm{Sp}(u) \subset \{0, 1\}\). Si \(u^3 = \mathrm{Id}_E\) avec \(E\) un espace vectoriel réel, alors \(X^3 - 1\) annule \(u\) ; sa seule racine réelle est \(1\), donc \(\mathrm{Sp}(u) \subset \{1\}\) — éventuellement vide, si \(u\) n'a pas de valeur propre réelle. Un polynôme annulateur borne le spectre avant tout calcul de sous-espace propre. Méthode — Borner le spectre à l'aide d'un polynôme annulateur
Pour localiser les valeurs propres de \(u\) sans calculer de sous-espaces propres : exhiber un polynôme annulateur \(P\) de \(u\) (souvent à partir d'une relation \(u^2 = u\), \(u^2 = \mathrm{Id}_E\), \(u^p = 0\), ou une identité donnée, ou à partir de Cayley-Hamilton appliqué à \(\chi_u\)) ; alors \(\mathrm{Sp}(u)\) est contenu dans l'ensemble des racines de \(P\) dans \(\mathbb{K}\). L'inclusion peut être stricte — seules les racines de \(P\) qui sont effectivement valeurs propres appartiennent à \(\mathrm{Sp}(u)\). Le polynôme borne le spectre par le haut ; le cerner exactement demande en général de vérifier quelles racines candidates sont réalisées par un vecteur propre. Compétences à pratiquer
- Localiser le spectre par un polynôme annulateur
IV.2
Le critère polynomial de diagonalisabilité
La diagonalisabilité a été caractérisée dans Diagonalisabilité en comparant les dimensions des sous-espaces propres aux multiplicités. Un second test, souvent plus rapide, lit une seule relation algébrique : \(u\) est diagonalisable exactement lorsqu'un polynôme non nul scindé à racines simples annule \(u\). Le test contourne complètement le compte des sous-espaces propres — une fois un annulateur scindé à racines simples candidat exhibé et vérifié, la diagonalisabilité est tranchée.
Théorème — Le critère polynomial de diagonalisabilité
Pour \(u \in \mathcal{L}(E)\), \(u\) est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme non nul \(P \in \mathbb{K}[X]\), scindé sur \(\mathbb{K}\) à racines simples, qui annule \(u\) (\(P(u) = 0\)). Démonstration non exigible au programme. Exemple — Projecteurs et symétries sont diagonalisables
Un projecteur vérifie \(p^2 - p = 0\), donc \(X^2 - X = X(X-1)\) l'annule — scindé à racines simples \(0\) et \(1\) ; par le critère, tout projecteur est diagonalisable. Une symétrie vérifie \(s^2 - \mathrm{Id}_E = 0\), donc \(X^2 - 1 = (X-1)(X+1)\) l'annule — scindé à racines simples ; toute symétrie est diagonalisable. Aucun calcul de sous-espace propre n'est nécessaire. Exemple — La diagonalisabilité dépend du corps
La matrice \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) vérifie \(R^2 = -I_2\), donc \(X^2 + 1\) l'annule. Sur \(\mathbb{R}\), \(X^2 + 1\) n'est pas scindé, donc cet annulateur ne tranche pas la diagonalisabilité sur \(\mathbb{R}\) ; en fait \(R\) n'est pas diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), puisque les seules valeurs propres candidates sont les racines réelles de \(X^2 + 1\), dont il n'y en a aucune — une diagonalisation réelle exigerait une valeur propre réelle, et \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}(R) = \emptyset\). Sur \(\mathbb{C}\), \(X^2 + 1 = (X - \mathrm{i})(X + \mathrm{i})\) est scindé à racines simples ; par le critère, la même matrice vue dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) est diagonalisable. Attention : un annulateur quelconque non scindé ne prouve rien sur la diagonalisabilité ; le critère n'est que suffisant. Pour établir que \(u\) n'est pas diagonalisable, revenir aux critères géométriques de Diagonalisabilité (compte des sous-espaces propres face aux multiplicités). Proposition — Diagonalisabilité d'un endomorphisme induit
Si \(u\) est diagonalisable et \(F\) un sous-espace non nul stable par \(u\), l'endomorphisme \(u_F\) induit par \(u\) sur \(F\) est diagonalisable.
Par le critère, \(u\) diagonalisable fournit un polynôme non nul scindé à racines simples \(P\) avec \(P(u) = 0\). Comme \(F\) est stable par \(u\), \(u_F\) est bien défini et \(P(u_F)\) est la restriction de \(P(u)\) à \(F\) : \(P(u_F)(x) = P(u)(x) = 0\) pour tout \(x \in F\), donc \(P\) annule aussi \(u_F\). Un polynôme non nul scindé à racines simples annule \(u_F\), donc par le critère \(u_F\) est diagonalisable.
Exemple — Diagonalisabilité sans sous-espaces propres
Montrer que \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) est diagonalisable, sans calculer ses sous-espaces propres.
Un calcul direct donne \(M^2 = I_2\), donc le polynôme \(X^2 - 1\) annule \(M\). Or \(X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)\) est scindé sur \(\mathbb{R}\) avec les deux racines simples \(1\) et \(-1\). Un polynôme non nul scindé à racines simples annule \(M\), donc par le critère polynomial \(M\) est diagonalisable.
Méthode — Démontrer la diagonalisabilité par un polynôme annulateur
Pour montrer que \(u\) est diagonalisable sans calculer de sous-espaces propres : - trouver un polynôme non nul annulant \(u\) — typiquement à partir d'une relation \(u^2 = \mathrm{Id}_E\), \(u^2 = u\), ou une identité donnée ;
- vérifier qu'il est scindé sur \(\mathbb{K}\) à racines simples ; si oui, par le critère \(u\) est diagonalisable.
Compétences à pratiquer
- Démontrer la diagonalisabilité par un polynôme
V
Trigonalisabilité
V.1
Endomorphismes et matrices trigonalisables
La diagonalisation peut échouer — la matrice \(\begin{psmallmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{psmallmatrix}\) y résiste déjà. Lorsque c'est le cas, la forme la meilleure ensuite est triangulaire : une base dans laquelle la matrice de \(u\) est triangulaire supérieure expose encore le spectre sur la diagonale et maîtrise les puissances de \(u\). Cette sous-section nomme les endomorphismes et matrices trigonalisables ; la suivante les caractérise.
Définition — Endomorphisme et matrice trigonalisables
L'endomorphisme \(u\) est trigonalisable lorsqu'il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est triangulaire supérieure. Une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est trigonalisable lorsqu'elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure. Comme pour la diagonalisabilité (sous-section 3.1), un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est une matrice trigonalisable. Exemple — Diagonalisable implique trigonalisable
Toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable, étant semblable à elle-même. Tout endomorphisme diagonalisable est trigonalisable, une matrice diagonale étant en particulier triangulaire supérieure. La trigonalisabilité est donc une exigence plus faible que la diagonalisabilité — strictement plus faible, comme le montre l'exemple suivant. Exemple — Trigonalisable sans être diagonalisable
La matrice \(\begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{psmallmatrix}\) est triangulaire supérieure, donc trigonalisable, et pourtant non diagonalisable : \(\chi = (X-1)^2\) et \(\dim E_1 = 2 - \operatorname{rg}\begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{psmallmatrix} = 1 < 2 = m(1)\). La trigonalisabilité est bien la notion la plus large. Exemple — Une trigonalisation exhibée
Pour \(M = \begin{psmallmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{psmallmatrix}\), prenons \(P = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{psmallmatrix}\) ; un calcul direct donne \(P^{-1}MP = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{psmallmatrix}\), triangulaire supérieure. Donc \(M\) est trigonalisable, de valeur propre unique \(1\). Ici la matrice trigonalisante \(P\) est donnée et la similitude seulement vérifiée — trouver un tel \(P\) n'est pas un objectif du programme (voir Caractérisation par le polynôme caractéristique). Compétences à pratiquer
- Identifier un endomorphisme trigonalisable
V.2
Caractérisation par le polynôme caractéristique
La trigonalisabilité possède un critère unique et net : elle a lieu exactement lorsque le polynôme caractéristique est scindé. Un sens est immédiat — une matrice triangulaire a un polynôme caractéristique scindé. L'autre est une récurrence qui détache un vecteur propre à la fois. Le critère a une conséquence immédiate sur \(\mathbb{C}\), et il fixe la trace et le déterminant en fonction des valeurs propres.
Théorème — Trigonalisable par un polynôme caractéristique scindé
Un endomorphisme \(u \in \mathcal{L}(E)\) d'un espace de dimension finie est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique \(\chi_u\) est scindé sur \(\mathbb{K}\). De façon équivalente, une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est trigonalisable si et seulement si \(\chi_M\) est scindé. Démonstration non exigible au programme. Proposition — Trigonalisabilité sur les complexes
Toute matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est trigonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), puisque \(\chi_M\) est toujours scindé sur \(\mathbb{C}\). Une matrice réelle \(M\) est trigonalisable sur \(\mathbb{R}\) exactement lorsque \(\chi_M\) est scindé sur \(\mathbb{R}\) ; lorsqu'il ne l'est pas — par exemple la matrice d'une rotation plane d'angle \(\theta \notin \pi\mathbb{Z}\), dont le \(\chi\) n'a aucune racine réelle — \(M\) reste trigonalisable une fois lue dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).
Pour \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), le polynôme \(\chi_M\) est de degré \(n\) et, par d'Alembert-Gauss (rappelé de Polynômes), scindé sur \(\mathbb{C}\) ; le théorème rend alors \(M\) trigonalisable sur \(\mathbb{C}\). Pour une matrice réelle \(M\), le théorème appliqué avec \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) donne la trigonalisabilité sur \(\mathbb{R}\) exactement lorsque \(\chi_M\) est scindé sur \(\mathbb{R}\) ; à défaut, lire \(M\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) ramène au cas complexe.
La pratique de la trigonalisation n'est pas un objectif du programme. Le théorème est utilisé comme outil structurel — il garantit qu'une forme triangulaire existe — mais la recherche explicite d'une base de trigonalisation n'est pas exigée. Les exercices ne font jamais que vérifier une forme triangulaire qui leur est fournie.
Proposition — Trace et déterminant d'un endomorphisme trigonalisable
Si \(u\) est trigonalisable sur \(\mathbb{K}\), alors \(\operatorname{tr}(u)\) est la somme et \(\det(u)\) le produit des valeurs propres de \(u\), chacune comptée avec sa multiplicité.
Trigonalisons \(u\) : dans une base convenable sa matrice est triangulaire supérieure, \(T\), de coefficients diagonaux \(d_1, \dots, d_n\). La diagonale d'une matrice triangulaire porte ses valeurs propres, chaque \(\lambda\) apparaissant \(m(\lambda)\) fois puisque \(\chi_T = \prod_i (X - d_i)\). Trace et déterminant sont des invariants de similitude, donc \(\operatorname{tr}(u) = \operatorname{tr}(T) = \sum_i d_i\) et \(\det(u) = \det(T) = \prod_i d_i\) — la somme et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité.
Extension à tout endomorphisme
Plus généralement, pour tout \(u \in \mathcal{L}(E)\), la trace et le déterminant sont la somme et le produit des racines de \(\chi_u\) dans \(\mathbb{C}\), comptées avec multiplicité. Cela ne demande aucun théorème nouveau : \(\chi_u = X^n - \operatorname{tr}(u)X^{n-1} + \dots + (-1)^n\det(u)\) d'après le section 2, et \(\chi_u\) se factorise sur \(\mathbb{C}\) en \(\prod_{i=1}^n (X - \lambda_i)\) par d'Alembert-Gauss ; en identifiant les coefficients de \(X^{n-1}\) et le terme constant, on lit \(\operatorname{tr}(u) = \sum_i \lambda_i\) et \(\det(u) = \prod_i \lambda_i\). Lorsque \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) ces racines sont exactement les valeurs propres ; sur un sous-corps strict, les racines non dans \(\mathbb{K}\) ne sont pas des valeurs propres de \(u\).
Exemple — Lire trace et déterminant sur les valeurs propres
Soit \(M\) trigonalisable sur \(\mathbb{K}\), semblable à une matrice triangulaire supérieure \(T\) de diagonale \((\lambda_i)\) — les valeurs propres comptées avec multiplicité. Alors \(\operatorname{tr}(M) = \sum_i \lambda_i\) et \(\det(M) = \prod_i \lambda_i\). De plus \(M^k = P^{-1}T^kP\) avec \(T^k\) triangulaire supérieure de diagonale \((\lambda_i^k)\), donc pour tout entier \(k \ge 1\), $$ \operatorname{tr}(M^k) = \operatorname{tr}(T^k) = \sum_i \lambda_i^k, $$ par invariance de la trace par similitude. Une matrice de valeurs propres \(1, 2, 2\) a ainsi \(\operatorname{tr}(M) = 5\), \(\det(M) = 4\) et \(\operatorname{tr}(M^2) = 1 + 4 + 4 = 9\). Méthode — Exploiter un polynôme caractéristique scindé
Lorsque \(\chi_u\) est scindé — toujours le cas sur \(\mathbb{C}\) — \(u\) est trigonalisable, et l'on peut raisonner comme si sa matrice était triangulaire supérieure sans même calculer de base de trigonalisation. S'en servir pour lire \(\operatorname{tr}(u)\) et \(\det(u)\) comme somme et produit des valeurs propres comptées avec multiplicité, pour calculer \(\operatorname{tr}(u^k) = \sum \lambda_i^k\) pour \(k \ge 1\) (même convention de multiplicité), et pour borner ou localiser le spectre. La forme triangulaire est invoquée pour ce qu'elle garantit, jamais recherchée explicitement.
Pour aller plus loin
Les cinq sections de ce chapitre ont construit les deux voies parallèles de la réduction — géométrique (éléments propres + polynôme caractéristique + diagonalisabilité + trigonalisabilité) et algébrique (polynômes annulateurs + Cayley-Hamilton + critère polynomial). La synthèse qu'elles permettent est opérationnelle : décider si \(u\) est diagonalisable, si \(u\) est trigonalisable, et — lorsque l'une des deux propriétés est acquise — exhiber une forme réduite concrète pour calculer des puissances \(u^k\), résoudre les suites récurrentes linéaires \(x_{n+1} = u(x_n)\), et intégrer les systèmes différentiels linéaires \(X' = AX\) aux chapitres d'analyse qui suivront. Cayley-Hamilton donne en plus \(u^{-1}\) comme polynôme en \(u\) dès que \(u\) est inversible, et réduit toute puissance élevée à une combinaison de degré \(< n\) en \(\mathrm{Id}, u, \dots, u^{n-1}\). Les chapitres suivants — sur les espaces euclidiens et les endomorphismes autoadjoints — reviendront à la réduction dans un cadre géométrique (bases orthonormées de vecteurs propres) où tout endomorphisme du programme est diagonalisable.
Compétences à pratiquer
- Exploiter un polynôme caractéristique scindé
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Applications de la réduction
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