Éducation Nationale Française · MP2I
Suites réelles
Vue d'ensemble du chapitre
Une suite réelle associe un nombre réel à chaque entier naturel, et le chapitre étudie ce qui se passe quand l'indice grandit. Le lycée a donné la limite d'une suite par des intervalles, admis qu'une suite monotone bornée converge, et lu les opérations sur les limites dans des tableaux. Ce chapitre fait de la limite un objet démontré : la définition avec \(\varepsilon\) et un rang \(N\) est maniée, les opérations sur les limites et le tableau des limites infinies sont démontrés, ainsi que les trois théorèmes qui donnent une limite sans la calculer — le théorème de la limite monotone, le théorème des suites adjacentes et le théorème de Bolzano-Weierstrass. Aucun résultat n'est admis, et ni limite d'une fonction, ni continuité, ni dérivée, ni nombre complexe n'est utilisé. Quatre fils traversent le chapitre. Le premier est le vocabulaire : bornée, monotone, vraie à partir d'un certain rang, et les trois modes de définition d'une suite. Le deuxième est celui des formes closes des suites usuelles — arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, et récurrences linéaires d'ordre deux — qui n'exigent aucune limite. Le troisième est celui de la limite : sa définition, son unicité, les opérations et les inégalités, puis les théorèmes d'existence, les suites extraites et la comparaison des suites usuelles. Le quatrième est celui de la suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\), étudiée avec les intervalles stables, la monotonie, le théorème de la limite monotone et les points fixes.
Conventions. Une suite est indexée par \(\mathbb{N}\) sauf mention contraire : \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\), ou simplement \((u_n)\). « Croissante » signifie \(u_{n+1} \ge u_n\), au sens large, et « strictement croissante » est le sens strict. « Convergente » signifie que la limite existe et est finie : une suite qui tend vers \(+\infty\) a une limite et est divergente. Une limite appartient à \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\). Une extraction se note \(\varphi\), et la composée d'une fonction \(f\) avec elle-même se note \(f \circ f\). Les fonctions \(\sqrt{\cdot}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\cos\) et \(\sin\) sont connues du lycée et utilisées comme telles ; leur étude vient plus tard. Les suites sont réelles : les suites de nombres complexes relèvent de l'étude des nombres complexes. Dans un ensemble listé, un \(n\)-uplet ou un intervalle, le séparateur est la virgule.
Conventions. Une suite est indexée par \(\mathbb{N}\) sauf mention contraire : \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\), ou simplement \((u_n)\). « Croissante » signifie \(u_{n+1} \ge u_n\), au sens large, et « strictement croissante » est le sens strict. « Convergente » signifie que la limite existe et est finie : une suite qui tend vers \(+\infty\) a une limite et est divergente. Une limite appartient à \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\). Une extraction se note \(\varphi\), et la composée d'une fonction \(f\) avec elle-même se note \(f \circ f\). Les fonctions \(\sqrt{\cdot}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\cos\) et \(\sin\) sont connues du lycée et utilisées comme telles ; leur étude vient plus tard. Les suites sont réelles : les suites de nombres complexes relèvent de l'étude des nombres complexes. Dans un ensemble listé, un \(n\)-uplet ou un intervalle, le séparateur est la virgule.
Prérequis
Ce chapitre suppose connus le chapitre Suites : suite, définitions explicite et par récurrence, suites arithmétiques et géométriques avec leur terme général et leurs sommes, modélisation ; le chapitre Suites monotones : la différence de deux termes consécutifs, le quotient de termes consécutifs d'une suite strictement positive, et le théorème de la limite monotone, énoncé là sans démonstration ; le chapitre Limites de suites : la limite donnée par des intervalles, les opérations sur les limites et les formes indéterminées, la comparaison et l'encadrement, la limite de \(q^n\), la Proposition « Inégalité de Bernoulli » (\((1 + a)^n \ge 1 + na\) pour \(a \ge 0\)), et le diagramme en escalier de \(u_{n+1} = f(u_n)\) comme conjecture, non comme preuve. Les fonctions de référence et leurs propriétés du lycée sont utilisées sans démonstration : \(\sqrt{\cdot}\) et \(x \mapsto x^{\alpha}\) pour \(\alpha > 0\) sont strictement croissantes sur \(\mathbb{R}_+\) ; \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques l'une de l'autre et strictement croissantes, et \(\ln(xy) = \ln x + \ln y\) pour \(x, y > 0\) ; \(\ln x \le x - 1\) pour \(x > 0\) et \(\ln(1 + x) \le x\) pour \(x > -1\) ; les puissances réelles \(x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}\) pour \(x > 0\), avec \(\ln(x^{\alpha}) = \alpha \ln x\) et \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\) ; \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques, avec \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\), \(\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(\lvert \cos x \rvert \le 1\) et \(\lvert \sin x \rvert \le 1\), \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), \(\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\), \(\sin x > 0\) sur \(]0, \pi[\), \(\cos\) est une bijection de \([0, \pi]\) sur \([-1, 1]\), et \(\cos(a + b) + \cos(a - b) = 2\cos a \cos b\) ; le trinôme du second degré, ses racines, son discriminant et son signe ; \(n!\), les symboles \(\sum\) et \(\prod\), et la somme télescopique ; l'irrationalité de \(\sqrt{2}\) ; et \(\pi \notin \mathbb{Q}\), qui est admis. Du chapitre Raisonner et rédiger : les schémas de démonstration d'un énoncé universel et d'un énoncé existentiel, de l'unicité, par disjonction des cas, par contraposée et par l'absurde, et la récurrence, simple, double et forte. Du chapitre Logique : la négation des quantificateurs, qui donne la négation de \(u_n \to \ell\). Du chapitre Ensembles : les intervalles, les parties d'un ensemble, et les parties finies, dont une partie non vide a un plus grand élément. Du chapitre Applications : une suite est une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\), une extraction est une application strictement croissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\), la composée, et les applications injectives. Du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre : « croissante » pour un ordre. Du chapitre Nombres réels : l'ordre de \(\mathbb{R}\) et les règles de calcul sur les inégalités, les intervalles, la valeur absolue et les inégalités triangulaires, \(\max(a, b)\), la borne supérieure et sa caractérisation \(\varepsilon\), la propriété de la borne supérieure — une partie non vide de \(\mathbb{R}\) majorée a une borne supérieure, ce qui est admis là — la propriété d'Archimède, la partie entière, les valeurs décimales approchées par défaut et par excès, la Proposition « Somme et produit avec un rationnel », la densité d'une partie qui rencontre tout intervalle ouvert non vide, et la droite achevée \(\overline{\mathbb{R}}\). Du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire : les fonctions monotones et bornées, et la monotonie d'une somme, d'un produit, d'une composée et d'une réciproque. Le chapitre n'utilise ni limite d'une fonction, ni continuité, ni dérivée, ni convexité — hors les deux inégalités du logarithme ci-dessus — ni série, nombre complexe, espace vectoriel ou formule du binôme.
I
Suites et vocabulaire
Une suite est une application
Une suite est l'objet le plus simple de l'analyse : une fonction réelle dont la variable est un entier naturel. Le lycée a nommé ses propriétés en mots — une suite croît, reste sous une borne, est arithmétique — et les a lues sur quelques termes ou sur un graphique. Le vocabulaire des suites réelles fait de chaque mot une définition quantifiée, ajoute les deux notions sur lesquelles repose tout énoncé ultérieur — une propriété vraie à partir d'un certain rang, et les trois modes de définition d'une suite — et démontre les premières propriétés qu'une liste de termes ne fait que suggérer.
I.1
Suites réelles et modes de définition
D'une liste à une application
Une suite se rencontre d'abord comme une liste de nombres \(u_0, u_1, u_2, \dots\) écrits dans l'ordre. Pour les démonstrations qui suivent, c'est une application \(u \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), comme dans le chapitre Applications : à chaque indice \(n\) correspond un réel \(u_n\), le terme d'indice \(n\). La liste montre l'application sans la définir. Une suite se donne de trois façons — une formule en \(n\), une propriété qui caractérise \(u_n\), une règle qui calcule chaque terme à partir des précédents — et les trois diffèrent par ce qu'elles permettent de démontrer d'emblée : une formule donne directement n'importe quel terme, une propriété exige d'abord que le terme existe, une règle exige que les termes soient calculés l'un après l'autre.
Définition — Suite réelle
Une suite réelle est une application \(u \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), notée \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\), où \(u_n = u(n)\) est le terme d'indice \(n\). L'ensemble des suites réelles est noté \(\textcolor{colordef}{\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}\). Une suite peut aussi n'être définie qu'à partir d'un rang \(n_0 \in \mathbb{N}\), comme une application sur \(\{n \in \mathbb{N} \mid n \ge n_0\}\), et se note alors \((u_n)_{n \ge n_0}\). - Deux suites sont égales lorsqu'elles ont les mêmes termes : \((u_n) = (v_n)\) signifie \(u_n = v_n\) pour tout \(n\).
- La somme, le multiple et le produit de suites se prennent terme à terme : \((u_n) + (v_n) = (u_n + v_n)\), \(\lambda (u_n) = (\lambda u_n)\) et \((u_n)(v_n) = (u_n v_n)\).
- Une suite est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain indice : \(\exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ u_n = u_N\).
Définition — Modes de définition
Une suite réelle se donne de l'une des trois façons suivantes. - Explicite : \(u_n = f(n)\) pour une formule \(f\) en \(n\), de sorte que chaque terme se calcule directement, sans les précédents.
- Implicite : \(u_n\) est caractérisé par une propriété qui dépend de \(n\), par exemple comme l'unique solution d'une équation dans un intervalle donné ; l'existence et l'unicité de \(u_n\) doivent alors être démontrées avant toute chose.
- Récurrente : le premier terme \(u_0\) est donné, et chaque terme se calcule à partir des précédents, comme dans \(u_{n+1} = f(u_n)\) ou \(u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n+1}\) ; pour une récurrence d'ordre deux, les deux premiers termes sont donnés et \(u_{n+2}\) se calcule à partir de \(u_{n+1}\) et \(u_n\).
Exemple — Une suite explicite
La suite \((u_n)_{n \ge 1}\) définie par \(u_n = \frac{1}{n}\) est explicite : \(u_1 = 1\), \(u_2 = \frac{1}{2}\), et \(u_{100} = \frac{1}{100}\) se lit sur la formule sans calculer les quatre-vingt-dix-neuf termes qui le précèdent. Chaque terme est plus petit que le précédent : pour tout \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} && \text{(définition de la suite)} \\
&= \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} && \text{(dénominateur commun)} \\
&= -\frac{1}{n(n+1)}, \end{aligned} $$ et ce nombre est strictement négatif. Exemple — Une suite définie par récurrence
Soient \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n+1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\), étudier les variations de \((u_n)\), et montrer que \(u_n > 2\) pour tout \(n \ge 2\).
Les premiers termes. \(u_1 = u_0 + \frac{1}{1} = 2\) et \(u_2 = u_1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
Les variations. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \left( u_n + \frac{1}{n+1} \right) - u_n && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{1}{n+1}, \end{aligned} $$ qui est strictement positif : \((u_n)\) est strictement croissante.
La minoration. Pour \(n \ge 2\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n > 2\) ».
Les variations. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \left( u_n + \frac{1}{n+1} \right) - u_n && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{1}{n+1}, \end{aligned} $$ qui est strictement positif : \((u_n)\) est strictement croissante.
La minoration. Pour \(n \ge 2\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n > 2\) ».
- Initialisation. \(u_2 = \frac{5}{2} > 2\), donc \(P_2\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(n \ge 2\). Supposons \(P_n\). Montrons \(P_{n+1}\). Comme \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} > 0\) et que \(u_n > 2\) par hypothèse de récurrence, \(u_{n+1} > u_n > 2\). Donc \(P_{n+1}\).
- Conclusion. Puisque \(P_2\) est vraie et que \(P_n \Rightarrow P_{n+1}\) pour tout \(n \ge 2\), par récurrence à partir du rang \(2\), \(u_n > 2\) pour tout \(n \ge 2\).
Exemple — Une suite implicite
Pour \(n \ge 1\), soit \(u_n\) la solution positive de l'équation \(x^2 + x = n\). Montrer que \(u_n\) est bien défini, le calculer, et montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.
Existence et unicité. Soient \(n \ge 1\) et \(x \in \mathbb{R}\). $$ \begin{aligned} x^2 + x = n &\iff \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 = n + \frac{1}{4} && \text{(forme canonique du trinôme)} \\
&\iff \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{4n+1}}{2} \right)^2 && \text{(\(n + \frac{1}{4} = \frac{4n+1}{4}\))} \\
&\iff x = \frac{-1 + \sqrt{4n+1}}{2} \ \text{ ou } \ x = \frac{-1 - \sqrt{4n+1}}{2}. \end{aligned} $$ La dernière équivalence vient de \(a^2 = b^2 \iff a = b\) ou \(a = -b\). Pour \(n \ge 1\), \(\sqrt{4n+1} > 1\), donc la première solution est positive et la seconde est négative. L'équation a exactement une solution positive, donc \(u_n\) est bien défini, et \(u_n = \frac{-1 + \sqrt{4n+1}}{2}\).
Variations. Pour \(n \ge 1\), \(4n + 1 < 4(n+1) + 1\), et \(\sqrt{\cdot}\) est strictement croissante, donc \(\sqrt{4n+1} < \sqrt{4(n+1)+1}\), c'est-à-dire \(u_n < u_{n+1}\) : la suite est strictement croissante.
Pour une équation quelconque, aucune formule ne donne la solution, et l'existence et l'unicité de \(u_n\) sont la première chose à démontrer.
Variations. Pour \(n \ge 1\), \(4n + 1 < 4(n+1) + 1\), et \(\sqrt{\cdot}\) est strictement croissante, donc \(\sqrt{4n+1} < \sqrt{4(n+1)+1}\), c'est-à-dire \(u_n < u_{n+1}\) : la suite est strictement croissante.
Pour une équation quelconque, aucune formule ne donne la solution, et l'existence et l'unicité de \(u_n\) sont la première chose à démontrer.
Piège : une suite n'est pas son terme général
Le nombre \(u_n\) et la suite \((u_n)\) sont deux objets différents. Le nombre \(u_n\) est un terme, la valeur de l'application \(u\) en \(n\) ; la suite \((u_n)\) est l'application entière. On dit « la suite \((u_n)\) est croissante », jamais « \(u_n\) est croissant », ce qui parlerait d'un seul nombre. Pour une suite explicite, la formule qui donne \(u_n\) en fonction de \(n\) est son terme général.
L'ensemble des valeurs \(\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}\) est un troisième objet, qui oublie l'ordre et les répétitions. Les suites \(\big( (-1)^n \big)\) et \(\big( (-1)^{n+1} \big)\) prennent les deux mêmes valeurs \(-1\) et \(1\), mais elles diffèrent à chaque indice, donc ce sont deux suites différentes.
L'ensemble des valeurs \(\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}\) est un troisième objet, qui oublie l'ordre et les répétitions. Les suites \(\big( (-1)^n \big)\) et \(\big( (-1)^{n+1} \big)\) prennent les deux mêmes valeurs \(-1\) et \(1\), mais elles diffèrent à chaque indice, donc ce sont deux suites différentes.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître le mode de définition d'une suite ★
- Calculer des termes d'une suite ★
I.2
Suites bornées
Borné par des constantes
Une suite est bornée lorsque ses termes restent entre deux nombres, et les bornes sont des constantes : des nombres qui ne dépendent pas de l'indice. La définition place le quantificateur existentiel avant le quantificateur universel — il existe un nombre \(M\) tel que tout terme soit au plus égal à \(M\) — et cet ordre est tout le contenu de la notion. La valeur absolue donne une seule inégalité, \(\lvert u_n \rvert \le K\), qui est la forme employée dans les démonstrations.
Définition — Suite bornée
Soit \((u_n)\) une suite réelle. - \((u_n)\) est majorée si \(\exists M \in \mathbb{R}, \ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_n \le M\). Un tel \(M\) est un majorant de la suite.
- \((u_n)\) est minorée si \(\exists m \in \mathbb{R}, \ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_n \ge m\). Un tel \(m\) est un minorant de la suite.
- \((u_n)\) est bornée si elle est majorée et minorée.
Proposition — Bornée si et seulement si \(\lvert u_n \rvert\) majorée
Une suite \((u_n)\) est bornée si et seulement si la suite \((\lvert u_n \rvert)\) est majorée, c'est-à-dire si et seulement si \(\exists K \ge 0, \ \forall n \in \mathbb{N}, \ \lvert u_n \rvert \le K\).
On démontre les deux implications.
- (\(\Rightarrow\)) Supposons que \(m \le u_n \le M\) pour tout \(n\), et posons \(K = \max\big( \lvert m \rvert, \lvert M \rvert \big) \ge 0\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} -K &\le -\lvert m \rvert && \text{(\(\lvert m \rvert \le K\))} \\ &\le m && \text{(\(-\lvert m \rvert \le m\))} \\ &\le u_n && \text{(\(m\) est un minorant)} \\ &\le M && \text{(\(M\) est un majorant)} \\ &\le \lvert M \rvert && \text{(\(M \le \lvert M \rvert\))} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\lvert M \rvert \le K\). Comme \(\lvert x \rvert \le K \iff -K \le x \le K\), cela donne \(\lvert u_n \rvert \le K\) pour tout \(n\).
- (\(\Leftarrow\)) Supposons que \(\lvert u_n \rvert \le K\) pour tout \(n\). Comme \(\lvert x \rvert \le K \iff -K \le x \le K\), chaque terme vérifie \(-K \le u_n \le K\) : la suite est minorée par \(-K\) et majorée par \(K\).
Méthode — Décider si une suite est bornée
Pour décider si une suite \((u_n)\) est bornée : - Pour prouver qu'elle est bornée, majorer \(\lvert u_n \rvert\) — ou majorer et minorer \(u_n\) — par des constantes : majorer chaque ingrédient de la formule par un nombre, comme dans \(\lvert \cos n \rvert \le 1\) ou \(0 < \frac{1}{n+1} \le 1\) ; pour une suite définie par récurrence, démontrer par récurrence que chaque terme reste dans un segment fixe \([m, M]\). La Proposition « Bornée si et seulement si \(\lvert u_n \rvert\) majorée » ramène les deux bornes à une seule.
- Pour prouver qu'elle n'est pas majorée, nier la définition : \(\forall M \in \mathbb{R}, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ u_n > M\). Prendre un réel \(M\) quelconque et exhiber un indice \(n\), qui dépend de \(M\), tel que \(u_n > M\) ; la propriété d'Archimède fournit un entier supérieur à tout nombre donné. Pour non minorée, exhiber \(n\) avec \(u_n < m\) pour un \(m\) quelconque.
- Pour prouver qu'elle n'est pas bornée, prouver qu'elle n'est pas majorée, ou qu'elle n'est pas minorée.
Exemple — Une suite encadrée par deux constantes
Montrer que la suite \(u_n = \frac{2n + (-1)^n}{n+1}\) est bornée.
Chaque ingrédient est borné par une constante : \(-1 \le (-1)^n \le 1\).
Majoration. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_n &= \frac{2n + (-1)^n}{n+1} && \text{(définition de la suite)} \\ &\le \frac{2n + 1}{n+1} && \text{(\((-1)^n \le 1\) et \(n + 1 > 0\))} \\ &= 2 - \frac{1}{n+1} && \text{(\(2n + 1 = 2(n+1) - 1\))} \\ &\le 2, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{1}{n+1} > 0\).
Minoration. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_n &= \frac{2n + (-1)^n}{n+1} && \text{(définition de la suite)} \\ &\ge \frac{2n - 1}{n+1} && \text{(\((-1)^n \ge -1\) et \(n + 1 > 0\))} \\ &= 2 - \frac{3}{n+1} && \text{(\(2n - 1 = 2(n+1) - 3\))} \\ &\ge -1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{3}{n+1} \le 3\) pour \(n \ge 0\). Donc \(-1 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\) : la suite est bornée.
Majoration. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_n &= \frac{2n + (-1)^n}{n+1} && \text{(définition de la suite)} \\ &\le \frac{2n + 1}{n+1} && \text{(\((-1)^n \le 1\) et \(n + 1 > 0\))} \\ &= 2 - \frac{1}{n+1} && \text{(\(2n + 1 = 2(n+1) - 1\))} \\ &\le 2, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{1}{n+1} > 0\).
Minoration. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_n &= \frac{2n + (-1)^n}{n+1} && \text{(définition de la suite)} \\ &\ge \frac{2n - 1}{n+1} && \text{(\((-1)^n \ge -1\) et \(n + 1 > 0\))} \\ &= 2 - \frac{3}{n+1} && \text{(\(2n - 1 = 2(n+1) - 3\))} \\ &\ge -1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{3}{n+1} \le 3\) pour \(n \ge 0\). Donc \(-1 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\) : la suite est bornée.
Exemple — Une suite qui n'est pas bornée
Montrer que la suite \(u_n = \frac{n^2 + 1}{n+1}\) n'est pas bornée.
On démontre que \((u_n)\) n'est pas majorée, en niant la définition : pour tout réel \(M\), on exhibe un indice \(n\) tel que \(u_n > M\).
Une minoration de \(u_n\) qui croît avec \(n\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_n &= \frac{n^2 + 1}{n+1} && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{(n+1)(n-1) + 2}{n+1} && \text{(\(n^2 + 1 = (n+1)(n-1) + 2\))} \\ &= n - 1 + \frac{2}{n+1} && \text{(séparation de la fraction)} \\ &\ge n - 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{2}{n+1} > 0\).
L'indice. Soit \(M \in \mathbb{R}\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n \in \mathbb{N}\) avec \(n > M + 1\). Alors \(u_n \ge n - 1 > M\). Donc aucun réel \(M\) n'est un majorant de \((u_n)\) : la suite n'est pas majorée, donc pas bornée.
Une minoration de \(u_n\) qui croît avec \(n\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_n &= \frac{n^2 + 1}{n+1} && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{(n+1)(n-1) + 2}{n+1} && \text{(\(n^2 + 1 = (n+1)(n-1) + 2\))} \\ &= n - 1 + \frac{2}{n+1} && \text{(séparation de la fraction)} \\ &\ge n - 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{2}{n+1} > 0\).
L'indice. Soit \(M \in \mathbb{R}\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n \in \mathbb{N}\) avec \(n > M + 1\). Alors \(u_n \ge n - 1 > M\). Donc aucun réel \(M\) n'est un majorant de \((u_n)\) : la suite n'est pas majorée, donc pas bornée.
Piège : une majoration qui dépend de \(n\) ne prouve rien
Dans la Définition « Suite bornée », la borne \(M\) est choisie avant l'indice : \(\exists M, \ \forall n, \ u_n \le M\). Une borne qui dépend de \(n\) renverse les quantificateurs, \(\forall n, \ \exists M, \ u_n \le M\), ce que toute suite vérifie en prenant \(M = u_n\). Par exemple \(\frac{n^2 + 1}{n+1} \le n\) pour tout \(n \ge 1\), mais \(n\) n'est pas une constante, et la suite n'est pas bornée, comme le montre l'Exemple « Une suite qui n'est pas bornée ». Pour prouver qu'une suite est bornée, la borne doit être un nombre écrit sans \(n\).
Compétences à pratiquer
- Décider si une suite est majorée, minorée ou bornée ★
- Trouver le plus petit majorant entier d'une suite ★
- Démontrer qu'une suite est bornée ou ne l'est pas ★★
I.3
Suites monotones et propriétés à partir d'un certain rang
Variations et rangs
Une suite est monotone lorsque ses termes ne changent jamais de sens : chaque terme est comparé au suivant. Beaucoup de suites ne sont monotones qu'après quelques termes, et un énoncé sur les limites ignore les premiers termes ; la notion de propriété vraie à partir d'un certain rang le dit une fois pour toutes. Ces deux notions sont les outils de tout ce qui suit.
Définition — Suite monotone
Soit \((u_n)\) une suite réelle. - \((u_n)\) est croissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1} \ge u_n\), et strictement croissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1} > u_n\).
- \((u_n)\) est décroissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1} \le u_n\), et strictement décroissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1} < u_n\).
- \((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante, et strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Définition — À partir d'un certain rang
Une propriété \(P(n)\) est vraie à partir d'un certain rang si \(\exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ P(n)\). Le vocabulaire s'applique : « \((u_n)\) croissante à partir d'un certain rang » signifie \(\exists N, \ \forall n \ge N, \ u_{n+1} \ge u_n\). De même pour bornée, monotone, etc. Exemple — Une suite bornée non monotone
La suite \(u_n = (-1)^n\) est bornée, puisque \(\lvert u_n \rvert = 1\) pour tout \(n\), mais elle n'est pas monotone, et pas même monotone à partir d'un certain rang. Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= (-1)^{n+1} - (-1)^n && \text{(définition de la suite)} \\
&= (-1)^n \big( (-1) - 1 \big) && \text{(factorisation de \((-1)^n\))} \\
&= 2 (-1)^{n+1}, \end{aligned} $$ qui vaut \(2\) quand \(n\) est impair et \(-2\) quand \(n\) est pair. Soit \(N \in \mathbb{N}\). Parmi les indices \(n \ge N\) il y en a un impair, avec \(u_{n+1} > u_n\), donc \((u_n)\) n'est pas décroissante à partir du rang \(N\) ; et un pair, avec \(u_{n+1} < u_n\), donc elle n'est pas croissante à partir du rang \(N\). La suite n'est monotone à partir d'aucun rang. Proposition — Monotonie par la différence, par le quotient
Soit \((u_n)\) une suite réelle. - Deux termes quelconques : \((u_n)\) est croissante si et seulement si \(u_n \le u_m\) dès que \(n \le m\), et strictement croissante si et seulement si \(u_n < u_m\) dès que \(n < m\). Il en va de même pour les suites décroissantes et strictement décroissantes, avec les inégalités renversées.
- La différence : \((u_n)\) est croissante si et seulement si \(u_{n+1} - u_n \ge 0\) pour tout \(n\), et strictement croissante si et seulement si \(u_{n+1} - u_n > 0\) pour tout \(n\) ; elle est décroissante si et seulement si \(u_{n+1} - u_n \le 0\) pour tout \(n\), et strictement décroissante si et seulement si \(u_{n+1} - u_n < 0\) pour tout \(n\).
- Le quotient : si \(u_n > 0\) pour tout \(n\), alors \((u_n)\) est croissante si et seulement si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1\) pour tout \(n\), et strictement croissante si et seulement si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1\) pour tout \(n\) ; elle est décroissante si et seulement si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1\) pour tout \(n\), et strictement décroissante si et seulement si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1\) pour tout \(n\).
Deux termes quelconques. On traite le cas croissant ; les autres sont identiques.
La différence. Pour tout \(n\), ajouter \(-u_n\) aux deux membres d'une inégalité la conserve, donc $$ \begin{aligned} u_{n+1} \ge u_n &\iff u_{n+1} - u_n \ge 0 && \text{(ajout de \(-u_n\))} \\ &\iff \text{\(u_{n+1} - u_n\) est positif ou nul.} \end{aligned} $$ Ainsi « \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\) » et « \(u_{n+1} - u_n \ge 0\) pour tout \(n\) » sont le même énoncé. Les trois autres cas sont identiques avec \(>\), \(\le\) et \(<\).
Le quotient. Soit \(u_n > 0\) pour tout \(n\). Multiplier les deux membres d'une inégalité par le nombre strictement positif \(u_n\) la conserve et la reflète, donc pour tout \(n\) $$ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 &\iff u_{n+1} \ge u_n && \text{(multiplication par \(u_n > 0\))} \\ &\iff \text{\(u_{n+1} \ge u_n\) est vraie.} \end{aligned} $$ Les trois autres cas sont identiques avec \(>\), \(\le\) et \(<\).
- (\(\Leftarrow\)) Si \(u_n \le u_m\) dès que \(n \le m\), prendre \(m = n + 1\) : \(u_n \le u_{n+1}\) pour tout \(n\).
- (\(\Rightarrow\)) Supposons que \(u_{k+1} \ge u_k\) pour tout \(k\), et soient \(n \le m\). Par une somme télescopique, $$ \begin{aligned} u_m - u_n &= \sum_{k=n}^{m-1} (u_{k+1} - u_k) && \text{(somme télescopique, vide si \(m = n\))} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que chaque terme de la somme est positif ou nul. Donc \(u_n \le u_m\). Si \((u_k)\) est strictement croissante et \(n < m\), la somme a au moins un terme et tous ses termes sont strictement positifs, donc \(u_m - u_n > 0\).
La différence. Pour tout \(n\), ajouter \(-u_n\) aux deux membres d'une inégalité la conserve, donc $$ \begin{aligned} u_{n+1} \ge u_n &\iff u_{n+1} - u_n \ge 0 && \text{(ajout de \(-u_n\))} \\ &\iff \text{\(u_{n+1} - u_n\) est positif ou nul.} \end{aligned} $$ Ainsi « \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\) » et « \(u_{n+1} - u_n \ge 0\) pour tout \(n\) » sont le même énoncé. Les trois autres cas sont identiques avec \(>\), \(\le\) et \(<\).
Le quotient. Soit \(u_n > 0\) pour tout \(n\). Multiplier les deux membres d'une inégalité par le nombre strictement positif \(u_n\) la conserve et la reflète, donc pour tout \(n\) $$ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 &\iff u_{n+1} \ge u_n && \text{(multiplication par \(u_n > 0\))} \\ &\iff \text{\(u_{n+1} \ge u_n\) est vraie.} \end{aligned} $$ Les trois autres cas sont identiques avec \(>\), \(\le\) et \(<\).
Proposition — Une suite \(u_n \equal f(n)\) hérite de la monotonie de \(f\)
Soient \(n_0 \in \mathbb{N}\), \(f\) une fonction réelle définie sur \([n_0, +\infty[\), et \(u_n = f(n)\) pour tout entier \(n \ge n_0\). Si \(f\) est croissante sur \([n_0, +\infty[\), alors \((u_n)_{n \ge n_0}\) est croissante ; il en va de même pour strictement croissante, décroissante et strictement décroissante, au sens du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire.La réciproque est fausse : la fonction \(f \colon x \mapsto x - \lfloor x \rfloor\) n'est monotone sur aucun intervalle \([n_0, +\infty[\), et pourtant \(u_n = f(n) = 0\) est constante. L'énoncé ne s'applique pas à une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) : pour \(f \colon x \mapsto \frac{x}{2}\), qui est croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(u_0 = 1\), la suite \(u_n = \frac{1}{2^n}\) est décroissante.
On traite le cas croissant. Soit \(n \ge n_0\). Les entiers \(n\) et \(n + 1\) appartiennent tous deux à \([n_0, +\infty[\) et \(n \le n + 1\). Comme \(f\) est croissante, \(f(n) \le f(n+1)\), c'est-à-dire \(u_n \le u_{n+1}\). Cela vaut pour tout \(n \ge n_0\) : la suite est croissante. Pour strictement croissante, utiliser \(n < n + 1\) et \(f(n) < f(n+1)\) ; pour les cas décroissants, renverser les inégalités entre valeurs.
La réciproque. Pour \(f \colon x \mapsto x - \lfloor x \rfloor\) et tout réel \(x\) de \([n_0, +\infty[\), on a \(\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1\), donc \(0 \le f(x) < 1\). Prenons un entier \(k \ge n_0\) : \(f(k) = 0\), \(f(k + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\) et \(f(k + 1) = 0\). Comme \(k < k + \frac{1}{2}\) avec \(f(k) < f(k + \frac{1}{2})\), la fonction n'est pas décroissante sur \([n_0, +\infty[\) ; comme \(k + \frac{1}{2} < k + 1\) avec \(f(k + \frac{1}{2}) > f(k + 1)\), elle n'est pas croissante. Pourtant \(u_n = f(n) = n - \lfloor n \rfloor = 0\) pour tout entier \(n\).
Le cas récurrent. Avec \(f(x) = \frac{x}{2}\), \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2}\), la suite est \(u_n = \frac{1}{2^n}\), qui est strictement décroissante, alors que \(f\) est croissante : \(x \le y\) donne \(\frac{x}{2} \le \frac{y}{2}\).
La réciproque. Pour \(f \colon x \mapsto x - \lfloor x \rfloor\) et tout réel \(x\) de \([n_0, +\infty[\), on a \(\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1\), donc \(0 \le f(x) < 1\). Prenons un entier \(k \ge n_0\) : \(f(k) = 0\), \(f(k + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\) et \(f(k + 1) = 0\). Comme \(k < k + \frac{1}{2}\) avec \(f(k) < f(k + \frac{1}{2})\), la fonction n'est pas décroissante sur \([n_0, +\infty[\) ; comme \(k + \frac{1}{2} < k + 1\) avec \(f(k + \frac{1}{2}) > f(k + 1)\), elle n'est pas croissante. Pourtant \(u_n = f(n) = n - \lfloor n \rfloor = 0\) pour tout entier \(n\).
Le cas récurrent. Avec \(f(x) = \frac{x}{2}\), \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2}\), la suite est \(u_n = \frac{1}{2^n}\), qui est strictement décroissante, alors que \(f\) est croissante : \(x \le y\) donne \(\frac{x}{2} \le \frac{y}{2}\).
Proposition — Propriétés vraies à partir d'un certain rang
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites réelles. - Un nombre fini de propriétés : si les propriétés \(P_1, \dots, P_k\) sont vraies à partir des rangs \(N_1, \dots, N_k\) respectivement, elles sont toutes vraies à partir du rang \(\max(N_1, \dots, N_k)\).
- Bornée à partir d'un certain rang : une suite bornée à partir d'un certain rang est bornée.
- Égales à partir d'un certain rang : si \(u_n = v_n\) pour tout \(n \ge N\), alors \((u_n)\) est croissante à partir d'un certain rang si et seulement si \((v_n)\) l'est, et \((u_n)\) est décroissante à partir d'un certain rang si et seulement si \((v_n)\) l'est.
Un nombre fini de propriétés. Posons \(N = \max(N_1, \dots, N_k)\) et soit \(n \ge N\). Pour chaque \(i\), \(n \ge N \ge N_i\), donc \(P_i\) est vraie en \(n\).
Bornée à partir d'un certain rang. Supposons que \(\lvert u_n \rvert \le K\) pour tout \(n \ge N\). L'ensemble \(\{\lvert u_0 \rvert, \dots, \lvert u_{N-1} \rvert, K\}\) est fini et non vide, donc il a un plus grand élément \(K'\). Pour \(n < N\), \(\lvert u_n \rvert \le K'\) parce que \(\lvert u_n \rvert\) appartient à l'ensemble ; pour \(n \ge N\), \(\lvert u_n \rvert \le K \le K'\). Donc \(\lvert u_n \rvert \le K'\) pour tout \(n\), et la suite est bornée par la Proposition « Bornée si et seulement si \(\lvert u_n \rvert\) majorée ».
Égales à partir d'un certain rang. Supposons que \(u_n = v_n\) pour tout \(n \ge N\) et que \((u_n)\) soit croissante à partir du rang \(N'\). Posons \(M = \max(N, N')\) et soit \(n \ge M\). Alors $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1} && \text{(\(n + 1 \ge N\))} \\ &\ge u_n && \text{(\((u_n)\) est croissante à partir du rang \(N'\))} \\ &= v_n, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(n \ge N\). Donc \((v_n)\) est croissante à partir du rang \(M\). Échanger les rôles de \((u_n)\) et de \((v_n)\) donne la réciproque, et renverser les inégalités donne le cas décroissant.
Bornée à partir d'un certain rang. Supposons que \(\lvert u_n \rvert \le K\) pour tout \(n \ge N\). L'ensemble \(\{\lvert u_0 \rvert, \dots, \lvert u_{N-1} \rvert, K\}\) est fini et non vide, donc il a un plus grand élément \(K'\). Pour \(n < N\), \(\lvert u_n \rvert \le K'\) parce que \(\lvert u_n \rvert\) appartient à l'ensemble ; pour \(n \ge N\), \(\lvert u_n \rvert \le K \le K'\). Donc \(\lvert u_n \rvert \le K'\) pour tout \(n\), et la suite est bornée par la Proposition « Bornée si et seulement si \(\lvert u_n \rvert\) majorée ».
Égales à partir d'un certain rang. Supposons que \(u_n = v_n\) pour tout \(n \ge N\) et que \((u_n)\) soit croissante à partir du rang \(N'\). Posons \(M = \max(N, N')\) et soit \(n \ge M\). Alors $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1} && \text{(\(n + 1 \ge N\))} \\ &\ge u_n && \text{(\((u_n)\) est croissante à partir du rang \(N'\))} \\ &= v_n, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(n \ge N\). Donc \((v_n)\) est croissante à partir du rang \(M\). Échanger les rôles de \((u_n)\) et de \((v_n)\) donne la réciproque, et renverser les inégalités donne le cas décroissant.
Méthode — Étudier la monotonie d'une suite
Pour étudier la monotonie d'une suite réelle \((u_n)\) : - Calculer la différence \(u_{n+1} - u_n\) et trouver son signe en simplifiant et en factorisant : un dénominateur commun pour des fractions, une quantité conjuguée pour des différences de racines carrées. C'est l'outil par défaut.
- Comparer le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) lorsque les termes sont strictement positifs et que la formule est un produit ou une puissance, comme avec des factorielles ou \(a^n\).
- Utiliser la fonction : si \(u_n = f(n)\) avec \(f\) de monotonie connue, la Proposition « Une suite \(u_n = f(n)\) hérite de la monotonie de \(f\) » conclut aussitôt ; une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) est une autre affaire.
- Réfuter avec des témoins : pour prouver qu'une suite n'est pas croissante, exhiber un \(n\) avec \(u_{n+1} < u_n\) ; pas décroissante, un \(n\) avec \(u_{n+1} > u_n\) ; pas monotone, les deux.
- Chercher un rang : si le signe de \(u_{n+1} - u_n\) n'est constant que pour \(n \ge N\), la suite est monotone à partir du rang \(N\) ; résoudre \(u_{n+1} - u_n \ge 0\) en \(n\) pour trouver \(N\).
Exemple — Monotone à partir d'un rang, pas dès le début
Étudier la monotonie de la suite \(u_n = n^2 - 6n\).
La différence. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= (n+1)^2 - 6(n+1) - \left( n^2 - 6n \right) && \text{(définition de la suite)} \\
&= n^2 + 2n + 1 - 6n - 6 - n^2 + 6n && \text{(développement)} \\
&= 2n - 5. \end{aligned} $$ À partir du rang \(3\). Pour \(n \ge 3\), \(2n - 5 \ge 1 > 0\), donc \(u_{n+1} > u_n\) : la suite est strictement croissante à partir du rang \(3\).
Avant le rang \(3\). Les termes sont \(u_0 = 0\), \(u_1 = -5\), \(u_2 = -8\), \(u_3 = -9\), \(u_4 = -8\). Comme \(u_1 < u_0\), la suite n'est pas croissante ; comme \(u_4 > u_3\), elle n'est pas décroissante. Elle n'est donc pas monotone sur \(\mathbb{N}\), mais elle est strictement croissante à partir du rang \(3\).
Avant le rang \(3\). Les termes sont \(u_0 = 0\), \(u_1 = -5\), \(u_2 = -8\), \(u_3 = -9\), \(u_4 = -8\). Comme \(u_1 < u_0\), la suite n'est pas croissante ; comme \(u_4 > u_3\), elle n'est pas décroissante. Elle n'est donc pas monotone sur \(\mathbb{N}\), mais elle est strictement croissante à partir du rang \(3\).
Exemple — Une suite monotone et une suite oscillante
Deux suites bornées se comportent différemment : \(u_n = 1 - \frac{1}{n+1}\) est croissante, et \(v_n = \frac{(-1)^n}{n+1}\) change de signe à chaque indice. 
Compétences à pratiquer
- Lire la monotonie d'une suite ★
- Étudier la monotonie d'une suite par la différence ★
- Étudier la monotonie d'une suite par le quotient ★★
- Utiliser des propriétés vraies à partir d'un certain rang ★★
II
Suites usuelles : formes closes
Formes closes
Quatre familles de suites ont une forme close : les suites arithmétiques et géométriques, déjà connues, les suites arithmético-géométriques, qui les combinent, et les récurrences linéaires d'ordre deux. Une forme close donne \(u_n\) comme une formule en \(n\), de sorte que n'importe quel terme se calcule directement et que les propriétés de la suite se lisent sur la formule. Les démonstrations des formes closes n'emploient que la récurrence et l'algèbre : aucune limite n'est nécessaire, et le comportement de ces suites pour \(n\) grand est une question pour la limite.
II.1
Suites arithmétiques et géométriques
Une différence constante, un quotient constant
Dans une suite arithmétique, chaque terme s'obtient à partir du précédent en ajoutant le même nombre ; dans une suite géométrique, en multipliant par le même nombre. Le terme général et la somme de chacune sont connus ; ici ils sont démontrés, et une Méthode montre comment reconnaître l'une de ces suites, éventuellement après un changement de suite.
Définition — Suite arithmétique
Une suite réelle \((u_n)\) est arithmétique s'il existe un réel \(r\), sa raison, tel que \(u_{n+1} = u_n + r\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Définition — Suite géométrique
Une suite réelle \((u_n)\) est géométrique s'il existe un réel \(q\), sa raison, tel que \(u_{n+1} = q \, u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Proposition — Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique
Soient \((u_n)\) une suite réelle et \(p \in \mathbb{N}\). - Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\), alors \(u_n = u_0 + nr\) pour tout \(n\), et \(u_n = u_p + (n - p) r\) pour tout \(n \ge p\).
- Si \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\), alors \(u_n = u_0 q^n\) pour tout \(n\), et \(u_n = u_p q^{n - p}\) pour tout \(n \ge p\).
Suites arithmétiques. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Par une somme télescopique, $$ \begin{aligned} u_n - u_0 &= \sum_{k=0}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) && \text{(somme télescopique)} \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} r && \text{(définition d'une suite arithmétique)} \\
&= nr, \end{aligned} $$ donc \(u_n = u_0 + nr\).
Suites géométriques. Supposons d'abord \(q \ne 0\), et posons \(w_k = \frac{u_k}{q^k}\). Pour tout \(k\), $$ \begin{aligned} w_{k+1} - w_k &= \frac{u_{k+1}}{q^{k+1}} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(définition de \(w\))} \\ &= \frac{q \, u_k}{q^{k+1}} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(définition d'une suite géométrique)} \\ &= \frac{u_k}{q^k} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(simplification par \(q \ne 0\))} \\ &= 0. \end{aligned} $$ Par une somme télescopique, \(w_n - w_0 = \sum_{k=0}^{n-1} (w_{k+1} - w_k) = 0\), c'est-à-dire \(\frac{u_n}{q^n} = u_0\) et \(u_n = u_0 q^n\). Si \(q = 0\), alors \(u_n = 0 \cdot u_{n-1} = 0 = u_0 q^n\) pour tout \(n \ge 1\), et \(u_0 = u_0 q^0\).
À partir du rang \(p\). La suite \(v_k = u_{p+k}\) est arithmétique de raison \(r\), respectivement géométrique de raison \(q\), puisque \(v_{k+1} = u_{p+k+1}\) s'obtient à partir de \(u_{p+k} = v_k\) par la même règle. La première partie appliquée à \((v_k)\) avec \(k = n - p\) donne \(u_n = v_{n-p} = u_p + (n-p) r\), respectivement \(u_n = u_p q^{n-p}\).
Seconde démonstration, par récurrence. Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n = u_0 + nr\) ». L'initialisation \(P_0\) est \(u_0 = u_0\). Soit \(n \in \mathbb{N}\) et supposons \(P_n\). Alors \(u_{n+1} = u_n + r = (u_0 + nr) + r = u_0 + (n+1) r\), par hypothèse de récurrence : c'est \(P_{n+1}\). Par récurrence, \(P_n\) est vraie pour tout \(n\). Pour une suite géométrique, avec \(P_n\) la propriété « \(u_n = u_0 q^n \) », \(u_{n+1} = q \, u_n = q \, u_0 q^n = u_0 q^{n+1}\) de la même façon.
Suites géométriques. Supposons d'abord \(q \ne 0\), et posons \(w_k = \frac{u_k}{q^k}\). Pour tout \(k\), $$ \begin{aligned} w_{k+1} - w_k &= \frac{u_{k+1}}{q^{k+1}} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(définition de \(w\))} \\ &= \frac{q \, u_k}{q^{k+1}} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(définition d'une suite géométrique)} \\ &= \frac{u_k}{q^k} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(simplification par \(q \ne 0\))} \\ &= 0. \end{aligned} $$ Par une somme télescopique, \(w_n - w_0 = \sum_{k=0}^{n-1} (w_{k+1} - w_k) = 0\), c'est-à-dire \(\frac{u_n}{q^n} = u_0\) et \(u_n = u_0 q^n\). Si \(q = 0\), alors \(u_n = 0 \cdot u_{n-1} = 0 = u_0 q^n\) pour tout \(n \ge 1\), et \(u_0 = u_0 q^0\).
À partir du rang \(p\). La suite \(v_k = u_{p+k}\) est arithmétique de raison \(r\), respectivement géométrique de raison \(q\), puisque \(v_{k+1} = u_{p+k+1}\) s'obtient à partir de \(u_{p+k} = v_k\) par la même règle. La première partie appliquée à \((v_k)\) avec \(k = n - p\) donne \(u_n = v_{n-p} = u_p + (n-p) r\), respectivement \(u_n = u_p q^{n-p}\).
Seconde démonstration, par récurrence. Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n = u_0 + nr\) ». L'initialisation \(P_0\) est \(u_0 = u_0\). Soit \(n \in \mathbb{N}\) et supposons \(P_n\). Alors \(u_{n+1} = u_n + r = (u_0 + nr) + r = u_0 + (n+1) r\), par hypothèse de récurrence : c'est \(P_{n+1}\). Par récurrence, \(P_n\) est vraie pour tout \(n\). Pour une suite géométrique, avec \(P_n\) la propriété « \(u_n = u_0 q^n \) », \(u_{n+1} = q \, u_n = q \, u_0 q^n = u_0 q^{n+1}\) de la même façon.
Proposition — Sommes de termes consécutifs
Soit \(n \in \mathbb{N}\). - Si \((u_k)\) est arithmétique, \(\sum_{k=0}^{n} u_k = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\) : le nombre de termes fois la moyenne du premier et du dernier.
- Pour \(q \ne 1\), \(\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\), et pour \(q = 1\) la somme vaut \(n + 1\). Donc une suite géométrique de raison \(q \ne 1\) vérifie \(\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \, \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
La somme arithmétique. Posons \(S = \sum_{k=0}^{n} u_k\). L'application \(k \mapsto n - k\) est une bijection de \(\{0, \dots, n\}\) sur lui-même, donc \(S = \sum_{k=0}^{n} u_{n-k}\). En additionnant les deux expressions de \(S\), $$ \begin{aligned} 2S &= \sum_{k=0}^{n} (u_k + u_{n-k}) && \text{(addition des deux expressions de \(S\))} \\
&= \sum_{k=0}^{n} \Big( \big( u_0 + kr \big) + \big( u_0 + (n-k) r \big) \Big) && \text{(forme close)} \\
&= \sum_{k=0}^{n} (2u_0 + nr) && \text{(les termes en \(k\) s'annulent)} \\
&= (n+1)(2u_0 + nr) && \text{(une somme de \(n+1\) termes égaux)} \\
&= (n+1)(u_0 + u_n), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n = u_0 + nr\), de sorte que \(2u_0 + nr = u_0 + u_n\). Diviser par \(2\) donne la formule.
La somme géométrique. Pour \(q = 1\) la somme est faite de \(n+1\) termes égaux à \(1\). Pour \(q \ne 1\), $$ \begin{aligned} (1 - q) \sum_{k=0}^{n} q^k &= \sum_{k=0}^{n} \left( q^k - q^{k+1} \right) && \text{(distribution de \(1 - q\))} \\ &= q^0 - q^{n+1} && \text{(somme télescopique)} \\ &= 1 - q^{n+1}, \end{aligned} $$ et diviser par \(1 - q \ne 0\) donne la formule. Pour une suite géométrique, \(u_k = u_0 q^k\) par la forme close, et \(u_0\) se met en facteur.
Seconde démonstration, par récurrence. Pour la somme arithmétique, notons \(P_n\) la propriété « \(\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r \) », qui est la formule parce que \(\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \frac{(n+1)(2u_0 + nr)}{2} = (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r\). L'initialisation \(P_0\) est \(u_0 = u_0\). Si \(P_n\) est vraie, $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} u_k &= \sum_{k=0}^{n} u_k + u_{n+1} && \text{(séparation du dernier terme)} \\ &= (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r + u_0 + (n+1) r && \text{(hypothèse de récurrence et forme close)} \\ &= (n+2) u_0 + \frac{(n+1)(n+2)}{2} r, \end{aligned} $$ ce qui est \(P_{n+1}\). Pour la somme géométrique, notons \(P_n\) la propriété « \(\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) » pour \(q \ne 1\). L'initialisation est \(1 = \frac{1 - q}{1 - q}\). Si \(P_n\) est vraie, $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} q^k &= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} + q^{n+1} && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= \frac{1 - q^{n+1} + q^{n+1} - q^{n+2}}{1 - q} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{1 - q^{n+2}}{1 - q}, \end{aligned} $$ ce qui est \(P_{n+1}\).
La somme géométrique. Pour \(q = 1\) la somme est faite de \(n+1\) termes égaux à \(1\). Pour \(q \ne 1\), $$ \begin{aligned} (1 - q) \sum_{k=0}^{n} q^k &= \sum_{k=0}^{n} \left( q^k - q^{k+1} \right) && \text{(distribution de \(1 - q\))} \\ &= q^0 - q^{n+1} && \text{(somme télescopique)} \\ &= 1 - q^{n+1}, \end{aligned} $$ et diviser par \(1 - q \ne 0\) donne la formule. Pour une suite géométrique, \(u_k = u_0 q^k\) par la forme close, et \(u_0\) se met en facteur.
Seconde démonstration, par récurrence. Pour la somme arithmétique, notons \(P_n\) la propriété « \(\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r \) », qui est la formule parce que \(\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \frac{(n+1)(2u_0 + nr)}{2} = (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r\). L'initialisation \(P_0\) est \(u_0 = u_0\). Si \(P_n\) est vraie, $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} u_k &= \sum_{k=0}^{n} u_k + u_{n+1} && \text{(séparation du dernier terme)} \\ &= (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r + u_0 + (n+1) r && \text{(hypothèse de récurrence et forme close)} \\ &= (n+2) u_0 + \frac{(n+1)(n+2)}{2} r, \end{aligned} $$ ce qui est \(P_{n+1}\). Pour la somme géométrique, notons \(P_n\) la propriété « \(\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) » pour \(q \ne 1\). L'initialisation est \(1 = \frac{1 - q}{1 - q}\). Si \(P_n\) est vraie, $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} q^k &= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} + q^{n+1} && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= \frac{1 - q^{n+1} + q^{n+1} - q^{n+2}}{1 - q} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{1 - q^{n+2}}{1 - q}, \end{aligned} $$ ce qui est \(P_{n+1}\).
Méthode — Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
Pour reconnaître une suite arithmétique ou géométrique \((u_n)\) : - Calculer la différence \(u_{n+1} - u_n\) : si c'est un nombre \(r\) qui ne dépend pas de \(n\), la suite est arithmétique de raison \(r\).
- Calculer le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), lorsqu'aucun terme n'est nul : si c'est un nombre \(q\) qui ne dépend pas de \(n\), la suite est géométrique de raison \(q\). Quand la récurrence est donnée sous la forme \(u_{n+1} = q \, u_n\), il n'y a rien à calculer.
- Changer de suite lorsque la récurrence n'est ni l'une ni l'autre : chercher une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique, comme \(v_n = \frac{1}{u_n}\) ou \(v_n = u_n - \ell\). La forme close de \((v_n)\) donne celle de \((u_n)\).
- Réfuter avec trois termes : si \(u_1 - u_0 \ne u_2 - u_1\), la suite n'est pas arithmétique ; si \(u_1^2 \ne u_0 u_2\), elle n'est pas géométrique.
Exemple — Un changement de suite
Soient \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + 2u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(u_n > 0\) pour tout \(n\), et donner la forme close de \(u_n\) avec la suite auxiliaire \(v_n = \frac{1}{u_n}\).
Positivité. Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n > 0\) ». L'initialisation \(P_0\) est vraie puisque \(u_0 = 1 > 0\). Soit \(n \in \mathbb{N}\) et supposons \(P_n\). Alors \(1 + 2u_n > 0\), et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + 2u_n}\) est un quotient de deux nombres strictement positifs : \(P_{n+1}\) est vraie. Par récurrence, \(u_n > 0\) pour tout \(n\), donc \(v_n = \frac{1}{u_n}\) est défini.
La suite auxiliaire. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= \frac{1}{u_{n+1}} && \text{(définition de \(v\))} \\ &= \frac{1 + 2u_n}{u_n} && \text{(définition de \(u_{n+1}\))} \\ &= \frac{1}{u_n} + 2 && \text{(séparation de la fraction)} \\ &= v_n + 2. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\), avec \(v_0 = \frac{1}{u_0} = 1\). Par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique », \(v_n = 1 + 2n\), d'où \(u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + 1}\). Vérification : \(u_1 = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}\) par la récurrence, et \(\frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}\) par la formule.
La suite auxiliaire. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= \frac{1}{u_{n+1}} && \text{(définition de \(v\))} \\ &= \frac{1 + 2u_n}{u_n} && \text{(définition de \(u_{n+1}\))} \\ &= \frac{1}{u_n} + 2 && \text{(séparation de la fraction)} \\ &= v_n + 2. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\), avec \(v_0 = \frac{1}{u_0} = 1\). Par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique », \(v_n = 1 + 2n\), d'où \(u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + 1}\). Vérification : \(u_1 = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}\) par la récurrence, et \(\frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}\) par la formule.
Exemple — Une somme de termes consécutifs
Calculer \(S = \sum_{k=10}^{30} (3k - 4)\) et \(T = \sum_{k=2}^{7} 3 \cdot 2^k\).
La somme \(S\). La suite \(u_k = 3k - 4\) est arithmétique de raison \(3\), puisque \(u_{k+1} - u_k = 3\). La somme \(S\) a \(30 - 10 + 1 = 21\) termes, de \(u_{10} = 26\) à \(u_{30} = 86\) ; c'est la somme des \(21\) premiers termes de la suite arithmétique \((u_{10+j})_j\). $$ \begin{aligned} S &= \sum_{j=0}^{20} u_{10+j} && \text{(changement d'indice \(k = 10 + j\))} \\
&= \frac{21 \, (u_{10} + u_{30})}{2} && \text{(somme d'une suite arithmétique)} \\
&= \frac{21 \times 112}{2} && \text{(\(u_{10} + u_{30} = 26 + 86 = 112\))} \\
&= 1176. \end{aligned} $$ La somme \(T\). La suite \(v_k = 3 \cdot 2^k\) est géométrique de raison \(2\). La somme \(T\) a \(6\) termes, à partir de \(v_2 = 12\) ; c'est la somme des \(6\) premiers termes de la suite géométrique \((v_{2+j})_j\), avec \(v_{2+j} = 12 \cdot 2^j\). $$ \begin{aligned} T &= \sum_{j=0}^{5} v_{2+j} && \text{(changement d'indice \(k = 2 + j\))} \\
&= 12 \sum_{j=0}^{5} 2^j && \text{(\(v_{2+j} = 12 \cdot 2^j\))} \\
&= 12 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} && \text{(somme géométrique, \(q = 2 \ne 1\))} \\
&= 12 \times 63 && \text{(\(\frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 63\))} \\
&= 756. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer un terme d'une suite arithmétique ou géométrique ★
- Calculer une somme de termes consécutifs ★
- Se ramener à une suite arithmétique ou géométrique ★★
II.2
Suites arithmético-géométriques
Une récurrence affine
Une suite définie par \(u_{n+1} = a u_n + b\) mélange les familles arithmétique et géométrique : multiplier par \(a\) est géométrique, ajouter \(b\) est arithmétique, et aucune des deux ne décrit seule la suite. Un changement de suite la ramène à une suite géométrique : retrancher le nombre que la récurrence laisse inchangé.
Définition — Suite arithmético-géométrique
Une suite réelle \((u_n)\) est arithmético-géométrique s'il existe \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(u_{n+1} = a u_n + b\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Un réel \(\ell\) tel que \(\ell = a \ell + b\) est un nombre que l'application \(x \mapsto ax + b\) laisse inchangé. Proposition — Réduction à une suite géométrique
Soit \((u_n)\) arithmético-géométrique : \(u_{n+1} = a u_n + b\) pour tout \(n\). - Si \(a = 1\), \((u_n)\) est arithmétique de raison \(b\), et \(u_n = u_0 + nb\).
- Si \(a \ne 1\), l'équation \(\ell = a \ell + b\) a l'unique solution \(\ell = \frac{b}{1 - a}\), la suite \((u_n - \ell)\) est géométrique de raison \(a\), et \(u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Le cas \(a = 1\). Pour tout \(n\), \(u_{n+1} - u_n = b\) : la suite est arithmétique de raison \(b\), et \(u_n = u_0 + nb\) par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique ».
Le cas \(a \ne 1\). L'équation \(\ell = a \ell + b\) équivaut à \((1 - a) \ell = b\), qui a l'unique solution \(\ell = \frac{b}{1 - a}\) puisque \(1 - a \ne 0\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - \ell &= (a u_n + b) - \ell && \text{(définition de la suite)} \\ &= a u_n + (\ell - a \ell) - \ell && \text{(\(b = \ell - a \ell\) puisque \(\ell = a \ell + b\))} \\ &= a (u_n - \ell). \end{aligned} $$ Donc \((u_n - \ell)\) est géométrique de raison \(a\), et par la même Proposition \(u_n - \ell = a^n (u_0 - \ell)\).
Seconde démonstration, par récurrence. Soient \(a \ne 1\) et \(\ell = \frac{b}{1 - a}\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)\) ». L'initialisation \(P_0\) est \(u_0 = \ell + (u_0 - \ell)\). Soit \(n \in \mathbb{N}\) et supposons \(P_n\). $$ \begin{aligned} u_{n+1} &= a u_n + b && \text{(définition de la suite)} \\ &= a \big( \ell + a^n (u_0 - \ell) \big) + b && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= (a \ell + b) + a^{n+1} (u_0 - \ell) && \text{(regroupement)} \\ &= \ell + a^{n+1} (u_0 - \ell), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(a \ell + b = \ell\). C'est \(P_{n+1}\) ; par récurrence, \(P_n\) est vraie pour tout \(n\).
Le cas \(a \ne 1\). L'équation \(\ell = a \ell + b\) équivaut à \((1 - a) \ell = b\), qui a l'unique solution \(\ell = \frac{b}{1 - a}\) puisque \(1 - a \ne 0\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - \ell &= (a u_n + b) - \ell && \text{(définition de la suite)} \\ &= a u_n + (\ell - a \ell) - \ell && \text{(\(b = \ell - a \ell\) puisque \(\ell = a \ell + b\))} \\ &= a (u_n - \ell). \end{aligned} $$ Donc \((u_n - \ell)\) est géométrique de raison \(a\), et par la même Proposition \(u_n - \ell = a^n (u_0 - \ell)\).
Seconde démonstration, par récurrence. Soient \(a \ne 1\) et \(\ell = \frac{b}{1 - a}\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)\) ». L'initialisation \(P_0\) est \(u_0 = \ell + (u_0 - \ell)\). Soit \(n \in \mathbb{N}\) et supposons \(P_n\). $$ \begin{aligned} u_{n+1} &= a u_n + b && \text{(définition de la suite)} \\ &= a \big( \ell + a^n (u_0 - \ell) \big) + b && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= (a \ell + b) + a^{n+1} (u_0 - \ell) && \text{(regroupement)} \\ &= \ell + a^{n+1} (u_0 - \ell), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(a \ell + b = \ell\). C'est \(P_{n+1}\) ; par récurrence, \(P_n\) est vraie pour tout \(n\).
Méthode — Résoudre une récurrence arithmético-géométrique
Pour trouver la forme close de \(u_{n+1} = a u_n + b\), avec \(u_0\) donné : - Regarder \(a\) : si \(a = 1\), la suite est arithmétique et \(u_n = u_0 + nb\).
- Résoudre \(\ell = a \ell + b\) : pour \(a \ne 1\), l'unique solution est \(\ell = \frac{b}{1 - a}\).
- Retrancher \(\ell\) : la suite \(v_n = u_n - \ell\) vérifie \(v_{n+1} = a v_n\) pour tout \(n\) ; elle est géométrique de raison \(a\).
- Conclure et vérifier : \(u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)\) ; tester la formule pour \(n = 0\) et \(n = 1\).
Exemple — Une forme close
Soient \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Donner la forme close de \(u_n\).
La suite est arithmético-géométrique, avec \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = 1\).
Le nombre \(\ell\). Pour un nombre réel \(\ell\), $$ \begin{aligned} \ell = \frac{1}{2} \ell + 1 &\iff \frac{\ell}{2} = 1 && \text{(soustraction de \(\frac{1}{2} \ell\) aux deux membres)} \\ &\iff \ell = 2, \end{aligned} $$ la dernière étape en multipliant les deux membres par \(2\).
La suite auxiliaire. Posons \(v_n = u_n - 2\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1} - 2 && \text{(définition de \(v\))} \\ &= \frac{u_n}{2} + 1 - 2 && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{u_n - 2}{2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{1}{2} \, v_n. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\), avec \(v_0 = u_0 - 2 = -1\), et par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique » \(v_n = -\left( \frac{1}{2} \right)^n\).
La forme close. \(u_n = 2 + v_n = 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^n\). Vérification : \(u_0 = 2 - 1 = 1\), et \(u_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{u_0}{2} + 1\).
Le nombre \(\ell\). Pour un nombre réel \(\ell\), $$ \begin{aligned} \ell = \frac{1}{2} \ell + 1 &\iff \frac{\ell}{2} = 1 && \text{(soustraction de \(\frac{1}{2} \ell\) aux deux membres)} \\ &\iff \ell = 2, \end{aligned} $$ la dernière étape en multipliant les deux membres par \(2\).
La suite auxiliaire. Posons \(v_n = u_n - 2\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1} - 2 && \text{(définition de \(v\))} \\ &= \frac{u_n}{2} + 1 - 2 && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{u_n - 2}{2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{1}{2} \, v_n. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\), avec \(v_0 = u_0 - 2 = -1\), et par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique » \(v_n = -\left( \frac{1}{2} \right)^n\).
La forme close. \(u_n = 2 + v_n = 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^n\). Vérification : \(u_0 = 2 - 1 = 1\), et \(u_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{u_0}{2} + 1\).
Exemple — Les cas \(a \equal 1\) et \(a \equal 0\)
Donner la forme close des suites définies par (a) \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = u_n - 3\) ; (b) \(u_0 = 7\) et \(u_{n+1} = 5\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), c'est-à-dire \(a = 0\) et \(b = 5\).
(a) Ici \(a = 1\) et \(b = -3\) : la suite est arithmétique de raison \(-3\), donc \(u_n = u_0 + nb = 4 - 3n\). L'équation \(\ell = a \ell + b\) s'écrit \(\ell = \ell - 3\) et n'a aucune solution : c'est pourquoi le cas \(a = 1\) se traite à part.
(b) Ici \(a = 0\) et \(b = 5\), donc \(a \ne 1\). L'équation \(\ell = 0 \cdot \ell + 5\) donne \(\ell = 5\), et $$ \begin{aligned} u_n &= \ell + a^n (u_0 - \ell) && \text{(réduction à une suite géométrique)} \\ &= 5 + 0^n (7 - 5) && \text{(valeurs de \(\ell\), de \(a\) et de \(u_0\))} \\ &= 5 + 2 \cdot 0^n. \end{aligned} $$ Avec \(0^0 = 1\), cela donne \(u_0 = 7\), et \(u_n = 5\) pour tout \(n \ge 1\), comme l'exige la récurrence : le premier terme est libre et tous les autres valent \(b\).
(b) Ici \(a = 0\) et \(b = 5\), donc \(a \ne 1\). L'équation \(\ell = 0 \cdot \ell + 5\) donne \(\ell = 5\), et $$ \begin{aligned} u_n &= \ell + a^n (u_0 - \ell) && \text{(réduction à une suite géométrique)} \\ &= 5 + 0^n (7 - 5) && \text{(valeurs de \(\ell\), de \(a\) et de \(u_0\))} \\ &= 5 + 2 \cdot 0^n. \end{aligned} $$ Avec \(0^0 = 1\), cela donne \(u_0 = 7\), et \(u_n = 5\) pour tout \(n \ge 1\), comme l'exige la récurrence : le premier terme est libre et tous les autres valent \(b\).
Compétences à pratiquer
- Trouver le point fixe d'une récurrence affine ★
- Calculer un terme d'une suite arithmético-géométrique ★
- Résoudre une récurrence arithmético-géométrique ★★
- Se ramener à une récurrence arithmético-géométrique ★★★
II.3
Récurrences linéaires d'ordre deux
Deux termes de départ
Une récurrence linéaire d'ordre deux calcule chaque terme à partir des deux précédents, de sorte que deux termes de départ sont nécessaires. La suite de Fibonacci en est le modèle. Sa forme close se trouve en cherchant des solutions de la forme \(r^n\) : le nombre \(r\) doit vérifier une équation du second degré, et le signe de son discriminant donne trois cas — deux racines réelles, une racine double, aucune racine réelle.
Définition — Récurrence linéaire d'ordre deux
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(b \ne 0\). Une suite réelle \((u_n)\) vérifie une récurrence linéaire d'ordre deux à coefficients constants \(a\) et \(b\) si $$ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \qquad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. $$ Une suite réelle qui vérifie cette relation est une solution de la récurrence ; étant donnés \(u_0\) et \(u_1\), la relation définit tous les termes. L'équation caractéristique de la récurrence est \(\textcolor{colordef}{r^2 - a r - b = 0}\), et son discriminant est \(\Delta = a^2 + 4b\). Exemple — Les trois signes du discriminant
La récurrence de Fibonacci \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) a \(a = b = 1\) : son équation caractéristique est \(r^2 - r - 1 = 0\), de discriminant \(\Delta = 1 + 4 = 5 > 0\). La récurrence \(u_{n+2} = 2u_{n+1} - u_n\) a \(a = 2\) et \(b = -1\) : son équation est \(r^2 - 2r + 1 = 0\) et \(\Delta = 4 - 4 = 0\). La récurrence \(u_{n+2} = -u_n\) a \(a = 0\) et \(b = -1\) : son équation est \(r^2 + 1 = 0\) et \(\Delta = 0 - 4 = -4 < 0\). Proposition — Détermination et combinaisons de solutions
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\). - Détermination : deux solutions de \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) qui ont les mêmes deux premiers termes \(u_0\) et \(u_1\) sont égales.
- Combinaisons : si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont des solutions et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), alors \((\lambda u_n + \mu v_n)\) est une solution.
- Toutes les solutions à partir de deux d'entre elles : si \((s_n)\) et \((t_n)\) sont des solutions avec \(s_0 t_1 - s_1 t_0 \ne 0\), alors toute solution \((u_n)\) s'écrit \(\lambda s_n + \mu t_n\) pour exactement un couple \((\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\).
Détermination. Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des solutions avec \(u_0 = v_0\) et \(u_1 = v_1\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P_n\) la propriété « \(u_n = v_n\) et \(u_{n+1} = v_{n+1}\) ».
Toutes les solutions à partir de deux d'entre elles. Soient \(D = s_0 t_1 - s_1 t_0 \ne 0\) et \((u_n)\) une solution. Posons \(\lambda = \frac{u_0 t_1 - u_1 t_0}{D}\) et \(\mu = \frac{s_0 u_1 - s_1 u_0}{D}\). Alors $$ \begin{aligned} \lambda s_0 + \mu t_0 &= \frac{(u_0 t_1 - u_1 t_0) s_0 + (s_0 u_1 - s_1 u_0) t_0}{D} && \text{(définition de \(\lambda\) et de \(\mu\))} \\ &= \frac{u_0 (s_0 t_1 - s_1 t_0)}{D} && \text{(les termes en \(u_1 s_0 t_0\) s'annulent)} \\ &= u_0, \end{aligned} $$ et le même calcul en \(n = 1\) donne \(\lambda s_1 + \mu t_1 = \frac{u_1 (s_0 t_1 - s_1 t_0)}{D} = u_1\). La suite \((\lambda s_n + \mu t_n)\) est une solution, par les combinaisons, et elle a les mêmes deux premiers termes que \((u_n)\) : par la détermination elle est égale à \((u_n)\). Pour l'unicité, soit \((\lambda', \mu')\) un autre couple avec \(\lambda' s_n + \mu' t_n = u_n\) pour tout \(n\), et posons \(\delta = \lambda - \lambda'\) et \(\delta' = \mu - \mu'\), de sorte que \(\delta s_n + \delta' t_n = 0\) pour tout \(n\). Les cas \(n = 0\) et \(n = 1\) donnent \(\delta s_0 + \delta' t_0 = 0\) et \(\delta s_1 + \delta' t_1 = 0\). En multipliant la première équation par \(t_1\) et la seconde par \(t_0\) puis en soustrayant, on obtient \(\delta D = 0\) ; en multipliant la première par \(s_1\) et la seconde par \(s_0\) puis en soustrayant, on obtient \(-\delta' D = 0\). Comme \(D \ne 0\), \(\delta = \delta' = 0\).
- Initialisation. \(P_0\) est l'hypothèse.
- Hérédité. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons \(P_n\). Montrons \(P_{n+1}\). $$ \begin{aligned} u_{n+2} &= a u_{n+1} + b u_n && \text{(\((u_n)\) est une solution)} \\ &= a v_{n+1} + b v_n && \text{(hypothèse de récurrence \(P_n\))} \\ &= v_{n+2}. \end{aligned} $$ La dernière étape est la récurrence pour \((v_n)\). Avec \(u_{n+1} = v_{n+1}\), donné par \(P_n\), c'est \(P_{n+1}\).
- Conclusion. Puisque \(P_0\) est vraie et que \(P_n \Rightarrow P_{n+1}\) pour tout \(n\), par récurrence \(u_n = v_n\) pour tout \(n\).
Toutes les solutions à partir de deux d'entre elles. Soient \(D = s_0 t_1 - s_1 t_0 \ne 0\) et \((u_n)\) une solution. Posons \(\lambda = \frac{u_0 t_1 - u_1 t_0}{D}\) et \(\mu = \frac{s_0 u_1 - s_1 u_0}{D}\). Alors $$ \begin{aligned} \lambda s_0 + \mu t_0 &= \frac{(u_0 t_1 - u_1 t_0) s_0 + (s_0 u_1 - s_1 u_0) t_0}{D} && \text{(définition de \(\lambda\) et de \(\mu\))} \\ &= \frac{u_0 (s_0 t_1 - s_1 t_0)}{D} && \text{(les termes en \(u_1 s_0 t_0\) s'annulent)} \\ &= u_0, \end{aligned} $$ et le même calcul en \(n = 1\) donne \(\lambda s_1 + \mu t_1 = \frac{u_1 (s_0 t_1 - s_1 t_0)}{D} = u_1\). La suite \((\lambda s_n + \mu t_n)\) est une solution, par les combinaisons, et elle a les mêmes deux premiers termes que \((u_n)\) : par la détermination elle est égale à \((u_n)\). Pour l'unicité, soit \((\lambda', \mu')\) un autre couple avec \(\lambda' s_n + \mu' t_n = u_n\) pour tout \(n\), et posons \(\delta = \lambda - \lambda'\) et \(\delta' = \mu - \mu'\), de sorte que \(\delta s_n + \delta' t_n = 0\) pour tout \(n\). Les cas \(n = 0\) et \(n = 1\) donnent \(\delta s_0 + \delta' t_0 = 0\) et \(\delta s_1 + \delta' t_1 = 0\). En multipliant la première équation par \(t_1\) et la seconde par \(t_0\) puis en soustrayant, on obtient \(\delta D = 0\) ; en multipliant la première par \(s_1\) et la seconde par \(s_0\) puis en soustrayant, on obtient \(-\delta' D = 0\). Comme \(D \ne 0\), \(\delta = \delta' = 0\).
Proposition — Racines réelles distinctes
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(b \ne 0\) et \(\Delta = a^2 + 4b > 0\). L'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes \(r_1 \ne r_2\), et \(r_1 + r_2 = a\), \(r_1 r_2 = -b \ne 0\). Les solutions de \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) sont exactement les suites \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\), avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), et pour \(u_0\) et \(u_1\) donnés il y a exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Les suites \(r_1^n\) et \(r_2^n\) sont des solutions. Pour \(i = 1, 2\) et \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} r_i^{n+2} &= r_i^n \, r_i^2 && \text{(propriété des exposants)} \\
&= r_i^n (a r_i + b) && \text{(\(r_i\) est une racine : \(r_i^2 = a r_i + b\))} \\
&= a r_i^{n+1} + b r_i^n. \end{aligned} $$ Par la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute suite \(\lambda r_1^n + \mu r_2^n\) est une solution.
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions \(s_n = r_1^n\) et \(t_n = r_2^n\) vérifient \(s_0 t_1 - s_1 t_0 = 1 \cdot r_2 - r_1 \cdot 1 = r_2 - r_1 \ne 0\). Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit \(\lambda r_1^n + \mu r_2^n\) pour exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Seconde démonstration : factoriser la récurrence. Soit \((u_n)\) une solution et \(v_n = u_{n+1} - r_2 u_n\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+2} - r_2 u_{n+1} && \text{(définition de \(v\))} \\ &= a u_{n+1} + b u_n - r_2 u_{n+1} && \text{(\((u_n)\) est une solution)} \\ &= (a - r_2) u_{n+1} + b u_n && \text{(regroupement)} \\ &= r_1 u_{n+1} - r_1 r_2 u_n && \text{(\(a - r_2 = r_1\) et \(b = -r_1 r_2\))} \\ &= r_1 v_n. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(r_1\), et \(v_n = v_0 r_1^n\). Posons \(\lambda = \frac{v_0}{r_1 - r_2}\) et \(w_n = u_n - \lambda r_1^n\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} w_{n+1} - r_2 w_n &= (u_{n+1} - r_2 u_n) - \lambda r_1^n (r_1 - r_2) && \text{(définition de \(w\))} \\ &= r_1^n \big( v_0 - \lambda (r_1 - r_2) \big) && \text{(\(u_{n+1} - r_2 u_n = v_n = v_0 r_1^n\))} \\ &= 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\lambda (r_1 - r_2) = v_0\). Donc \(w_{n+1} = r_2 w_n\) : \((w_n)\) est géométrique de raison \(r_2\), et \(w_n = w_0 r_2^n\). Avec \(\mu = w_0\), \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\).
Unicité du couple. Supposons que \(\lambda r_1^n + \mu r_2^n = \lambda' r_1^n + \mu' r_2^n\) pour tout \(n\), et posons \(\delta = \lambda - \lambda'\), \(\delta' = \mu - \mu'\). Les cas \(n = 0\) et \(n = 1\) donnent \(\delta + \delta' = 0\) et \(\delta r_1 + \delta' r_2 = 0\). En remplaçant \(\delta'\) par \(-\delta\) dans la seconde équation, \(\delta (r_1 - r_2) = 0\), donc \(\delta = 0\) car \(r_1 \ne r_2\), et \(\delta' = 0\).
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions \(s_n = r_1^n\) et \(t_n = r_2^n\) vérifient \(s_0 t_1 - s_1 t_0 = 1 \cdot r_2 - r_1 \cdot 1 = r_2 - r_1 \ne 0\). Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit \(\lambda r_1^n + \mu r_2^n\) pour exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Seconde démonstration : factoriser la récurrence. Soit \((u_n)\) une solution et \(v_n = u_{n+1} - r_2 u_n\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+2} - r_2 u_{n+1} && \text{(définition de \(v\))} \\ &= a u_{n+1} + b u_n - r_2 u_{n+1} && \text{(\((u_n)\) est une solution)} \\ &= (a - r_2) u_{n+1} + b u_n && \text{(regroupement)} \\ &= r_1 u_{n+1} - r_1 r_2 u_n && \text{(\(a - r_2 = r_1\) et \(b = -r_1 r_2\))} \\ &= r_1 v_n. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(r_1\), et \(v_n = v_0 r_1^n\). Posons \(\lambda = \frac{v_0}{r_1 - r_2}\) et \(w_n = u_n - \lambda r_1^n\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} w_{n+1} - r_2 w_n &= (u_{n+1} - r_2 u_n) - \lambda r_1^n (r_1 - r_2) && \text{(définition de \(w\))} \\ &= r_1^n \big( v_0 - \lambda (r_1 - r_2) \big) && \text{(\(u_{n+1} - r_2 u_n = v_n = v_0 r_1^n\))} \\ &= 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\lambda (r_1 - r_2) = v_0\). Donc \(w_{n+1} = r_2 w_n\) : \((w_n)\) est géométrique de raison \(r_2\), et \(w_n = w_0 r_2^n\). Avec \(\mu = w_0\), \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\).
Unicité du couple. Supposons que \(\lambda r_1^n + \mu r_2^n = \lambda' r_1^n + \mu' r_2^n\) pour tout \(n\), et posons \(\delta = \lambda - \lambda'\), \(\delta' = \mu - \mu'\). Les cas \(n = 0\) et \(n = 1\) donnent \(\delta + \delta' = 0\) et \(\delta r_1 + \delta' r_2 = 0\). En remplaçant \(\delta'\) par \(-\delta\) dans la seconde équation, \(\delta (r_1 - r_2) = 0\), donc \(\delta = 0\) car \(r_1 \ne r_2\), et \(\delta' = 0\).
Proposition — Racine double
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(b \ne 0\) et \(\Delta = a^2 + 4b = 0\). L'équation caractéristique a une racine double \(r = \frac{a}{2}\), et \(r \ne 0\). Les solutions de \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) sont exactement les suites \(u_n = (\lambda + \mu n) r^n\), avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), et pour \(u_0\) et \(u_1\) donnés il y a exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Comme \(\Delta = 0\), \(b = -\frac{a^2}{4} = -r^2\), et \(b \ne 0\) donne \(r \ne 0\). La récurrence s'écrit \(u_{n+2} = 2r \, u_{n+1} - r^2 u_n\).
Les suites \(r^n\) et \(n r^n\) sont des solutions. Pour tout \(n\), le second membre de la récurrence pour la suite \((r^n)\) est $$ \begin{aligned} 2r \cdot r^{n+1} - r^2 \cdot r^n &= 2 r^{n+2} - r^{n+2} && \text{(propriété des exposants)} \\ &= r^{n+2}, \end{aligned} $$ et pour la suite \((n r^n)\) il vaut $$ \begin{aligned} 2r \cdot (n+1) r^{n+1} - r^2 \cdot n r^n &= \big( 2(n+1) - n \big) r^{n+2} && \text{(propriété des exposants)} \\ &= (n+2) r^{n+2}. \end{aligned} $$ Donc \((r^n)\) et \((n r^n)\) vérifient la récurrence, et par la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions » toute suite \((\lambda + \mu n) r^n\) est une solution.
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions \(s_n = r^n\) et \(t_n = n r^n\) vérifient \(s_0 t_1 - s_1 t_0 = 1 \cdot r - r \cdot 0 = r \ne 0\). Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit \((\lambda + \mu n) r^n\) pour exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Seconde démonstration : factoriser la récurrence. Soit \((u_n)\) une solution et \(v_n = u_{n+1} - r u_n\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+2} - r u_{n+1} && \text{(définition de \(v\))} \\ &= 2r \, u_{n+1} - r^2 u_n - r u_{n+1} && \text{(\((u_n)\) est une solution)} \\ &= r (u_{n+1} - r u_n) && \text{(factorisation de \(r\))} \\ &= r v_n. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(r\), et \(v_n = v_0 r^n\). Posons \(w_n = \frac{u_n}{r^n}\), défini puisque \(r \ne 0\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} w_{n+1} - w_n &= \frac{u_{n+1}}{r^{n+1}} - \frac{u_n}{r^n} && \text{(définition de \(w\))} \\ &= \frac{u_{n+1} - r u_n}{r^{n+1}} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{v_0 r^n}{r^{n+1}} && \text{(\(u_{n+1} - r u_n = v_n = v_0 r^n\))} \\ &= \frac{v_0}{r}. \end{aligned} $$ Donc \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\frac{v_0}{r}\), et \(w_n = w_0 + \frac{v_0}{r} n\) par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique ». D'où \(u_n = r^n w_n = \left( u_0 + \frac{v_0}{r} n \right) r^n\), qui a la forme \((\lambda + \mu n) r^n\).
Unicité du couple. Si \((\lambda + \mu n) r^n = (\lambda' + \mu' n) r^n\) pour tout \(n\), le cas \(n = 0\) donne \(\lambda = \lambda'\) et le cas \(n = 1\) donne \((\lambda + \mu) r = (\lambda' + \mu') r\), donc \(\mu = \mu'\) car \(r \ne 0\).
Les suites \(r^n\) et \(n r^n\) sont des solutions. Pour tout \(n\), le second membre de la récurrence pour la suite \((r^n)\) est $$ \begin{aligned} 2r \cdot r^{n+1} - r^2 \cdot r^n &= 2 r^{n+2} - r^{n+2} && \text{(propriété des exposants)} \\ &= r^{n+2}, \end{aligned} $$ et pour la suite \((n r^n)\) il vaut $$ \begin{aligned} 2r \cdot (n+1) r^{n+1} - r^2 \cdot n r^n &= \big( 2(n+1) - n \big) r^{n+2} && \text{(propriété des exposants)} \\ &= (n+2) r^{n+2}. \end{aligned} $$ Donc \((r^n)\) et \((n r^n)\) vérifient la récurrence, et par la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions » toute suite \((\lambda + \mu n) r^n\) est une solution.
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions \(s_n = r^n\) et \(t_n = n r^n\) vérifient \(s_0 t_1 - s_1 t_0 = 1 \cdot r - r \cdot 0 = r \ne 0\). Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit \((\lambda + \mu n) r^n\) pour exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Seconde démonstration : factoriser la récurrence. Soit \((u_n)\) une solution et \(v_n = u_{n+1} - r u_n\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+2} - r u_{n+1} && \text{(définition de \(v\))} \\ &= 2r \, u_{n+1} - r^2 u_n - r u_{n+1} && \text{(\((u_n)\) est une solution)} \\ &= r (u_{n+1} - r u_n) && \text{(factorisation de \(r\))} \\ &= r v_n. \end{aligned} $$ Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(r\), et \(v_n = v_0 r^n\). Posons \(w_n = \frac{u_n}{r^n}\), défini puisque \(r \ne 0\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} w_{n+1} - w_n &= \frac{u_{n+1}}{r^{n+1}} - \frac{u_n}{r^n} && \text{(définition de \(w\))} \\ &= \frac{u_{n+1} - r u_n}{r^{n+1}} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{v_0 r^n}{r^{n+1}} && \text{(\(u_{n+1} - r u_n = v_n = v_0 r^n\))} \\ &= \frac{v_0}{r}. \end{aligned} $$ Donc \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\frac{v_0}{r}\), et \(w_n = w_0 + \frac{v_0}{r} n\) par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique ». D'où \(u_n = r^n w_n = \left( u_0 + \frac{v_0}{r} n \right) r^n\), qui a la forme \((\lambda + \mu n) r^n\).
Unicité du couple. Si \((\lambda + \mu n) r^n = (\lambda' + \mu' n) r^n\) pour tout \(n\), le cas \(n = 0\) donne \(\lambda = \lambda'\) et le cas \(n = 1\) donne \((\lambda + \mu) r = (\lambda' + \mu') r\), donc \(\mu = \mu'\) car \(r \ne 0\).
Méthode — Résoudre une récurrence linéaire d'ordre deux
Pour trouver la forme close de \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\), avec \(u_0\) et \(u_1\) donnés : - Écrire l'équation caractéristique \(r^2 - a r - b = 0\) et son discriminant \(\Delta = a^2 + 4b\).
- Lire le signe de \(\Delta\) : pour \(\Delta > 0\), \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\) ; pour \(\Delta = 0\), \(u_n = (\lambda + \mu n) r^n\) ; pour \(\Delta < 0\), il n'y a pas de racine réelle et la forme réelle est celle de la Proposition « Solutions quand \(a^2 + 4b < 0\) ».
- Trouver \(\lambda\) et \(\mu\) en écrivant la formule pour \(n = 0\) et \(n = 1\) et en résolvant le système de deux équations en \(\lambda\) et \(\mu\).
- Vérifier le résultat sur \(u_2\), calculé par la récurrence et par la formule.
Exemple — La suite de Fibonacci
Soient \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Donner la forme close de \(u_n\).
La récurrence a \(a = b = 1\), donc son équation caractéristique est \(r^2 - r - 1 = 0\), de discriminant \(\Delta = 1 + 4 = 5 > 0\). Ses racines sont \(r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(r_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\), avec \(r_1 + r_2 = 1\) et \(r_1 - r_2 = \sqrt{5}\). Par la Proposition « Racines réelles distinctes », \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\).
Les constantes. Les conditions \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 1\) donnent \(\lambda + \mu = 0\) et \(\lambda r_1 + \mu r_2 = 1\). La première équation donne \(\mu = -\lambda\) ; la seconde devient \(\lambda (r_1 - r_2) = 1\), c'est-à-dire \(\lambda \sqrt{5} = 1\). Donc \(\lambda = \frac{1}{\sqrt{5}}\) et \(\mu = -\frac{1}{\sqrt{5}}\).
La forme close. $$ u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right). $$ Vérification sur \(u_2\) : la récurrence donne \(u_2 = u_1 + u_0 = 1\), et la formule donne \(\frac{r_1^2 - r_2^2}{\sqrt{5}} = \frac{(r_1 - r_2)(r_1 + r_2)}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \cdot 1}{\sqrt{5}} = 1\).
Les constantes. Les conditions \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 1\) donnent \(\lambda + \mu = 0\) et \(\lambda r_1 + \mu r_2 = 1\). La première équation donne \(\mu = -\lambda\) ; la seconde devient \(\lambda (r_1 - r_2) = 1\), c'est-à-dire \(\lambda \sqrt{5} = 1\). Donc \(\lambda = \frac{1}{\sqrt{5}}\) et \(\mu = -\frac{1}{\sqrt{5}}\).
La forme close. $$ u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right). $$ Vérification sur \(u_2\) : la récurrence donne \(u_2 = u_1 + u_0 = 1\), et la formule donne \(\frac{r_1^2 - r_2^2}{\sqrt{5}} = \frac{(r_1 - r_2)(r_1 + r_2)}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \cdot 1}{\sqrt{5}} = 1\).
Exemple — Une racine double
Soient \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = 2 u_{n+1} - u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Donner la forme close de \(u_n\).
La récurrence a \(a = 2\) et \(b = -1\), donc son équation caractéristique est \(r^2 - 2r + 1 = (r - 1)^2 = 0\), de discriminant \(\Delta = 4 - 4 = 0\) : la racine double est \(r = 1\). Par la Proposition « Racine double », \(u_n = (\lambda + \mu n) \cdot 1^n = \lambda + \mu n\).
Les constantes. La condition \(u_0 = 0\) donne \(\lambda = 0\), et \(u_1 = 1\) donne \(\lambda + \mu = 1\), donc \(\mu = 1\).
La forme close. \(u_n = n\). Vérification sur \(u_2\) : la récurrence donne \(u_2 = 2 u_1 - u_0 = 2\), et la formule donne \(2\). La suite est la suite arithmétique de raison \(1\).
Les constantes. La condition \(u_0 = 0\) donne \(\lambda = 0\), et \(u_1 = 1\) donne \(\lambda + \mu = 1\), donc \(\mu = 1\).
La forme close. \(u_n = n\). Vérification sur \(u_2\) : la récurrence donne \(u_2 = 2 u_1 - u_0 = 2\), et la formule donne \(2\). La suite est la suite arithmétique de raison \(1\).
Le cas \(b \equal 0\)
Lorsque \(b = 0\), la récurrence est \(u_{n+2} = a u_{n+1}\) : la suite \((u_{n+1})_{n \ge 0}\) est géométrique de raison \(a\), donc \(u_n = u_1 a^{n-1}\) pour tout \(n \ge 1\), et \(u_0\) est libre. L'équation caractéristique \(r^2 - ar = 0\) a pour racines \(0\) et \(a\), et les Propositions « Racines réelles distinctes » et « Racine double » ne s'appliquent pas : ce cas est une suite géométrique à partir du rang \(1\).
Compétences à pratiquer
- Choisir la forme de la solution générale d'une récurrence d'ordre deux ★
- Calculer un terme d'une récurrence linéaire d'ordre deux ★
- Résoudre une récurrence d'ordre deux à racines réelles ★★
- Utiliser la structure des solutions d'une récurrence d'ordre deux ★★★
II.4
Ordre deux sans racine réelle
Quand le discriminant est négatif
Lorsque \(a^2 + 4b < 0\), l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle, et aucune suite \(r^n\) avec \(r\) réel n'est une solution. Les solutions oscillent, comme le fait la suite \(u_{n+2} = -u_n\) : \(1, 0, -1, 0, 1, \dots\) Leur forme réelle emploie un cosinus et un sinus, et elle se trouve sans aucun nombre complexe : deux paramètres, l'un pour l'amplitude et l'autre pour l'angle, se lisent sur les coefficients, et la formule de la somme de deux cosinus montre que les suites \(\rho^n \cos n\theta\) et \(\rho^n \sin n\theta\) vérifient la récurrence.
Définition — Les paramètres \(\rho\) et \(\theta\)
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a^2 + 4b < 0\). Alors \(4b < -a^2 \le 0\), donc \(b < 0\), et les nombres $$ \rho = \sqrt{-b} > 0 \qquad \text{et} \qquad \theta \in \,]0, \pi[ \ \text{ avec } \ \cos\theta = \frac{a}{2\rho} $$ sont bien définis : \(a^2 < -4b = 4\rho^2\) donne \(\lvert a \rvert < 2\rho\), donc \(\frac{a}{2\rho} \in \,]-1, 1[\), et \(\cos\) est une bijection de \([0, \pi]\) sur \([-1, 1]\), avec \(\theta \ne 0\) et \(\theta \ne \pi\) car \(\frac{a}{2\rho} \ne \pm 1\). Ce sont les paramètres de la récurrence \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\), et ils vérifient \(2\rho \cos\theta = a\), \(\rho^2 = -b\) et \(\sin\theta > 0\). Proposition — Solutions quand \(a^2 + 4b < 0\)
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a^2 + 4b < 0\), et \(\rho\) et \(\theta\) ses paramètres. Les solutions de \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) sont exactement les suites \(u_n = \rho^n \big( \lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta) \big)\), avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), et pour \(u_0\) et \(u_1\) donnés il y a exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Les suites \(\rho^n \cos(n\theta + \alpha)\) sont des solutions. Soient \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(c_n = \cos(n\theta + \alpha)\). Avec \(x = (n+1)\theta + \alpha\) et \(y = \theta\), la formule \(\cos(x + y) + \cos(x - y) = 2\cos x \cos y\) donne \(c_{n+2} + c_n = 2\cos\theta \; c_{n+1}\). Alors $$ \begin{aligned} \rho^{n+2} c_{n+2} &= \rho^{n+2} \left( 2\cos\theta \; c_{n+1} - c_n \right) && \text{(l'identité pour \(c_{n+2} + c_n\))} \\
&= 2\rho \cos\theta \cdot \rho^{n+1} c_{n+1} - \rho^2 \cdot \rho^n c_n && \text{(propriété des exposants)} \\
&= a \, \rho^{n+1} c_{n+1} + b \, \rho^n c_n, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(2\rho\cos\theta = a\) et \(\rho^2 = -b\). Avec \(\alpha = 0\), la suite \(\rho^n \cos(n\theta)\) est une solution ; avec \(\alpha = -\frac{\pi}{2}\), comme \(\cos\left( n\theta - \frac{\pi}{2} \right) = \sin(n\theta)\), la suite \(\rho^n \sin(n\theta)\) en est une aussi. Par la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute suite \(\rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta))\) est une solution.
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions \(s_n = \rho^n \cos(n\theta)\) et \(t_n = \rho^n \sin(n\theta)\) vérifient \(s_0 = 1\), \(s_1 = \rho \cos\theta\), \(t_0 = 0\) et \(t_1 = \rho \sin\theta\), donc \(s_0 t_1 - s_1 t_0 = \rho \sin\theta \ne 0\), car \(\rho > 0\) et \(\sin\theta > 0\). Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit \(\rho^n \big( \lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta) \big)\) pour exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions \(s_n = \rho^n \cos(n\theta)\) et \(t_n = \rho^n \sin(n\theta)\) vérifient \(s_0 = 1\), \(s_1 = \rho \cos\theta\), \(t_0 = 0\) et \(t_1 = \rho \sin\theta\), donc \(s_0 t_1 - s_1 t_0 = \rho \sin\theta \ne 0\), car \(\rho > 0\) et \(\sin\theta > 0\). Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit \(\rho^n \big( \lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta) \big)\) pour exactement un couple \((\lambda, \mu)\).
Exemple — Une suite de période quatre
Soient \(u_0 = 1\), \(u_1 = 0\) et \(u_{n+2} = -u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Donner la forme close de \(u_n\).
La récurrence a \(a = 0\) et \(b = -1\), donc \(\Delta = a^2 + 4b = -4 < 0\) : il n'y a pas de racine réelle. Ses paramètres sont \(\rho = \sqrt{-b} = 1\) et \(\theta \in \,]0, \pi[\) avec \(\cos\theta = \frac{a}{2\rho} = 0\), c'est-à-dire \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Par la Proposition « Solutions quand \(a^2 + 4b < 0\) », \(u_n = \lambda \cos\frac{n\pi}{2} + \mu \sin\frac{n\pi}{2}\).
Les constantes. Pour \(n = 0\), \(u_0 = \lambda = 1\). Pour \(n = 1\), \(u_1 = \lambda \cos\frac{\pi}{2} + \mu \sin\frac{\pi}{2} = \mu = 0\).
La forme close. \(u_n = \cos\frac{n\pi}{2}\). Vérification : les termes sont \(1, 0, -1, 0, 1, \dots\), de période \(4\), et \(u_{n+2} = \cos\left( \frac{n\pi}{2} + \pi \right) = -\cos\frac{n\pi}{2} = -u_n\), comme l'exige la récurrence.
Les constantes. Pour \(n = 0\), \(u_0 = \lambda = 1\). Pour \(n = 1\), \(u_1 = \lambda \cos\frac{\pi}{2} + \mu \sin\frac{\pi}{2} = \mu = 0\).
La forme close. \(u_n = \cos\frac{n\pi}{2}\). Vérification : les termes sont \(1, 0, -1, 0, 1, \dots\), de période \(4\), et \(u_{n+2} = \cos\left( \frac{n\pi}{2} + \pi \right) = -\cos\frac{n\pi}{2} = -u_n\), comme l'exige la récurrence.
Exemple — Une oscillation qui grandit
Soient \(u_0 = 1\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = 2 u_{n+1} - 2 u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Donner la forme close de \(u_n\).
La récurrence a \(a = 2\) et \(b = -2\), donc \(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\). Ses paramètres sont \(\rho = \sqrt{2}\) et \(\theta \in \,]0, \pi[\) avec \(\cos\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), c'est-à-dire \(\theta = \frac{\pi}{4}\). Par la Proposition « Solutions quand \(a^2 + 4b < 0\) », \(u_n = (\sqrt{2})^n \left( \lambda \cos\frac{n\pi}{4} + \mu \sin\frac{n\pi}{4} \right)\).
Les constantes. Pour \(n = 0\), \(u_0 = \lambda = 1\). Pour \(n = 1\), $$ \begin{aligned} u_1 &= \sqrt{2} \left( \lambda \cos\frac{\pi}{4} + \mu \sin\frac{\pi}{4} \right) && \text{(formule en \(n = 1\))} \\ &= \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\lambda + \mu) && \text{(\(\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\))} \\ &= 1 + \mu, \end{aligned} $$ et \(u_1 = 3\) donne \(\mu = 2\).
La forme close. \(u_n = (\sqrt{2})^n \left( \cos\frac{n\pi}{4} + 2 \sin\frac{n\pi}{4} \right)\). Vérification sur \(u_2\) : la récurrence donne \(u_2 = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 4\), et la formule donne \(2 \left( \cos\frac{\pi}{2} + 2 \sin\frac{\pi}{2} \right) = 2 (0 + 2) = 4\).
Les constantes. Pour \(n = 0\), \(u_0 = \lambda = 1\). Pour \(n = 1\), $$ \begin{aligned} u_1 &= \sqrt{2} \left( \lambda \cos\frac{\pi}{4} + \mu \sin\frac{\pi}{4} \right) && \text{(formule en \(n = 1\))} \\ &= \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\lambda + \mu) && \text{(\(\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\))} \\ &= 1 + \mu, \end{aligned} $$ et \(u_1 = 3\) donne \(\mu = 2\).
La forme close. \(u_n = (\sqrt{2})^n \left( \cos\frac{n\pi}{4} + 2 \sin\frac{n\pi}{4} \right)\). Vérification sur \(u_2\) : la récurrence donne \(u_2 = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 4\), et la formule donne \(2 \left( \cos\frac{\pi}{2} + 2 \sin\frac{\pi}{2} \right) = 2 (0 + 2) = 4\).
Compétences à pratiquer
- Calculer le cosinus de l'angle d'une récurrence d'ordre deux ★
- Vérifier que \(\rho^n \cos n\theta\) est solution d'une récurrence ★
- Résoudre une récurrence d'ordre deux sans racine réelle ★★
- Démontrer la période ou la décroissance des solutions avec une idée ★★★
III
Limite d'une suite
D'une intuition à une définition
Le lycée a décrit une limite par une intuition — « \(u_n\) s'approche de \(\ell\) quand \(n\) grandit » — et par des intervalles. La limite d'une suite devient un énoncé quantifié : pour toute proximité prescrite autour de \(\ell\), la suite reste aussi proche à partir d'un certain rang. Un seul gabarit, avec un intervalle autour de \(\ell\), une demi-droite vers \(+\infty\) ou une demi-droite vers \(-\infty\), donne la limite finie et les deux limites infinies.
III.1
Limites finies et infinies
Rester proche à partir d'un rang
Dire que \((u_n)\) converge vers \(\ell\), c'est dire que, quelle que soit la proximité \(\varepsilon > 0\) exigée, il existe un rang \(N\) à partir duquel tout terme est à distance au plus \(\varepsilon\) de \(\ell\). Le rang dépend de \(\varepsilon\) : plus \(\varepsilon\) est petit, plus le rang est en général grand. Les Définitions emploient des inégalités larges ; la Proposition « Formes équivalentes de la définition d'une limite » montre que des inégalités strictes, des intervalles ouverts, ou « tous les termes sauf un nombre fini » définissent la même notion.
Définition — Limite finie
Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ \lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon. $$ On note alors \(\textcolor{colordef}{u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell}\) ou \(\textcolor{colordef}{\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell}\). Définition — Limite infinie
Une suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si $$ \forall A \in \mathbb{R}, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ u_n \ge A. $$ Symétriquement, \((u_n)\) tend vers \(-\infty\) si \(\forall A \in \mathbb{R}, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ u_n \le A\). Définition — Convergente / divergente
Une suite réelle \((u_n)\) est convergente si elle a une limite finie, et divergente sinon. Une suite divergente peut tendre vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), ou n'avoir aucune limite : « divergente » ne signifie pas « sans limite ». Une limite, finie ou infinie, est une limite dans \(\overline{\mathbb{R}}\), et l'on écrit \(u_n \to \ell\) avec \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\). Proposition — Formes équivalentes de la définition d'une limite
Soit \((u_n)\) une suite réelle. - Pour \(\ell \in \mathbb{R}\), les trois énoncés suivants sont équivalents : (a) \(\forall \varepsilon > 0, \ \exists N, \ \forall n \ge N, \ \lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon\) ; (b) \(\forall \varepsilon > 0, \ \exists N, \ \forall n \ge N, \ \lvert u_n - \ell \rvert < \varepsilon\) ; (c) tout intervalle ouvert qui contient \(\ell\) contient \(u_n\) pour tous les indices \(n\) sauf un nombre fini.
- Pour \(+\infty\), les trois énoncés suivants sont équivalents : (a') \(\forall A \in \mathbb{R}, \ \exists N, \ \forall n \ge N, \ u_n \ge A\) ; (b') \(\forall A \in \mathbb{R}, \ \exists N, \ \forall n \ge N, \ u_n > A\) ; (c') tout intervalle \(]A, +\infty[\) contient \(u_n\) pour tous les indices \(n\) sauf un nombre fini.
Limite finie. On démontre \((a) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (a)\).
- \((a) \Rightarrow (b)\). Soit \(\varepsilon > 0\). En appliquant (a) à \(\frac{\varepsilon}{2}\), il existe \(N\) tel que \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \frac{\varepsilon}{2}\) pour tout \(n \ge N\), et \(\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\), donc \(\lvert u_n - \ell \rvert < \varepsilon\) pour tout \(n \ge N\).
- \((b) \Rightarrow (c)\). Soit \(I = \,]\alpha, \beta[\) un intervalle ouvert avec \(\alpha < \ell < \beta\), où \(\alpha = -\infty\) et \(\beta = +\infty\) sont permis, et soit \(\varepsilon = \min(\ell - \alpha, \beta - \ell) > 0\), une valeur infinie étant ignorée dans le minimum, et \(\varepsilon = 1\) si les deux sont infinies. Par (b), il existe \(N\) tel que \(\lvert u_n - \ell \rvert < \varepsilon\) pour tout \(n \ge N\), c'est-à-dire \(u_n \in \,]\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon[ \, \subset I\). Donc les indices \(n\) tels que \(u_n \notin I\) sont tous inférieurs à \(N\) : il y en a un nombre fini.
- \((c) \Rightarrow (a)\). Soient \(\varepsilon > 0\) et \(I = \,]\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon[\). Par (c), l'ensemble \(F\) des indices \(n\) tels que \(u_n \notin I\) est fini. Posons \(N = 0\) si \(F\) est vide et \(N = \max F + 1\) sinon. Pour \(n \ge N\), \(n \notin F\), donc \(u_n \in I\), c'est-à-dire \(\lvert u_n - \ell \rvert < \varepsilon\), d'où \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon\).
- \((a') \Rightarrow (b')\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). En appliquant (a') à \(A + 1\), il existe \(N\) tel que \(u_n \ge A + 1 > A\) pour tout \(n \ge N\).
- \((b') \Rightarrow (c')\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). Par (b'), il existe \(N\) tel que \(u_n \in \,]A, +\infty[\) pour tout \(n \ge N\), donc les indices tels que \(u_n \notin \,]A, +\infty[\) sont inférieurs à \(N\) : il y en a un nombre fini.
- \((c') \Rightarrow (a')\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). Par (c'), l'ensemble \(F\) des indices \(n\) tels que \(u_n \le A\) est fini. Posons \(N = 0\) si \(F\) est vide et \(N = \max F + 1\) sinon. Pour \(n \ge N\), \(n \notin F\), donc \(u_n > A\), d'où \(u_n \ge A\).
Exemple — La bande \(\varepsilon\) et le rang \(N\)
La suite \(u_n = 1 + \frac{2(-1)^n}{n+1}\) est dessinée avec la bande de largeur \(2\varepsilon\) autour de \(\ell = 1\), pour \(\varepsilon = \frac{3}{10}\). Comme \(\lvert u_n - 1 \rvert = \frac{2}{n+1}\), et que \(\frac{2}{n+1} \le \frac{3}{10} \iff n + 1 \ge \frac{20}{3}\), tout terme d'indice \(n \ge 6\) est dans la bande, alors que les termes \(u_0\) à \(u_5\), en gris, sont tous en dehors : le rang \(N = 6\) est le plus petit qui convienne pour cet \(\varepsilon\). Un \(\varepsilon\) plus petit exige un rang plus grand. 
Exemple — La suite \(\frac{1}{n}\) tend vers \(0\)
Montrer par la définition de la limite finie que \(\frac{1}{n} \to 0\).
Soit \(\varepsilon > 0\). D'après la propriété d'Archimède, il existe un entier \(N\) avec \(N > \frac{1}{\varepsilon}\), et \(N \ge 1\) puisque \(\frac{1}{\varepsilon} > 0\). Pour tout \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{n} - 0 \right\rvert &= \frac{1}{n} && \text{(\(n \ge 1\))} \\
&\le \frac{1}{N} && \text{(\(n \ge N > 0\))} \\
&< \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(N > \frac{1}{\varepsilon}\). Donc pour tout \(\varepsilon > 0\) il existe un rang \(N\) à partir duquel \(\left\lvert \frac{1}{n} - 0 \right\rvert \le \varepsilon\) : par la Définition « Limite finie », \(\frac{1}{n} \to 0\).
Exemple — La suite \(n^2\) tend vers \(+\infty\)
Montrer par la définition de la limite infinie que \(n^2 \to +\infty\).
Soit \(A \in \mathbb{R}\). D'après la propriété d'Archimède, il existe un entier \(N\) avec \(N > \max(A, 1)\) ; alors \(N \ge 1\) et \(N \ge A\). Pour tout \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} n^2 &\ge n && \text{(\(n \ge 1\))} \\
&\ge N && \text{(\(n \ge N\))} \\
&\ge A, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(N \ge A\). Donc pour tout \(A \in \mathbb{R}\) il existe un rang \(N\) à partir duquel \(n^2 \ge A\) : par la Définition « Limite infinie », \(n^2 \to +\infty\).
Méthode — Démontrer la convergence par la définition \(\varepsilon\)-\(N\)
Pour démontrer \(u_n \to \ell\) par la définition, et pour trouver le rang : - Fixer \(\varepsilon > 0\), un nombre strictement positif quelconque : le rang \(N\) en dépendra, et jamais de \(n\).
- Simplifier \(\lvert u_n - \ell \rvert\) — un dénominateur commun, une factorisation — et le majorer par une expression simple en \(n\), comme le font \(\lvert \cos n \rvert \le 1\) ou \(n + 2 \ge n\).
- Résoudre l'inégalité « la majoration est au plus égale à \(\varepsilon\) » en \(n\) : elle s'écrit \(n \ge N_0(\varepsilon)\). Prendre un entier \(N \ge N_0(\varepsilon)\), qui existe par la propriété d'Archimède.
- Conclure : pour \(n \ge N\), \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon\).
Quand les opérations sur les limites, le théorème d'encadrement ou les théorèmes d'existence s'appliquent, ils sont plus rapides : la définition est le fondement qui les justifie, et l'outil des cas qu'ils ne couvrent pas.
Compétences à pratiquer
- Trouver un rang au-delà duquel les termes sont proches de la limite ★
- Démontrer une limite par la définition ★
- Démontrer une limite par la définition, avec une majoration ★★
- Nier la définition d'une limite ★★
III.2
Unicité, bornitude et signe
Ce qu'impose une limite
Une limite est une information forte. Elle est unique, de sorte que « la limite » est un objet bien nommé ; elle piège les termes, qui sont bornés dès que la limite est finie ; et elle fixe le signe des termes à partir d'un certain rang lorsqu'elle n'est pas nulle. Ces conséquences servent dans toutes les démonstrations qui suivent.
Proposition — Unicité de la limite
Si une suite réelle \((u_n)\) a une limite \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\) et une limite \(\ell' \in \overline{\mathbb{R}}\), alors \(\ell = \ell'\).
Supposons, par l'absurde, que \(\ell \ne \ell'\), et échangeons au besoin les deux noms pour que \(\ell < \ell'\).
Deux intervalles disjoints. Un « intervalle autour de \(+\infty\) » est un intervalle \(]A, +\infty[\), et un « intervalle autour de \(-\infty\) » est un intervalle \(]-\infty, A[\). Il existe un réel \(M\) avec \(\ell < M < \ell'\) : prendre \(M = \frac{\ell + \ell'}{2}\) si les deux sont finis, \(M = \ell + 1\) si \(\ell\) est fini et \(\ell' = +\infty\), \(M = \ell' - 1\) si \(\ell = -\infty\) et \(\ell'\) est fini, et \(M = 0\) si \(\ell = -\infty\) et \(\ell' = +\infty\). La demi-droite \(I = \,]-\infty, M[\) est un intervalle ouvert autour de \(\ell\) : elle contient \(\ell\) lorsque \(\ell\) est fini, et c'est un intervalle autour de \(-\infty\) lorsque \(\ell = -\infty\). De même \(I' = \,]M, +\infty[\) est un intervalle ouvert autour de \(\ell'\). Ils sont disjoints : \(I \cap I' = \emptyset\). La contradiction. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition d'une limite », tous les termes sauf un nombre fini sont dans \(I\), et tous sauf un nombre fini sont dans \(I'\). Les indices \(n\) tels que \(u_n \notin I\) ou \(u_n \notin I'\) forment la réunion de deux ensembles finis, qui est finie. Comme \(\mathbb{N}\) est infini, un indice \(n\) est en dehors de cette réunion : \(u_n \in I \cap I' = \emptyset\), ce qui est absurde. Donc \(\ell = \ell'\).
Seconde démonstration, par les définitions. Supposons que \(\ell \ne \ell'\).
Deux intervalles disjoints. Un « intervalle autour de \(+\infty\) » est un intervalle \(]A, +\infty[\), et un « intervalle autour de \(-\infty\) » est un intervalle \(]-\infty, A[\). Il existe un réel \(M\) avec \(\ell < M < \ell'\) : prendre \(M = \frac{\ell + \ell'}{2}\) si les deux sont finis, \(M = \ell + 1\) si \(\ell\) est fini et \(\ell' = +\infty\), \(M = \ell' - 1\) si \(\ell = -\infty\) et \(\ell'\) est fini, et \(M = 0\) si \(\ell = -\infty\) et \(\ell' = +\infty\). La demi-droite \(I = \,]-\infty, M[\) est un intervalle ouvert autour de \(\ell\) : elle contient \(\ell\) lorsque \(\ell\) est fini, et c'est un intervalle autour de \(-\infty\) lorsque \(\ell = -\infty\). De même \(I' = \,]M, +\infty[\) est un intervalle ouvert autour de \(\ell'\). Ils sont disjoints : \(I \cap I' = \emptyset\). La contradiction. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition d'une limite », tous les termes sauf un nombre fini sont dans \(I\), et tous sauf un nombre fini sont dans \(I'\). Les indices \(n\) tels que \(u_n \notin I\) ou \(u_n \notin I'\) forment la réunion de deux ensembles finis, qui est finie. Comme \(\mathbb{N}\) est infini, un indice \(n\) est en dehors de cette réunion : \(u_n \in I \cap I' = \emptyset\), ce qui est absurde. Donc \(\ell = \ell'\).
Seconde démonstration, par les définitions. Supposons que \(\ell \ne \ell'\).
- Les deux finies. Posons \(\varepsilon = \frac{\lvert \ell - \ell' \rvert}{3} > 0\). Il existe un rang \(N\) tel que \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon\) et \(\lvert u_n - \ell' \rvert \le \varepsilon\) pour tout \(n \ge N\) (le plus grand des deux rangs des définitions). Pour un tel \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert \ell - \ell' \rvert &\le \lvert \ell - u_n \rvert + \lvert u_n - \ell' \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le 2\varepsilon && \text{(les deux majorations)} \\ &= \tfrac{2}{3} \lvert \ell - \ell' \rvert, \end{aligned} $$ ce qui est impossible car \(\lvert \ell - \ell' \rvert > 0\).
- Une finie, une infinie. Soient \(\ell \in \mathbb{R}\) et \(\ell' = +\infty\). Avec \(A = \ell + 1\) et \(\varepsilon = \frac{1}{2}\), à partir d'un certain rang \(u_n \ge \ell + 1\) et \(u_n \le \ell + \frac{1}{2}\), ce qui est impossible. Le cas \(\ell' = -\infty\) est symétrique.
- \(+\infty\) et \(-\infty\). À partir d'un certain rang \(u_n \ge 1\) et \(u_n \le -1\), ce qui est impossible.
Proposition — Convergente implique bornée
Toute suite convergente est bornée.
Soit \(u_n \to \ell\) avec \(\ell \in \mathbb{R}\). Par la Définition « Limite finie » avec \(\varepsilon = 1\), il existe un rang \(N\) tel que \(\lvert u_n - \ell \rvert \le 1\) pour tout \(n \ge N\). Pour un tel \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert u_n \rvert &= \lvert (u_n - \ell) + \ell \rvert && \text{(ajout et retrait de \(\ell\))} \\
&\le \lvert u_n - \ell \rvert + \lvert \ell \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\
&\le 1 + \lvert \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(n \ge N\). Donc la suite est bornée à partir du rang \(N\), et par la Proposition « Propriétés vraies à partir d'un certain rang » elle est bornée ; explicitement, \(\lvert u_n \rvert \le K\) pour tout \(n\), avec \(K\) le plus grand des nombres en nombre fini \(\lvert u_0 \rvert, \dots, \lvert u_{N-1} \rvert, 1 + \lvert \ell \rvert\).
Exemple — La suite \((-1)^n\) n'a pas de limite
Montrer par les définitions que la suite \(u_n = (-1)^n\) n'a pas de limite dans \(\overline{\mathbb{R}}\).
Supposons, par l'absurde, que \(u_n \to \ell\) avec \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\). On a \(-1 \le u_n \le 1\) pour tout \(n\).
La limite n'est pas infinie. Si \(\ell = +\infty\), la Définition « Limite infinie » avec \(A = 2\) donne un rang à partir duquel \(u_n \ge 2\), ce qui est faux puisque \(u_n \le 1\). Si \(\ell = -\infty\), avec \(A = -2\) elle donne un rang à partir duquel \(u_n \le -2\), ce qui est faux puisque \(u_n \ge -1\).
La limite n'est pas finie. Soit \(\ell \in \mathbb{R}\). Avec \(\varepsilon = \frac{1}{2}\), la Définition « Limite finie » donne un rang \(N\) tel que \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \frac{1}{2}\) pour tout \(n \ge N\). Prenons un \(n \ge N\) pair : alors \(n + 1 \ge N\) est impair, \(u_n = 1\) et \(u_{n+1} = -1\), donc \(\lvert 1 - \ell \rvert \le \frac{1}{2}\) et \(\lvert -1 - \ell \rvert \le \frac{1}{2}\). Alors $$ \begin{aligned} 2 &= \lvert 1 - (-1) \rvert && \text{(arithmétique)} \\ &\le \lvert 1 - \ell \rvert + \lvert \ell - (-1) \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que chaque terme est au plus égal à \(\frac{1}{2}\). C'est absurde, donc la suite n'a pas de limite.
La limite n'est pas infinie. Si \(\ell = +\infty\), la Définition « Limite infinie » avec \(A = 2\) donne un rang à partir duquel \(u_n \ge 2\), ce qui est faux puisque \(u_n \le 1\). Si \(\ell = -\infty\), avec \(A = -2\) elle donne un rang à partir duquel \(u_n \le -2\), ce qui est faux puisque \(u_n \ge -1\).
La limite n'est pas finie. Soit \(\ell \in \mathbb{R}\). Avec \(\varepsilon = \frac{1}{2}\), la Définition « Limite finie » donne un rang \(N\) tel que \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \frac{1}{2}\) pour tout \(n \ge N\). Prenons un \(n \ge N\) pair : alors \(n + 1 \ge N\) est impair, \(u_n = 1\) et \(u_{n+1} = -1\), donc \(\lvert 1 - \ell \rvert \le \frac{1}{2}\) et \(\lvert -1 - \ell \rvert \le \frac{1}{2}\). Alors $$ \begin{aligned} 2 &= \lvert 1 - (-1) \rvert && \text{(arithmétique)} \\ &\le \lvert 1 - \ell \rvert + \lvert \ell - (-1) \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que chaque terme est au plus égal à \(\frac{1}{2}\). C'est absurde, donc la suite n'a pas de limite.
Exemple — Une suite bornée ne converge pas forcément
La réciproque de la Proposition « Convergente implique bornée » est fausse : la suite \(\big( (-1)^n \big)\) est bornée, puisque \(\lvert (-1)^n \rvert = 1\) pour tout \(n\), et elle n'a pas de limite par l'Exemple « La suite \((-1)^n\) n'a pas de limite » ; en particulier elle n'est pas convergente. Proposition — Signe d'une limite
Soit \((u_n)\) une suite réelle avec \(u_n \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}\), et \(M \in \mathbb{R}\). - Si \(\ell > M\), alors \(u_n > M\) à partir d'un certain rang ; si \(\ell < M\), alors \(u_n < M\) à partir d'un certain rang.
- En particulier, pour \(\ell \in \mathbb{R}\) : si \(\ell > 0\), alors \(u_n > \frac{\ell}{2} > 0\) à partir d'un certain rang ; si \(\ell < 0\), alors \(u_n < \frac{\ell}{2} < 0\) à partir d'un certain rang. Donc si \(\ell \ne 0\), alors \(\lvert u_n \rvert > \frac{\lvert \ell \rvert}{2}\) à partir d'un certain rang, et en particulier \(u_n \ne 0\).
Le premier point, \(\ell > M\). Si \(\ell = +\infty\), la Définition « Limite infinie » avec \(A = M + 1\) donne un rang à partir duquel \(u_n \ge M + 1 > M\). Si \(\ell \in \mathbb{R}\), posons \(\varepsilon = \ell - M > 0\). Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition d'une limite », il existe un rang à partir duquel \(\lvert u_n - \ell \rvert < \ell - M\), et alors $$ \begin{aligned} u_n &= \ell + (u_n - \ell) && \text{(ajout et retrait de \(\ell\))} \\
&> \ell - (\ell - M) && \text{(\(\lvert u_n - \ell \rvert < \ell - M\) donne \(u_n - \ell > -(\ell - M)\))} \\
&= M. \end{aligned} $$ Le premier point, \(\ell < M\). Si \(\ell = -\infty\), la Définition « Limite infinie » avec \(A = M - 1\) donne un rang à partir duquel \(u_n \le M - 1 < M\). Si \(\ell \in \mathbb{R}\), posons \(\varepsilon = M - \ell > 0\) : à partir d'un rang, \(\lvert u_n - \ell \rvert < M - \ell\), donc \(u_n < \ell + (M - \ell) = M\).
Les conséquences. Si \(\ell > 0\), alors \(\ell > \frac{\ell}{2}\), et le premier point avec \(M = \frac{\ell}{2}\) donne \(u_n > \frac{\ell}{2} > 0\) à partir d'un rang. Si \(\ell < 0\), alors \(\ell < \frac{\ell}{2}\), et avec \(M = \frac{\ell}{2}\) il donne \(u_n < \frac{\ell}{2} < 0\) à partir d'un rang. Dans le premier cas \(\lvert u_n \rvert = u_n > \frac{\ell}{2} = \frac{\lvert \ell \rvert}{2}\), et dans le second \(\lvert u_n \rvert = -u_n > -\frac{\ell}{2} = \frac{\lvert \ell \rvert}{2}\).
Les conséquences. Si \(\ell > 0\), alors \(\ell > \frac{\ell}{2}\), et le premier point avec \(M = \frac{\ell}{2}\) donne \(u_n > \frac{\ell}{2} > 0\) à partir d'un rang. Si \(\ell < 0\), alors \(\ell < \frac{\ell}{2}\), et avec \(M = \frac{\ell}{2}\) il donne \(u_n < \frac{\ell}{2} < 0\) à partir d'un rang. Dans le premier cas \(\lvert u_n \rvert = u_n > \frac{\ell}{2} = \frac{\lvert \ell \rvert}{2}\), et dans le second \(\lvert u_n \rvert = -u_n > -\frac{\ell}{2} = \frac{\lvert \ell \rvert}{2}\).
Proposition — Modifier un nombre fini de termes
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites réelles avec \(u_n = v_n\) pour tout \(n \ge N_0\), et \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\). Si \(u_n \to \ell\), alors \(v_n \to \ell\). Donc modifier un nombre fini de termes d'une suite ne change ni sa convergence ni sa limite.
Soit \(I\) un intervalle ouvert autour de \(\ell\) : un intervalle ouvert contenant \(\ell\) si \(\ell \in \mathbb{R}\), un intervalle \(]A, +\infty[\) si \(\ell = +\infty\), un intervalle \(]-\infty, A[\) si \(\ell = -\infty\). Pour \(n \ge N_0\), \(v_n = u_n\). Donc l'ensemble des indices \(n\) tels que \(v_n \notin I\) est contenu dans \(\{0, \dots, N_0 - 1\} \cup \{n \mid u_n \notin I\}\). Le premier ensemble est fini, et le second est fini par la Proposition « Formes équivalentes de la définition d'une limite » appliquée à \((u_n)\). Donc l'ensemble des indices tels que \(v_n \notin I\) est fini, et par la même Proposition \(v_n \to \ell\).
Piège : converger, c'est avoir une limite finie
Une suite qui tend vers \(+\infty\) a une limite, et elle est divergente. La suite \(\frac{1}{n}\) est convergente ; la suite \(n\) a la limite \(+\infty\) et est divergente ; la suite \((-1)^n\) est divergente et n'a pas de limite. Une suite peut aussi n'être pas bornée sans tendre vers \(\pm\infty\) : la suite \(u_n = (-1)^n n\) n'est pas bornée, mais elle n'a pas de limite dans \(\overline{\mathbb{R}}\) : une limite finie la rendrait bornée, la limite \(+\infty\) est exclue parce que \(u_n \le 0\) pour tout \(n\) impair, et la limite \(-\infty\) parce que \(u_n \ge 0\) pour tout \(n\) pair.
Compétences à pratiquer
- Décider du vrai et du faux sur limites et bornitude ★
- Utiliser l'unicité et la bornitude de la limite ★
- Utiliser le signe d'une limite ★★
- Démontrer un énoncé sur les suites convergentes avec une idée ★★★
III.3
Opérations sur les limites
Calculer avec des limites
Les sommes, produits et quotients de suites qui ont des limites obéissent à des règles que l'on lit d'abord dans des tableaux. Ces règles sont des théorèmes : le cas fini se ramène aux suites de limite nulle, et le cas infini à un seuil \(A\). Quatre combinaisons ne sont pas couvertes, les formes indéterminées \(+\infty - \infty\), \(0 \cdot \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(\frac{0}{0}\) : chacune exige son étude, parce que la limite du résultat peut être n'importe quel nombre, peut être infinie, ou peut ne pas exister.
Proposition — Suites de limite nulle
Soient \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) des suites réelles de limite \(0\), et \((b_n)\) une suite bornée. - \(\alpha_n + \beta_n \to 0\) et \(b_n \alpha_n \to 0\).
- \(u_n \to \ell\) si et seulement si \(u_n - \ell \to 0\), si et seulement si \(\lvert u_n - \ell \rvert \to 0\), pour une suite réelle \((u_n)\) et \(\ell \in \mathbb{R}\).
La somme. Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe des rangs \(N_1\) et \(N_2\) tels que \(\lvert \alpha_n \rvert \le \frac{\varepsilon}{2}\) pour \(n \ge N_1\) et \(\lvert \beta_n \rvert \le \frac{\varepsilon}{2}\) pour \(n \ge N_2\). Pour \(n \ge \max(N_1, N_2)\), $$ \begin{aligned} \lvert \alpha_n + \beta_n \rvert &\le \lvert \alpha_n \rvert + \lvert \beta_n \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\
&\le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} && \text{(choix de \(N_1\) et \(N_2\))} \\
&= \varepsilon. \end{aligned} $$ Le produit. Comme \((b_n)\) est bornée, la Proposition « Bornée si et seulement si \(\lvert u_n \rvert\) majorée » donne \(K_0 \ge 0\) avec \(\lvert b_n \rvert \le K_0\) pour tout \(n\) ; posons \(K = K_0 + 1 > 0\). Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang \(N\) avec \(\lvert \alpha_n \rvert \le \frac{\varepsilon}{K}\) pour \(n \ge N\), et pour un tel \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert b_n \alpha_n \rvert &= \lvert b_n \rvert \, \lvert \alpha_n \rvert && \text{(valeur absolue d'un produit)} \\
&\le K \cdot \frac{\varepsilon}{K} && \text{(\(\lvert b_n \rvert \le K\) et choix de \(N\))} \\
&= \varepsilon. \end{aligned} $$ La caractérisation. Pour \(\ell \in \mathbb{R}\), l'énoncé \(\lvert (u_n - \ell) - 0 \rvert \le \varepsilon\) est exactement \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon\), et l'énoncé \(\big\lvert \lvert u_n - \ell \rvert - 0 \big\rvert \le \varepsilon\) est le même, puisque \(\big\lvert \lvert x \rvert \big\rvert = \lvert x \rvert\). Donc les trois énoncés de limite sont un seul énoncé.
Proposition — Opérations sur les limites finies
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites réelles avec \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to m\), où \(\ell, m \in \mathbb{R}\). - Combinaison linéaire : pour \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(\lambda u_n + \mu v_n \to \lambda \ell + \mu m\).
- Produit : \(u_n v_n \to \ell m\).
- Quotient : si \(m \ne 0\), alors \(v_n \ne 0\) à partir d'un certain rang, et \(\frac{u_n}{v_n} \to \frac{\ell}{m}\).
Posons \(\alpha_n = u_n - \ell\) et \(\beta_n = v_n - m\). Par la Proposition « Suites de limite nulle », \(\alpha_n \to 0\) et \(\beta_n \to 0\). Une suite constante est bornée, et une suite convergente est bornée par la Proposition « Convergente implique bornée ».
Combinaison linéaire. Pour tout \(n\), \((\lambda u_n + \mu v_n) - (\lambda \ell + \mu m) = \lambda \alpha_n + \mu \beta_n\). Les suites \(\lambda \alpha_n\) et \(\mu \beta_n\) tendent vers \(0\), comme produit d'une suite constante bornée par une suite de limite nulle, et leur somme aussi, par la Proposition « Suites de limite nulle ». Donc \(\lambda u_n + \mu v_n - (\lambda \ell + \mu m) \to 0\), ce qui est \(\lambda u_n + \mu v_n \to \lambda \ell + \mu m\) par la même Proposition.
Produit. Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} u_n v_n - \ell m &= (u_n - \ell) v_n + \ell (v_n - m) && \text{(ajout et retrait de \(\ell v_n\))} \\ &= \alpha_n v_n + \ell \beta_n. \end{aligned} $$ La suite \((v_n)\) est bornée, donc \(\alpha_n v_n \to 0\) ; et \(\ell \beta_n \to 0\). Donc leur somme tend vers \(0\) : \(u_n v_n \to \ell m\).
Quotient. Soit \(m \ne 0\). Par la Proposition « Signe d'une limite », il existe un rang \(N_0\) avec \(\lvert v_n \rvert > \frac{\lvert m \rvert}{2} > 0\) pour \(n \ge N_0\) : en particulier \(v_n \ne 0\). Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang \(N \ge N_0\) avec \(\lvert v_n - m \rvert \le \frac{\varepsilon m^2}{2}\) pour \(n \ge N\), et pour un tel \(n\), $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{v_n} - \frac{1}{m} \right\rvert &= \frac{\lvert m - v_n \rvert}{\lvert m \rvert \, \lvert v_n \rvert} && \text{(dénominateur commun)} \\ &\le \frac{2 \lvert v_n - m \rvert}{m^2} && \text{(\(\lvert v_n \rvert > \frac{\lvert m \rvert}{2}\))} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\lvert v_n - m \rvert \le \frac{\varepsilon m^2}{2}\). Donc \(\frac{1}{v_n} \to \frac{1}{m}\), en donnant à \(\frac{1}{v_n}\) une valeur quelconque pour \(n < N_0\), ce qui ne change aucune limite par la Proposition « Modifier un nombre fini de termes ». Par le produit, \(\frac{u_n}{v_n} = u_n \cdot \frac{1}{v_n} \to \ell \cdot \frac{1}{m}\).
Combinaison linéaire. Pour tout \(n\), \((\lambda u_n + \mu v_n) - (\lambda \ell + \mu m) = \lambda \alpha_n + \mu \beta_n\). Les suites \(\lambda \alpha_n\) et \(\mu \beta_n\) tendent vers \(0\), comme produit d'une suite constante bornée par une suite de limite nulle, et leur somme aussi, par la Proposition « Suites de limite nulle ». Donc \(\lambda u_n + \mu v_n - (\lambda \ell + \mu m) \to 0\), ce qui est \(\lambda u_n + \mu v_n \to \lambda \ell + \mu m\) par la même Proposition.
Produit. Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} u_n v_n - \ell m &= (u_n - \ell) v_n + \ell (v_n - m) && \text{(ajout et retrait de \(\ell v_n\))} \\ &= \alpha_n v_n + \ell \beta_n. \end{aligned} $$ La suite \((v_n)\) est bornée, donc \(\alpha_n v_n \to 0\) ; et \(\ell \beta_n \to 0\). Donc leur somme tend vers \(0\) : \(u_n v_n \to \ell m\).
Quotient. Soit \(m \ne 0\). Par la Proposition « Signe d'une limite », il existe un rang \(N_0\) avec \(\lvert v_n \rvert > \frac{\lvert m \rvert}{2} > 0\) pour \(n \ge N_0\) : en particulier \(v_n \ne 0\). Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang \(N \ge N_0\) avec \(\lvert v_n - m \rvert \le \frac{\varepsilon m^2}{2}\) pour \(n \ge N\), et pour un tel \(n\), $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{v_n} - \frac{1}{m} \right\rvert &= \frac{\lvert m - v_n \rvert}{\lvert m \rvert \, \lvert v_n \rvert} && \text{(dénominateur commun)} \\ &\le \frac{2 \lvert v_n - m \rvert}{m^2} && \text{(\(\lvert v_n \rvert > \frac{\lvert m \rvert}{2}\))} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\lvert v_n - m \rvert \le \frac{\varepsilon m^2}{2}\). Donc \(\frac{1}{v_n} \to \frac{1}{m}\), en donnant à \(\frac{1}{v_n}\) une valeur quelconque pour \(n < N_0\), ce qui ne change aucune limite par la Proposition « Modifier un nombre fini de termes ». Par le produit, \(\frac{u_n}{v_n} = u_n \cdot \frac{1}{v_n} \to \ell \cdot \frac{1}{m}\).
Proposition — Opérations avec des limites infinies
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites réelles avec \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to m\), où \(\ell, m \in \overline{\mathbb{R}}\). - Somme : si \(\ell\) et \(m\) ne sont pas \(+\infty\) et \(-\infty\) dans un ordre ou l'autre, alors \(u_n + v_n \to \ell + m\), avec \(\ell + (+\infty) = +\infty\) et \(\ell + (-\infty) = -\infty\) pour \(\ell \in \mathbb{R}\), \((+\infty) + (+\infty) = +\infty\) et \((-\infty) + (-\infty) = -\infty\).
- Produit : si \(\ell\) et \(m\) ne sont pas \(0\) et une limite infinie dans un ordre ou l'autre, alors \(u_n v_n \to \ell m\), avec la règle des signes : \(\ell \cdot (+\infty) = +\infty\) pour \(\ell > 0\) et \(-\infty\) pour \(\ell < 0\), \((+\infty)(+\infty) = (-\infty)(-\infty) = +\infty\), et \((+\infty)(-\infty) = -\infty\).
- Inverse : si \(u_n \to +\infty\) ou \(u_n \to -\infty\), alors \(u_n \ne 0\) à partir d'un certain rang et \(\frac{1}{u_n} \to 0\). Si \(u_n \to 0\) et \(u_n > 0\) à partir d'un certain rang, alors \(\frac{1}{u_n} \to +\infty\) ; si \(u_n \to 0\) et \(u_n < 0\) à partir d'un certain rang, alors \(\frac{1}{u_n} \to -\infty\).
Symétrie. Pour \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\), \(u_n \to \ell\) si et seulement si \(-u_n \to -\ell\) : pour une limite finie, \(\lvert -u_n - (-\ell) \rvert = \lvert u_n - \ell \rvert\), et pour une limite infinie, \(u_n \ge A \iff -u_n \le -A\). Donc tout cas avec une limite \(-\infty\) se déduit d'un cas avec \(+\infty\), en changeant le signe d'une des suites ou des deux.
Somme. Soient \(u_n \to +\infty\) et \(c \in \mathbb{R}\) avec \(v_n \ge c\) à partir d'un certain rang. Pour \(A \in \mathbb{R}\), il existe un rang à partir duquel \(v_n \ge c\) et \(u_n \ge A - c\), et alors \(u_n + v_n \ge (A - c) + c = A\) : donc \(u_n + v_n \to +\infty\). Cela couvre toute somme avec \(+\infty\) : si \(v_n \to m \in \mathbb{R}\), alors \(v_n > m - 1\) à partir d'un certain rang par la Proposition « Signe d'une limite », et si \(v_n \to +\infty\), alors \(v_n \ge 0\) à partir d'un certain rang. Les sommes avec \(-\infty\) s'en déduisent par symétrie.
Produit. Soient \(u_n \to +\infty\) et \(c > 0\) avec \(v_n \ge c\) à partir d'un certain rang. Pour \(A \in \mathbb{R}\), posons \(A' = \max(A, 1)\). Il existe un rang à partir duquel \(v_n \ge c\) et \(u_n \ge \frac{A'}{c} > 0\), et alors \(u_n v_n \ge \frac{A'}{c} \cdot c = A' \ge A\) : donc \(u_n v_n \to +\infty\). Cela couvre \(m > 0\), fini — prendre \(c = \frac{m}{2}\), par la Proposition « Signe d'une limite » — et \(m = +\infty\) — prendre \(c = 1\). Si \(m < 0\) ou \(m = -\infty\), alors \(-v_n \to -m > 0\) et \(u_n v_n = -\big( u_n (-v_n) \big) \to -\infty\). Si \(u_n \to -\infty\) et \(v_n \to -\infty\), alors \(u_n v_n = (-u_n)(-v_n) \to +\infty\). Les autres cas sont des échanges de \((u_n)\) et \((v_n)\), éventuellement avec un changement de signe de l'une d'elles (Symétrie).
Inverse. Soient \(u_n \to +\infty\) et \(\varepsilon > 0\). À partir d'un certain rang, \(u_n \ge \frac{1}{\varepsilon} > 0\), donc \(0 < \frac{1}{u_n} \le \varepsilon\) : \(\frac{1}{u_n} \to 0\). La limite \(-\infty\) s'en déduit par symétrie. Soient \(u_n \to 0\) avec \(u_n > 0\) à partir d'un certain rang, et \(A > 0\). À partir d'un certain rang, \(\lvert u_n \rvert \le \frac{1}{A}\) et \(u_n > 0\), donc \(0 < u_n \le \frac{1}{A}\) et \(\frac{1}{u_n} \ge A\) ; et \(\frac{1}{u_n} > 0 \ge A\) pour \(A \le 0\). Donc \(\frac{1}{u_n} \to +\infty\). Le cas \(u_n < 0\) s'en déduit par symétrie.
Somme. Soient \(u_n \to +\infty\) et \(c \in \mathbb{R}\) avec \(v_n \ge c\) à partir d'un certain rang. Pour \(A \in \mathbb{R}\), il existe un rang à partir duquel \(v_n \ge c\) et \(u_n \ge A - c\), et alors \(u_n + v_n \ge (A - c) + c = A\) : donc \(u_n + v_n \to +\infty\). Cela couvre toute somme avec \(+\infty\) : si \(v_n \to m \in \mathbb{R}\), alors \(v_n > m - 1\) à partir d'un certain rang par la Proposition « Signe d'une limite », et si \(v_n \to +\infty\), alors \(v_n \ge 0\) à partir d'un certain rang. Les sommes avec \(-\infty\) s'en déduisent par symétrie.
Produit. Soient \(u_n \to +\infty\) et \(c > 0\) avec \(v_n \ge c\) à partir d'un certain rang. Pour \(A \in \mathbb{R}\), posons \(A' = \max(A, 1)\). Il existe un rang à partir duquel \(v_n \ge c\) et \(u_n \ge \frac{A'}{c} > 0\), et alors \(u_n v_n \ge \frac{A'}{c} \cdot c = A' \ge A\) : donc \(u_n v_n \to +\infty\). Cela couvre \(m > 0\), fini — prendre \(c = \frac{m}{2}\), par la Proposition « Signe d'une limite » — et \(m = +\infty\) — prendre \(c = 1\). Si \(m < 0\) ou \(m = -\infty\), alors \(-v_n \to -m > 0\) et \(u_n v_n = -\big( u_n (-v_n) \big) \to -\infty\). Si \(u_n \to -\infty\) et \(v_n \to -\infty\), alors \(u_n v_n = (-u_n)(-v_n) \to +\infty\). Les autres cas sont des échanges de \((u_n)\) et \((v_n)\), éventuellement avec un changement de signe de l'une d'elles (Symétrie).
Inverse. Soient \(u_n \to +\infty\) et \(\varepsilon > 0\). À partir d'un certain rang, \(u_n \ge \frac{1}{\varepsilon} > 0\), donc \(0 < \frac{1}{u_n} \le \varepsilon\) : \(\frac{1}{u_n} \to 0\). La limite \(-\infty\) s'en déduit par symétrie. Soient \(u_n \to 0\) avec \(u_n > 0\) à partir d'un certain rang, et \(A > 0\). À partir d'un certain rang, \(\lvert u_n \rvert \le \frac{1}{A}\) et \(u_n > 0\), donc \(0 < u_n \le \frac{1}{A}\) et \(\frac{1}{u_n} \ge A\) ; et \(\frac{1}{u_n} > 0 \ge A\) pour \(A \le 0\). Donc \(\frac{1}{u_n} \to +\infty\). Le cas \(u_n < 0\) s'en déduit par symétrie.
Proposition — La racine carrée d'une limite
Soit \((u_n)\) une suite de nombres positifs ou nuls avec \(u_n \to \ell \in [0, +\infty]\). Alors \(\sqrt{u_n} \to \sqrt{\ell}\), avec \(\sqrt{+\infty} = +\infty\).
La limite \(+\infty\). Soit \(A > 0\). À partir d'un certain rang \(u_n \ge A^2\), donc \(\sqrt{u_n} \ge A\) puisque \(\sqrt{\cdot}\) est croissante ; pour \(A \le 0\), \(\sqrt{u_n} \ge 0 \ge A\). Donc \(\sqrt{u_n} \to +\infty\).
Une limite finie. On démontre d'abord que \(\lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \le \sqrt{\lvert a - b \rvert}\) pour \(a, b \ge 0\). Comme \(\lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\), $$ \begin{aligned} \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert^2 &= \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \cdot \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert && \text{(carré d'un nombre)} \\ &\le \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \, (\sqrt{a} + \sqrt{b}) && \text{(\(\lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\))} \\ &= \lvert (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \rvert && \text{(\(\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0\))} \\ &= \lvert a - b \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape par la différence de deux carrés. Prendre les racines carrées, opération qui conserve l'ordre, donne l'inégalité. Soit maintenant \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang à partir duquel \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon^2\), et pour un tel \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} \rvert &\le \sqrt{\lvert u_n - \ell \rvert} && \text{(l'inégalité pour deux racines carrées)} \\ &\le \sqrt{\varepsilon^2} && \text{(\(\sqrt{\cdot}\) est croissante)} \\ &= \varepsilon. \end{aligned} $$ Seconde démonstration pour \(\ell > 0\) : le conjugué. Pour tout \(n\), \(\sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} = \frac{u_n - \ell}{\sqrt{u_n} + \sqrt{\ell}}\), et \(\sqrt{u_n} + \sqrt{\ell} \ge \sqrt{\ell} > 0\), donc \(\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} \rvert \le \frac{\lvert u_n - \ell \rvert}{\sqrt{\ell}}\). Soit \(\varepsilon > 0\). À partir d'un certain rang \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon \sqrt{\ell}\), et alors \(\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} \rvert \le \varepsilon\). La première démonstration couvre aussi \(\ell = 0\).
Une limite finie. On démontre d'abord que \(\lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \le \sqrt{\lvert a - b \rvert}\) pour \(a, b \ge 0\). Comme \(\lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\), $$ \begin{aligned} \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert^2 &= \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \cdot \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert && \text{(carré d'un nombre)} \\ &\le \lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \, (\sqrt{a} + \sqrt{b}) && \text{(\(\lvert \sqrt{a} - \sqrt{b} \rvert \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\))} \\ &= \lvert (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \rvert && \text{(\(\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0\))} \\ &= \lvert a - b \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape par la différence de deux carrés. Prendre les racines carrées, opération qui conserve l'ordre, donne l'inégalité. Soit maintenant \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang à partir duquel \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon^2\), et pour un tel \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} \rvert &\le \sqrt{\lvert u_n - \ell \rvert} && \text{(l'inégalité pour deux racines carrées)} \\ &\le \sqrt{\varepsilon^2} && \text{(\(\sqrt{\cdot}\) est croissante)} \\ &= \varepsilon. \end{aligned} $$ Seconde démonstration pour \(\ell > 0\) : le conjugué. Pour tout \(n\), \(\sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} = \frac{u_n - \ell}{\sqrt{u_n} + \sqrt{\ell}}\), et \(\sqrt{u_n} + \sqrt{\ell} \ge \sqrt{\ell} > 0\), donc \(\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} \rvert \le \frac{\lvert u_n - \ell \rvert}{\sqrt{\ell}}\). Soit \(\varepsilon > 0\). À partir d'un certain rang \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon \sqrt{\ell}\), et alors \(\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{\ell} \rvert \le \varepsilon\). La première démonstration couvre aussi \(\ell = 0\).
Méthode — Opérations avec des limites infinies — tableau des règles
Pour trouver la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites qui ont des limites, trouver la limite de chaque terme, puis lire les règles de la Proposition « Opérations avec des limites infinies » : - Sommes : \((+\infty) + (+\infty) = +\infty\) ; \(\ell + (+\infty) = +\infty\) pour \(\ell \in \mathbb{R}\) ; de même avec \(-\infty\).
- Produits : \(\ell \cdot (+\infty) = +\infty\) si \(\ell > 0\) et \(-\infty\) si \(\ell < 0\) ; \((+\infty)(+\infty) = +\infty\) ; \((+\infty)(-\infty) = -\infty\) ; les autres signes suivent la règle des signes.
- Quotients : un quotient se lit comme le produit du numérateur par l'inverse du dénominateur, \(\frac{u_n}{v_n} = u_n \cdot \frac{1}{v_n}\) : \(\frac{\ell}{\pm\infty} = 0\) pour \(\ell \in \mathbb{R}\) ; \(\frac{+\infty}{\ell} = +\infty\) si \(\ell > 0\) et \(-\infty\) si \(\ell < 0\).
- Inverses de suites de limite nulle : si \(v_n \to 0\) avec \(v_n > 0\) à partir d'un certain rang, \(\frac{1}{v_n} \to +\infty\) ; avec \(v_n < 0\) à partir d'un certain rang, \(\frac{1}{v_n} \to -\infty\) ; si \(v_n \to 0\) sans signe constant, \(\frac{1}{v_n}\) n'a en général pas de limite.
Exemple — Une expression rationnelle en \(n\)
Calculer la limite de \(u_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 + 5}\).
Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\) : la forme est \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise le terme dominant \(n^2\). Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 + 5} &= \frac{n^2 \left( 3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2} \right)}{n^2 \left( 1 + \frac{5}{n^2} \right)} && \text{(factorisation de \(n^2\))} \\
&= \frac{\cancel{n^2} \left( 3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2} \right)}{\cancel{n^2} \left( 1 + \frac{5}{n^2} \right)} && \text{(simplification par \(n^2 \ne 0\))} \\
&\xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{3 + 0 - 0}{1 + 0} && \text{(opérations sur les limites finies, \(\tfrac{1}{n} \to 0\) et \(\tfrac{1}{n^2} \to 0\))} \\
&= 3. \end{aligned} $$ La limite \(\frac{1}{n} \to 0\) est l'Exemple « La suite \(\frac{1}{n}\) tend vers \(0\) », et \(\frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \to 0\) par le produit.
Exemple — Un produit de deux expressions convergentes
Calculer la limite de \(u_n = \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \left( 3 - \frac{1}{n^2} \right)\).
Chaque facteur a une limite finie, donc aucune forme indéterminée n'apparaît. Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \left( 3 - \frac{1}{n^2} \right) &\xrightarrow[n \to +\infty]{} (2 + 0)(3 - 0) && \text{(opérations sur les limites finies, \(\tfrac{1}{n} \to 0\) et \(\tfrac{1}{n^2} \to 0\))} \\
&= 6. \end{aligned} $$
Exemple — Une différence de racines carrées
Calculer la limite de \(u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\).
Les deux racines carrées tendent vers \(+\infty\), par la Proposition « La racine carrée d'une limite » : la forme est \(+\infty - \infty\). On multiplie par la quantité conjuguée. Pour \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} &= \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} && \text{(multiplication et division par la quantité conjuguée)} \\
&= \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} && \text{(différence de deux carrés)} \\
&= \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} && \text{(simplification)} \\
&\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to +\infty\), comme somme de deux suites qui tendent vers \(+\infty\), et que l'inverse d'une suite qui tend vers \(+\infty\) tend vers \(0\) (Proposition « Opérations avec des limites infinies »).
Méthode — Lever une forme indéterminée
Lorsque les règles donnent l'une des quatre formes indéterminées, changer l'expression avant de passer à la limite, et préciser son domaine de validité (« pour \(n \ge 1\) ») : - Expressions rationnelles : factoriser le terme dominant. Dans un quotient de sommes de puissances de \(n\), factoriser la plus grande puissance de \(n\) au numérateur et au dénominateur, montrer la factorisation, et simplifier ; les termes restants ont des limites.
- Différences de racines carrées : multiplier par la quantité conjuguée. Pour \(a, b \ge 0\) avec \(a + b > 0\), \(\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\), et le dénominateur est strictement positif. Le numérateur est plus simple, et le numérateur et le dénominateur s'étudient ensuite séparément, car le dénominateur n'est pas toujours grand : dans le cas particulier \(+\infty - \infty\), avec \(a_n \to +\infty\) et \(b_n \to +\infty\), la somme \(\sqrt{a_n} + \sqrt{b_n}\) tend vers \(+\infty\), mais pour \(a_n = \frac{4}{n^2}\) et \(b_n = \frac{1}{n^2}\) elle vaut \(\frac{3}{n} \to 0\).
- Sinon : mettre les termes sur un dénominateur commun, ou séparer l'expression en une partie de limite connue et le produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle.
Piège : les quatre formes indéterminées
Lorsqu'une règle laisse la forme indéterminée, la limite dépend des suites et pas seulement de leurs limites : chaque forme indéterminée a des contre-exemples aux résultats différents.
- \(+\infty - \infty\) : \((n + 1) - n \to 1\), \(2n - n = n \to +\infty\), \(n - 2n = -n \to -\infty\), et \((n + (-1)^n) - n = (-1)^n\) n'a pas de limite.
- \(0 \cdot \infty\) : \(\frac{1}{n} \cdot n = 1\), \(\frac{1}{n^2} \cdot n = \frac{1}{n} \to 0\), \(\frac{1}{n} \cdot n^2 = n \to +\infty\).
- \(\frac{\infty}{\infty}\) : \(\frac{n}{n} = 1\), \(\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0\), \(\frac{n^2}{n} = n \to +\infty\).
- \(\frac{0}{0}\) : \(\frac{1/n}{1/n} = 1\), \(\frac{1/n^2}{1/n} = \frac{1}{n} \to 0\), \(\frac{1/n}{1/n^2} = n \to +\infty\).
Compétences à pratiquer
- Calculer la limite d'une expression rationnelle en \(n\) ★
- Lever une forme indéterminée avec une quantité conjuguée ★
- Démontrer une règle sur les limites à partir de la définition ★★
- Trouver les limites possibles d'une somme, d'un produit ou d'un quotient ★★★
III.4
Limites et inégalités
Comparer par des inégalités
Les inégalités entre suites transmettent de l'information sur les limites, dans deux sens qu'il ne faut pas mélanger. Le théorème d'encadrement et les théorèmes de comparaison donnent une limite : à partir d'inégalités, ils concluent qu'une limite existe. Le passage à la limite suppose que les limites existent et les compare. Ensemble, ils justifient la plupart des calculs explicites de limites.
Proposition — Passage à la limite dans une inégalité large
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites réelles avec \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to m\), où \(\ell, m \in \overline{\mathbb{R}}\). Si \(u_n \le v_n\) à partir d'un certain rang, alors \(\ell \le m\). Une inégalité stricte n'est pas conservée : \(\frac{1}{n+1} < \frac{2}{n+1}\) pour tout \(n\), et les deux suites tendent vers \(0\).
Supposons, par l'absurde, que \(\ell > m\). Il existe un réel \(c\) avec \(m < c < \ell\) : prendre \(c = \frac{\ell + m}{2}\) si les deux sont finis, \(c = m + 1\) si \(\ell = +\infty\) et \(m\) est fini, \(c = \ell - 1\) si \(m = -\infty\) et \(\ell\) est fini, et \(c = 0\) si \(\ell = +\infty\) et \(m = -\infty\). Par la Proposition « Signe d'une limite », \(u_n > c\) à partir d'un certain rang, puisque \(\ell > c\), et \(v_n < c\) à partir d'un certain rang, puisque \(m < c\). Pour \(n\) au-delà de ces deux rangs et du rang de l'hypothèse, $$ \begin{aligned} v_n &< c && \text{(\(m < c\))} \\
&< u_n && \text{(\(\ell > c\))} \\
&\le v_n, \end{aligned} $$ la dernière étape par l'hypothèse. Cela donne \(v_n < v_n\), ce qui est absurde. Donc \(\ell \le m\).
Théorème — Théorème d'encadrement
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) des suites réelles et \(\ell \in \mathbb{R}\). Si \(u_n \le v_n \le w_n\) à partir d'un certain rang, \(u_n \to \ell\) et \(w_n \to \ell\), alors \(v_n \to \ell\).
Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang \(N\) à partir duquel \(u_n \le v_n \le w_n\), \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon\) et \(\lvert w_n - \ell \rvert \le \varepsilon\) (le plus grand des trois rangs). Pour \(n \ge N\), les deux dernières inégalités donnent \(\ell - \varepsilon \le u_n\) et \(w_n \le \ell + \varepsilon\), et $$ \begin{aligned} \ell - \varepsilon &\le u_n && \text{(\(\lvert u_n - \ell \rvert \le \varepsilon\))} \\
&\le v_n && \text{(hypothèse)} \\
&\le w_n && \text{(hypothèse)} \\
&\le \ell + \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\lvert w_n - \ell \rvert \le \varepsilon\). Donc \(\lvert v_n - \ell \rvert \le \varepsilon\) pour tout \(n \ge N\) : \(v_n \to \ell\).
Proposition — Minoration et majoration avec des limites infinies
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites réelles. - Si \(u_n \le v_n\) à partir d'un certain rang et \(u_n \to +\infty\), alors \(v_n \to +\infty\).
- Si \(v_n \le u_n\) à partir d'un certain rang et \(u_n \to -\infty\), alors \(v_n \to -\infty\).
Le premier point. Soit \(A \in \mathbb{R}\). Il existe un rang \(N\) à partir duquel \(u_n \ge A\) et \(u_n \le v_n\) (le plus grand du rang de la définition et du rang de l'hypothèse). Pour \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} v_n &\ge u_n && \text{(hypothèse)} \\
&\ge A, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n \ge A\). Donc \(v_n \to +\infty\).
Le second point. C'est le premier point avec les inégalités renversées : pour \(A \in \mathbb{R}\), il existe un rang à partir duquel \(u_n \le A\) et \(v_n \le u_n\), donc \(v_n \le A\). De façon équivalente, le premier point appliqué à \(-u_n \le -v_n\), avec \(-u_n \to +\infty\).
Le second point. C'est le premier point avec les inégalités renversées : pour \(A \in \mathbb{R}\), il existe un rang à partir duquel \(u_n \le A\) et \(v_n \le u_n\), donc \(v_n \le A\). De façon équivalente, le premier point appliqué à \(-u_n \le -v_n\), avec \(-u_n \to +\infty\).
Proposition — Encadrement à zéro
Soient \((u_n)\) et \((\alpha_n)\) des suites réelles et \(\ell \in \mathbb{R}\). Si \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \alpha_n\) à partir d'un certain rang et \(\alpha_n \to 0\), alors \(u_n \to \ell\).
Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe un rang \(N\) à partir duquel \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \alpha_n\) et \(\lvert \alpha_n \rvert \le \varepsilon\) (le plus grand des deux rangs). Pour \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} \lvert u_n - \ell \rvert &\le \alpha_n && \text{(hypothèse)} \\
&\le \lvert \alpha_n \rvert && \text{(\(x \le \lvert x \rvert\))} \\
&\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape par le choix de \(N\). Donc \(u_n \to \ell\).
Seconde démonstration, par le théorème d'encadrement. À partir du rang de l'hypothèse, \(\ell - \alpha_n \le u_n \le \ell + \alpha_n\), puisque \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \alpha_n\) signifie \(-\alpha_n \le u_n - \ell \le \alpha_n\). Par la Proposition « Opérations sur les limites finies », \(\ell - \alpha_n \to \ell\) et \(\ell + \alpha_n \to \ell\). Le Théorème « Théorème d'encadrement » donne \(u_n \to \ell\).
Seconde démonstration, par le théorème d'encadrement. À partir du rang de l'hypothèse, \(\ell - \alpha_n \le u_n \le \ell + \alpha_n\), puisque \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \alpha_n\) signifie \(-\alpha_n \le u_n - \ell \le \alpha_n\). Par la Proposition « Opérations sur les limites finies », \(\ell - \alpha_n \to \ell\) et \(\ell + \alpha_n \to \ell\). Le Théorème « Théorème d'encadrement » donne \(u_n \to \ell\).
Proposition — Les valeurs décimales approchées convergent
Soient \(x \in \mathbb{R}\) et \(r_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}\) sa valeur décimale approchée par défaut à \(10^{-n}\) près, comme dans le chapitre Nombres réels. Alors \(r_n \to x\) et \(r_n + 10^{-n} \to x\). Donc tout réel est la limite d'une suite de nombres décimaux, donc d'une suite de nombres rationnels.
Par la Proposition « Approximations décimales » du chapitre Nombres réels, \(0 \le x - r_n < 10^{-n}\) pour tout \(n\). Pour \(n \ge 1\), l'inégalité de Bernoulli donne \(10^n = (1 + 9)^n \ge 1 + 9n > n\), donc \(10^{-n} < \frac{1}{n}\).
Par l'encadrement à zéro. Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} \lvert r_n - x \rvert &= x - r_n && \text{(\(x - r_n \ge 0\))} \\ &< 10^{-n} && \text{(valeur décimale approchée par défaut)} \\ &< \frac{1}{n}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(10^{-n} < \frac{1}{n}\). Comme \(\frac{1}{n} \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(r_n \to x\). De plus \(r_n + 10^{-n} - x = 10^{-n} - (x - r_n)\) est dans \(]0, 10^{-n}]\), donc \(\lvert r_n + 10^{-n} - x \rvert \le 10^{-n} < \frac{1}{n}\), et la même Proposition donne \(r_n + 10^{-n} \to x\).
Par l'encadrement à zéro. Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} \lvert r_n - x \rvert &= x - r_n && \text{(\(x - r_n \ge 0\))} \\ &< 10^{-n} && \text{(valeur décimale approchée par défaut)} \\ &< \frac{1}{n}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(10^{-n} < \frac{1}{n}\). Comme \(\frac{1}{n} \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(r_n \to x\). De plus \(r_n + 10^{-n} - x = 10^{-n} - (x - r_n)\) est dans \(]0, 10^{-n}]\), donc \(\lvert r_n + 10^{-n} - x \rvert \le 10^{-n} < \frac{1}{n}\), et la même Proposition donne \(r_n + 10^{-n} \to x\).
Exemple — Un sinus sur \(n\)
Calculer la limite de \(u_n = \frac{\sin n}{n}\) avec le théorème d'encadrement.
On ne connaît aucune limite pour \(\sin n\), donc aucune règle d'opérations ne s'applique. On encadre \(u_n\) entre deux suites. Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} -\frac{1}{n} &\le \frac{\sin n}{n} && \text{(\(\sin n \ge -1\) et \(n > 0\))} \\
&\le \frac{1}{n}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\sin n \le 1\) et \(n > 0\). Les suites \(\frac{1}{n}\) et \(-\frac{1}{n}\) tendent vers \(0\), par l'Exemple « La suite \(\frac{1}{n}\) tend vers \(0\) » et les opérations sur les limites finies. Par le Théorème « Théorème d'encadrement », \(\frac{\sin n}{n} \to 0\).
Exemple — Un cosinus ajouté à \(n\)
Calculer la limite de \(u_n = \cos(n^2) + n\) par minoration.
On ne connaît aucune limite pour \(\cos(n^2)\), donc aucune règle d'opérations ne s'applique. On minore \(u_n\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_n &= \cos(n^2) + n && \text{(définition de la suite)} \\
&\ge -1 + n && \text{(\(\cos(n^2) \ge -1\))} \\
&= n - 1. \end{aligned} $$ La suite \(n - 1\) tend vers \(+\infty\), comme somme de \(n \to +\infty\) et de la constante \(-1\). Par la Proposition « Minoration et majoration avec des limites infinies », \(u_n \to +\infty\).
Exemple — Une racine carrée moins un
Calculer la limite de \(u_n = n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} - 1 \right)\).
Le facteur \(n\) tend vers \(+\infty\) et la parenthèse vers \(0\) : la forme est \(0 \cdot \infty\). On multiplie par la quantité conjuguée, puis on majore. Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} u_n &= n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} - 1 \right) && \text{(définition de la suite)} \\
&= n \cdot \frac{\left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) - 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} && \text{(multiplication et division par la quantité conjuguée)} \\
&= \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} && \text{(\(n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}\))} \\
&\le \frac{1}{n}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le dénominateur est au moins égal à \(1\). De plus \(u_n \ge 0\), comme quotient de nombres strictement positifs. Donc \(0 \le u_n \le \frac{1}{n}\), avec \(0 \to 0\) et \(\frac{1}{n} \to 0\) : par le Théorème « Théorème d'encadrement », \(u_n \to 0\).
Méthode — Encadrer par une suite tendant vers \(0\)
Pour montrer que \(u_n \to \ell\) lorsque les opérations sur les limites ne s'appliquent pas : - Deviner \(\ell\) à partir des premiers termes ou du terme dominant, et écrire \(u_n - \ell\) comme une seule fraction ou un seul produit.
- Majorer \(\lvert u_n - \ell \rvert\) par une expression simple \(\alpha_n\), avec \(\lvert \cos x \rvert \le 1\), \(\lvert \sin x \rvert \le 1\), l'inégalité triangulaire, ou un dénominateur plus petit : \(\frac{1}{n^2 + 1} \le \frac{1}{n^2}\). La majoration \(\alpha_n\) doit tendre vers \(0\) : une majoration comme \(\lvert u_n - \ell \rvert \le 1\) ne prouve rien.
- Reconnaître que \(\alpha_n \to 0\) parmi les suites de référence, \(\frac{1}{n}\), \(\frac{1}{n^2}\), \(\frac{1}{\sqrt{n}}\), ou par les opérations sur les limites.
- Conclure avec la Proposition « Encadrement à zéro » ; si \(u_n\) est encadrée entre deux suites de même limite, avec le Théorème « Théorème d'encadrement ».
Piège : l'encadrement donne la limite, le passage à la limite la suppose
Le théorème d'encadrement et le passage à la limite dans une inégalité sont des énoncés différents. Le théorème d'encadrement part d'inégalités et conclut qu'une limite existe, et donne sa valeur. Le passage à la limite suppose que les deux limites existent, et les compare : on ne « prend pas la limite d'une inégalité » avant de savoir que les limites existent. Pour \(u_n = (-1)^n \le 1\), la limite du membre de gauche n'existe pas, et aucune conclusion n'est tirée. Et une inégalité stricte devient large : \(\frac{1}{n+1} < \frac{2}{n+1}\), alors que les deux limites valent \(0\).
Compétences à pratiquer
- Dire ce qui survit à la limite ★
- Calculer une limite par le théorème d'encadrement ★
- Appliquer le théorème de minoration ou de majoration ★
- Encadrer une somme ou une partie entière ★★
- Passer à la limite dans une inégalité ★★
- Utiliser le théorème d'encadrement avec une idée ★★★
IV
Existence d'une limite
Des limites sans les calculer
Certaines limites ne se calculent ni par des opérations ni par des inégalités, et pourtant elles existent pour des raisons structurelles : une suite monotone bornée n'a nulle part où aller, et deux suites qui resserrent un intervalle entre elles ne peuvent pas se manquer. Les théorèmes d'existence donnent une limite sans la calculer, et ils reposent sur la propriété de la borne supérieure de \(\mathbb{R}\) : le théorème de la limite monotone, puis le théorème des suites adjacentes, qui s'y ramène. Un troisième théorème d'existence, le théorème de Bolzano-Weierstrass, extrait une suite extraite convergente d'une suite bornée.
IV.1
Le théorème de la limite monotone
Une suite monotone a une limite
Une suite qui croît ne peut pas osciller : ou bien elle reste au-dessous d'un certain nombre, et alors elle s'accumule contre le plus petit de ses majorants, ou bien elle dépasse tout nombre. Cela s'énonce d'abord sans démonstration, avec une mise en garde : l'existence de la limite ne donne pas sa valeur. La démonstration emploie la propriété de la borne supérieure de \(\mathbb{R}\), qui est exactement la propriété qui manque aux nombres rationnels.
Théorème — Théorème de la limite monotone
Soit \((u_n)\) une suite réelle. - Si \((u_n)\) est croissante et majorée, elle converge et \(\lim u_n = \sup_n u_n\). Si \((u_n)\) est croissante et non majorée, alors \(u_n \to +\infty\).
- Si \((u_n)\) est décroissante et minorée, elle converge et \(\lim u_n = \inf_n u_n\). Si \((u_n)\) est décroissante et non minorée, alors \(u_n \to -\infty\).
- Croissante et majorée. L'ensemble \(\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}\) est non vide et majoré, donc par la propriété de la borne supérieure il a une borne supérieure \(M = \sup_n u_n \in \mathbb{R}\). Soit \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation \(\varepsilon\) de la borne supérieure, il existe un indice \(N\) avec \(M - \varepsilon < u_N \le M\). Pour tout \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} M - \varepsilon &< u_N && \text{(choix de \(N\))} \\ &\le u_n && \text{(\((u_n)\) est croissante et \(n \ge N\))} \\ &\le M, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(M\) est un majorant. Donc \(\lvert u_n - M \rvert \le \varepsilon\) pour tout \(n \ge N\) : \(u_n \to M\).
- Croissante et non majorée. Soit \(A \in \mathbb{R}\). Comme \(A\) n'est pas un majorant de la suite, il existe un indice \(N\) avec \(u_N > A\). Pour tout \(n \ge N\), \(u_n \ge u_N > A\), parce que \((u_n)\) est croissante. Donc \(u_n \to +\infty\).
- Décroissante. La suite \((-u_n)\) est croissante. Si \((u_n)\) est minorée, \((-u_n)\) est majorée, donc \(-u_n \to \sup_n (-u_n) = -\inf_n u_n\), et en multipliant par \(-1\), par la Proposition « Opérations sur les limites finies », \(u_n \to \inf_n u_n\). Si \((u_n)\) n'est pas minorée, \((-u_n)\) n'est pas majorée, donc \(-u_n \to +\infty\), et en multipliant par \(-1\), par la Proposition « Opérations avec des limites infinies », \(u_n \to -\infty\).
Proposition — Une suite monotone bornée converge
Soit \((u_n)\) une suite réelle. Si \((u_n)\) est monotone à partir d'un certain rang et bornée, alors elle est convergente.
Supposons que \((u_n)\) soit croissante à partir du rang \(N\) ; le cas décroissant est le même avec les inégalités renversées. Posons \(w_n = u_{\max(n, N)}\), de sorte que \(w_n = u_N\) pour \(n \le N\) et \(w_n = u_n\) pour \(n \ge N\). La suite \((w_n)\) est croissante, et elle est bornée car ses termes sont des termes de \((u_n)\). Par le Théorème « Théorème de la limite monotone », \((w_n)\) converge. Comme \(u_n = w_n\) pour \(n \ge N\), la suite \((u_n)\) converge vers la même limite, par la Proposition « Modifier un nombre fini de termes ».
Exemple — Une suite croissante et sa borne supérieure
La suite \(u_n = 2 - \frac{2}{n+1}\) est croissante, puisque \(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n+2} > 0\). Elle est majorée par \(2\) et par \(3\), et par tout nombre supérieur à \(2\). Sa borne supérieure est \(2\) : le nombre \(2\) est un majorant, et \(u_n > 2 - \varepsilon\) dès que \(n + 1 > \frac{2}{\varepsilon}\). Par le Théorème « Théorème de la limite monotone », \(u_n \to 2\), la borne supérieure, et non \(3\). 
Piège : la limite est la borne supérieure, pas un majorant quelconque
Le théorème de la limite monotone donne l'existence de la limite et l'identifie à la borne supérieure ou à la borne inférieure, sans nécessairement en fournir une valeur explicite. Une suite croissante majorée par \(3\) ne tend pas nécessairement vers \(3\) : elle tend vers sa borne supérieure, qui est le plus petit majorant, et qui peut être très en dessous de \(3\). La suite \(3 - \frac{1}{n+1}\) tend vers \(3\), et la suite \(1 - \frac{1}{n+1}\), elle aussi majorée par \(3\), tend vers \(1\). La valeur de la limite se trouve par un autre argument. Et une suite monotone qui n'est pas bornée ne « diverge pas sans limite » : elle tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\). Une suite sans limite, comme \(\big( (-1)^n \big)\), n'est jamais monotone.
Exemple — Une somme d'inverses de factorielles
Montrer que la suite \(u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\) converge.
On emploie le théorème de la limite monotone : la suite est croissante, et on la majore.
Croissance. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0\).
Une comparaison de termes. Pour \(k \ge 1\), notons \(P_k\) la propriété « \(k! \ge 2^{k-1}\) ». L'initialisation \(P_1\) est \(1 \ge 1\). Soit \(k \ge 1\) et supposons \(P_k\). Alors \((k+1)! = (k+1) \, k! \ge 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k\), car \(k + 1 \ge 2\) et par hypothèse de récurrence : c'est \(P_{k+1}\). Par récurrence, \(P_k\) est vraie pour tout \(k \ge 1\).
Majoration. Pour tout \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} u_n &= 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} && \text{(isolement du terme \(k = 0\))} \\ &\le 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} && \text{(\(k! \ge 2^{k-1}\))} \\ &= 1 + \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n}{1 - \frac{1}{2}} && \text{(somme géométrique de \(n\) termes, raison \(\frac{1}{2}\))} \\ &= 3 - 2 \left( \frac{1}{2} \right)^n && \text{(simplification)} \\ &< 3, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(2 \left( \frac{1}{2} \right)^n > 0\). Donc \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\) : par le Théorème « Théorème de la limite monotone », elle converge. Le théorème ne donne pas la valeur de la limite.
Croissance. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0\).
Une comparaison de termes. Pour \(k \ge 1\), notons \(P_k\) la propriété « \(k! \ge 2^{k-1}\) ». L'initialisation \(P_1\) est \(1 \ge 1\). Soit \(k \ge 1\) et supposons \(P_k\). Alors \((k+1)! = (k+1) \, k! \ge 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k\), car \(k + 1 \ge 2\) et par hypothèse de récurrence : c'est \(P_{k+1}\). Par récurrence, \(P_k\) est vraie pour tout \(k \ge 1\).
Majoration. Pour tout \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} u_n &= 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} && \text{(isolement du terme \(k = 0\))} \\ &\le 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} && \text{(\(k! \ge 2^{k-1}\))} \\ &= 1 + \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n}{1 - \frac{1}{2}} && \text{(somme géométrique de \(n\) termes, raison \(\frac{1}{2}\))} \\ &= 3 - 2 \left( \frac{1}{2} \right)^n && \text{(simplification)} \\ &< 3, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(2 \left( \frac{1}{2} \right)^n > 0\). Donc \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\) : par le Théorème « Théorème de la limite monotone », elle converge. Le théorème ne donne pas la valeur de la limite.
Exemple — La suite harmonique
Montrer que la suite \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) tend vers \(+\infty\).
La suite est croissante, puisque \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} > 0\). Par le théorème de la limite monotone, il suffit de montrer qu'elle n'est pas majorée.
Une minoration des termes d'indice \(2^p\). Pour \(p \in \mathbb{N}\), notons \(P_p\) la propriété « \(u_{2^p} \ge 1 + \frac{p}{2}\) ». L'initialisation \(P_0\) est \(u_1 = 1 \ge 1\). Soit \(p \in \mathbb{N}\) et supposons \(P_p\). La somme de \(k = 2^p + 1\) à \(k = 2^{p+1}\) a \(2^p\) termes, chacun au moins égal à \(\frac{1}{2^{p+1}}\), donc $$ \begin{aligned} u_{2^{p+1}} &= u_{2^p} + \sum_{k = 2^p + 1}^{2^{p+1}} \frac{1}{k} && \text{(séparation de la somme)} \\ &\ge u_{2^p} + 2^p \cdot \frac{1}{2^{p+1}} && \text{(chaque terme est au moins égal à \(\frac{1}{2^{p+1}}\))} \\ &\ge 1 + \frac{p}{2} + \frac{1}{2} && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= 1 + \frac{p+1}{2}, \end{aligned} $$ ce qui est \(P_{p+1}\). Par récurrence, \(P_p\) est vraie pour tout \(p \in \mathbb{N}\).
Non majorée. Soit \(M \in \mathbb{R}\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(p \in \mathbb{N}\) avec \(p > 2(M - 1)\). Alors \(u_{2^p} \ge 1 + \frac{p}{2} > M\). Donc aucun réel n'est un majorant de \((u_n)\).
Conclusion. La suite est croissante et non majorée : par le Théorème « Théorème de la limite monotone », \(u_n \to +\infty\).
Une minoration des termes d'indice \(2^p\). Pour \(p \in \mathbb{N}\), notons \(P_p\) la propriété « \(u_{2^p} \ge 1 + \frac{p}{2}\) ». L'initialisation \(P_0\) est \(u_1 = 1 \ge 1\). Soit \(p \in \mathbb{N}\) et supposons \(P_p\). La somme de \(k = 2^p + 1\) à \(k = 2^{p+1}\) a \(2^p\) termes, chacun au moins égal à \(\frac{1}{2^{p+1}}\), donc $$ \begin{aligned} u_{2^{p+1}} &= u_{2^p} + \sum_{k = 2^p + 1}^{2^{p+1}} \frac{1}{k} && \text{(séparation de la somme)} \\ &\ge u_{2^p} + 2^p \cdot \frac{1}{2^{p+1}} && \text{(chaque terme est au moins égal à \(\frac{1}{2^{p+1}}\))} \\ &\ge 1 + \frac{p}{2} + \frac{1}{2} && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= 1 + \frac{p+1}{2}, \end{aligned} $$ ce qui est \(P_{p+1}\). Par récurrence, \(P_p\) est vraie pour tout \(p \in \mathbb{N}\).
Non majorée. Soit \(M \in \mathbb{R}\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(p \in \mathbb{N}\) avec \(p > 2(M - 1)\). Alors \(u_{2^p} \ge 1 + \frac{p}{2} > M\). Donc aucun réel n'est un majorant de \((u_n)\).
Conclusion. La suite est croissante et non majorée : par le Théorème « Théorème de la limite monotone », \(u_n \to +\infty\).
Méthode — Convergence par le théorème de la limite monotone
Pour prouver qu'une suite \((u_n)\) converge sans calculer sa limite : - Prouver la monotonie : le signe de \(u_{n+1} - u_n\), ou le quotient d'une suite strictement positive, ou une récurrence, ou la monotonie de \(f\) pour \(u_n = f(n)\).
- Prouver la borne dans le bon sens : une suite croissante demande un majorant, une suite décroissante un minorant ; la borne est une constante, trouvée en comparant les termes à ceux d'une suite de somme connue, comme une somme géométrique, ou par récurrence.
- Conclure avec le Théorème « Théorème de la limite monotone » : la limite existe, et c'est \(\sup_n u_n\) pour une suite croissante et \(\inf_n u_n\) pour une suite décroissante.
- Pour prouver que la limite est \(+\infty\) ou \(-\infty\), prouver que la suite monotone n'est pas bornée, en exhibant des termes qui dépassent tout nombre.
Compétences à pratiquer
- Calculer la borne supérieure ou inférieure d'une suite monotone ★
- Démontrer la convergence par monotonie et majoration ★
- Démontrer la divergence d'une suite monotone ★★
- Majorer une somme pour démontrer sa convergence ★★
- Utiliser le théorème de la limite monotone avec une idée ★★★
IV.2
Suites adjacentes et segments emboîtés
Coincer une limite entre deux suites monotones
Lorsqu'une suite croît vers une limite et qu'une autre décroît vers elle, chacune est une borne pour l'autre et la limite est coincée entre elles. C'est la situation d'une approximation par défaut et par excès, comme les valeurs décimales approchées d'un réel. Le théorème des suites adjacentes dit exactement quand deux telles suites ont une limite commune, et il se ramène au théorème de la limite monotone. Sa forme géométrique, les segments emboîtés, définit un réel par approximations successives.
Définition — Suites adjacentes
Deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si trois conditions sont vérifiées : - \((u_n)\) est croissante ;
- \((v_n)\) est décroissante ;
- \(v_n - u_n \to 0\).
Proposition — Des suites adjacentes sont ordonnées
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites adjacentes. Alors \(u_n \le v_n\) pour tout \(n\).
Posons \(d_n = v_n - u_n\). La suite \((d_n)\) est décroissante : $$ \begin{aligned} d_{n+1} - d_n &= (v_{n+1} - v_n) - (u_{n+1} - u_n) && \text{(définition de \(d\))} \\
&\le 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(v_{n+1} - v_n \le 0\) et \(u_{n+1} - u_n \ge 0\). Fixons \(n\). Comme \((d_n)\) est décroissante, \(d_m \le d_n\) pour tout \(m \ge n\), par la Proposition « Monotonie par la différence, par le quotient ». En passant à la limite en \(m\) dans cette inégalité large, avec \(d_m \to 0\) et la suite constante \(d_n\) à droite, on obtient \(0 \le d_n\), par la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large ». Donc \(u_n \le v_n\) pour tout \(n\).
Théorème — Théorème des suites adjacentes
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites adjacentes. Alors elles convergent vers la même limite \(\ell \in \mathbb{R}\), et \(u_n \le \ell \le v_n\) pour tout \(n\).
Par la Proposition « Monotonie par la différence, par le quotient », une suite croissante vérifie \(u_n \le u_m\) et une suite décroissante vérifie \(v_m \le v_n\) dès que \(n \le m\). Avec la Proposition « Des suites adjacentes sont ordonnées », pour \(n \le m\), $$ \begin{aligned} u_n &\le u_m && \text{(\((u_n)\) est croissante)} \\
&\le v_m && \text{(des suites adjacentes sont ordonnées)} \\
&\le v_n, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((v_n)\) est décroissante. Pour \(n = 0\) cela s'écrit \(u_m \le v_0\) pour tout \(m\) : \((u_n)\) est croissante et majorée, donc \(u_n \to \ell \in \mathbb{R}\) par le Théorème « Théorème de la limite monotone ». Alors $$ \begin{aligned} v_n &= u_n + (v_n - u_n) && \text{(ajout et retrait de \(u_n\))} \\
&\xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell + 0 && \text{(opérations sur les limites finies, \(v_n - u_n \to 0\))} \\
&= \ell, \end{aligned} $$ donc les deux suites ont la même limite \(\ell\).
L'encadrement. Fixons \(n\). La chaîne ci-dessus donne \(u_n \le v_m\) et \(u_m \le v_n\) pour tout \(m \ge n\). En passant à la limite en \(m\), avec \(u_m \to \ell\) et \(v_m \to \ell\), la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » donne \(u_n \le \ell\) et \(\ell \le v_n\).
L'encadrement. Fixons \(n\). La chaîne ci-dessus donne \(u_n \le v_m\) et \(u_m \le v_n\) pour tout \(m \ge n\). En passant à la limite en \(m\), avec \(u_m \to \ell\) et \(v_m \to \ell\), la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » donne \(u_n \le \ell\) et \(\ell \le v_n\).
Proposition — Segments emboîtés
Soient \(([a_n, b_n])_{n \in \mathbb{N}}\) des segments, avec \(a_n \le b_n\), tels que \([a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]\) pour tout \(n\) et \(b_n - a_n \to 0\). Alors l'intersection \(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [a_n, b_n]\) est un unique point \(\{\ell\}\), et \(a_n \to \ell\) et \(b_n \to \ell\).Les hypothèses sont nécessaires : les intervalles ouverts \(\,]0, \frac{1}{n+1}[\) sont emboîtés, leurs longueurs tendent vers \(0\), et leur intersection est vide d'après la propriété d'Archimède.
L'inclusion \([a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]\) place \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) dans \([a_n, b_n]\), donc \(a_n \le a_{n+1}\) et \(b_{n+1} \le b_n\). La suite \((a_n)\) est croissante, la suite \((b_n)\) est décroissante, et \(b_n - a_n \to 0\) : les suites sont adjacentes. Par le Théorème « Théorème des suites adjacentes », elles convergent vers une limite commune \(\ell\), avec \(a_n \le \ell \le b_n\) pour tout \(n\) : donc \(\ell\) appartient à chaque segment, et l'intersection est non vide. Soit \(x\) dans l'intersection. Pour tout \(n\), \(a_n \le x \le b_n\). En passant à la limite dans ces inégalités larges, par la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large », \(\ell \le x \le \ell\). Donc \(x = \ell\), et l'intersection est \(\{\ell\}\).
Exemple — Deux suites adjacentes
Les suites \(u_n = 1 - \frac{1}{n+1}\) et \(v_n = 1 + \frac{1}{n+1}\) sont adjacentes. Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right) - \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) && \text{(définition de \(u\))} \\
&= \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} && \text{(simplification)} \\
&= \frac{1}{(n+1)(n+2)}, \end{aligned} $$ qui est strictement positif : \((u_n)\) est croissante ; de la même façon \(v_{n+1} - v_n = -\frac{1}{(n+1)(n+2)} < 0\) : \((v_n)\) est décroissante. Enfin \(v_n - u_n = \frac{2}{n+1}\), et \(0 < \frac{2}{n+1} \le \frac{2}{n}\) pour \(n \ge 1\) donne \(v_n - u_n \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ». Par le Théorème « Théorème des suites adjacentes », elles convergent vers une limite commune \(\ell\). Ici \(\ell = 1\) : de \(u_n \le 1 \le v_n\) pour tout \(n\), le passage à la limite donne \(\ell \le 1 \le \ell\). Exemple — Deux suites adjacentes qui se referment sur leur limite
Les suites \(u_n = 1 - \frac{2}{n+1}\) et \(v_n = 1 + \frac{3}{n+2}\) sont adjacentes : \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante, et \(v_n - u_n = \frac{2}{n+1} + \frac{3}{n+2} \to 0\). Les segments \([u_n, v_n]\) sont emboîtés et se referment sur la limite commune \(\ell = 1\). 
Méthode — Montrer que deux suites sont adjacentes
Pour montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, et pour employer le théorème : - Prouver les deux monotonies : le signe de \(u_{n+1} - u_n\) pour la suite qui doit croître, le signe de \(v_{n+1} - v_n\) pour celle qui doit décroître, par la Méthode « Étudier la monotonie d'une suite ».
- Calculer \(v_n - u_n\), le simplifier, et prouver qu'il tend vers \(0\), par les opérations sur les limites ou par la Proposition « Encadrement à zéro ».
- Conclure : les deux suites convergent vers la même limite \(\ell\), et \(u_n \le \ell \le v_n\) pour tout \(n\).
Exemple — Une approximation avec une erreur connue
Soient \(u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\) et \(v_n = u_n + \frac{1}{n \cdot n!}\) pour \(n \ge 1\). Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, et donner un intervalle de longueur inférieure à \(0{,}01\) qui contient leur limite commune.
\((u_n)\) est croissante. Pour tout \(n \ge 1\), \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0\).
\((v_n)\) est décroissante. Pour tout \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} - v_n &= \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n \cdot n!} && \text{(définitions de \(u\) et de \(v\))} \\ &= \frac{1}{n!} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n} \right) && \text{(\((n+1)! = (n+1) \, n!\))} \\ &= \frac{1}{n!} \cdot \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n (n+1)^2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= -\frac{1}{n! \, n (n+1)^2}, \end{aligned} $$ qui est strictement négatif.
La différence tend vers \(0\). \(v_n - u_n = \frac{1}{n \cdot n!}\), et \(0 < \frac{1}{n \cdot n!} \le \frac{1}{n}\) car \(n! \ge 1\). Comme \(\frac{1}{n} \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(v_n - u_n \to 0\).
La limite commune. Les suites sont adjacentes, donc par le Théorème « Théorème des suites adjacentes » elles ont une limite commune \(\ell\) avec \(u_n \le \ell \le v_n\). Pour \(n = 5\), \(u_5 = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = \frac{163}{60}\) et \(v_5 = \frac{163}{60} + \frac{1}{600} = \frac{1631}{600}\). Donc \(\ell\) est dans l'intervalle \(\left[ \frac{163}{60}, \frac{1631}{600} \right]\), de longueur \(\frac{1}{600} < 0{,}01\). En décimaux, \(2{,}71 < \frac{163}{60} \le \ell \le \frac{1631}{600} < 2{,}72\).
\((v_n)\) est décroissante. Pour tout \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} v_{n+1} - v_n &= \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n \cdot n!} && \text{(définitions de \(u\) et de \(v\))} \\ &= \frac{1}{n!} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n} \right) && \text{(\((n+1)! = (n+1) \, n!\))} \\ &= \frac{1}{n!} \cdot \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n (n+1)^2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= -\frac{1}{n! \, n (n+1)^2}, \end{aligned} $$ qui est strictement négatif.
La différence tend vers \(0\). \(v_n - u_n = \frac{1}{n \cdot n!}\), et \(0 < \frac{1}{n \cdot n!} \le \frac{1}{n}\) car \(n! \ge 1\). Comme \(\frac{1}{n} \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(v_n - u_n \to 0\).
La limite commune. Les suites sont adjacentes, donc par le Théorème « Théorème des suites adjacentes » elles ont une limite commune \(\ell\) avec \(u_n \le \ell \le v_n\). Pour \(n = 5\), \(u_5 = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = \frac{163}{60}\) et \(v_5 = \frac{163}{60} + \frac{1}{600} = \frac{1631}{600}\). Donc \(\ell\) est dans l'intervalle \(\left[ \frac{163}{60}, \frac{1631}{600} \right]\), de longueur \(\frac{1}{600} < 0{,}01\). En décimaux, \(2{,}71 < \frac{163}{60} \le \ell \le \frac{1631}{600} < 2{,}72\).
Compétences à pratiquer
- Trouver un rang à partir duquel des suites adjacentes encadrent la limite ★
- Vérifier les conditions d'adjacence ★
- Démontrer que deux suites sont adjacentes ★★
- Utiliser les suites adjacentes ou les segments emboîtés avec une idée ★★★
V
Suites extraites
Trois questions sur les suites extraites
Une suite extraite garde certains termes d'une suite, dans leur ordre, et oublie les autres. Trois questions se posent à propos des suites extraites. Que dit la limite d'une suite de ses suites extraites ? La limite passe à toute suite extraite, de sorte que deux suites extraites de limites distinctes réfutent la convergence, et que les suites extraites paire et impaire, qui contiennent à elles deux tous les termes, peuvent la démontrer. Quand une suite a-t-elle une suite extraite convergente ? Toujours, lorsqu'elle est bornée : c'est le théorème de Bolzano–Weierstrass, troisième théorème d'existence d'une limite après le théorème de la limite monotone et le théorème des suites adjacentes, et il fournit une limite sans aucune formule pour la suite. Que peut dire une suite d'une partie ? Un réel est limite de termes d'une partie lorsque tout intervalle autour de lui rencontre la partie, ce qui traduit la densité et les bornes supérieures en énoncés sur les suites.
V.1
Suites extraites et limites
Supprimer des termes en gardant l'ordre
Supprimer des termes d'une suite en gardant les autres dans leur ordre donne une suite extraite : à partir de \(u_0, u_1, u_2, u_3, \dots\) on obtient \(u_1, u_3, u_5, \dots\) ou \(u_0, u_1, u_4, u_9, \dots\). Les indices conservés forment une liste strictement croissante \(\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots\) d'entiers naturels, c'est-à-dire une application strictement croissante \(\varphi\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\), appelée extraction. Les termes d'une suite extraite sont des termes de la suite pris de plus en plus loin : si la suite se stabilise près d'un nombre, toute suite extraite s'y stabilise aussi, et deux suites extraites qui se stabilisent à des endroits différents montrent que la suite ne se stabilise pas du tout.
Définition — Suite extraite
Une suite extraite de \((u_n)\) est une suite de la forme \((u_{\varphi(n)})_n\) où \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est strictement croissante (appelée extraction). Exemple — Trois extractions de \((-1)^n\)
Soit \(u_n = (-1)^n\). L'application \(\varphi(n) = 2n\) est une extraction, et \(u_{\varphi(n)} = (-1)^{2n} = 1\) est la suite constante \(1\). L'application \(\psi(n) = 2n + 1\) est une extraction, et \(u_{\psi(n)} = (-1)^{2n+1} = -1\) est la suite constante \(-1\). L'application \(\chi(n) = n^2\) est une extraction, et comme \(n^2 - n = n(n-1)\) est pair, \(n^2\) et \(n\) ont la même parité, donc \(u_{\chi(n)} = (-1)^{n^2} = (-1)^n\) est la suite \((u_n)\) elle-même. En revanche \(n \mapsto \lfloor n/2 \rfloor\) n'est pas une extraction, puisqu'elle n'est pas strictement croissante : elle répète chaque indice deux fois, et une extraction n'emploie jamais un indice deux fois. Cette application ne définit donc pas une suite extraite, bien que la suite \(u_{\lfloor n/2 \rfloor} = 1, 1, -1, -1, \dots\) soit extraite de \((u_n)\) par une autre application : \(\varphi(2k) = 3k\) et \(\varphi(2k+1) = 3k + 2\) est strictement croissante, et \((-1)^{3k} = (-1)^{3k+2} = (-1)^k\). Proposition — Une extraction vérifie \(\varphi(n) \ge n\)
Soit \(\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) une extraction. Alors \(\varphi(n) \ge n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Première démonstration : la somme des écarts. Soit \(n \in \mathbb{N}\). L'application \(\varphi\) est strictement croissante à valeurs entières, donc chaque écart \(\varphi(k+1) - \varphi(k)\) est un entier strictement positif, donc au moins égal à \(1\), et \(\varphi(0) \ge 0\) car \(\varphi(0) \in \mathbb{N}\). $$ \begin{aligned} \varphi(n) &= \varphi(0) + \sum_{k=0}^{n-1} \big(\varphi(k+1) - \varphi(k)\big) && \text{(somme télescopique)} \\
&\ge 0 + \sum_{k=0}^{n-1} 1 && \text{(\(\varphi(0) \ge 0\) et chaque écart est au moins égal à \(1\))} \\
&= n. \end{aligned} $$ Pour \(n = 0\) la somme est vide et l'énoncé est \(\varphi(0) \ge 0\).
Seconde démonstration : récurrence. Soit \(P(n)\) l'énoncé \(\varphi(n) \ge n\). Initialisation. \(\varphi(0) \ge 0\) puisque \(\varphi(0) \in \mathbb{N}\) : \(P(0)\) est vraie. Hérédité. Supposons \(P(k)\) pour un \(k \in \mathbb{N}\). Comme \(\varphi(k+1) > \varphi(k)\) et que les deux sont entiers, $$ \begin{aligned} \varphi(k+1) &\ge \varphi(k) + 1 && \text{(\(\varphi\) strictement croissante à valeurs entières)} \\ &\ge k + 1, \end{aligned} $$ la dernière étape par l'hypothèse de récurrence \(P(k)\). Comme \(P(0)\) est vraie et que \(P(k) \Rightarrow P(k+1)\), d'après le principe de récurrence \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Seconde démonstration : récurrence. Soit \(P(n)\) l'énoncé \(\varphi(n) \ge n\). Initialisation. \(\varphi(0) \ge 0\) puisque \(\varphi(0) \in \mathbb{N}\) : \(P(0)\) est vraie. Hérédité. Supposons \(P(k)\) pour un \(k \in \mathbb{N}\). Comme \(\varphi(k+1) > \varphi(k)\) et que les deux sont entiers, $$ \begin{aligned} \varphi(k+1) &\ge \varphi(k) + 1 && \text{(\(\varphi\) strictement croissante à valeurs entières)} \\ &\ge k + 1, \end{aligned} $$ la dernière étape par l'hypothèse de récurrence \(P(k)\). Comme \(P(0)\) est vraie et que \(P(k) \Rightarrow P(k+1)\), d'après le principe de récurrence \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Proposition — La limite passe aux suites extraites
Soient \((u_n)\) une suite réelle et \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\). Si \(u_n \to \ell\), alors \(u_{\varphi(n)} \to \ell\) pour toute extraction \(\varphi\). L'énoncé vaut pour une limite finie et pour les limites \(+\infty\) et \(-\infty\).
Soit \(\varphi\) une extraction. Fixons une tolérance \(t\) : \(t = \varepsilon > 0\) si \(\ell \in \mathbb{R}\), et \(t = A \in \mathbb{R}\) si \(\ell = \pm\infty\). Notons \(P_t(m)\) la propriété du terme \(u_m\) qu'exigent, pour cette tolérance, les Définitions « Limite finie » et « Limite infinie » : \(\lvert u_m - \ell \rvert \le \varepsilon\) si \(\ell \in \mathbb{R}\), \(u_m \ge A\) si \(\ell = +\infty\), et \(u_m \le A\) si \(\ell = -\infty\). Comme \(u_n \to \ell\), il existe un rang \(N\) tel que \(P_t(m)\) soit vraie pour tout \(m \ge N\).
Première démonstration : le rang est conservé. Soit \(n \ge N\). $$ \begin{aligned} n \ge N &\Rightarrow \varphi(n) \ge n \ge N && \text{(Proposition « Une extraction vérifie \(\varphi(n) \ge n\) »)} \\ &\Rightarrow P_t\big(\varphi(n)\big), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(P_t(m)\) est vraie pour tout \(m \ge N\). Donc \(P_t\big(\varphi(n)\big)\) est vraie pour tout \(n \ge N\), ce qui est la définition de \(u_{\varphi(n)} \to \ell\) pour la tolérance \(t\). La tolérance \(t\) étant arbitraire, \(u_{\varphi(n)} \to \ell\).
Seconde démonstration : compter les exceptions. Soit \(F = \{m \in \mathbb{N} \mid P_t(m) \text{ est fausse}\}\). Par le choix de \(N\), \(F \subset \{0, \dots, N-1\}\), donc \(F\) est fini. L'ensemble \(\{n \in \mathbb{N} \mid P_t(\varphi(n)) \text{ est fausse}\} = \{n \in \mathbb{N} \mid \varphi(n) \in F\}\) a au plus \(\operatorname{card} F\) éléments, parce que \(\varphi\) est injective, étant strictement croissante : chaque élément de \(F\) a au plus un antécédent. Cette partie finie de \(\mathbb{N}\) est majorée par un entier \(M\) (\(M = 0\) si elle est vide), donc \(P_t\big(\varphi(n)\big)\) est vraie pour tout \(n \ge M + 1\), ce qui est encore \(u_{\varphi(n)} \to \ell\).
Première démonstration : le rang est conservé. Soit \(n \ge N\). $$ \begin{aligned} n \ge N &\Rightarrow \varphi(n) \ge n \ge N && \text{(Proposition « Une extraction vérifie \(\varphi(n) \ge n\) »)} \\ &\Rightarrow P_t\big(\varphi(n)\big), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(P_t(m)\) est vraie pour tout \(m \ge N\). Donc \(P_t\big(\varphi(n)\big)\) est vraie pour tout \(n \ge N\), ce qui est la définition de \(u_{\varphi(n)} \to \ell\) pour la tolérance \(t\). La tolérance \(t\) étant arbitraire, \(u_{\varphi(n)} \to \ell\).
Seconde démonstration : compter les exceptions. Soit \(F = \{m \in \mathbb{N} \mid P_t(m) \text{ est fausse}\}\). Par le choix de \(N\), \(F \subset \{0, \dots, N-1\}\), donc \(F\) est fini. L'ensemble \(\{n \in \mathbb{N} \mid P_t(\varphi(n)) \text{ est fausse}\} = \{n \in \mathbb{N} \mid \varphi(n) \in F\}\) a au plus \(\operatorname{card} F\) éléments, parce que \(\varphi\) est injective, étant strictement croissante : chaque élément de \(F\) a au plus un antécédent. Cette partie finie de \(\mathbb{N}\) est majorée par un entier \(M\) (\(M = 0\) si elle est vide), donc \(P_t\big(\varphi(n)\big)\) est vraie pour tout \(n \ge M + 1\), ce qui est encore \(u_{\varphi(n)} \to \ell\).
Proposition — Deux suites extraites de limites distinctes
Soient \(\varphi\) et \(\psi\) deux extractions telles que \(u_{\varphi(n)} \to \ell\) et \(u_{\psi(n)} \to \ell'\), avec \(\ell, \ell' \in \overline{\mathbb{R}}\) et \(\ell \ne \ell'\). Alors \((u_n)\) n'a pas de limite dans \(\overline{\mathbb{R}}\).
Supposons par l'absurde que \((u_n)\) ait une limite \(\lambda \in \overline{\mathbb{R}}\). Par la Proposition « La limite passe aux suites extraites », \(u_{\varphi(n)} \to \lambda\) et \(u_{\psi(n)} \to \lambda\). La suite \((u_{\varphi(n)})\) tend vers \(\ell\) et vers \(\lambda\), donc \(\ell = \lambda\) par la Proposition « Unicité de la limite » ; de même \((u_{\psi(n)})\) donne \(\ell' = \lambda\). Donc \(\ell = \ell'\), ce qui contredit \(\ell \ne \ell'\). Contradiction ! Donc l'hypothèse est fausse : \((u_n)\) n'a pas de limite.
Proposition — Suites extraites paire et impaire
Soient \((u_n)\) une suite réelle et \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\). Si \(u_{2n} \to \ell\) et \(u_{2n+1} \to \ell\), alors \(u_n \to \ell\).
Fixons une tolérance \(t\) : \(t = \varepsilon > 0\) si \(\ell \in \mathbb{R}\), et \(t = A \in \mathbb{R}\) si \(\ell = \pm\infty\). Notons \(P_t(m)\) la propriété du terme \(u_m\) qu'exigent, pour cette tolérance, les Définitions « Limite finie » et « Limite infinie » : \(\lvert u_m - \ell \rvert \le \varepsilon\), ou \(u_m \ge A\), ou \(u_m \le A\). Comme \(u_{2p} \to \ell\), il existe \(N_0\) tel que \(P_t(2p)\) soit vraie pour tout \(p \ge N_0\). Comme \(u_{2p+1} \to \ell\), il existe \(N_1\) tel que \(P_t(2p+1)\) soit vraie pour tout \(p \ge N_1\). Soient \(N = \max(2N_0, 2N_1 + 1)\) et \(n \ge N\). Tout entier naturel est pair ou impair, donc il y a deux cas.
- \(n = 2p\) est pair. De \(2p \ge N \ge 2N_0\) on tire \(p \ge N_0\), donc \(P_t(2p)\) est vraie, c'est-à-dire \(P_t(n)\).
- \(n = 2p + 1\) est impair. De \(2p + 1 \ge N \ge 2N_1 + 1\) on tire \(p \ge N_1\), donc \(P_t(2p+1)\) est vraie, c'est-à-dire \(P_t(n)\).
Proposition — Le décalage
Soient \((u_n)\) une suite réelle et \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\). Si \(u_n \to \ell\), alors \(u_{n+p} \to \ell\) pour tout \(p \in \mathbb{N}\).
Soient \(p \in \mathbb{N}\) et \(\varphi(n) = n + p\). L'application \(\varphi\) est une extraction : elle est à valeurs dans \(\mathbb{N}\), et \(n < m\) donne \(n + p < m + p\). Par la Proposition « La limite passe aux suites extraites », \(u_{\varphi(n)} = u_{n+p} \to \ell\).
Exemple — Une divergence par deux suites extraites
Montrer que la suite \(\big((-1)^n\big)\) a deux suites extraites de limites distinctes, et en déduire qu'elle n'a pas de limite.
Soit \(u_n = (-1)^n\). La suite extraite paire. L'application \(n \mapsto 2n\) est une extraction, et $$ \begin{aligned} u_{2n} &= (-1)^{2n} && \text{(définition de \(u\))} \\
&= \big((-1)^2\big)^n && \text{(loi des exposants)} \\
&= 1^n && \text{(\((-1)^2 = 1\))} \\
&= 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que toute puissance de \(1\) vaut \(1\). Donc \(u_{2n} \to 1\), comme suite constante. La suite extraite impaire. L'application \(n \mapsto 2n + 1\) est une extraction, et $$ \begin{aligned} u_{2n+1} &= (-1)^{2n+1} && \text{(définition de \(u\))} \\
&= (-1)^{2n} \, (-1) && \text{(loi des exposants)} \\
&= -1, \end{aligned} $$ la dernière étape par le calcul précédent, \((-1)^{2n} = 1\). Donc \(u_{2n+1} \to -1\). Les limites \(1\) et \(-1\) sont distinctes, donc par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes » la suite \(\big((-1)^n\big)\) n'a pas de limite.
Exemple — Termes pairs et impairs à deux limites
Soit \(u_n = (-1)^n + \frac{1}{n+1}\). Les termes pairs \(u_{2p} = 1 + \frac{1}{2p+1}\) décroissent vers \(1\), et les termes impairs \(u_{2p+1} = -1 + \frac{1}{2p+2}\) décroissent vers \(-1\). La figure montre les deux suites extraites, deux suites de limites distinctes : \((u_n)\) n'a pas de limite. 
Méthode — Réfuter la convergence par deux suites extraites
Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) n'a pas de limite : - Trouver deux extractions \(\varphi\) et \(\psi\) le long desquelles \((u_n)\) se stabilise à deux endroits différents. Lorsqu'un signe \((-1)^n\) ou une parité apparaît, essayer d'abord \(n \mapsto 2n\) et \(n \mapsto 2n + 1\) ; pour une suite de période \(p\), essayer \(n \mapsto pn + r\) pour deux restes \(r\).
- Calculer les deux limites \(\ell = \lim u_{\varphi(n)}\) et \(\ell' = \lim u_{\psi(n)}\), finies ou infinies : toutes deux doivent exister dans \(\overline{\mathbb{R}}\).
- Conclure par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes » : comme \(\ell \ne \ell'\), \((u_n)\) n'a pas de limite, donc en particulier elle ne converge pas.
- Ne pas renverser l'argument : deux suites extraites de même limite ne font pas converger \((u_n)\). La suite égale à \(1\) aux indices \(6k + 1\) et à \(0\) ailleurs a \(u_{2n} = 0\) et \(u_{3n} = 0\), mais \(u_{6n+1} = 1\), et elle n'a pas de limite.
Méthode — Démontrer la convergence par les suites extraites paire et impaire
Pour montrer que \((u_n)\) a pour limite \(\ell\) lorsque ses termes dépendent de la parité de \(n\) : - Séparer la suite : écrire \(u_{2p}\) et \(u_{2p+1}\) séparément. La partie qui dépend de la parité devient explicite : \((-1)^{2p} = 1\) et \((-1)^{2p+1} = -1\).
- Calculer les deux limites avec les outils usuels (opérations sur les limites, théorème d'encadrement, théorème de la limite monotone).
- Conclure par la Proposition « Suites extraites paire et impaire » : si les deux limites valent \(\ell\), alors \(u_n \to \ell\) ; si elles diffèrent, la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes » montre que \((u_n)\) n'a pas de limite.
- Trois morceaux : pour une suite à trois comportements, utiliser \((u_{3p})\), \((u_{3p+1})\) et \((u_{3p+2})\) de la même façon, avec le rang \(\max(3N_0, 3N_1 + 1, 3N_2 + 2)\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les suites extraites ★
- Calculer les limites des suites extraites paire et impaire ★
- Démontrer qu'une suite diverge avec deux suites extraites ★
- Démontrer la convergence à partir de plusieurs suites extraites ★★
- Travailler avec des extractions ★★
- Réfuter la convergence avec une idée ★★★
V.2
Le théorème de Bolzano–Weierstrass
Bornée ne veut pas dire convergente
Une suite bornée ne converge pas nécessairement : \(\big((-1)^n\big)\) est bornée et n'a pas de limite. Pourtant elle ne se disperse pas : ses termes s'accumulent, ici près de \(1\) et près de \(-1\), et une suite extraite converge. Le théorème de Bolzano–Weierstrass dit que cela arrive toujours pour une suite bornée. C'est un théorème d'existence du même type que le théorème de la limite monotone et le théorème des suites adjacentes : il fournit une limite, ici celle d'une suite extraite, sans aucune formule, et il est démontré deux fois, par une suite extraite monotone et par dichotomie. Les limites des suites extraites convergentes sont les valeurs d'adhérence de la suite.
Définition — Valeur d'adhérence
Soit \((u_n)\) une suite réelle. Un réel \(a\) est une valeur d'adhérence de \((u_n)\) si une suite extraite de \((u_n)\) tend vers \(a\) : il existe une extraction \(\varphi\) avec \(u_{\varphi(n)} \to a\). Pour \(u_n = (-1)^n\), les suites extraites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) montrent que \(1\) et \(-1\) sont des valeurs d'adhérence. Si \(u_n \to \ell \in \mathbb{R}\), alors \(\ell\) est une valeur d'adhérence, et la seule : toute suite extraite tend vers \(\ell\) par la Proposition « La limite passe aux suites extraites », et une suite a au plus une limite par la Proposition « Unicité de la limite ». Proposition — Toute suite a une suite extraite monotone
Toute suite réelle a une suite extraite monotone : croissante ou décroissante.
Soit \((u_n)\) une suite réelle. Appelons pic un indice \(m\) tel que \(u_m \ge u_n\) pour tout \(n > m\) : aucun terme postérieur ne dépasse \(u_m\). Il y a deux cas, selon le nombre de pics.
Cas 1 : il y a une infinité de pics. Les lister dans l'ordre croissant, \(m_0 < m_1 < m_2 < \cdots\), et poser \(\varphi(k) = m_k\) : c'est une extraction. Pour tout \(k\), l'indice \(m_k\) est un pic et \(m_{k+1} > m_k\), donc \(u_{m_k} \ge u_{m_{k+1}}\). La suite extraite \((u_{\varphi(k)})\) est décroissante.
Cas 2 : il y a un nombre fini de pics. Soit \(N\) un entier supérieur à tous les pics (\(N = 0\) s'il n'y a aucun pic). Aucun indice \(m \ge N\) n'est un pic, ce qui dit que pour tout \(m \ge N\) il existe \(n > m\) avec \(u_n > u_m\). Définir \(\varphi\) par récurrence : \(\varphi(0) = N\), et \(\varphi(k+1)\) est le plus petit \(n > \varphi(k)\) avec \(u_n > u_{\varphi(k)}\), qui existe parce que \(\varphi(k) \ge N\) n'est pas un pic. Alors \(\varphi\) est strictement croissante, c'est une extraction, et \(u_{\varphi(k+1)} > u_{\varphi(k)}\) pour tout \(k\) : la suite extraite \((u_{\varphi(k)})\) est croissante.
Les deux cas couvrent toutes les suites, ce qui démontre la Proposition.
Cas 1 : il y a une infinité de pics. Les lister dans l'ordre croissant, \(m_0 < m_1 < m_2 < \cdots\), et poser \(\varphi(k) = m_k\) : c'est une extraction. Pour tout \(k\), l'indice \(m_k\) est un pic et \(m_{k+1} > m_k\), donc \(u_{m_k} \ge u_{m_{k+1}}\). La suite extraite \((u_{\varphi(k)})\) est décroissante.
Cas 2 : il y a un nombre fini de pics. Soit \(N\) un entier supérieur à tous les pics (\(N = 0\) s'il n'y a aucun pic). Aucun indice \(m \ge N\) n'est un pic, ce qui dit que pour tout \(m \ge N\) il existe \(n > m\) avec \(u_n > u_m\). Définir \(\varphi\) par récurrence : \(\varphi(0) = N\), et \(\varphi(k+1)\) est le plus petit \(n > \varphi(k)\) avec \(u_n > u_{\varphi(k)}\), qui existe parce que \(\varphi(k) \ge N\) n'est pas un pic. Alors \(\varphi\) est strictement croissante, c'est une extraction, et \(u_{\varphi(k+1)} > u_{\varphi(k)}\) pour tout \(k\) : la suite extraite \((u_{\varphi(k)})\) est croissante.
Les deux cas couvrent toutes les suites, ce qui démontre la Proposition.
Théorème — Bolzano–Weierstrass
Toute suite réelle bornée a une suite extraite convergente.
Première démonstration : une suite extraite monotone. Soit \((u_n)\) bornée : \(m \le u_n \le M\) pour tout \(n\). Par la Proposition « Toute suite a une suite extraite monotone », il existe une extraction \(\varphi\) telle que \((u_{\varphi(k)})\) soit monotone. Ses termes sont des termes de \((u_n)\), donc \(m \le u_{\varphi(k)} \le M\) pour tout \(k\) : la suite extraite est monotone et bornée. Par la Proposition « Une suite monotone bornée converge », elle converge.
Seconde démonstration : la dichotomie. Soit \((u_n)\) bornée : \(a_0 \le u_n \le b_0\) pour tout \(n\), avec \(a_0 \le b_0\). Construisons par récurrence des segments \([a_k, b_k]\) et des indices \(\varphi(k)\) tels que, pour tout \(k\) :
Par construction \((a_k)\) est croissante et \((b_k)\) est décroissante, puisque les segments sont emboîtés. Par la Proposition « Inégalité de Bernoulli », \(2^k = (1 + 1)^k \ge 1 + k\). Donc $$ \begin{aligned} b_k - a_k &= \frac{b_0 - a_0}{2^k} && \text{(chaque étape coupe le segment en deux)} \\ &\le \frac{b_0 - a_0}{k + 1}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(2^k \ge k + 1\) et \(b_0 - a_0 \ge 0\). La quantité \(b_k - a_k\) est aussi positive ou nulle, puisque \(b_0 \ge a_0\), et \(\frac{b_0 - a_0}{k+1} \to 0\), donc \(b_k - a_k \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ». Les suites \((a_k)\) et \((b_k)\) sont adjacentes (Définition « Suites adjacentes ») ; par le théorème des suites adjacentes elles convergent vers la même limite \(\ell\). Comme \(\varphi(k) \in E_k\), \(a_k \le u_{\varphi(k)} \le b_k\) pour tout \(k\), et le théorème d'encadrement donne \(u_{\varphi(k)} \to \ell\). L'application \(\varphi\) est strictement croissante, donc \((u_{\varphi(k)})\) est une suite extraite convergente.
Seconde démonstration : la dichotomie. Soit \((u_n)\) bornée : \(a_0 \le u_n \le b_0\) pour tout \(n\), avec \(a_0 \le b_0\). Construisons par récurrence des segments \([a_k, b_k]\) et des indices \(\varphi(k)\) tels que, pour tout \(k\) :
- \([a_{k+1}, b_{k+1}]\) est la moitié gauche \([a_k, c_k]\) ou la moitié droite \([c_k, b_k]\) de \([a_k, b_k]\), où \(c_k = \frac{a_k + b_k}{2}\), de sorte que \(b_k - a_k = \frac{b_0 - a_0}{2^k}\) ;
- l'ensemble \(E_k = \{n \in \mathbb{N} \mid u_n \in [a_k, b_k]\}\) est infini ;
- \(\varphi(k) \in E_k\) et \(\varphi(k+1) > \varphi(k)\).
Par construction \((a_k)\) est croissante et \((b_k)\) est décroissante, puisque les segments sont emboîtés. Par la Proposition « Inégalité de Bernoulli », \(2^k = (1 + 1)^k \ge 1 + k\). Donc $$ \begin{aligned} b_k - a_k &= \frac{b_0 - a_0}{2^k} && \text{(chaque étape coupe le segment en deux)} \\ &\le \frac{b_0 - a_0}{k + 1}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(2^k \ge k + 1\) et \(b_0 - a_0 \ge 0\). La quantité \(b_k - a_k\) est aussi positive ou nulle, puisque \(b_0 \ge a_0\), et \(\frac{b_0 - a_0}{k+1} \to 0\), donc \(b_k - a_k \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ». Les suites \((a_k)\) et \((b_k)\) sont adjacentes (Définition « Suites adjacentes ») ; par le théorème des suites adjacentes elles convergent vers la même limite \(\ell\). Comme \(\varphi(k) \in E_k\), \(a_k \le u_{\varphi(k)} \le b_k\) pour tout \(k\), et le théorème d'encadrement donne \(u_{\varphi(k)} \to \ell\). L'application \(\varphi\) est strictement croissante, donc \((u_{\varphi(k)})\) est une suite extraite convergente.
Proposition — Une suite extraite de limite \(+\infty\) ou \(-\infty\)
Soit \((u_n)\) une suite réelle. Si \((u_n)\) n'est pas majorée, elle a une suite extraite de limite \(+\infty\) ; si elle n'est pas minorée, elle a une suite extraite de limite \(-\infty\). En particulier une suite non bornée a une suite extraite de limite \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Supposons \((u_n)\) non majorée : pour tout \(A \in \mathbb{R}\) il existe \(n\) avec \(u_n > A\). Affirmation : pour tous \(A \in \mathbb{R}\) et \(N \in \mathbb{N}\) il existe \(n > N\) avec \(u_n > A\). En effet le réel \(A' = \max(A, u_0, \dots, u_N)\) n'est pas un majorant de la suite, donc un certain \(n\) vérifie \(u_n > A'\). Alors \(u_n > u_i\) pour tout \(i \le N\), ce qui force \(n > N\), et \(u_n > A' \ge A\).
Définir \(\varphi\) par récurrence : \(\varphi(0)\) est un indice avec \(u_{\varphi(0)} > 0\), et \(\varphi(k+1)\) est un indice supérieur à \(\varphi(k)\) avec \(u_{\varphi(k+1)} > k + 1\), donné par l'affirmation avec \(A = k + 1\) et \(N = \varphi(k)\). Alors \(\varphi\) est une extraction, et \(u_{\varphi(k)} > k\) pour tout \(k\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). Par la propriété d'Archimède il existe \(K \in \mathbb{N}\) avec \(K \ge A\), et pour \(k \ge K\), \(u_{\varphi(k)} > k \ge K \ge A\). Donc \(u_{\varphi(k)} \to +\infty\).
Supposons maintenant \((u_n)\) non minorée. Alors \((-u_n)\) n'est pas majorée, et le premier cas donne une extraction \(\varphi\) avec \(-u_{\varphi(k)} \to +\infty\) : pour tout \(A \in \mathbb{R}\), \(-u_{\varphi(k)} \ge -A\) à partir d'un certain rang, c'est-à-dire \(u_{\varphi(k)} \le A\), donc \(u_{\varphi(k)} \to -\infty\). Une suite non bornée n'est pas majorée ou n'est pas minorée, ce qui donne le dernier énoncé.
Définir \(\varphi\) par récurrence : \(\varphi(0)\) est un indice avec \(u_{\varphi(0)} > 0\), et \(\varphi(k+1)\) est un indice supérieur à \(\varphi(k)\) avec \(u_{\varphi(k+1)} > k + 1\), donné par l'affirmation avec \(A = k + 1\) et \(N = \varphi(k)\). Alors \(\varphi\) est une extraction, et \(u_{\varphi(k)} > k\) pour tout \(k\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). Par la propriété d'Archimède il existe \(K \in \mathbb{N}\) avec \(K \ge A\), et pour \(k \ge K\), \(u_{\varphi(k)} > k \ge K \ge A\). Donc \(u_{\varphi(k)} \to +\infty\).
Supposons maintenant \((u_n)\) non minorée. Alors \((-u_n)\) n'est pas majorée, et le premier cas donne une extraction \(\varphi\) avec \(-u_{\varphi(k)} \to +\infty\) : pour tout \(A \in \mathbb{R}\), \(-u_{\varphi(k)} \ge -A\) à partir d'un certain rang, c'est-à-dire \(u_{\varphi(k)} \le A\), donc \(u_{\varphi(k)} \to -\infty\). Une suite non bornée n'est pas majorée ou n'est pas minorée, ce qui donne le dernier énoncé.
Proposition — Une suite bornée à une seule valeur d'adhérence converge
Soient \((u_n)\) une suite réelle bornée et \(\ell \in \mathbb{R}\). Alors \(u_n \to \ell\) si et seulement si \(\ell\) est la seule valeur d'adhérence de \((u_n)\).
(\(\Rightarrow\)) Supposons \(u_n \to \ell\). Par la Définition « Valeur d'adhérence » et la Proposition « La limite passe aux suites extraites », \(\ell\) est une valeur d'adhérence (prendre l'extraction \(\varphi(n) = n\)), et toute suite extraite tend vers \(\ell\) : si une suite extraite tend vers \(a\), alors \(a = \ell\) par la Proposition « Unicité de la limite ». Donc \(\ell\) est la seule valeur d'adhérence.
(\(\Leftarrow\)) Supposons que \(\ell\) soit la seule valeur d'adhérence, et supposons par l'absurde que \(u_n \not\to \ell\). En niant la Définition « Limite finie », il existe \(\varepsilon_0 > 0\) tel que pour tout \(N\) il existe \(n \ge N\) avec \(\lvert u_n - \ell \rvert > \varepsilon_0\). Définir \(\varphi\) par récurrence : \(\varphi(0)\) est un indice avec \(\lvert u_{\varphi(0)} - \ell \rvert > \varepsilon_0\), et \(\varphi(k+1)\) est un indice \(\ge \varphi(k) + 1\) avec \(\lvert u_{\varphi(k+1)} - \ell \rvert > \varepsilon_0\), donné par l'hypothèse avec \(N = \varphi(k) + 1\). Alors \(\varphi\) est une extraction, et \(v_k = u_{\varphi(k)}\) vérifie \(\lvert v_k - \ell \rvert > \varepsilon_0\) pour tout \(k\). La suite \((v_k)\) est bornée, comme suite extraite de la suite bornée \((u_n)\). Par le Théorème « Bolzano–Weierstrass », elle a une suite extraite \((v_{\psi(j)}) = (u_{\varphi(\psi(j))})\) de limite \(\ell' \in \mathbb{R}\). La composée \(\varphi \circ \psi\) de deux applications strictement croissantes est strictement croissante (chapitre Applications), donc c'est une extraction, et \(\ell'\) est une valeur d'adhérence de \((u_n)\) : donc \(\ell' = \ell\). Or \(u_{\varphi(\psi(j))} \to \ell\), donc par la Définition « Limite finie » avec la tolérance \(\varepsilon_0\) il existe \(j\) avec \(\lvert u_{\varphi(\psi(j))} - \ell \rvert \le \varepsilon_0\), ce qui contredit \(\lvert v_{\psi(j)} - \ell \rvert > \varepsilon_0\). Contradiction ! Donc \(u_n \to \ell\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons que \(\ell\) soit la seule valeur d'adhérence, et supposons par l'absurde que \(u_n \not\to \ell\). En niant la Définition « Limite finie », il existe \(\varepsilon_0 > 0\) tel que pour tout \(N\) il existe \(n \ge N\) avec \(\lvert u_n - \ell \rvert > \varepsilon_0\). Définir \(\varphi\) par récurrence : \(\varphi(0)\) est un indice avec \(\lvert u_{\varphi(0)} - \ell \rvert > \varepsilon_0\), et \(\varphi(k+1)\) est un indice \(\ge \varphi(k) + 1\) avec \(\lvert u_{\varphi(k+1)} - \ell \rvert > \varepsilon_0\), donné par l'hypothèse avec \(N = \varphi(k) + 1\). Alors \(\varphi\) est une extraction, et \(v_k = u_{\varphi(k)}\) vérifie \(\lvert v_k - \ell \rvert > \varepsilon_0\) pour tout \(k\). La suite \((v_k)\) est bornée, comme suite extraite de la suite bornée \((u_n)\). Par le Théorème « Bolzano–Weierstrass », elle a une suite extraite \((v_{\psi(j)}) = (u_{\varphi(\psi(j))})\) de limite \(\ell' \in \mathbb{R}\). La composée \(\varphi \circ \psi\) de deux applications strictement croissantes est strictement croissante (chapitre Applications), donc c'est une extraction, et \(\ell'\) est une valeur d'adhérence de \((u_n)\) : donc \(\ell' = \ell\). Or \(u_{\varphi(\psi(j))} \to \ell\), donc par la Définition « Limite finie » avec la tolérance \(\varepsilon_0\) il existe \(j\) avec \(\lvert u_{\varphi(\psi(j))} - \ell \rvert \le \varepsilon_0\), ce qui contredit \(\lvert v_{\psi(j)} - \ell \rvert > \varepsilon_0\). Contradiction ! Donc \(u_n \to \ell\).
Exemple — Valeurs d'adhérence de \(\sin\frac{n\pi}{3}\)
Soit \(u_n = \sin\frac{n\pi}{3}\). Montrer que \((u_n)\) a des suites extraites convergentes, identifier trois de ses valeurs d'adhérence, et montrer que \((u_n)\) n'a pas de limite.
La suite est bornée, puisque \(\lvert \sin x \rvert \le 1\), donc par le Théorème « Bolzano–Weierstrass » elle a des suites extraites convergentes. Pour les trouver, calculer les premiers termes : $$ u_0, u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 = 0, \ \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}, \ 0, \ -\frac{\sqrt{3}}{2}, \ -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$ Le sinus est \(2\pi\)-périodique, donc \(u_{n+6} = \sin\big(\frac{n\pi}{3} + 2\pi\big) = u_n\) : la suite est de période \(6\). Les applications \(p \mapsto 6p\), \(p \mapsto 6p + 1\) et \(p \mapsto 6p + 4\) sont des extractions, et $$ \begin{aligned} u_{6p+1} &= \sin\Big(\frac{(6p+1)\pi}{3}\Big) && \text{(définition de \(u\))} \\
&= \sin\Big(2p\pi + \frac{\pi}{3}\Big) && \text{(développement du produit)} \\
&= \sin\frac{\pi}{3} && \text{(\(\sin\) est \(2\pi\)-périodique)} \\
&= \frac{\sqrt{3}}{2}, \end{aligned} $$ et de même \(u_{6p} = \sin(2p\pi) = 0\) et \(u_{6p+4} = \sin\big(2p\pi + \frac{4\pi}{3}\big) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ces trois suites extraites sont constantes, donc elles convergent, vers \(0\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) : ces trois nombres sont des valeurs d'adhérence de \((u_n)\). Deux de ces limites, \(0\) et \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), sont distinctes, donc par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes » \((u_n)\) n'a pas de limite.
Exemple — La bornitude est nécessaire
Soit \(u_n = n\) si \(n\) est pair et \(u_n = 0\) si \(n\) est impair. Montrer que \(0\) est la seule valeur d'adhérence de \((u_n)\) et que \((u_n)\) n'a pas de limite. Quelle hypothèse de la Proposition « Une suite bornée à une seule valeur d'adhérence converge » est en défaut ?
\(0\) est une valeur d'adhérence. L'application \(p \mapsto 2p + 1\) est une extraction et \(u_{2p+1} = 0\) pour tout \(p\) : cette suite extraite constante tend vers \(0\).
Il n'y a pas d'autre valeur d'adhérence. Soit \(a\) une valeur d'adhérence : \(u_{\varphi(k)} \to a\) pour une extraction \(\varphi\). Par la Proposition « Convergente implique bornée », il existe \(M\) avec \(\lvert u_{\varphi(k)} \rvert \le M\) pour tout \(k\). Si \(\varphi(k)\) est pair, alors \(u_{\varphi(k)} = \varphi(k)\), et $$ \begin{aligned} k &\le \varphi(k) && \text{(Proposition « Une extraction vérifie \(\varphi(n) \ge n\) »)} \\ &= u_{\varphi(k)} && \text{(l'indice \(\varphi(k)\) est pair)} \\ &\le M, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_{\varphi(k)} \le \lvert u_{\varphi(k)} \rvert \le M\). Donc \(\varphi(k)\) est impair pour tout entier \(k > M\), et alors \(u_{\varphi(k)} = 0\) : la suite extraite est constante égale à \(0\) à partir du rang \(\lfloor M \rfloor + 1\), et sa limite est \(a = 0\) par la Proposition « Unicité de la limite ». Donc \(0\) est la seule valeur d'adhérence.
Pas de limite. La suite extraite paire vérifie \(u_{2p} = 2p \to +\infty\) et l'impaire \(u_{2p+1} = 0 \to 0\) : deux limites distinctes, donc \((u_n)\) n'a pas de limite par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes ».
La suite a une seule valeur d'adhérence et ne converge pas : l'hypothèse en défaut est la bornitude, puisque \((u_{2p})\) n'est pas majorée.
Il n'y a pas d'autre valeur d'adhérence. Soit \(a\) une valeur d'adhérence : \(u_{\varphi(k)} \to a\) pour une extraction \(\varphi\). Par la Proposition « Convergente implique bornée », il existe \(M\) avec \(\lvert u_{\varphi(k)} \rvert \le M\) pour tout \(k\). Si \(\varphi(k)\) est pair, alors \(u_{\varphi(k)} = \varphi(k)\), et $$ \begin{aligned} k &\le \varphi(k) && \text{(Proposition « Une extraction vérifie \(\varphi(n) \ge n\) »)} \\ &= u_{\varphi(k)} && \text{(l'indice \(\varphi(k)\) est pair)} \\ &\le M, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_{\varphi(k)} \le \lvert u_{\varphi(k)} \rvert \le M\). Donc \(\varphi(k)\) est impair pour tout entier \(k > M\), et alors \(u_{\varphi(k)} = 0\) : la suite extraite est constante égale à \(0\) à partir du rang \(\lfloor M \rfloor + 1\), et sa limite est \(a = 0\) par la Proposition « Unicité de la limite ». Donc \(0\) est la seule valeur d'adhérence.
Pas de limite. La suite extraite paire vérifie \(u_{2p} = 2p \to +\infty\) et l'impaire \(u_{2p+1} = 0 \to 0\) : deux limites distinctes, donc \((u_n)\) n'a pas de limite par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes ».
La suite a une seule valeur d'adhérence et ne converge pas : l'hypothèse en défaut est la bornitude, puisque \((u_{2p})\) n'est pas majorée.
Méthode — Extraire une suite extraite convergente
Pour obtenir une limite à partir d'une suite \((u_n)\) au comportement peu clair : - Vérifier l'hypothèse : trouver \(m \le u_n \le M\) pour tout \(n\). Le Théorème « Bolzano–Weierstrass » garantit alors qu'une suite extraite converge, sans dire laquelle ni vers quoi.
- Nommer la limite par un autre argument : l'hypothèse du problème, une inégalité passée à la limite, ou une équation vérifiée par la limite.
- Pour démontrer que toute la suite converge, montrer que toutes les suites extraites convergentes ont la même limite \(\ell\) et utiliser la Proposition « Une suite bornée à une seule valeur d'adhérence converge » ; pour démontrer qu'elle diverge, trouver deux suites extraites convergentes de limites distinctes.
- Sans bornitude, la Proposition « Une suite extraite de limite \(+\infty\) ou \(-\infty\) » fournit encore une suite extraite de limite infinie.
Exemple — La dichotomie de Bolzano–Weierstrass
Les segments emboîtés de la seconde démonstration, pour une suite bornée dont les premiers termes sont les points bleus : à chaque étape on garde la moitié du segment qui contient une infinité de termes. 
Compétences à pratiquer
- Extraire une suite extraite convergente ★
- Utiliser les valeurs d'adhérence ★★
- Utiliser Bolzano–Weierstrass avec une idée ★★★
V.3
Traductions séquentielles : densité et bornes supérieures
Une suite comme sonde
Pour savoir si un réel \(x\) peut être approché par des éléments d'une partie \(A\), il y a deux façons : regarder les intervalles autour de \(x\) et demander si chacun rencontre \(A\), ou chercher une suite d'éléments de \(A\) qui tend vers \(x\). La Proposition « Limites de termes d'une partie » montre que les deux façons n'en font qu'une. Deux traductions suivent : une partie est dense lorsque tout réel est limite de ses éléments, et la borne supérieure d'une partie est limite d'éléments de la partie. Elles remplacent un raisonnement sur des intervalles par un raisonnement sur une suite.
Proposition — Limites de termes d'une partie
Soient \(A \subset \mathbb{R}\) et \(x \in \mathbb{R}\). Il existe une suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) avec \(a_n \to x\) si et seulement si tout intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) avec \(\varepsilon > 0\) rencontre \(A\).
(\(\Rightarrow\)) Soit \((a_n)\) une suite d'éléments de \(A\) avec \(a_n \to x\), et soit \(\varepsilon > 0\). Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition d'une limite » (inégalités strictes), il existe \(N\) avec \(\lvert a_N - x \rvert < \varepsilon\), donc \(x - \varepsilon < a_N < x + \varepsilon\) : l'élément \(a_N\) de \(A\) appartient à l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\), qui rencontre donc \(A\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons que tout intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) avec \(\varepsilon > 0\) rencontre \(A\). Pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), l'intervalle \(\left]x - \frac{1}{n+1}, x + \frac{1}{n+1}\right[\) rencontre \(A\) : choisir \(a_n \in A\) dedans, de sorte que \(\lvert a_n - x \rvert < \frac{1}{n+1}\). Comme \(\frac{1}{n+1} \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(a_n \to x\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons que tout intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) avec \(\varepsilon > 0\) rencontre \(A\). Pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), l'intervalle \(\left]x - \frac{1}{n+1}, x + \frac{1}{n+1}\right[\) rencontre \(A\) : choisir \(a_n \in A\) dedans, de sorte que \(\lvert a_n - x \rvert < \frac{1}{n+1}\). Comme \(\frac{1}{n+1} \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(a_n \to x\).
Proposition — Caractérisation séquentielle de la densité
Soit \(D \subset \mathbb{R}\). \(D\) est dense dans \(\mathbb{R}\) si et seulement si tout réel est limite d'une suite d'éléments de \(D\).
Par la Définition « Partie dense », \(D\) est dense si elle rencontre tout intervalle ouvert non vide.
(\(\Rightarrow\)) Supposons \(D\) dense et soit \(x \in \mathbb{R}\). Pour tout \(\varepsilon > 0\) l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) est un intervalle ouvert non vide, puisqu'il contient \(x\), donc il rencontre \(D\). Par la Proposition « Limites de termes d'une partie » (\(\Leftarrow\)), \(x\) est limite d'une suite d'éléments de \(D\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons que tout réel soit limite d'une suite d'éléments de \(D\), et soient \(a < b\). Posons \(x = \frac{a+b}{2}\) et \(\varepsilon = \frac{b-a}{2} > 0\), de sorte que \(]a, b[ \, = \, ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\). Le réel \(x\) est limite d'une suite d'éléments de \(D\), donc par la Proposition « Limites de termes d'une partie » (\(\Rightarrow\)) l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) rencontre \(D\). Donc \(D\) rencontre tout intervalle ouvert non vide : \(D\) est dense.
(\(\Rightarrow\)) Supposons \(D\) dense et soit \(x \in \mathbb{R}\). Pour tout \(\varepsilon > 0\) l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) est un intervalle ouvert non vide, puisqu'il contient \(x\), donc il rencontre \(D\). Par la Proposition « Limites de termes d'une partie » (\(\Leftarrow\)), \(x\) est limite d'une suite d'éléments de \(D\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons que tout réel soit limite d'une suite d'éléments de \(D\), et soient \(a < b\). Posons \(x = \frac{a+b}{2}\) et \(\varepsilon = \frac{b-a}{2} > 0\), de sorte que \(]a, b[ \, = \, ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\). Le réel \(x\) est limite d'une suite d'éléments de \(D\), donc par la Proposition « Limites de termes d'une partie » (\(\Rightarrow\)) l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) rencontre \(D\). Donc \(D\) rencontre tout intervalle ouvert non vide : \(D\) est dense.
Exemple — Approcher un réel par des décimaux, des rationnels et des irrationnels
Soit \(x \in \mathbb{R}\). Montrer que \(x\) est limite d'une suite de nombres décimaux, d'une suite de nombres rationnels et d'une suite de nombres irrationnels, et donner de telles suites explicitement.
Décimaux et rationnels. Soit \(d_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}\), un nombre décimal. Par la Proposition « Les valeurs décimales approchées convergent », \(d_n \to x\). Tout nombre décimal est rationnel, donc \((d_n)\) est aussi une suite de nombres rationnels de limite \(x\).
Irrationnels. Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Pour \(n \in \mathbb{N}\) posons $$ v_n = d_n + \frac{1}{n+1} \sqrt{2}. $$ Le nombre \(\frac{1}{n+1}\) est un rationnel non nul, donc \(\frac{1}{n+1}\sqrt{2}\) est irrationnel par la Proposition « Somme et produit avec un rationnel » du chapitre Nombres réels ; ajouter le nombre rationnel \(d_n\) le laisse irrationnel, par la même Proposition. Donc \((v_n)\) est une suite de nombres irrationnels, et $$ \begin{aligned} v_n &= d_n + \frac{1}{n+1} \sqrt{2} && \text{(définition de \(v_n\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} x + 0 \cdot \sqrt{2} = x, \end{aligned} $$ la limite par les opérations sur les limites, puisque \(d_n \to x\) et \(\frac{1}{n+1} \to 0\). La même conclusion découle du Théorème « Densité de \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) » et de la Proposition « Caractérisation séquentielle de la densité », qui donnent une suite de nombres irrationnels de limite \(x\) sans l'écrire.
Irrationnels. Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Pour \(n \in \mathbb{N}\) posons $$ v_n = d_n + \frac{1}{n+1} \sqrt{2}. $$ Le nombre \(\frac{1}{n+1}\) est un rationnel non nul, donc \(\frac{1}{n+1}\sqrt{2}\) est irrationnel par la Proposition « Somme et produit avec un rationnel » du chapitre Nombres réels ; ajouter le nombre rationnel \(d_n\) le laisse irrationnel, par la même Proposition. Donc \((v_n)\) est une suite de nombres irrationnels, et $$ \begin{aligned} v_n &= d_n + \frac{1}{n+1} \sqrt{2} && \text{(définition de \(v_n\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} x + 0 \cdot \sqrt{2} = x, \end{aligned} $$ la limite par les opérations sur les limites, puisque \(d_n \to x\) et \(\frac{1}{n+1} \to 0\). La même conclusion découle du Théorème « Densité de \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) » et de la Proposition « Caractérisation séquentielle de la densité », qui donnent une suite de nombres irrationnels de limite \(x\) sans l'écrire.
Proposition — Une borne supérieure est limite de termes de l'ensemble
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\). - Si \(A\) est majorée, alors \(\sup A\) est limite d'une suite d'éléments de \(A\). Réciproquement, si \(M\) est un majorant de \(A\) et que \(M\) est limite d'une suite d'éléments de \(A\), alors \(M = \sup A\).
- Si \(A\) n'est pas majorée, il existe une suite d'éléments de \(A\) de limite \(+\infty\).
Majorée. Soit \(M = \sup A\). Par la Proposition « Caractérisation \(\varepsilon\) de \(\sup\) et \(\inf\) », pour tout \(n \in \mathbb{N}\) il existe \(a_n \in A\) avec \(M - \frac{1}{n+1} < a_n \le M\). Donc $$ \begin{aligned} \lvert a_n - M \rvert &= M - a_n && \text{(\(a_n \le M\))} \\
&< \frac{1}{n+1}, \end{aligned} $$ la dernière étape par le choix de \(a_n\), et \(\frac{1}{n+1} \to 0\), donc \(a_n \to M\) par la Proposition « Encadrement à zéro ».
La réciproque. Soient \(M\) un majorant de \(A\) et \((a_n)\) une suite d'éléments de \(A\) avec \(a_n \to M\). Soit \(M'\) un majorant quelconque de \(A\). Alors \(a_n \le M'\) pour tout \(n\), et la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » donne \(M \le M'\). Donc \(M\) est un majorant qui est inférieur ou égal à tout majorant : \(M = \sup A\).
Non majorée. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) le réel \(n\) n'est pas un majorant de \(A\), donc il existe \(a_n \in A\) avec \(a_n > n\). Soit \(B \in \mathbb{R}\). Par la propriété d'Archimède il existe \(N \in \mathbb{N}\) avec \(N \ge B\), et pour \(n \ge N\), \(a_n > n \ge N \ge B\). Donc \(a_n \to +\infty\).
La borne inférieure. La partie \(-A = \{-a \mid a \in A\}\) a pour majorants les opposés des minorants de \(A\), donc \(A\) est minorée si et seulement si \(-A\) est majorée, et alors \(\sup(-A) = -\inf A\). Une suite \((-a_n)\) d'éléments de \(-A\) de limite \(\sup(-A)\) donne une suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) de limite \(\inf A\), et une suite de \(-A\) tendant vers \(+\infty\) donne une suite de \(A\) tendant vers \(-\infty\).
La réciproque. Soient \(M\) un majorant de \(A\) et \((a_n)\) une suite d'éléments de \(A\) avec \(a_n \to M\). Soit \(M'\) un majorant quelconque de \(A\). Alors \(a_n \le M'\) pour tout \(n\), et la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » donne \(M \le M'\). Donc \(M\) est un majorant qui est inférieur ou égal à tout majorant : \(M = \sup A\).
Non majorée. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) le réel \(n\) n'est pas un majorant de \(A\), donc il existe \(a_n \in A\) avec \(a_n > n\). Soit \(B \in \mathbb{R}\). Par la propriété d'Archimède il existe \(N \in \mathbb{N}\) avec \(N \ge B\), et pour \(n \ge N\), \(a_n > n \ge N \ge B\). Donc \(a_n \to +\infty\).
La borne inférieure. La partie \(-A = \{-a \mid a \in A\}\) a pour majorants les opposés des minorants de \(A\), donc \(A\) est minorée si et seulement si \(-A\) est majorée, et alors \(\sup(-A) = -\inf A\). Une suite \((-a_n)\) d'éléments de \(-A\) de limite \(\sup(-A)\) donne une suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) de limite \(\inf A\), et une suite de \(-A\) tendant vers \(+\infty\) donne une suite de \(A\) tendant vers \(-\infty\).
Méthode — Prouver \(\sup A \equal M\) avec une suite
Pour montrer que \(M\) est la borne supérieure d'une partie \(A\) sans la calculer par l'ordre seul : - Majorer : montrer que \(M\) est un majorant de \(A\), c'est-à-dire \(a \le M\) pour tout \(a \in A\).
- Approcher : trouver une suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) avec \(a_n \to M\) ; le paramètre qui fait approcher l'expression de \(a_n\) de sa borne est celui qu'on fait tendre vers l'infini.
- Conclure par la Proposition « Une borne supérieure est limite de termes de l'ensemble » : \(M = \sup A\). La borne supérieure est un maximum si et seulement si \(M \in A\).
- Pour une borne inférieure, faire de même avec un minorant. Pour montrer que \(A\) n'est pas majorée, exhiber une suite d'éléments de \(A\) de limite \(+\infty\) : une partie majorée par \(M'\) ne peut en contenir une, puisque \(a_n \le M'\) donnerait \(+\infty \le M'\) par la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large ».
Exemple — Borne inférieure d'une partie non bornée
Soit \(A = \left\{\frac{q^2}{p^2 + q} \,\middle|\, p, q \in \mathbb{N}^*\right\}\). Montrer que \(A\) n'est pas majorée et que \(\inf A = 0\).
Non majorée. Prenons \(p = 1\) et \(q \in \mathbb{N}^*\). Comme \(1 \le q\), le dénominateur vérifie \(1 + q \le 2q\), donc $$ \begin{aligned} \frac{q^2}{1 + q} &\ge \frac{q^2}{2q} && \text{(\(1 + q \le 2q\))} \\
&= \frac{q}{2}. \end{aligned} $$ Soit \(B \in \mathbb{R}\). Par la propriété d'Archimède il existe \(q \in \mathbb{N}^*\) avec \(q > 2B\), et alors l'élément \(\frac{q^2}{1+q}\) de \(A\) est au moins égal à \(\frac{q}{2} > B\) : aucun réel \(B\) n'est un majorant de \(A\).
Borne inférieure. Tout élément de \(A\) est strictement positif, puisque \(q^2 > 0\) et \(p^2 + q > 0\) : le nombre \(0\) est un minorant de \(A\). Prenons \(q = 1\) et \(p \in \mathbb{N}^*\), et posons \(b_p = \frac{1}{p^2 + 1}\), un élément de \(A\). Comme \(p^2 + 1 \ge p\), $$ \begin{aligned} b_p &= \frac{1}{p^2 + 1} && \text{(définition de \(b_p\))} \\ &\le \frac{1}{p}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(p^2 + 1 \ge p > 0\), donc \(0 < b_p \le \frac{1}{p}\), et \(\frac{1}{p} \to 0\), donc \(b_p \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ». Le nombre \(0\) est un minorant de \(A\) et la limite d'une suite d'éléments de \(A\) : par la Proposition « Une borne supérieure est limite de termes de l'ensemble », dans sa version pour la borne inférieure, \(\inf A = 0\). Ce n'est pas un minimum, puisque \(0 \notin A\).
Borne inférieure. Tout élément de \(A\) est strictement positif, puisque \(q^2 > 0\) et \(p^2 + q > 0\) : le nombre \(0\) est un minorant de \(A\). Prenons \(q = 1\) et \(p \in \mathbb{N}^*\), et posons \(b_p = \frac{1}{p^2 + 1}\), un élément de \(A\). Comme \(p^2 + 1 \ge p\), $$ \begin{aligned} b_p &= \frac{1}{p^2 + 1} && \text{(définition de \(b_p\))} \\ &\le \frac{1}{p}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(p^2 + 1 \ge p > 0\), donc \(0 < b_p \le \frac{1}{p}\), et \(\frac{1}{p} \to 0\), donc \(b_p \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ». Le nombre \(0\) est un minorant de \(A\) et la limite d'une suite d'éléments de \(A\) : par la Proposition « Une borne supérieure est limite de termes de l'ensemble », dans sa version pour la borne inférieure, \(\inf A = 0\). Ce n'est pas un minimum, puisque \(0 \notin A\).
Compétences à pratiquer
- Calculer une valeur décimale approchée d'un réel ★
- Construire une suite d'un ensemble convergeant vers un réel ★
- Approcher une borne supérieure par une suite ★★
VI
Comparaison des suites usuelles
Qui croît le plus vite
Quatre familles de suites reviennent sans cesse : les suites géométriques \(q^n\), les puissances \(n^\alpha\), le logarithme \(\ln n\) et la factorielle \(n!\). Connaître leurs limites, et laquelle l'emporte dans un quotient, est le premier outil pour toute limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de tels termes. La limite d'une suite géométrique ne dépend que de sa raison, et le critère du quotient compare toute suite à une suite géométrique. Les croissances comparées classent les familles, avec démonstrations. Le lemme de Cesàro montre que la moyenne des premiers termes d'une suite garde sa limite.
VI.1
Suites géométriques et leurs limites
Puissances d'un nombre
La suite \((q^n)\) est la suite la plus simple dont le comportement change avec un paramètre : elle tend vers \(0\) lorsque \(\lvert q \rvert < 1\), elle est constante lorsque \(q = 1\), elle tend vers \(+\infty\) lorsque \(q > 1\), et elle n'a pas de limite lorsque \(q \le -1\). La démonstration repose sur l'inégalité de Bernoulli \((1 + h)^n \ge 1 + nh\) pour \(h \ge 0\), supposée connue du chapitre Limites de suites. Les sommes \(1 + q + \dots + q^n\) et le critère du quotient, qui compare une suite à une suite géométrique, découlent de cette limite.
Proposition — Limite de \(q^n\)
Soit \(q \in \mathbb{R}\). - Si \(\lvert q \rvert < 1\), alors \(\textcolor{colorprop}{q^n \to 0}\).
- Si \(q = 1\), alors \(q^n = 1 \to 1\).
- Si \(q > 1\), alors \(\textcolor{colorprop}{q^n \to +\infty}\).
- Si \(q \le -1\), alors \((q^n)\) n'a pas de limite : pour \(q = -1\) elle alterne entre \(1\) et \(-1\), et pour \(q < -1\) elle alterne de signe tandis que \(\lvert q^n \rvert \to +\infty\).
Première démonstration : l'inégalité de Bernoulli. Par la Proposition « Inégalité de Bernoulli », \((1 + h)^n \ge 1 + nh\) pour \(h \ge 0\) et \(n \in \mathbb{N}\).
Le cas \(q > 1\). Écrivons \(q = 1 + h\) avec \(h = q - 1 > 0\). Par l'inégalité de Bernoulli \(q^n \ge 1 + nh\), et \(1 + nh \to +\infty\) par les règles sur les limites infinies, donc \(q^n \to +\infty\) par la Proposition « Minoration et majoration avec des limites infinies ».
Le cas \(0 < \lvert q \rvert < 1\). Alors \(\frac{1}{\lvert q \rvert} > 1\), donc \(\left(\frac{1}{\lvert q \rvert}\right)^n \to +\infty\) par le cas précédent, et \(\lvert q \rvert^n = \dfrac{1}{(1/\lvert q \rvert)^n} \to 0\) par la règle de l'inverse d'une suite qui tend vers \(+\infty\). Comme \(\lvert q^n - 0 \rvert = \lvert q \rvert^n \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(q^n \to 0\).
Le cas \(q = 0\). Pour \(n \ge 1\), \(q^n = 0\), donc \(\lvert q^n - 0 \rvert \le \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\) à partir du rang \(1\) : \(q^n \to 0\).
Le cas \(q = 1\). La suite est constante, égale à \(1\).
Le cas \(q \le -1\). Les suites extraites paire et impaire sont \(q^{2n} = (q^2)^n\) et \(q^{2n+1} = q \, (q^2)^n\). Si \(q = -1\), ce sont les constantes \(1\) et \(-1\). Si \(q < -1\), alors \(q^2 > 1\), donc \((q^2)^n \to +\infty\) par le cas \(q > 1\), d'où \(q^{2n} \to +\infty\) et \(q^{2n+1} \to -\infty\), puisque \(q < 0\). Dans les deux cas les deux limites sont distinctes, donc \((q^n)\) n'a pas de limite par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes ». En particulier \(\lvert q^n \rvert \to +\infty\) n'implique pas \(q^n \to +\infty\) : le signe compte.
Seconde démonstration : le théorème de la limite monotone. Soit \(0 < q < 1\). La suite \((q^n)\) est décroissante, puisque \(q^{n+1} - q^n = q^n (q - 1) < 0\), et minorée par \(0\), donc par la Proposition « Une suite monotone bornée converge » elle converge vers un certain \(\ell\). Par la Proposition « Le décalage », \(q^{n+1} \to \ell\), et par les opérations sur les limites \(q^{n+1} = q \cdot q^n \to q\ell\). La limite est unique, donc \(\ell = q\ell\), c'est-à-dire \((1 - q)\ell = 0\), et \(\ell = 0\) puisque \(q \ne 1\). Pour \(-1 < q < 0\), \(\lvert q^n \rvert = \lvert q \rvert^n \to 0\) par le cas précédent, donc \(q^n \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ». Pour \(q > 1\), les termes \(q^n\) sont strictement positifs et \(\frac{1}{q^n} = \left(\frac{1}{q}\right)^n \to 0\) avec \(0 < \frac{1}{q} < 1\), donc \(q^n \to +\infty\) par la règle de l'inverse d'une suite strictement positive qui tend vers \(0\). Les cas \(q = 0\), \(q = 1\) et \(q \le -1\) sont ceux de la première démonstration.
Le cas \(q > 1\). Écrivons \(q = 1 + h\) avec \(h = q - 1 > 0\). Par l'inégalité de Bernoulli \(q^n \ge 1 + nh\), et \(1 + nh \to +\infty\) par les règles sur les limites infinies, donc \(q^n \to +\infty\) par la Proposition « Minoration et majoration avec des limites infinies ».
Le cas \(0 < \lvert q \rvert < 1\). Alors \(\frac{1}{\lvert q \rvert} > 1\), donc \(\left(\frac{1}{\lvert q \rvert}\right)^n \to +\infty\) par le cas précédent, et \(\lvert q \rvert^n = \dfrac{1}{(1/\lvert q \rvert)^n} \to 0\) par la règle de l'inverse d'une suite qui tend vers \(+\infty\). Comme \(\lvert q^n - 0 \rvert = \lvert q \rvert^n \to 0\), la Proposition « Encadrement à zéro » donne \(q^n \to 0\).
Le cas \(q = 0\). Pour \(n \ge 1\), \(q^n = 0\), donc \(\lvert q^n - 0 \rvert \le \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\) à partir du rang \(1\) : \(q^n \to 0\).
Le cas \(q = 1\). La suite est constante, égale à \(1\).
Le cas \(q \le -1\). Les suites extraites paire et impaire sont \(q^{2n} = (q^2)^n\) et \(q^{2n+1} = q \, (q^2)^n\). Si \(q = -1\), ce sont les constantes \(1\) et \(-1\). Si \(q < -1\), alors \(q^2 > 1\), donc \((q^2)^n \to +\infty\) par le cas \(q > 1\), d'où \(q^{2n} \to +\infty\) et \(q^{2n+1} \to -\infty\), puisque \(q < 0\). Dans les deux cas les deux limites sont distinctes, donc \((q^n)\) n'a pas de limite par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes ». En particulier \(\lvert q^n \rvert \to +\infty\) n'implique pas \(q^n \to +\infty\) : le signe compte.
Seconde démonstration : le théorème de la limite monotone. Soit \(0 < q < 1\). La suite \((q^n)\) est décroissante, puisque \(q^{n+1} - q^n = q^n (q - 1) < 0\), et minorée par \(0\), donc par la Proposition « Une suite monotone bornée converge » elle converge vers un certain \(\ell\). Par la Proposition « Le décalage », \(q^{n+1} \to \ell\), et par les opérations sur les limites \(q^{n+1} = q \cdot q^n \to q\ell\). La limite est unique, donc \(\ell = q\ell\), c'est-à-dire \((1 - q)\ell = 0\), et \(\ell = 0\) puisque \(q \ne 1\). Pour \(-1 < q < 0\), \(\lvert q^n \rvert = \lvert q \rvert^n \to 0\) par le cas précédent, donc \(q^n \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ». Pour \(q > 1\), les termes \(q^n\) sont strictement positifs et \(\frac{1}{q^n} = \left(\frac{1}{q}\right)^n \to 0\) avec \(0 < \frac{1}{q} < 1\), donc \(q^n \to +\infty\) par la règle de l'inverse d'une suite strictement positive qui tend vers \(0\). Les cas \(q = 0\), \(q = 1\) et \(q \le -1\) sont ceux de la première démonstration.
Proposition — Sommes d'une suite géométrique
Soient \(q \in \mathbb{R}\) et \(S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k\). Si \(\lvert q \rvert < 1\), alors \(S_n \to \frac{1}{1 - q}\). Si \(q \ge 1\), alors \(S_n \to +\infty\).
Le cas \(\lvert q \rvert < 1\). Comme \(q \ne 1\), $$ \begin{aligned} S_n &= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} && \text{(Proposition « Sommes de termes consécutifs »)} \\
&\xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1 - 0}{1 - q} = \frac{1}{1 - q}, \end{aligned} $$ la limite par les opérations sur les limites, car \(q^{n+1} = q \cdot q^n \to q \cdot 0 = 0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) ».
Le cas \(q \ge 1\). Toute puissance \(q^k\) avec \(k \ge 0\) est au moins égale à \(1\), donc $$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=0}^{n} q^k && \text{(définition de \(S_n\))} \\ &\ge \sum_{k=0}^{n} 1 && \text{(\(q^k \ge 1\))} \\ &= n + 1, \end{aligned} $$ et \(n + 1 \to +\infty\), donc \(S_n \to +\infty\) par la Proposition « Minoration et majoration avec des limites infinies ».
Le cas \(q \ge 1\). Toute puissance \(q^k\) avec \(k \ge 0\) est au moins égale à \(1\), donc $$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=0}^{n} q^k && \text{(définition de \(S_n\))} \\ &\ge \sum_{k=0}^{n} 1 && \text{(\(q^k \ge 1\))} \\ &= n + 1, \end{aligned} $$ et \(n + 1 \to +\infty\), donc \(S_n \to +\infty\) par la Proposition « Minoration et majoration avec des limites infinies ».
Proposition — Critère du quotient
Soit \((u_n)\) une suite de termes strictement positifs. - S'il existe \(\eta < 1\) et un rang \(N\) tels que \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \eta\) pour tout \(n \ge N\), alors \(u_n \to 0\).
- Si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \lambda\) avec \(\lambda \in [0, 1[\), alors \(u_n \to 0\).
- Si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \lambda\) avec \(\lambda \in \,]1, +\infty]\), alors \(u_n \to +\infty\).
Premier point, première démonstration : un majorant géométrique. Les quotients sont strictement positifs, donc \(\eta > 0\) : \(0 < \eta < 1\). Pour \(n \ge N\), \(u_n \le u_N \eta^{n - N}\) : c'est une égalité pour \(n = N\), et si c'est vrai pour \(n\), alors \(u_{n+1} \le \eta \, u_n \le \eta \, u_N \eta^{n-N} = u_N \eta^{n+1-N}\). Donc \(0 < u_n \le \frac{u_N}{\eta^N} \, \eta^n\) pour \(n \ge N\). Comme \(\eta^n \to 0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) », \(\frac{u_N}{\eta^N} \, \eta^n \to 0\) par les opérations sur les limites, et le théorème d'encadrement donne \(u_n \to 0\).
Premier point, seconde démonstration : une suite bornée fois une suite de limite nulle. Soit \(v_n = \frac{u_n}{\eta^n} > 0\). Pour \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} \frac{v_{n+1}}{v_n} &= \frac{u_{n+1}}{\eta \, u_n} && \text{(définition de \(v\))} \\ &\le \frac{\eta}{\eta} && \text{(hypothèse \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \eta\))} \\ &= 1, \end{aligned} $$ donc \(v_{n+1} \le v_n\) car \(v_n > 0\) : la suite \((v_n)_{n \ge N}\) est décroissante, donc \(0 < v_n \le v_N\) pour \(n \ge N\), de sorte que \((v_n)\) est bornée à partir du rang \(N\), donc bornée par la Proposition « Propriétés vraies à partir d'un certain rang ». La suite \((\eta^n)\) tend vers \(0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) », et \(u_n = \eta^n v_n\) est le produit d'une suite de limite nulle par une suite bornée, donc \(u_n \to 0\) par la Proposition « Suites de limite nulle ».
Deuxième point. Soient \(\lambda \in [0, 1[\), \(\eta = \frac{1 + \lambda}{2}\) et \(\varepsilon = \eta - \lambda = \frac{1 - \lambda}{2} > 0\). Par la Définition « Limite finie » il existe \(N\) tel que \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \lambda + \varepsilon = \eta\) pour \(n \ge N\), avec \(\eta < 1\). Le premier point donne \(u_n \to 0\).
Troisième point. Soit \(w_n = \frac{1}{u_n} > 0\). Alors \(\frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{u_n}{u_{n+1}}\) est l'inverse de \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), qui est strictement positif et tend vers \(\lambda \in \,]1, +\infty]\), donc \(\frac{w_{n+1}}{w_n} \to \frac{1}{\lambda} \in [0, 1[\) par les opérations sur les limites (avec \(\frac{1}{+\infty} = 0\)). Par le deuxième point \(w_n \to 0\), et comme \(w_n > 0\), \(u_n = \frac{1}{w_n} \to +\infty\) par la règle de l'inverse d'une suite strictement positive qui tend vers \(0\).
Premier point, seconde démonstration : une suite bornée fois une suite de limite nulle. Soit \(v_n = \frac{u_n}{\eta^n} > 0\). Pour \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} \frac{v_{n+1}}{v_n} &= \frac{u_{n+1}}{\eta \, u_n} && \text{(définition de \(v\))} \\ &\le \frac{\eta}{\eta} && \text{(hypothèse \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \eta\))} \\ &= 1, \end{aligned} $$ donc \(v_{n+1} \le v_n\) car \(v_n > 0\) : la suite \((v_n)_{n \ge N}\) est décroissante, donc \(0 < v_n \le v_N\) pour \(n \ge N\), de sorte que \((v_n)\) est bornée à partir du rang \(N\), donc bornée par la Proposition « Propriétés vraies à partir d'un certain rang ». La suite \((\eta^n)\) tend vers \(0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) », et \(u_n = \eta^n v_n\) est le produit d'une suite de limite nulle par une suite bornée, donc \(u_n \to 0\) par la Proposition « Suites de limite nulle ».
Deuxième point. Soient \(\lambda \in [0, 1[\), \(\eta = \frac{1 + \lambda}{2}\) et \(\varepsilon = \eta - \lambda = \frac{1 - \lambda}{2} > 0\). Par la Définition « Limite finie » il existe \(N\) tel que \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \lambda + \varepsilon = \eta\) pour \(n \ge N\), avec \(\eta < 1\). Le premier point donne \(u_n \to 0\).
Troisième point. Soit \(w_n = \frac{1}{u_n} > 0\). Alors \(\frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{u_n}{u_{n+1}}\) est l'inverse de \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), qui est strictement positif et tend vers \(\lambda \in \,]1, +\infty]\), donc \(\frac{w_{n+1}}{w_n} \to \frac{1}{\lambda} \in [0, 1[\) par les opérations sur les limites (avec \(\frac{1}{+\infty} = 0\)). Par le deuxième point \(w_n \to 0\), et comme \(w_n > 0\), \(u_n = \frac{1}{w_n} \to +\infty\) par la règle de l'inverse d'une suite strictement positive qui tend vers \(0\).
Exemple — Une somme géométrique
Calculer la limite de \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}\) quand \(n \to +\infty\).
La somme est \(S_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k\), somme géométrique de raison \(q = \frac{1}{2}\), avec \(\lvert q \rvert < 1\). $$ \begin{aligned} S_n &= \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} && \text{(Proposition « Sommes de termes consécutifs »)} \\
&= 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right) && \text{(\(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\))} \\
&\xrightarrow[n \to +\infty]{} 2\,(1 - 0) = 2, \end{aligned} $$ la limite par les opérations sur les limites, car \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \to 0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) » et la Proposition « Le décalage ».
Exemple — La limite d'une suite arithmético-géométrique
La suite \(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1\) a pour forme close \(u_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Montrer que \(u_n \to 2\), et que la limite est \(2\) quel que soit le premier terme \(u_0\). Que se passe-t-il pour \(v_{n+1} = 2v_n - 2\) ?
Premier terme \(1\). Comme \(\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) », \(u_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \to 2 - 0 = 2\).
Premier terme quelconque. Ici \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = 1\), donc le point fixe est \(\ell = \frac{b}{1 - a} = 2\), et par la Proposition « Réduction à une suite géométrique » $$ \begin{aligned} u_n &= 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n (u_0 - 2) && \text{(forme close avec le point fixe \(2\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} 2 + 0 \cdot (u_0 - 2) = 2, \end{aligned} $$ quel que soit \(u_0\) : la suite est attirée par le point fixe depuis tout premier terme, parce que \(\lvert a \rvert < 1\).
La raison \(2\). Pour \(v_{n+1} = 2v_n - 2\) le point fixe est \(\ell = \frac{-2}{1 - 2} = 2\), et \(v_n = 2 + 2^n (v_0 - 2)\). Si \(v_0 = 2\), la suite est constante, égale à \(2\). Si \(v_0 > 2\), alors \(v_0 - 2 > 0\) et \(2^n \to +\infty\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) », donc \(v_n \to +\infty\) ; si \(v_0 < 2\), alors \(v_n \to -\infty\). La suite quitte le point fixe sauf si elle y commence : pour \(\lvert a \rvert > 1\) la limite dépend du premier terme.
Premier terme quelconque. Ici \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = 1\), donc le point fixe est \(\ell = \frac{b}{1 - a} = 2\), et par la Proposition « Réduction à une suite géométrique » $$ \begin{aligned} u_n &= 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n (u_0 - 2) && \text{(forme close avec le point fixe \(2\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} 2 + 0 \cdot (u_0 - 2) = 2, \end{aligned} $$ quel que soit \(u_0\) : la suite est attirée par le point fixe depuis tout premier terme, parce que \(\lvert a \rvert < 1\).
La raison \(2\). Pour \(v_{n+1} = 2v_n - 2\) le point fixe est \(\ell = \frac{-2}{1 - 2} = 2\), et \(v_n = 2 + 2^n (v_0 - 2)\). Si \(v_0 = 2\), la suite est constante, égale à \(2\). Si \(v_0 > 2\), alors \(v_0 - 2 > 0\) et \(2^n \to +\infty\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) », donc \(v_n \to +\infty\) ; si \(v_0 < 2\), alors \(v_n \to -\infty\). La suite quitte le point fixe sauf si elle y commence : pour \(\lvert a \rvert > 1\) la limite dépend du premier terme.
Compétences à pratiquer
- Calculer la limite d'une expression géométrique ★
- Démontrer la limite d'une suite ou d'une somme géométrique ★
- Utiliser le critère du quotient ★★
VI.2
Croissances comparées
Qui l'emporte dans un quotient
Lequel de \(n^3\), \(2^n\) et \(n!\) est le plus grand pour \(n\) grand ? Dans un quotient la réponse décide de la limite : \(\frac{n^3}{2^n}\) tend vers \(0\) et \(\frac{n!}{2^n}\) tend vers \(+\infty\). Cinq familles forment une hiérarchie : \(\ln n\), les puissances \(n^\alpha\), les exponentielles \(a^n\) avec \(a > 1\), la factorielle \(n!\) et \(n^n\), chacune négligeable devant la suivante. La Proposition « Les puissances contre les exponentielles ; l'exponentielle contre la factorielle » démontre les comparaisons entre puissances, exponentielles et factorielles par le critère du quotient ; la Proposition « Le logarithme contre les puissances » démontre la comparaison du logarithme et des puissances par l'inégalité \(\ln x \le x - 1\) ; le Théorème « Croissances comparées » les rassemble et en tire la conséquence.
Proposition — Les puissances contre les exponentielles ; l'exponentielle contre la factorielle
Soient \(\alpha > 0\), \(a > 1\) et \(c \in \mathbb{R}\). - \(\dfrac{n^\alpha}{a^n} \to 0\).
- \(\dfrac{c^n}{n!} \to 0\).
- \(\dfrac{n!}{n^n} \to 0\).
Puissances contre exponentielles, exposant entier. Soient \(k \in \mathbb{N}\) et \(u_n = \frac{n^k}{a^n} > 0\) pour \(n \ge 1\). $$ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{(n+1)^k}{a^{n+1}} \cdot \frac{a^n}{n^k} && \text{(définition de \(u\))} \\
&= \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k && \text{(loi des exposants)} \\
&\xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{a} \cdot 1^k = \frac{1}{a}, \end{aligned} $$ la limite par les opérations sur les limites (un produit de \(k\) facteurs qui tendent vers \(1\)), puisque \(1 + \frac{1}{n} \to 1\). Comme \(a > 1\), \(\frac{1}{a} \in [0, 1[\), et le deuxième point de la Proposition « Critère du quotient » donne \(u_n \to 0\).
Puissances contre exponentielles, exposant réel. Soient \(\alpha > 0\) et \(k \in \mathbb{N}\) avec \(k \ge \alpha\) (propriété d'Archimède). Pour \(n \ge 1\), \(\ln n \ge 0\), donc \(\alpha \ln n \le k \ln n\), et comme \(\exp\) est croissante, \(n^\alpha = e^{\alpha \ln n} \le e^{k \ln n} = n^k\). Donc \(0 < \frac{n^\alpha}{a^n} \le \frac{n^k}{a^n}\) avec \(\frac{n^k}{a^n} \to 0\), et le théorème d'encadrement donne \(\frac{n^\alpha}{a^n} \to 0\).
L'exponentielle contre la factorielle. Si \(c = 0\) le quotient vaut \(0\) pour \(n \ge 1\). Sinon soit \(u_n = \frac{\lvert c \rvert^n}{n!} > 0\). $$ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{\lvert c \rvert^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{\lvert c \rvert^n} && \text{(définition de \(u\))} \\ &= \frac{\lvert c \rvert}{n+1} && \text{(puisque \((n+1)! = (n+1) \, n!\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \end{aligned} $$ car \(\frac{1}{n+1} \to 0\). Le deuxième point de la Proposition « Critère du quotient » donne \(u_n \to 0\), et \(\left\lvert \frac{c^n}{n!} - 0 \right\rvert = u_n\), donc \(\frac{c^n}{n!} \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ».
La factorielle contre \(n^n\). Pour \(n \ge 1\) le premier facteur de \(n!\) est \(1\) et les autres sont au plus égaux à \(n\), donc $$ \begin{aligned} n! &= 1 \cdot \prod_{k=2}^{n} k && \text{(définition de \(n!\))} \\ &\le 1 \cdot \prod_{k=2}^{n} n && \text{(\(k \le n\))} \\ &= n^{n-1}, \end{aligned} $$ d'où \(0 < \frac{n!}{n^n} \le \frac{n^{n-1}}{n^n} = \frac{1}{n}\), et \(\frac{1}{n} \to 0\), donc \(\frac{n!}{n^n} \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ».
Puissances contre exponentielles, exposant réel. Soient \(\alpha > 0\) et \(k \in \mathbb{N}\) avec \(k \ge \alpha\) (propriété d'Archimède). Pour \(n \ge 1\), \(\ln n \ge 0\), donc \(\alpha \ln n \le k \ln n\), et comme \(\exp\) est croissante, \(n^\alpha = e^{\alpha \ln n} \le e^{k \ln n} = n^k\). Donc \(0 < \frac{n^\alpha}{a^n} \le \frac{n^k}{a^n}\) avec \(\frac{n^k}{a^n} \to 0\), et le théorème d'encadrement donne \(\frac{n^\alpha}{a^n} \to 0\).
L'exponentielle contre la factorielle. Si \(c = 0\) le quotient vaut \(0\) pour \(n \ge 1\). Sinon soit \(u_n = \frac{\lvert c \rvert^n}{n!} > 0\). $$ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{\lvert c \rvert^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{\lvert c \rvert^n} && \text{(définition de \(u\))} \\ &= \frac{\lvert c \rvert}{n+1} && \text{(puisque \((n+1)! = (n+1) \, n!\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \end{aligned} $$ car \(\frac{1}{n+1} \to 0\). Le deuxième point de la Proposition « Critère du quotient » donne \(u_n \to 0\), et \(\left\lvert \frac{c^n}{n!} - 0 \right\rvert = u_n\), donc \(\frac{c^n}{n!} \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ».
La factorielle contre \(n^n\). Pour \(n \ge 1\) le premier facteur de \(n!\) est \(1\) et les autres sont au plus égaux à \(n\), donc $$ \begin{aligned} n! &= 1 \cdot \prod_{k=2}^{n} k && \text{(définition de \(n!\))} \\ &\le 1 \cdot \prod_{k=2}^{n} n && \text{(\(k \le n\))} \\ &= n^{n-1}, \end{aligned} $$ d'où \(0 < \frac{n!}{n^n} \le \frac{n^{n-1}}{n^n} = \frac{1}{n}\), et \(\frac{1}{n} \to 0\), donc \(\frac{n!}{n^n} \to 0\) par la Proposition « Encadrement à zéro ».
Proposition — Le logarithme contre les puissances
Soient \(\alpha > 0\) et \(b > 0\). - \(\ln n \to +\infty\), et \(n^\gamma \to +\infty\) pour tout \(\gamma > 0\).
- \(\dfrac{(\ln n)^b}{n^\alpha} \to 0\).
Les limites \(+\infty\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). Par la propriété d'Archimède il existe \(N \in \mathbb{N}^*\) avec \(N \ge e^A\). Pour \(n \ge N\), comme \(\ln\) est croissante, $$ \begin{aligned} \ln n &\ge \ln N && \text{(\(n \ge N\))} \\
&\ge \ln\left(e^A\right) && \text{(\(N \ge e^A\))} \\
&= A, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\ln\) et \(\exp\) sont réciproques, donc \(\ln n \to +\infty\). Soit \(\gamma > 0\). Pour \(A \le 0\) tout terme vérifie \(n^\gamma \ge A\). Pour \(A > 0\) prendre \(N \in \mathbb{N}^*\) avec \(N \ge A^{1/\gamma}\) ; pour \(n \ge N\), comme \(x \mapsto x^\gamma\) est croissante, \(n^\gamma \ge N^\gamma \ge \left(A^{1/\gamma}\right)^\gamma = A\). Donc \(n^\gamma \to +\infty\).
Le quotient. Soit \(\gamma = \frac{\alpha}{2b} > 0\). Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} \ln n &= \frac{1}{\gamma} \ln\left(n^\gamma\right) && \text{(\(\ln(x^\gamma) = \gamma \ln x\))} \\ &\le \frac{1}{\gamma}\left(n^\gamma - 1\right) && \text{(\(\ln x \le x - 1\) pour \(x = n^\gamma > 0\))} \\ &\le \frac{1}{\gamma} \, n^\gamma, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(-1 \le 0\). Comme \(\ln n \ge 0\) et que \(x \mapsto x^b\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\), l'élévation à la puissance \(b\) donne \((\ln n)^b \le \gamma^{-b} \, n^{\gamma b} = \gamma^{-b} \, n^{\alpha/2}\). Donc $$ \begin{aligned} 0 \le \frac{(\ln n)^b}{n^\alpha} &\le \gamma^{-b} \, \frac{n^{\alpha/2}}{n^\alpha} && \text{(la majoration de \((\ln n)^b\))} \\ &= \frac{\gamma^{-b}}{n^{\alpha/2}}, \end{aligned} $$ et \(n^{\alpha/2} \to +\infty\) par le premier point, donc \(\frac{\gamma^{-b}}{n^{\alpha/2}} \to 0\) par la règle de l'inverse d'une suite qui tend vers \(+\infty\). Le théorème d'encadrement donne \(\frac{(\ln n)^b}{n^\alpha} \to 0\).
Le quotient. Soit \(\gamma = \frac{\alpha}{2b} > 0\). Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} \ln n &= \frac{1}{\gamma} \ln\left(n^\gamma\right) && \text{(\(\ln(x^\gamma) = \gamma \ln x\))} \\ &\le \frac{1}{\gamma}\left(n^\gamma - 1\right) && \text{(\(\ln x \le x - 1\) pour \(x = n^\gamma > 0\))} \\ &\le \frac{1}{\gamma} \, n^\gamma, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(-1 \le 0\). Comme \(\ln n \ge 0\) et que \(x \mapsto x^b\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\), l'élévation à la puissance \(b\) donne \((\ln n)^b \le \gamma^{-b} \, n^{\gamma b} = \gamma^{-b} \, n^{\alpha/2}\). Donc $$ \begin{aligned} 0 \le \frac{(\ln n)^b}{n^\alpha} &\le \gamma^{-b} \, \frac{n^{\alpha/2}}{n^\alpha} && \text{(la majoration de \((\ln n)^b\))} \\ &= \frac{\gamma^{-b}}{n^{\alpha/2}}, \end{aligned} $$ et \(n^{\alpha/2} \to +\infty\) par le premier point, donc \(\frac{\gamma^{-b}}{n^{\alpha/2}} \to 0\) par la règle de l'inverse d'une suite qui tend vers \(+\infty\). Le théorème d'encadrement donne \(\frac{(\ln n)^b}{n^\alpha} \to 0\).
Théorème — Croissances comparées
Soient \(\alpha > 0\), \(b > 0\) et \(a > 1\). Les suites \(\ln n\), \(n^\alpha\), \(a^n\), \(n!\) et \(n^n\) tendent vers \(+\infty\), et chacune est négligeable devant la suivante : $$ \textcolor{colorprop}{\frac{(\ln n)^b}{n^\alpha} \to 0, \qquad \frac{n^\alpha}{a^n} \to 0, \qquad \frac{a^n}{n!} \to 0, \qquad \frac{n!}{n^n} \to 0.} $$ Par conséquent le quotient d'un terme de l'une de ces familles par un terme d'une famille postérieure tend vers \(0\).
Les limites \(+\infty\). La Proposition « Le logarithme contre les puissances » donne \(\ln n \to +\infty\) et \(n^\alpha \to +\infty\), et la Proposition « Limite de \(q^n\) » donne \(a^n \to +\infty\) puisque \(a > 1\). Pour \(n \ge 1\), \(n! = n \, (n-1)! \ge n\) et \(n^n \ge n\), donc \(n! \to +\infty\) et \(n^n \to +\infty\) par la Proposition « Minoration et majoration avec des limites infinies ».
Les quatre quotients. Le premier est le deuxième point de la Proposition « Le logarithme contre les puissances », et les trois autres sont les trois points de la Proposition « Les puissances contre les exponentielles ; l'exponentielle contre la factorielle », avec \(c = a\).
La conséquence. Le quotient d'un terme d'une famille par un terme d'une famille postérieure est le produit des quotients des familles consécutives qui les séparent, dont chacun tend vers \(0\). Par exemple, pour tout \(\alpha > 0\), $$ \begin{aligned} \frac{(\ln n)^b}{a^n} &= \frac{(\ln n)^b}{n^\alpha} \cdot \frac{n^\alpha}{a^n} && \text{(multiplication et division par \(n^\alpha\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \end{aligned} $$ la limite par la règle du produit, chacun des deux facteurs tendant vers \(0\) par les quotients ci-dessus. De même \(\frac{n^\alpha}{n!} = \frac{n^\alpha}{a^n} \cdot \frac{a^n}{n!} \to 0\), \(\frac{a^n}{n^n} = \frac{a^n}{n!} \cdot \frac{n!}{n^n} \to 0\), et les quotients qui sautent plusieurs familles sont des produits de trois ou quatre suites de limite nulle.
Les quatre quotients. Le premier est le deuxième point de la Proposition « Le logarithme contre les puissances », et les trois autres sont les trois points de la Proposition « Les puissances contre les exponentielles ; l'exponentielle contre la factorielle », avec \(c = a\).
La conséquence. Le quotient d'un terme d'une famille par un terme d'une famille postérieure est le produit des quotients des familles consécutives qui les séparent, dont chacun tend vers \(0\). Par exemple, pour tout \(\alpha > 0\), $$ \begin{aligned} \frac{(\ln n)^b}{a^n} &= \frac{(\ln n)^b}{n^\alpha} \cdot \frac{n^\alpha}{a^n} && \text{(multiplication et division par \(n^\alpha\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \end{aligned} $$ la limite par la règle du produit, chacun des deux facteurs tendant vers \(0\) par les quotients ci-dessus. De même \(\frac{n^\alpha}{n!} = \frac{n^\alpha}{a^n} \cdot \frac{a^n}{n!} \to 0\), \(\frac{a^n}{n^n} = \frac{a^n}{n!} \cdot \frac{n!}{n^n} \to 0\), et les quotients qui sautent plusieurs familles sont des produits de trois ou quatre suites de limite nulle.
Méthode — Utiliser les croissances comparées
Pour trouver la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de termes tels que \(\ln n\), \(n^\alpha\), \(a^n\), \(n!\) : - Classer les familles dans chaque terme : \(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\), où \(x_n \ll y_n\) signifie que \(\frac{x_n}{y_n} \to 0\). Pour deux exponentielles de bases différentes la plus grande base l'emporte, puisque \(\frac{a^n}{a'^n} = \left(\frac{a}{a'}\right)^n\) est géométrique. Une puissance \(n^\alpha\) a un exposant constant : \(n^n\) et \(2^n\) ne sont pas des puissances.
- Factoriser le terme dominant de chaque somme, montrer la factorisation, puis simplifier : \(x_n + y_n = x_n\left(1 + \frac{y_n}{x_n}\right)\) où \(\frac{y_n}{x_n} \to 0\) par le Théorème « Croissances comparées ».
- Conclure par les opérations sur les limites : la parenthèse tend vers \(1\), et la limite est celle du quotient des termes dominants.
- Nommer les exposants et les bases : le Théorème exige \(\alpha > 0\), \(b > 0\) et \(a > 1\) ; pour \(\lvert a \rvert < 1\) la suite \(a^n\) est géométrique et tend vers \(0\).
Exemple — Un quotient avec \(n^3\), \(2^n\) et \(n!\)
Déterminer la limite de \(u_n = \dfrac{n! + 2^n}{2^n + n^3}\).
Au numérateur \(n!\) est le terme dominant, puisque \(\frac{2^n}{n!} \to 0\) ; au dénominateur \(2^n\) l'est, puisque \(\frac{n^3}{2^n} \to 0\), les deux par le Théorème « Croissances comparées ». $$ \begin{aligned} u_n &= \frac{n! \left(1 + \frac{2^n}{n!}\right)}{2^n \left(1 + \frac{n^3}{2^n}\right)} && \text{(factorisation de \(n!\) et de \(2^n\))} \\
&= \frac{n!}{2^n} \cdot \frac{1 + \frac{2^n}{n!}}{1 + \frac{n^3}{2^n}}, \end{aligned} $$ la dernière étape regroupant les facteurs. Le second facteur tend vers \(\frac{1 + 0}{1 + 0} = 1\) par les opérations sur les limites. Le premier facteur \(\frac{n!}{2^n}\) est l'inverse de \(\frac{2^n}{n!}\), qui est strictement positive et tend vers \(0\), donc \(\frac{n!}{2^n} \to +\infty\). Une suite qui tend vers \(+\infty\), multipliée par une suite qui tend vers \(1 > 0\), tend vers \(+\infty\) : \(u_n \to +\infty\).
Exemple — Un logarithme contre une racine carrée
Déterminer les limites de \(u_n = \dfrac{(\ln n)^3}{\sqrt{n}}\) et de \(v_n = \dfrac{\sqrt{n} + (\ln n)^3}{\sqrt{n} + \ln n}\).
La suite \(u_n\). Comme \(\sqrt{n} = n^{1/2}\), le Théorème « Croissances comparées » avec \(b = 3\) et \(\alpha = \frac{1}{2}\) donne \(u_n = \frac{(\ln n)^3}{n^{1/2}} \to 0\). Avec \(b = 1\) il donne aussi \(\frac{\ln n}{\sqrt{n}} \to 0\).
La suite \(v_n\). Le terme dominant du numérateur et du dénominateur est \(\sqrt{n}\). $$ \begin{aligned} v_n &= \frac{\sqrt{n}\left(1 + \frac{(\ln n)^3}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}\left(1 + \frac{\ln n}{\sqrt{n}}\right)} && \text{(factorisation du terme dominant \(\sqrt{n}\))} \\ &= \frac{\cancel{\sqrt{n}}\left(1 + \frac{(\ln n)^3}{\sqrt{n}}\right)}{\cancel{\sqrt{n}}\left(1 + \frac{\ln n}{\sqrt{n}}\right)} && \text{(simplification par \(\sqrt{n} \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1, \end{aligned} $$ la limite par les opérations sur les limites et les deux limites ci-dessus.
La suite \(v_n\). Le terme dominant du numérateur et du dénominateur est \(\sqrt{n}\). $$ \begin{aligned} v_n &= \frac{\sqrt{n}\left(1 + \frac{(\ln n)^3}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}\left(1 + \frac{\ln n}{\sqrt{n}}\right)} && \text{(factorisation du terme dominant \(\sqrt{n}\))} \\ &= \frac{\cancel{\sqrt{n}}\left(1 + \frac{(\ln n)^3}{\sqrt{n}}\right)}{\cancel{\sqrt{n}}\left(1 + \frac{\ln n}{\sqrt{n}}\right)} && \text{(simplification par \(\sqrt{n} \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1, \end{aligned} $$ la limite par les opérations sur les limites et les deux limites ci-dessus.
Compétences à pratiquer
- Calculer une limite par croissances comparées ★
- Utiliser les croissances comparées dans une limite ★
- Démontrer une croissance comparée ★★
- Utiliser les croissances comparées avec une idée ★★★
VI.3
Le lemme de Cesàro
Moyenner les premiers termes
Une suite qui tend vers \(\ell\) a des termes proches de \(\ell\) à partir d'un certain rang. La moyenne \(\frac{u_1 + \dots + u_n}{n}\) de ses premiers termes est alors proche de \(\ell\) aussi : les premiers termes, qui peuvent être loin de \(\ell\), pèsent de moins en moins dans la moyenne. C'est le lemme de Cesàro. Il transforme une limite de différences en une limite de quotients, et c'est l'outil pour une suite dont les différences consécutives tendent vers une limite.
Proposition — Lemme de Cesàro
Soient \((u_n)_{n \ge 1}\) une suite réelle et \(c_n = \frac{u_1 + \dots + u_n}{n}\) pour \(n \ge 1\). Si \(u_n \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}\), alors \(c_n \to \ell\).
Cas \(\ell = 0\). Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(N \ge 1\) avec \(\lvert u_k \rvert \le \frac{\varepsilon}{2}\) pour tout \(k \ge N\). Posons \(S = \sum_{k=1}^{N} \lvert u_k \rvert\), une constante. Pour \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} \lvert c_n \rvert &\le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \lvert u_k \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{N} \lvert u_k \rvert + \frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^{n} \lvert u_k \rvert && \text{(découpage de la somme en \(N\))} \\
&\le \frac{S}{n} + \frac{n - N}{n} \cdot \frac{\varepsilon}{2} && \text{(\(\lvert u_k \rvert \le \frac{\varepsilon}{2}\) pour \(k > N\))} \\
&\le \frac{S}{n} + \frac{\varepsilon}{2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{n - N}{n} \le 1\). Comme \(\frac{S}{n} \to 0\), il existe \(N' \ge N\) avec \(\frac{S}{n} \le \frac{\varepsilon}{2}\) pour \(n \ge N'\), et alors \(\lvert c_n \rvert \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\). Donc \(c_n \to 0\).
Cas \(\ell \in \mathbb{R}\). Soit \(v_k = u_k - \ell\), de sorte que \(v_k \to 0\). La moyenne des \(v_k\) est $$ \begin{aligned} \frac{v_1 + \dots + v_n}{n} &= \frac{u_1 + \dots + u_n}{n} - \frac{n\ell}{n} && \text{(définition de \(v_k\))} \\ &= c_n - \ell, \end{aligned} $$ et elle tend vers \(0\) par le cas \(\ell = 0\), donc \(c_n \to \ell\).
Cas \(\ell = +\infty\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). Il existe \(N \ge 1\) avec \(u_k \ge A + 1\) pour tout \(k \ge N\). Posons \(S = \sum_{k=1}^{N} \lvert u_k \rvert\). Pour \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} c_n &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{N} u_k + \frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^{n} u_k && \text{(découpage de la somme en \(N\))} \\ &\ge -\frac{S}{n} + \frac{n - N}{n}(A + 1) && \text{(\(u_k \ge -\lvert u_k \rvert\), et \(u_k \ge A + 1\) pour \(k > N\))} \\ &= (A + 1) - \frac{S + N(A + 1)}{n}. \end{aligned} $$ Comme \(\frac{S + N(A + 1)}{n} \to 0\), il existe \(N' \ge N\) tel que cette quantité soit au plus égale à \(1\) pour \(n \ge N'\), et alors \(c_n \ge A + 1 - 1 = A\). Donc \(c_n \to +\infty\).
Cas \(\ell = -\infty\). Appliquer le cas \(\ell = +\infty\) à \((-u_n)\) : ses moyennes sont \(-c_n\) et elles tendent vers \(+\infty\), donc \(c_n \to -\infty\).
Cas \(\ell \in \mathbb{R}\). Soit \(v_k = u_k - \ell\), de sorte que \(v_k \to 0\). La moyenne des \(v_k\) est $$ \begin{aligned} \frac{v_1 + \dots + v_n}{n} &= \frac{u_1 + \dots + u_n}{n} - \frac{n\ell}{n} && \text{(définition de \(v_k\))} \\ &= c_n - \ell, \end{aligned} $$ et elle tend vers \(0\) par le cas \(\ell = 0\), donc \(c_n \to \ell\).
Cas \(\ell = +\infty\). Soit \(A \in \mathbb{R}\). Il existe \(N \ge 1\) avec \(u_k \ge A + 1\) pour tout \(k \ge N\). Posons \(S = \sum_{k=1}^{N} \lvert u_k \rvert\). Pour \(n \ge N\), $$ \begin{aligned} c_n &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{N} u_k + \frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^{n} u_k && \text{(découpage de la somme en \(N\))} \\ &\ge -\frac{S}{n} + \frac{n - N}{n}(A + 1) && \text{(\(u_k \ge -\lvert u_k \rvert\), et \(u_k \ge A + 1\) pour \(k > N\))} \\ &= (A + 1) - \frac{S + N(A + 1)}{n}. \end{aligned} $$ Comme \(\frac{S + N(A + 1)}{n} \to 0\), il existe \(N' \ge N\) tel que cette quantité soit au plus égale à \(1\) pour \(n \ge N'\), et alors \(c_n \ge A + 1 - 1 = A\). Donc \(c_n \to +\infty\).
Cas \(\ell = -\infty\). Appliquer le cas \(\ell = +\infty\) à \((-u_n)\) : ses moyennes sont \(-c_n\) et elles tendent vers \(+\infty\), donc \(c_n \to -\infty\).
Exemple — Des différences qui ont une limite
Soit \((u_n)\) une suite réelle avec \(u_{n+1} - u_n \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}\). Montrer que \(\frac{u_n}{n} \to \ell\). En déduire la limite de \(\frac{H_n}{n}\), où \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\).
Soit \(d_k = u_k - u_{k-1}\) pour \(k \ge 1\). La suite \((d_k)_{k \ge 1}\) est la suite \((u_{m+1} - u_m)_{m \ge 0}\) indexée à partir de \(1\) au lieu de \(0\), puisque \(d_k = u_{(k-1)+1} - u_{k-1}\), donc \(d_k \to \ell\). Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} \frac{u_n}{n} &= \frac{1}{n}\left(u_0 + \sum_{k=1}^{n} (u_k - u_{k-1})\right) && \text{(somme télescopique)} \\
&= \frac{u_0}{n} + \frac{d_1 + \dots + d_n}{n}. \end{aligned} $$ La dernière étape sépare la fraction. Le premier terme tend vers \(0\). Le second terme est la moyenne des \(n\) premiers termes de \((d_k)_{k \ge 1}\), qui tend vers \(\ell\) par la Proposition « Lemme de Cesàro ». Par les opérations sur les limites (la somme d'une suite de limite nulle et d'une suite de limite \(\ell\), finie ou infinie), \(\frac{u_n}{n} \to \ell\).
Pour \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(u_0 = 0\), les différences \(H_{n+1} - H_n = \frac{1}{n+1}\) tendent vers \(0\), donc \(\frac{H_n}{n} \to 0\), bien que \(H_n \to +\infty\) : la suite harmonique croît plus lentement que toute suite \(cn\) avec \(c > 0\).
Pour \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(u_0 = 0\), les différences \(H_{n+1} - H_n = \frac{1}{n+1}\) tendent vers \(0\), donc \(\frac{H_n}{n} \to 0\), bien que \(H_n \to +\infty\) : la suite harmonique croît plus lentement que toute suite \(cn\) avec \(c > 0\).
Compétences à pratiquer
- Calculer la limite d'une moyenne ★
- Appliquer le lemme de Cesàro ★★
VII
Suites récurrentes \(u_{n+1} \equal f(u_n)\)
Itérer une fonction
Une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) se construit en appliquant la même fonction encore et encore. Existe-t-elle, converge-t-elle, et vers quoi ? L'étude suit un plan. D'abord trouver un segment que \(f\) envoie dans lui-même, de sorte que chaque terme existe et reste entre les deux extrémités du segment. Ensuite chercher les points fixes de \(f\), qui sont les seules limites possibles. Étudier la monotonie de la suite par le signe de \(f(x) - x\) et par la monotonie de \(f\), conclure par le théorème de la limite monotone, et identifier la limite parmi les points fixes. Lorsque \(f\) est décroissante la suite saute d'un côté à l'autre, et les suites extraites paire et impaire prennent le relais. La vitesse à laquelle la suite approche sa limite termine l'étude.
VII.1
Intervalles stables et points fixes
Où vivent les termes
Pour que \(u_{n+1} = f(u_n)\) définisse une suite, chaque terme doit appartenir à l'ensemble de définition de \(f\). La récurrence \(u_{n+1} = \sqrt{u_n - 1}\) avec \(u_0 = 1\) donne \(u_1 = 0\), et alors \(\sqrt{-1}\) n'existe pas : la suite s'arrête. Une partie que \(f\) envoie dans elle-même empêche cet accident, parce que les termes ne la quittent jamais. Une telle partie, et les points que \(f\) laisse en place, sont les premiers objets de l'étude.
Définition — Intervalle stable, point fixe
Soit \(f \colon D \to \mathbb{R}\) une fonction, avec \(D \subset \mathbb{R}\). - Une partie \(I \subset D\) est stable par \(f\) si \(f(I) \subset I\) : pour tout \(x \in I\), \(f(x) \in I\). Une partie stable qui est un intervalle est un intervalle stable.
- Un point fixe de \(f\) est un réel \(x \in D\) tel que \(f(x) = x\) : c'est l'abscisse d'un point où le graphe de \(f\) rencontre la droite \(y = x\).
Proposition — Une partie stable définit la suite et contient ses termes
Soient \(f \colon D \to \mathbb{R}\) une fonction, \(I \subset D\) une partie stable par \(f\) et \(u_0 \in I\). Il existe une unique suite \((u_n)\) de premier terme \(u_0\) avec \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), et \(u_n \in I\) pour tout \(n\).
Existence. Soit \(P(n)\) l'énoncé « \(u_0, \dots, u_n\) sont définis et appartiennent à \(I\) ». Initialisation. \(u_0 \in I\) est donné : \(P(0)\) est vraie. Hérédité. Supposons \(P(k)\). Comme \(u_k \in I \subset D\), le nombre \(f(u_k)\) est défini, et $$ \begin{aligned} u_{k+1} &= f(u_k) && \text{(définition de la suite)} \\
&\in f(I) && \text{(\(u_k \in I\))} \\
&\subset I, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(I\) est stable par \(f\). Donc \(u_{k+1}\) est défini et appartient à \(I\) : \(P(k+1)\) est vraie. D'après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\).
Unicité. Soit \((v_n)\) une suite avec \(v_0 = u_0\) et \(v_{n+1} = f(v_n)\) pour tout \(n\). Si \(v_n = u_n\), alors \(v_{n+1} = f(v_n) = f(u_n) = u_{n+1}\). Comme \(v_0 = u_0\), la récurrence donne \(v_n = u_n\) pour tout \(n\).
Unicité. Soit \((v_n)\) une suite avec \(v_0 = u_0\) et \(v_{n+1} = f(v_n)\) pour tout \(n\). Si \(v_n = u_n\), alors \(v_{n+1} = f(v_n) = f(u_n) = u_{n+1}\). Comme \(v_0 = u_0\), la récurrence donne \(v_n = u_n\) pour tout \(n\).
Méthode — Trouver un intervalle stable
Pour trouver un intervalle \(I\) stable par \(f\) et contenant \(u_0\) : - Deviner les extrémités : ce sont souvent \(u_0\) et un point fixe, deux points fixes, ou une borne lue sur la formule comme \(0\). Un graphe les suggère mais ne démontre rien.
- Si \(f\) est croissante sur \([a, b]\), l'intervalle est stable si et seulement si \(a \le f(a)\) et \(f(b) \le b\) : alors \(a \le f(a) \le f(x) \le f(b) \le b\) pour \(x \in [a, b]\).
- Si \(f\) est décroissante sur \([a, b]\), l'intervalle est stable si et seulement si \(a \le f(b)\) et \(f(a) \le b\) : alors \(a \le f(b) \le f(x) \le f(a) \le b\) pour \(x \in [a, b]\).
- Sinon, partir de \(x \in I\) et transformer les inégalités \(a \le x \le b\), pas à pas, en \(a \le f(x) \le b\).
- Vérifier que \(I\) est contenu dans l'ensemble de définition de \(f\) et que \(u_0 \in I\) ; la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes » donne alors \(u_n \in I\) pour tout \(n\).
Exemple — Un intervalle stable pour \(\sqrt{x + 2}\)
Soit \(f(x) = \sqrt{x + 2}\). Montrer que \([0, 2]\) est stable par \(f\) et trouver les points fixes de \(f\) dans \([0, 2]\).
Stabilité. La fonction \(f\) est définie sur \([-2, +\infty[\), qui contient \([0, 2]\). Pour \(x \in [0, 2]\), $$ \begin{aligned} 0 \le x \le 2 &\Rightarrow 2 \le x + 2 \le 4 && \text{(addition de \(2\))} \\
&\Rightarrow \sqrt{2} \le \sqrt{x + 2} \le 2 && \text{(\(\sqrt{\cdot}\) est croissante)} \\
&\Rightarrow 0 \le f(x) \le 2, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(0 \le \sqrt{2}\). Donc \(f([0, 2]) \subset [0, 2]\) : l'intervalle \([0, 2]\) est stable.
Points fixes. Pour \(x \in [0, 2]\), $$ \begin{aligned} f(x) = x &\iff \sqrt{x + 2} = x && \text{(définition de \(f\))} \\ &\iff x + 2 = x^2 && \text{(les deux membres sont positifs : élever au carré est une équivalence)} \\ &\iff (x - 2)(x + 1) = 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\). Les racines sont \(x = 2\) et \(x = -1\), et seule \(2\) est dans \([0, 2]\) ; vérification : \(f(2) = \sqrt{4} = 2\). Donc \(2\) est le seul point fixe de \(f\) dans \([0, 2]\). Par la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes », la suite \(u_0 = 0\), \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\) est définie, et \(0 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
Points fixes. Pour \(x \in [0, 2]\), $$ \begin{aligned} f(x) = x &\iff \sqrt{x + 2} = x && \text{(définition de \(f\))} \\ &\iff x + 2 = x^2 && \text{(les deux membres sont positifs : élever au carré est une équivalence)} \\ &\iff (x - 2)(x + 1) = 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\). Les racines sont \(x = 2\) et \(x = -1\), et seule \(2\) est dans \([0, 2]\) ; vérification : \(f(2) = \sqrt{4} = 2\). Donc \(2\) est le seul point fixe de \(f\) dans \([0, 2]\). Par la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes », la suite \(u_0 = 0\), \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\) est définie, et \(0 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
Compétences à pratiquer
- Décider si un intervalle est stable ★
- Trouver le plus grand point fixe d'une fonction ★
- Démontrer qu'un intervalle est stable ★
VII.2
Suites récurrentes monotones : convergence et limite
Converge-t-elle, et vers quoi
Sur un intervalle stable les termes existent. Deux questions restent. La suite est-elle monotone ? Le signe de \(f(x) - x\) répond lorsqu'il est constant sur l'intervalle, et la monotonie de \(f\) répond sinon. Où va-t-elle ? Si elle converge, sa limite est un point fixe de \(f\), ce qui limite les candidats aux solutions de \(f(x) = x\). Une suite monotone dans un intervalle borné converge par le théorème de la limite monotone, et le point fixe dit de quelle limite il s'agit. Dans ce chapitre la propriété du point fixe est démontrée pour \(f\) affine, polynomiale, rationnelle ou racine carrée d'une telle fonction ; le cas général exige la continuité de \(f\), que le chapitre n'utilise pas.
Proposition — Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\)
Soient \(I\) une partie stable par \(f\), \(u_0 \in I\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). - Si \(f(x) \ge x\) pour tout \(x \in I\), alors \((u_n)\) est croissante ; si \(f(x) \le x\) pour tout \(x \in I\), alors \((u_n)\) est décroissante.
- Si \(f\) est croissante sur \(I\), alors \((u_n)\) est monotone : croissante si \(u_0 \le u_1\), décroissante si \(u_0 \ge u_1\).
Premier point. Par la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes », \(u_n \in I\) pour tout \(n\). Supposons \(f(x) \ge x\) sur \(I\). $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= f(u_n) - u_n && \text{(définition de la suite)} \\
&\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape par l'hypothèse en \(x = u_n \in I\). Donc \((u_n)\) est croissante. Si \(f(x) \le x\) sur \(I\), la même chaîne donne \(u_{n+1} - u_n \le 0\) : \((u_n)\) est décroissante.
Second point. Supposons \(f\) croissante sur \(I\) et \(u_0 \le u_1\). Soit \(P(n)\) l'énoncé \(u_n \le u_{n+1}\). Initialisation. \(P(0)\) est l'hypothèse. Hérédité. Supposons \(P(k)\). Les termes \(u_k\) et \(u_{k+1}\) appartiennent à \(I\) et \(u_k \le u_{k+1}\), donc, \(f\) étant croissante sur \(I\), \(f(u_k) \le f(u_{k+1})\), c'est-à-dire \(u_{k+1} \le u_{k+2}\) : \(P(k+1)\) est vraie. D'après le principe de récurrence \((u_n)\) est croissante. Si \(u_0 \ge u_1\), le même raisonnement avec toutes les inégalités renversées, qu'une fonction croissante conserve, montre que \(u_n \ge u_{n+1}\) pour tout \(n\) : \((u_n)\) est décroissante.
Second point. Supposons \(f\) croissante sur \(I\) et \(u_0 \le u_1\). Soit \(P(n)\) l'énoncé \(u_n \le u_{n+1}\). Initialisation. \(P(0)\) est l'hypothèse. Hérédité. Supposons \(P(k)\). Les termes \(u_k\) et \(u_{k+1}\) appartiennent à \(I\) et \(u_k \le u_{k+1}\), donc, \(f\) étant croissante sur \(I\), \(f(u_k) \le f(u_{k+1})\), c'est-à-dire \(u_{k+1} \le u_{k+2}\) : \(P(k+1)\) est vraie. D'après le principe de récurrence \((u_n)\) est croissante. Si \(u_0 \ge u_1\), le même raisonnement avec toutes les inégalités renversées, qu'une fonction croissante conserve, montre que \(u_n \ge u_{n+1}\) pour tout \(n\) : \((u_n)\) est décroissante.
Proposition — Une limite est un point fixe
Soient \(f\) une fonction, \(I\) une partie stable par \(f\), \(u_0 \in I\), \(u_{n+1} = f(u_n)\), et supposons que \(u_n \to \ell \in \mathbb{R}\). Supposons que \(f = g\) ou \(f = \sqrt{g}\), où \(g\) est une fonction polynomiale, ou une fonction rationnelle \(\frac{P}{Q}\) dont le dénominateur ne s'annule pas en \(\ell\) : cela couvre les fonctions affines, polynomiales et rationnelles et les racines carrées de telles fonctions. Alors \(\ell\) appartient à l'ensemble de définition de \(f\) et \(f(\ell) = \ell\) : la limite est un point fixe.
Étape 1 : \(g(u_n) \to g(\ell)\). Si \(g(x) = \sum_{j=0}^{p} c_j x^j\) est une fonction polynomiale, alors \(u_n^j \to \ell^j\) pour tout \(j\) par la règle du produit de la Proposition « Opérations sur les limites finies » et une récurrence sur \(j\), et la règle de la combinaison linéaire donne \(g(u_n) \to g(\ell)\). Si \(g = \frac{P}{Q}\) avec \(Q(\ell) \ne 0\), alors \(P(u_n) \to P(\ell)\) et \(Q(u_n) \to Q(\ell) \ne 0\) par le cas polynomial, avec \(Q(u_n) \ne 0\) pour tout \(n\) puisque \(u_n\) est dans l'ensemble de définition de \(g\), et la règle du quotient donne \(g(u_n) \to g(\ell)\).
Étape 2 : la racine carrée. Si \(f = g\), alors \(f(u_n) \to f(\ell)\) par l'étape 1. Si \(f = \sqrt{g}\), alors \(f(u_n) = \sqrt{g(u_n)}\) est défini pour tout \(n\), donc \(g(u_n) \ge 0\), et le passage à la limite dans cette inégalité large, par la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large », donne \(g(\ell) \ge 0\) : \(\ell\) appartient à l'ensemble de définition de \(f\). La Proposition « La racine carrée d'une limite » donne alors \(\sqrt{g(u_n)} \to \sqrt{g(\ell)}\), c'est-à-dire \(f(u_n) \to f(\ell)\).
Étape 3 : l'équation. Par la définition de la suite \(f(u_n) = u_{n+1}\), et \(u_{n+1} \to \ell\) par la Proposition « Le décalage ». La suite \(\big(f(u_n)\big) = (u_{n+1})\) tend donc vers \(f(\ell)\) et vers \(\ell\), donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Unicité de la limite ».
Étape 2 : la racine carrée. Si \(f = g\), alors \(f(u_n) \to f(\ell)\) par l'étape 1. Si \(f = \sqrt{g}\), alors \(f(u_n) = \sqrt{g(u_n)}\) est défini pour tout \(n\), donc \(g(u_n) \ge 0\), et le passage à la limite dans cette inégalité large, par la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large », donne \(g(\ell) \ge 0\) : \(\ell\) appartient à l'ensemble de définition de \(f\). La Proposition « La racine carrée d'une limite » donne alors \(\sqrt{g(u_n)} \to \sqrt{g(\ell)}\), c'est-à-dire \(f(u_n) \to f(\ell)\).
Étape 3 : l'équation. Par la définition de la suite \(f(u_n) = u_{n+1}\), et \(u_{n+1} \to \ell\) par la Proposition « Le décalage ». La suite \(\big(f(u_n)\big) = (u_{n+1})\) tend donc vers \(f(\ell)\) et vers \(\ell\), donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Unicité de la limite ».
Piège — monotonie et signe seulement sur un intervalle stable
La monotonie de \(f\) et le signe de \(f(x) - x\) se lisent sur un intervalle stable qui contient \(u_0\) ; et une fonction \(f\) croissante ne rend pas la suite croissante. La fonction \(f(x) = \frac{x}{2}\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), mais la suite \(u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\) obtenue à partir de \(u_0 = 1\) est décroissante. La fonction \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) vérifie \(f(x) \ge x\) sur \([0, 2]\) et \(f(x) \le x\) sur \([2, +\infty[\), puisque \(\sqrt{x + 2} \le x\) si et seulement si \(x + 2 \le x^2\), c'est-à-dire \((x - 2)(x + 1) \ge 0\) : à partir de \(u_0 = 0\) la suite croît vers \(2\), tandis qu'à partir de \(u_0 = 3\) elle décroît, \(u_1 = \sqrt{5} < 3\) ; l'intervalle \([2, +\infty[\) est stable, puisque \(f(x) \ge f(2) = 2\) dessus. La même formule donne des suites croissantes ou décroissantes selon l'intervalle stable qui contient \(u_0\), donc le signe de \(f(x) - x\) se prend sur cet intervalle et non sur tout l'ensemble de définition.
Méthode — Étudier \(u_{n+1} \equal f(u_n)\)
Pour une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0\) donné : - Trouver un segment stable \(I = [a, b]\) contenu dans l'ensemble de définition de \(f\) et contenant \(u_0\) par la Méthode « Trouver un intervalle stable ». Alors chaque terme existe et \(a \le u_n \le b\) pour tout \(n\) : la suite est bornée. Un intervalle stable qui n'est pas un segment ne borne rien en général : \(x \mapsto x + 1\) envoie \([0, +\infty[\) dans lui-même et donne \(u_n = n\) à partir de \(u_0 = 0\), et \(x \mapsto \frac{x}{2}\) envoie \(]0, 1]\) dans lui-même et donne une limite \(0 \notin ]0, 1]\) à partir de \(u_0 = 1\).
- Résoudre \(f(x) = x\) dans \([a, b]\) : une limite \(\ell\) est dans \([a, b]\), par passage à la limite dans \(a \le u_n \le b\), et c'est un point fixe de \(f\), par la Proposition « Une limite est un point fixe » (pour \(f\) affine, polynomiale, rationnelle ou racine carrée d'une telle fonction, les cas démontrés dans ce chapitre). L'hypothèse sur le dénominateur est satisfaite en \(\ell\), puisque \(\ell \in [a, b]\) et que \([a, b]\) est dans l'ensemble de définition de \(f\). Donc les points fixes dans \([a, b]\) sont les seules limites possibles.
- Étudier la monotonie de \((u_n)\) par le signe de \(f(x) - x\) sur \([a, b]\), ou, si \(f\) est croissante sur \([a, b]\), en comparant \(u_0\) et \(u_1\) : les deux sont dans la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) ».
- Conclure à la convergence avec le théorème de la limite monotone : la suite est monotone, et elle est bornée par \(a\) et \(b\).
- Identifier la limite : c'est un point fixe dans \([a, b]\), compatible avec la monotonie et avec \(u_0\) : pour une suite croissante \(\ell \ge u_0\), pour une suite décroissante \(\ell \le u_0\), par passage à la limite.
- Si \(f\) est décroissante sur \([a, b]\), la suite n'est pas nécessairement monotone (elle est constante pour \(f(x) = -x\) à partir de \(u_0 = 0\), et elle vaut \(1, -1, 1, -1, \dots\) à partir de \(u_0 = 1\)) : utiliser la Méthode « Étudier une suite récurrente avec \(f\) décroissante ».
Exemple — Une récurrence avec racine carrée
Soient \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\). Montrer que \((u_n)\) converge et trouver sa limite.
Soit \(f(x) = \sqrt{x + 2}\).
Intervalle stable. Pour \(x \in [0, 2]\), \(2 \le x + 2 \le 4\), donc \(\sqrt{2} \le f(x) \le 2\) et \(f(x) \in [0, 2]\) : l'intervalle \([0, 2]\) est stable, et \(u_0 = 0 \in [0, 2]\). Par la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes », \(0 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
Monotonie. Pour \(x \in [0, 2]\), $$ \begin{aligned} f(x) \ge x &\iff \sqrt{x + 2} \ge x && \text{(définition de \(f\))} \\ &\iff x + 2 \ge x^2 && \text{(les deux membres sont positifs : élever au carré conserve l'ordre)} \\ &\iff (2 - x)(x + 1) \ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x + 2 - x^2 = (2 - x)(x + 1)\). La dernière inégalité est vraie sur \([0, 2]\), où les deux facteurs sont positifs, donc \(f(x) \ge x\) sur \([0, 2]\) et \((u_n)\) est croissante par la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) ».
Convergence. La suite est croissante et majorée par \(2\) : par la Proposition « Une suite monotone bornée converge », \(u_n \to \ell\), et \(0 \le u_n \le 2\) donne \(0 \le \ell \le 2\) par passage à la limite.
La limite. Ici \(f = \sqrt{g}\) avec \(g(x) = x + 2\) affine : par la Proposition « Une limite est un point fixe », \(f(\ell) = \ell\). Par le calcul des points fixes de \(f\) dans \([0, 2]\) (\(\sqrt{\ell + 2} = \ell \iff \ell + 2 = \ell^2 \iff (\ell - 2)(\ell + 1) = 0\), et \(\ell \ge 0\)), \(\ell = 2\).
Intervalle stable. Pour \(x \in [0, 2]\), \(2 \le x + 2 \le 4\), donc \(\sqrt{2} \le f(x) \le 2\) et \(f(x) \in [0, 2]\) : l'intervalle \([0, 2]\) est stable, et \(u_0 = 0 \in [0, 2]\). Par la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes », \(0 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
Monotonie. Pour \(x \in [0, 2]\), $$ \begin{aligned} f(x) \ge x &\iff \sqrt{x + 2} \ge x && \text{(définition de \(f\))} \\ &\iff x + 2 \ge x^2 && \text{(les deux membres sont positifs : élever au carré conserve l'ordre)} \\ &\iff (2 - x)(x + 1) \ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x + 2 - x^2 = (2 - x)(x + 1)\). La dernière inégalité est vraie sur \([0, 2]\), où les deux facteurs sont positifs, donc \(f(x) \ge x\) sur \([0, 2]\) et \((u_n)\) est croissante par la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) ».
Convergence. La suite est croissante et majorée par \(2\) : par la Proposition « Une suite monotone bornée converge », \(u_n \to \ell\), et \(0 \le u_n \le 2\) donne \(0 \le \ell \le 2\) par passage à la limite.
La limite. Ici \(f = \sqrt{g}\) avec \(g(x) = x + 2\) affine : par la Proposition « Une limite est un point fixe », \(f(\ell) = \ell\). Par le calcul des points fixes de \(f\) dans \([0, 2]\) (\(\sqrt{\ell + 2} = \ell \iff \ell + 2 = \ell^2 \iff (\ell - 2)(\ell + 1) = 0\), et \(\ell \ge 0\)), \(\ell = 2\).
Exemple — Une récurrence affine croissante
Soient \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}\). Montrer que \((u_n)\) converge et calculer sa limite.
Soit \(f(x) = \frac{x + 2}{2}\), une fonction croissante sur \(\mathbb{R}\).
Intervalle stable. Comme \(f\) est croissante, \([0, 2]\) est stable si \(f(0) \ge 0\) et \(f(2) \le 2\) (Méthode « Trouver un intervalle stable ») : \(f(0) = 1 \ge 0\) et \(f(2) = 2 \le 2\). Donc \(f([0, 2]) \subset [1, 2] \subset [0, 2]\), et \(0 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
Monotonie. Pour \(x \in [0, 2]\), $$ \begin{aligned} f(x) - x &= \frac{x + 2}{2} - x && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{2 - x}{2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x \le 2\). Par la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) », \((u_n)\) est croissante.
Convergence. La suite est croissante et majorée par \(2\), donc elle converge vers un certain \(\ell \in [0, 2]\) par la Proposition « Une suite monotone bornée converge ».
La limite. La fonction \(f\) est affine, donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Une limite est un point fixe » : \(\frac{\ell + 2}{2} = \ell\), c'est-à-dire \(\ell + 2 = 2\ell\), donc \(\ell = 2\). Vérification avec la forme close : pour \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = 1\) le point fixe est \(2\) et \(u_n = 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n (0 - 2) = 2 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 2\), par la Proposition « Réduction à une suite géométrique ».
Intervalle stable. Comme \(f\) est croissante, \([0, 2]\) est stable si \(f(0) \ge 0\) et \(f(2) \le 2\) (Méthode « Trouver un intervalle stable ») : \(f(0) = 1 \ge 0\) et \(f(2) = 2 \le 2\). Donc \(f([0, 2]) \subset [1, 2] \subset [0, 2]\), et \(0 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
Monotonie. Pour \(x \in [0, 2]\), $$ \begin{aligned} f(x) - x &= \frac{x + 2}{2} - x && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{2 - x}{2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x \le 2\). Par la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) », \((u_n)\) est croissante.
Convergence. La suite est croissante et majorée par \(2\), donc elle converge vers un certain \(\ell \in [0, 2]\) par la Proposition « Une suite monotone bornée converge ».
La limite. La fonction \(f\) est affine, donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Une limite est un point fixe » : \(\frac{\ell + 2}{2} = \ell\), c'est-à-dire \(\ell + 2 = 2\ell\), donc \(\ell = 2\). Vérification avec la forme close : pour \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = 1\) le point fixe est \(2\) et \(u_n = 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n (0 - 2) = 2 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 2\), par la Proposition « Réduction à une suite géométrique ».
Exemple — Une récurrence rationnelle de limite \(\sqrt{2}\)
Soient \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{2u_n^2 + 2}{3u_n}\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\).
Soit \(f(x) = \frac{2x^2 + 2}{3x}\) pour \(x > 0\).
Deux identités. Pour \(x > 0\), $$ \begin{aligned} f(x) - x &= \frac{2x^2 + 2}{3x} - x && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{2 - x^2}{3x}, \end{aligned} $$ la dernière étape par le dénominateur commun \(3x\), et $$ \begin{aligned} f(x) - \sqrt{2} &= \frac{2x^2 + 2}{3x} - \sqrt{2} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{2x^2 - 3\sqrt{2}\,x + 2}{3x} && \text{(dénominateur commun \(3x\))} \\ &= \frac{(2x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})}{3x}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((2x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) = 2x^2 - 3\sqrt{2}\,x + 2\), puisque \((\sqrt{2})^2 = 2\).
Intervalle stable. Soit \(x \in [1, \sqrt{2}]\). Alors \(x^2 \le 2\), donc la première identité donne \(f(x) - x \ge 0\) et \(f(x) \ge x \ge 1\). De plus \(2x - \sqrt{2} \ge 2 - \sqrt{2} > 0\) et \(x - \sqrt{2} \le 0\), donc la seconde identité donne \(f(x) - \sqrt{2} \le 0\), c'est-à-dire \(f(x) \le \sqrt{2}\). Donc \(f(x) \in [1, \sqrt{2}]\) : l'intervalle \([1, \sqrt{2}]\) est stable, il contient \(u_0 = 1\), et \(1 \le u_n \le \sqrt{2}\) pour tout \(n\).
Monotonie et convergence. La première identité donne \(f(x) \ge x\) sur \([1, \sqrt{2}]\), donc \((u_n)\) est croissante par la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) ». Elle est majorée par \(\sqrt{2}\), donc elle converge vers un certain \(\ell\) avec \(1 \le \ell \le \sqrt{2}\) par la Proposition « Une suite monotone bornée converge ».
La limite. La fonction \(f\) est rationnelle et son dénominateur \(3x\) ne s'annule pas en \(\ell \ge 1\), donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Une limite est un point fixe ». Alors \(\frac{2 - \ell^2}{3\ell} = f(\ell) - \ell = 0\), donc \(\ell^2 = 2\), et \(\ell = \sqrt{2}\) puisque \(\ell \ge 1 > 0\).
Deux identités. Pour \(x > 0\), $$ \begin{aligned} f(x) - x &= \frac{2x^2 + 2}{3x} - x && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{2 - x^2}{3x}, \end{aligned} $$ la dernière étape par le dénominateur commun \(3x\), et $$ \begin{aligned} f(x) - \sqrt{2} &= \frac{2x^2 + 2}{3x} - \sqrt{2} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{2x^2 - 3\sqrt{2}\,x + 2}{3x} && \text{(dénominateur commun \(3x\))} \\ &= \frac{(2x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})}{3x}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((2x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) = 2x^2 - 3\sqrt{2}\,x + 2\), puisque \((\sqrt{2})^2 = 2\).
Intervalle stable. Soit \(x \in [1, \sqrt{2}]\). Alors \(x^2 \le 2\), donc la première identité donne \(f(x) - x \ge 0\) et \(f(x) \ge x \ge 1\). De plus \(2x - \sqrt{2} \ge 2 - \sqrt{2} > 0\) et \(x - \sqrt{2} \le 0\), donc la seconde identité donne \(f(x) - \sqrt{2} \le 0\), c'est-à-dire \(f(x) \le \sqrt{2}\). Donc \(f(x) \in [1, \sqrt{2}]\) : l'intervalle \([1, \sqrt{2}]\) est stable, il contient \(u_0 = 1\), et \(1 \le u_n \le \sqrt{2}\) pour tout \(n\).
Monotonie et convergence. La première identité donne \(f(x) \ge x\) sur \([1, \sqrt{2}]\), donc \((u_n)\) est croissante par la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) ». Elle est majorée par \(\sqrt{2}\), donc elle converge vers un certain \(\ell\) avec \(1 \le \ell \le \sqrt{2}\) par la Proposition « Une suite monotone bornée converge ».
La limite. La fonction \(f\) est rationnelle et son dénominateur \(3x\) ne s'annule pas en \(\ell \ge 1\), donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Une limite est un point fixe ». Alors \(\frac{2 - \ell^2}{3\ell} = f(\ell) - \ell = 0\), donc \(\ell^2 = 2\), et \(\ell = \sqrt{2}\) puisque \(\ell \ge 1 > 0\).
Exemple — L'escalier de \(u_{n+1} \equal \sqrt{u_n + 2}\)
Le diagramme en escalier de \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\) avec \(u_0 = 0\). 
Compétences à pratiquer
- Trouver la limite d'une suite récurrente convergente ★
- Étudier la monotonie d'une suite récurrente ★
- Étudier la convergence d'une suite récurrente avec \(f\) croissante ★★
- Discuter une suite récurrente selon son premier terme ★★★
VII.3
Fonctions décroissantes et diagramme en escalier
Suites qui oscillent
Lorsque \(f\) est décroissante, un terme plus grand donne un terme suivant plus petit : la suite saute d'un côté d'un point fixe à l'autre, comme le fait \(u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n}\) autour du nombre d'or, et elle n'est pas nécessairement monotone. La fonction \(f \circ f\), qui est croissante, gouverne séparément les termes pairs et les termes impairs, et les deux suites extraites sont monotones de sens opposés. La suite converge si et seulement si les deux suites extraites ont la même limite : pour \(f(x) = -x\) et \(u_0 = 1\) les suites extraites sont les constantes \(1\) et \(-1\), et la suite \(1, -1, 1, -1, \dots\) n'a pas de limite. Sur le graphe le chemin est une spirale au lieu d'un escalier.
Proposition — \(f\) décroissante : les suites extraites paire et impaire
Soient \(I\) une partie stable par \(f\), \(f\) décroissante sur \(I\), \(u_0 \in I\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Les suites extraites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones, de sens opposés : si \(u_0 \le u_2\), alors \((u_{2n})\) est croissante et \((u_{2n+1})\) est décroissante ; si \(u_0 \ge u_2\), alors \((u_{2n})\) est décroissante et \((u_{2n+1})\) est croissante.
Première démonstration : \(f \circ f\) est croissante. Soit \(g = f \circ f\). Pour \(x \in I\), \(f(x) \in I\), donc \(g(x) = f\big(f(x)\big)\) est défini et appartient à \(I\) : la partie \(I\) est stable par \(g\). La composée de deux fonctions décroissantes est croissante, par la Proposition « Composée de fonctions monotones », donc \(g\) est croissante sur \(I\). Les termes pairs vérifient \(u_{2n+2} = f\big(f(u_{2n})\big) = g(u_{2n})\) et les termes impairs \(u_{2n+3} = g(u_{2n+1})\) : chaque suite extraite est une suite récurrente pour \(g\), de premier terme \(u_0\) ou \(u_1\) dans \(I\). Par le second point de la Proposition « Monotonie de \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) » appliquée à \(g\), \((u_{2n})\) est croissante si \(u_0 \le u_2\) et décroissante si \(u_0 \ge u_2\), et \((u_{2n+1})\) est croissante si \(u_1 \le u_3\) et décroissante si \(u_1 \ge u_3\). Enfin \(u_1 = f(u_0)\) et \(u_3 = f(u_2)\), et \(f\) est décroissante : \(u_0 \le u_2\) donne \(u_1 \ge u_3\), et \(u_0 \ge u_2\) donne \(u_1 \le u_3\). Donc les deux suites extraites sont monotones de sens opposés.
Seconde démonstration : une double récurrence. Supposons \(u_0 \le u_2\), et soit \(P(n)\) l'énoncé « \(u_{2n} \le u_{2n+2}\) et \(u_{2n+1} \ge u_{2n+3}\) ». Initialisation. \(u_0 \le u_2\) est l'hypothèse, et \(u_1 = f(u_0) \ge f(u_2) = u_3\) puisque \(f\) est décroissante : \(P(0)\) est vraie. Hérédité. Supposons \(P(k)\). De \(u_{2k+1} \ge u_{2k+3}\) et \(f\) décroissante, \(f(u_{2k+1}) \le f(u_{2k+3})\), c'est-à-dire \(u_{2k+2} \le u_{2k+4}\). De cette inégalité et \(f\) décroissante, \(f(u_{2k+2}) \ge f(u_{2k+4})\), c'est-à-dire \(u_{2k+3} \ge u_{2k+5}\). Donc \(P(k+1)\) est vraie. Tous les termes sont dans \(I\), où \(f\) est définie et décroissante. Par récurrence \((u_{2n})\) est croissante et \((u_{2n+1})\) est décroissante. Si \(u_0 \ge u_2\), renverser toutes les inégalités.
Seconde démonstration : une double récurrence. Supposons \(u_0 \le u_2\), et soit \(P(n)\) l'énoncé « \(u_{2n} \le u_{2n+2}\) et \(u_{2n+1} \ge u_{2n+3}\) ». Initialisation. \(u_0 \le u_2\) est l'hypothèse, et \(u_1 = f(u_0) \ge f(u_2) = u_3\) puisque \(f\) est décroissante : \(P(0)\) est vraie. Hérédité. Supposons \(P(k)\). De \(u_{2k+1} \ge u_{2k+3}\) et \(f\) décroissante, \(f(u_{2k+1}) \le f(u_{2k+3})\), c'est-à-dire \(u_{2k+2} \le u_{2k+4}\). De cette inégalité et \(f\) décroissante, \(f(u_{2k+2}) \ge f(u_{2k+4})\), c'est-à-dire \(u_{2k+3} \ge u_{2k+5}\). Donc \(P(k+1)\) est vraie. Tous les termes sont dans \(I\), où \(f\) est définie et décroissante. Par récurrence \((u_{2n})\) est croissante et \((u_{2n+1})\) est décroissante. Si \(u_0 \ge u_2\), renverser toutes les inégalités.
Méthode — Étudier une suite récurrente avec \(f\) décroissante
Pour \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) décroissante : - Trouver un segment stable \([a, b]\) contenu dans l'ensemble de définition de \(f\) et contenant \(u_0\) par la Méthode « Trouver un intervalle stable » : les conditions sont \(a \le f(b)\) et \(f(a) \le b\). Le segment compte : \(f(x) = -2x\) envoie \(\mathbb{R}\) dans lui-même, et à partir de \(u_0 = 1\) la suite \(1, -2, 4, -8, \dots\) a deux suites extraites non bornées.
- Calculer \(g = f \circ f\) et résoudre \(g(x) = x\) dans \([a, b]\). La fonction \(g\) est définie sur \([a, b]\), puisque \(f([a, b]) \subset [a, b]\) et que \([a, b]\) est dans l'ensemble de définition de \(f\). Lorsque \(g\) est une fonction rationnelle, vérifier que son dénominateur ne s'annule pas sur \([a, b]\), en particulier aux deux limites candidates. Tout point fixe de \(f\) est un point fixe de \(g\), et \(g\) peut en avoir d'autres.
- Utiliser les deux suites extraites : par la Proposition « \(f\) décroissante : les suites extraites paire et impaire », \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones, et elles sont dans \([a, b]\), donc elles convergent, vers \(\ell_0\) et \(\ell_1\) dans \([a, b]\).
- Identifier les limites : chaque suite extraite est une suite récurrente pour \(g\), donc \(\ell_0\) et \(\ell_1\) sont des points fixes de \(g\) dans \([a, b]\) par la Proposition « Une limite est un point fixe », lorsque \(g\) est polynomiale ou rationnelle, comme c'est le cas quand \(f\) l'est ; le dénominateur de \(g\) ne s'annule pas en \(\ell_0\) et \(\ell_1\) par la vérification ci-dessus.
- Conclure : si \(\ell_0 = \ell_1\), alors \(u_n \to \ell_0\) par la Proposition « Suites extraites paire et impaire » ; si \(\ell_0 \ne \ell_1\), alors \((u_n)\) n'a pas de limite par la Proposition « Deux suites extraites de limites distinctes ».
Exemple — Le nombre d'or comme limite
Soient \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{u_n}\). Montrer que \((u_n)\) converge et trouver sa limite.
Soit \(f(x) = 1 + \frac{1}{x}\) sur \(]0, +\infty[\), une fonction décroissante puisque \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est décroissante, et \(\tau = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).
Intervalle stable. Sur \([1, 2]\) les conditions de la Méthode « Trouver un intervalle stable » pour une fonction décroissante sont \(1 \le f(2)\) et \(f(1) \le 2\) : \(f(2) = \frac{3}{2} \ge 1\) et \(f(1) = 2 \le 2\). Donc \([1, 2]\) est stable, il contient \(u_0 = 1\), et \(1 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
La fonction \(g = f \circ f\). Pour \(x > 0\), $$ \begin{aligned} g(x) &= 1 + \frac{1}{f(x)} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= 1 + \frac{x}{x + 1} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{2x + 1}{x + 1}, \end{aligned} $$ la dernière étape par un dénominateur commun encore. La fonction \(g\) est rationnelle et son dénominateur \(x + 1\) ne s'annule pas, et \([1, 2]\) est stable par \(g\) puisque \(g(x) = f\big(f(x)\big)\) avec \(f([1, 2]) \subset [1, 2]\).
Points fixes de \(g\) dans \([1, 2]\). Pour \(x > 0\), $$ \begin{aligned} g(x) = x &\iff \frac{2x + 1}{x + 1} = x && \text{(définition de \(g\))} \\ &\iff 2x + 1 = x^2 + x && \text{(multiplication par \(x + 1 > 0\))} \\ &\iff x^2 - x - 1 = 0, \end{aligned} $$ la dernière étape en passant tous les termes dans un membre. Les racines de \(x^2 - x - 1\) sont \(\tau\) et \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0\), et \(\tau \in [1, 2]\) parce que \(1 \le \sqrt{5} \le 3\). Donc \(\tau\) est le seul point fixe de \(g\) dans \([1, 2]\).
Convergence. Par la Proposition « \(f\) décroissante : les suites extraites paire et impaire », \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones, et elles prennent leurs valeurs dans \([1, 2]\), donc elles convergent, vers \(\ell_0\) et \(\ell_1\) dans \([1, 2]\), par la Proposition « Une suite monotone bornée converge ». Les termes pairs vérifient \(u_{2n+2} = g(u_{2n})\) et les termes impairs \(u_{2n+3} = g(u_{2n+1})\), avec \(g\) rationnelle et son dénominateur \(x + 1\) qui ne s'annule pas en \(\ell_0\) et \(\ell_1\) puisqu'elles sont dans \([1, 2]\), donc la Proposition « Une limite est un point fixe » donne \(g(\ell_0) = \ell_0\) et \(g(\ell_1) = \ell_1\) : \(\ell_0 = \ell_1 = \tau\). Par la Proposition « Suites extraites paire et impaire », \(u_n \to \tau\). Les premiers termes \(1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}\) montrent l'oscillation : les termes pairs croissent et les termes impairs décroissent vers \(\tau \approx 1{,}618\).
Intervalle stable. Sur \([1, 2]\) les conditions de la Méthode « Trouver un intervalle stable » pour une fonction décroissante sont \(1 \le f(2)\) et \(f(1) \le 2\) : \(f(2) = \frac{3}{2} \ge 1\) et \(f(1) = 2 \le 2\). Donc \([1, 2]\) est stable, il contient \(u_0 = 1\), et \(1 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
La fonction \(g = f \circ f\). Pour \(x > 0\), $$ \begin{aligned} g(x) &= 1 + \frac{1}{f(x)} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= 1 + \frac{x}{x + 1} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{2x + 1}{x + 1}, \end{aligned} $$ la dernière étape par un dénominateur commun encore. La fonction \(g\) est rationnelle et son dénominateur \(x + 1\) ne s'annule pas, et \([1, 2]\) est stable par \(g\) puisque \(g(x) = f\big(f(x)\big)\) avec \(f([1, 2]) \subset [1, 2]\).
Points fixes de \(g\) dans \([1, 2]\). Pour \(x > 0\), $$ \begin{aligned} g(x) = x &\iff \frac{2x + 1}{x + 1} = x && \text{(définition de \(g\))} \\ &\iff 2x + 1 = x^2 + x && \text{(multiplication par \(x + 1 > 0\))} \\ &\iff x^2 - x - 1 = 0, \end{aligned} $$ la dernière étape en passant tous les termes dans un membre. Les racines de \(x^2 - x - 1\) sont \(\tau\) et \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0\), et \(\tau \in [1, 2]\) parce que \(1 \le \sqrt{5} \le 3\). Donc \(\tau\) est le seul point fixe de \(g\) dans \([1, 2]\).
Convergence. Par la Proposition « \(f\) décroissante : les suites extraites paire et impaire », \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones, et elles prennent leurs valeurs dans \([1, 2]\), donc elles convergent, vers \(\ell_0\) et \(\ell_1\) dans \([1, 2]\), par la Proposition « Une suite monotone bornée converge ». Les termes pairs vérifient \(u_{2n+2} = g(u_{2n})\) et les termes impairs \(u_{2n+3} = g(u_{2n+1})\), avec \(g\) rationnelle et son dénominateur \(x + 1\) qui ne s'annule pas en \(\ell_0\) et \(\ell_1\) puisqu'elles sont dans \([1, 2]\), donc la Proposition « Une limite est un point fixe » donne \(g(\ell_0) = \ell_0\) et \(g(\ell_1) = \ell_1\) : \(\ell_0 = \ell_1 = \tau\). Par la Proposition « Suites extraites paire et impaire », \(u_n \to \tau\). Les premiers termes \(1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}\) montrent l'oscillation : les termes pairs croissent et les termes impairs décroissent vers \(\tau \approx 1{,}618\).
Exemple — L'escalier d'une fonction décroissante
Le chemin de \(u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n}\) avec \(u_0 = 1\), sur le graphe de \(f(x) = 1 + \frac{1}{x}\) et de la droite \(y = x\) : depuis \(u_0\) le chemin monte jusqu'à la courbe, va jusqu'à la droite, descend jusqu'à la courbe, et ainsi de suite, en s'enroulant en spirale autour du point fixe \(\tau\). 
Compétences à pratiquer
- Lire un diagramme en escalier ★
- Calculer les premiers termes d'une suite récurrente avec \(f\) décroissante ★
- Étudier les suites extraites paire et impaire d'une suite récurrente ★★
- Décider la convergence avec \(f\) décroissante, avec une idée ★★★
VII.4
Vitesse de convergence
À quelle vitesse
Deux suites de même limite peuvent l'approcher à des vitesses très différentes. La suite \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1\) divise sa distance à la limite par \(2\) à chaque pas. La suite \(u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}\) avec \(u_0 = 1\) vérifie \(\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n} + 1\), donc \(\frac{1}{u_n} = n + 1\) et \(u_n = \frac{1}{n+1}\) : un million de pas ne donnent que six décimales. La méthode de Héron élève son erreur au carré à chaque pas, ce qui double le nombre de décimales exactes. Deux énoncés précisent les vitesses : la vitesse géométrique et la vitesse quadratique de la méthode de Héron.
Proposition — Vitesse géométrique
Soient \((u_n)\) une suite réelle, \(\ell \in \mathbb{R}\) et \(k \in [0, 1[\) tels que \(\lvert u_{n+1} - \ell \rvert \le k \lvert u_n - \ell \rvert\) pour tout \(n\). Alors \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n \lvert u_0 - \ell \rvert\) pour tout \(n\), et \(u_n \to \ell\).
Soit \(P(n)\) l'énoncé \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n \lvert u_0 - \ell \rvert\). Initialisation. \(P(0)\) est une égalité, puisque \(k^0 = 1\). Hérédité. Supposons \(P(m)\). Alors $$ \begin{aligned} \lvert u_{m+1} - \ell \rvert &\le k \lvert u_m - \ell \rvert && \text{(hypothèse)} \\
&\le k \cdot k^m \lvert u_0 - \ell \rvert && \text{(hypothèse de récurrence, multipliée par \(k \ge 0\))} \\
&= k^{m+1} \lvert u_0 - \ell \rvert, \end{aligned} $$ ce qui est \(P(m+1)\). D'après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\). Comme \(0 \le k < 1\), \(k^n \to 0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) », donc \(k^n \lvert u_0 - \ell \rvert \to 0\) par les opérations sur les limites, et \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n \lvert u_0 - \ell \rvert\) donne \(u_n \to \ell\) par la Proposition « Encadrement à zéro ».
Proposition — La méthode de Héron est quadratique
Soient \(a > 0\), \(u_0 > 0\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{a}{u_n}\right)\). Alors \(u_n > 0\) pour tout \(n\), et $$ \textcolor{colorprop}{u_{n+1} - \sqrt{a} = \frac{(u_n - \sqrt{a})^2}{2u_n}} \qquad (n \in \mathbb{N}). $$ Par conséquent, \(u_n \ge \sqrt{a}\) pour \(n \ge 1\), la suite \((u_n)_{n \ge 1}\) est décroissante et tend vers \(\sqrt{a}\), et l'erreur \(\varepsilon_n = u_n - \sqrt{a}\) vérifie \(0 \le \varepsilon_{n+1} \le \frac{\varepsilon_n^2}{2\sqrt{a}}\) pour \(n \ge 1\).
Positivité. \(u_0 > 0\), et si \(u_n > 0\) alors \(u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{a}{u_n}\right) > 0\) : par récurrence \(u_n > 0\) pour tout \(n\).
L'identité. Pour \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - \sqrt{a} &= \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{a}{u_n}\right) - \sqrt{a} && \text{(définition de \(u_{n+1}\))} \\ &= \frac{u_n^2 - 2\sqrt{a}\,u_n + (\sqrt{a})^2}{2u_n} && \text{(dénominateur commun \(2u_n\), et \(a = (\sqrt{a})^2\))} \\ &= \frac{(u_n - \sqrt{a})^2}{2u_n}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\).
Division de l'erreur par deux. Par l'identité et \(u_n > 0\), \(\varepsilon_{n+1} = u_{n+1} - \sqrt{a} \ge 0\) pour tout \(n\), donc \(u_n \ge \sqrt{a}\) et \(\varepsilon_n \ge 0\) pour \(n \ge 1\). Pour \(n \ge 1\), \(u_n = \varepsilon_n + \sqrt{a} > \varepsilon_n\), donc \(\frac{\varepsilon_n}{2u_n} \le \frac{1}{2}\), et $$ \begin{aligned} \varepsilon_{n+1} &= \varepsilon_n \cdot \frac{\varepsilon_n}{2u_n} && \text{(identité)} \\ &\le \frac{\varepsilon_n}{2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\varepsilon_n \ge 0\) et \(\frac{\varepsilon_n}{2u_n} \le \frac{1}{2}\). Donc \(0 \le \varepsilon_{n+1} \le \varepsilon_n\) pour \(n \ge 1\) : la suite \((u_n)_{n \ge 1} = (\sqrt{a} + \varepsilon_n)_{n \ge 1}\) est décroissante.
La limite. Par récurrence sur \(n \ge 1\), \(0 \le \varepsilon_n \le \frac{\varepsilon_1}{2^{n-1}}\) : c'est une égalité pour \(n = 1\), et si c'est vrai pour \(n\), alors \(\varepsilon_{n+1} \le \frac{\varepsilon_n}{2} \le \frac{\varepsilon_1}{2^n}\). Comme \(\frac{\varepsilon_1}{2^{n-1}} = 2 \varepsilon_1 \left( \frac{1}{2} \right)^n \to 0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) » et les opérations sur les limites, le théorème d'encadrement donne \(\varepsilon_n \to 0\), c'est-à-dire \(u_n \to \sqrt{a}\). La récurrence est celle de la Proposition « Vitesse géométrique », commencée au rang \(1\) avec \(k = \frac{1}{2}\).
La vitesse quadratique. Pour \(n \ge 1\), l'identité et \(u_n \ge \sqrt{a}\) donnent $$ \begin{aligned} \varepsilon_{n+1} &= \frac{\varepsilon_n^2}{2u_n} && \text{(identité)} \\ &\le \frac{\varepsilon_n^2}{2\sqrt{a}}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n \ge \sqrt{a}\), et \(\varepsilon_{n+1} \ge 0\) comme on l'a montré.
Seconde démonstration : le théorème de la limite monotone et le point fixe. Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{a}{u_n}\right) - u_n && \text{(définition de \(u_{n+1}\))} \\ &= \frac{a - u_n^2}{2u_n} && \text{(dénominateur commun \(2u_n\))} \\ &\le 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n \ge \sqrt{a} > 0\) donne \(u_n^2 \ge a\). Donc \((u_n)_{n \ge 1}\) est décroissante et minorée par \(\sqrt{a}\) ; par la Proposition « Une suite monotone bornée converge », elle converge vers un certain \(\ell \ge \sqrt{a} > 0\), et \((u_n)_{n \ge 0}\) aussi par la Proposition « Modifier un nombre fini de termes ». La partie \(]0, +\infty[\) est stable par la fonction rationnelle \(f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)\), dont le dénominateur \(2x\) ne s'annule pas en \(\ell\), donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Une limite est un point fixe » : \(\ell = \frac{1}{2}\left(\ell + \frac{a}{\ell}\right)\), d'où \(\ell^2 = a\) et \(\ell = \sqrt{a}\).
L'identité. Pour \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - \sqrt{a} &= \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{a}{u_n}\right) - \sqrt{a} && \text{(définition de \(u_{n+1}\))} \\ &= \frac{u_n^2 - 2\sqrt{a}\,u_n + (\sqrt{a})^2}{2u_n} && \text{(dénominateur commun \(2u_n\), et \(a = (\sqrt{a})^2\))} \\ &= \frac{(u_n - \sqrt{a})^2}{2u_n}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\).
Division de l'erreur par deux. Par l'identité et \(u_n > 0\), \(\varepsilon_{n+1} = u_{n+1} - \sqrt{a} \ge 0\) pour tout \(n\), donc \(u_n \ge \sqrt{a}\) et \(\varepsilon_n \ge 0\) pour \(n \ge 1\). Pour \(n \ge 1\), \(u_n = \varepsilon_n + \sqrt{a} > \varepsilon_n\), donc \(\frac{\varepsilon_n}{2u_n} \le \frac{1}{2}\), et $$ \begin{aligned} \varepsilon_{n+1} &= \varepsilon_n \cdot \frac{\varepsilon_n}{2u_n} && \text{(identité)} \\ &\le \frac{\varepsilon_n}{2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\varepsilon_n \ge 0\) et \(\frac{\varepsilon_n}{2u_n} \le \frac{1}{2}\). Donc \(0 \le \varepsilon_{n+1} \le \varepsilon_n\) pour \(n \ge 1\) : la suite \((u_n)_{n \ge 1} = (\sqrt{a} + \varepsilon_n)_{n \ge 1}\) est décroissante.
La limite. Par récurrence sur \(n \ge 1\), \(0 \le \varepsilon_n \le \frac{\varepsilon_1}{2^{n-1}}\) : c'est une égalité pour \(n = 1\), et si c'est vrai pour \(n\), alors \(\varepsilon_{n+1} \le \frac{\varepsilon_n}{2} \le \frac{\varepsilon_1}{2^n}\). Comme \(\frac{\varepsilon_1}{2^{n-1}} = 2 \varepsilon_1 \left( \frac{1}{2} \right)^n \to 0\) par la Proposition « Limite de \(q^n\) » et les opérations sur les limites, le théorème d'encadrement donne \(\varepsilon_n \to 0\), c'est-à-dire \(u_n \to \sqrt{a}\). La récurrence est celle de la Proposition « Vitesse géométrique », commencée au rang \(1\) avec \(k = \frac{1}{2}\).
La vitesse quadratique. Pour \(n \ge 1\), l'identité et \(u_n \ge \sqrt{a}\) donnent $$ \begin{aligned} \varepsilon_{n+1} &= \frac{\varepsilon_n^2}{2u_n} && \text{(identité)} \\ &\le \frac{\varepsilon_n^2}{2\sqrt{a}}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n \ge \sqrt{a}\), et \(\varepsilon_{n+1} \ge 0\) comme on l'a montré.
Seconde démonstration : le théorème de la limite monotone et le point fixe. Pour \(n \ge 1\), $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{a}{u_n}\right) - u_n && \text{(définition de \(u_{n+1}\))} \\ &= \frac{a - u_n^2}{2u_n} && \text{(dénominateur commun \(2u_n\))} \\ &\le 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n \ge \sqrt{a} > 0\) donne \(u_n^2 \ge a\). Donc \((u_n)_{n \ge 1}\) est décroissante et minorée par \(\sqrt{a}\) ; par la Proposition « Une suite monotone bornée converge », elle converge vers un certain \(\ell \ge \sqrt{a} > 0\), et \((u_n)_{n \ge 0}\) aussi par la Proposition « Modifier un nombre fini de termes ». La partie \(]0, +\infty[\) est stable par la fonction rationnelle \(f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)\), dont le dénominateur \(2x\) ne s'annule pas en \(\ell\), donc \(f(\ell) = \ell\) par la Proposition « Une limite est un point fixe » : \(\ell = \frac{1}{2}\left(\ell + \frac{a}{\ell}\right)\), d'où \(\ell^2 = a\) et \(\ell = \sqrt{a}\).
Exemple — Nombre d'itérations pour \(10^{-6}\)
La méthode de Héron pour \(\sqrt{2}\) part de \(u_0 = 1\) : \(u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)\). Combien d'itérations garantissent \(\lvert u_n - \sqrt{2} \rvert \le 10^{-6}\) ? Combien d'itérations faudrait-il avec la vitesse géométrique \(k = \frac{1}{2}\) pour la même garantie ?
La Proposition « La méthode de Héron est quadratique » s'applique avec \(a = 2\) et \(u_0 = 1\) : \(\varepsilon_{n+1} \le \frac{\varepsilon_n^2}{2\sqrt{2}}\) pour \(n \ge 1\). Comme \(1{,}4^2 = 1{,}96 < 2\), \(\sqrt{2} > 1{,}4\), donc \(2\sqrt{2} > 2{,}8\) et \(\varepsilon_{n+1} \le \frac{\varepsilon_n^2}{2{,}8}\). La première itération est \(u_1 = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2}\), donc \(\varepsilon_1 = \frac{3}{2} - \sqrt{2} < 1{,}5 - 1{,}4 = 0{,}1\). Alors $$ \begin{aligned} \varepsilon_2 &< \frac{(10^{-1})^2}{2{,}8} < 4 \times 10^{-3} && \text{(à partir de \(\varepsilon_1 < 10^{-1}\))} \\
\varepsilon_3 &< \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{2{,}8} < 6 \times 10^{-6} && \text{(à partir de \(\varepsilon_2 < 4 \times 10^{-3}\))} \\
\varepsilon_4 &< \frac{(6 \times 10^{-6})^2}{2{,}8} < 2 \times 10^{-11}, \end{aligned} $$ la dernière majoration à partir de \(\varepsilon_3 < 6 \times 10^{-6}\). Quatre itérations suffisent, puisque \(u_4 - \sqrt{2} < 2 \times 10^{-11} \le 10^{-6}\) ; la majoration obtenue pour trois, \(6 \times 10^{-6}\), ne suffit pas.
Avec une simple vitesse géométrique \(k = \frac{1}{2}\) et \(\lvert u_0 - \ell \rvert < 1\) (une suite qui ne vérifierait rien de mieux), la Proposition « Vitesse géométrique » donne \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \left(\frac{1}{2}\right)^n \lvert u_0 - \ell \rvert\), donc il suffit que \(2^n \ge 10^6\). Comme \(2^{19} = 524\,288 < 10^6 \le 1\,048\,576 = 2^{20}\), vingt itérations seraient garanties, contre quatre pour la méthode de Héron.
Avec une simple vitesse géométrique \(k = \frac{1}{2}\) et \(\lvert u_0 - \ell \rvert < 1\) (une suite qui ne vérifierait rien de mieux), la Proposition « Vitesse géométrique » donne \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \left(\frac{1}{2}\right)^n \lvert u_0 - \ell \rvert\), donc il suffit que \(2^n \ge 10^6\). Comme \(2^{19} = 524\,288 < 10^6 \le 1\,048\,576 = 2^{20}\), vingt itérations seraient garanties, contre quatre pour la méthode de Héron.
Exemple — Une vitesse géométrique sans monotonie
Montrer que \(u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n}\) avec \(u_0 = 1\) tend vers \(\tau = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), et que \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\) tend vers \(2\) pour tout \(u_0 \ge 0\), en trouvant \(k \in [0, 1[\) tel que \(\lvert u_{n+1} - \ell \rvert \le k \lvert u_n - \ell \rvert\).
Le nombre d'or. Le nombre \(\tau\) est une racine de \(x^2 - x - 1\), donc \(\tau = 1 + \frac{1}{\tau}\), et \(\tau > 1\) parce que \(\sqrt{5} > 1\). Par l'Exemple « Le nombre d'or comme limite », \(u_n \ge 1\) pour tout \(n\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert u_{n+1} - \tau \rvert &= \left\lvert \frac{1}{u_n} - \frac{1}{\tau} \right\rvert && \text{(\(u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n}\) et \(\tau = 1 + \frac{1}{\tau}\))} \\
&= \frac{\lvert \tau - u_n \rvert}{u_n \tau} && \text{(dénominateur commun)} \\
&\le \frac{1}{\tau} \lvert u_n - \tau \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n \ge 1\). Avec \(k = \frac{1}{\tau} \in [0, 1[\), la Proposition « Vitesse géométrique » donne \(\lvert u_n - \tau \rvert \le \tau^{-n} \lvert u_0 - \tau \rvert\) et \(u_n \to \tau\) : l'argument n'emploie ni la composée \(f \circ f\) ni les suites extraites paire et impaire.
La racine carrée. Soit \(u_0 \ge 0\). La partie \([0, +\infty[\) est stable par \(x \mapsto \sqrt{x + 2}\), qui prend des valeurs positives ou nulles, donc chaque terme existe et \(u_n \ge 0\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert u_{n+1} - 2 \rvert &= \lvert \sqrt{u_n + 2} - 2 \rvert && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{\lvert (u_n + 2) - 4 \rvert}{\sqrt{u_n + 2} + 2} && \text{(multiplication et division par la quantité conjuguée)} \\ &\le \frac{1}{2} \lvert u_n - 2 \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le dénominateur est au moins égal à \(2\). Par la Proposition « Vitesse géométrique » avec \(k = \frac{1}{2}\), \(\lvert u_n - 2 \rvert \le 2^{-n} \lvert u_0 - 2 \rvert\) et \(u_n \to 2\), quel que soit \(u_0 \ge 0\), de part ou d'autre de \(2\) : le signe de \(u_{n+1} - u_n\) n'est pas nécessaire, et la vitesse \(\frac{1}{2}\) vient avec la limite.
La racine carrée. Soit \(u_0 \ge 0\). La partie \([0, +\infty[\) est stable par \(x \mapsto \sqrt{x + 2}\), qui prend des valeurs positives ou nulles, donc chaque terme existe et \(u_n \ge 0\). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert u_{n+1} - 2 \rvert &= \lvert \sqrt{u_n + 2} - 2 \rvert && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{\lvert (u_n + 2) - 4 \rvert}{\sqrt{u_n + 2} + 2} && \text{(multiplication et division par la quantité conjuguée)} \\ &\le \frac{1}{2} \lvert u_n - 2 \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le dénominateur est au moins égal à \(2\). Par la Proposition « Vitesse géométrique » avec \(k = \frac{1}{2}\), \(\lvert u_n - 2 \rvert \le 2^{-n} \lvert u_0 - 2 \rvert\) et \(u_n \to 2\), quel que soit \(u_0 \ge 0\), de part ou d'autre de \(2\) : le signe de \(u_{n+1} - u_n\) n'est pas nécessaire, et la vitesse \(\frac{1}{2}\) vient avec la limite.
Pour aller plus loin
Suites complexes. Une suite de nombres complexes tend vers \(\ell\) lorsque \(\lvert u_n - \ell \rvert \to 0\), de façon équivalente lorsque ses parties réelle et imaginaire tendent vers celles de \(\ell\). Les opérations s'étendent, et le théorème de Bolzano–Weierstrass aussi, en appliquant le théorème réel à la partie réelle d'une suite bornée puis à la partie imaginaire de la suite extraite obtenue. Les théorèmes qui reposent sur l'ordre, le théorème de la limite monotone et le théorème des suites adjacentes, ne s'étendent pas, puisque les nombres complexes n'ont pas d'ordre. Ces suites relèvent de l'étude des nombres complexes.
Ordre deux à racines complexes. Lorsque \(a^2 + 4b < 0\) les racines de l'équation caractéristique sont les nombres complexes \(\rho e^{\pm i\theta}\), et les solutions réelles en \(\rho^n \cos n\theta\) et \(\rho^n \sin n\theta\) sont les parties réelle et imaginaire des solutions construites sur ces racines ; la forme complexe des solutions relève de l'étude des nombres complexes.
Suites de Cauchy. Une suite est de Cauchy lorsque ses termes se rapprochent autant qu'on veut les uns des autres : \(\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m, n \ge N, \lvert u_m - u_n \rvert \le \varepsilon\). Toute suite convergente en est une, et la réciproque est la complétude de \(\mathbb{R}\), qui équivaut à la propriété de la borne supérieure et que Bolzano–Weierstrass aide à démontrer.
Limite supérieure et limite inférieure. Une suite bornée a une plus petite et une plus grande valeur d'adhérence, sa \(\liminf\) et sa \(\limsup\), et elle converge exactement lorsqu'elles sont égales : c'est la Proposition « Une suite bornée à une seule valeur d'adhérence converge » sous une autre forme.
Le lemme de Stolz–Cesàro. Le lemme de Cesàro a une version pour les quotients : si \((v_n)\) est strictement croissante et tend vers \(+\infty\), et si \(\frac{u_{n+1} - u_n}{v_{n+1} - v_n} \to \ell\), alors \(\frac{u_n}{v_n} \to \ell\). Le lemme de Cesàro est le cas \(v_n = n\).
La méthode de Newton et les contractions. La méthode de Héron est la méthode de Newton pour l'équation \(x^2 = a\). La méthode de Newton pour une fonction dérivable, et le théorème du point fixe pour une fonction avec \(\lvert f' \rvert \le k < 1\), qui donne la vitesse géométrique \(k\), relèvent de l'étude des dérivées.
La convergence quadratique. Lorsque l'erreur est élevée au carré à chaque pas, le nombre de décimales exactes double : une erreur de \(10^{-3}\) devient environ \(10^{-6}\), puis \(10^{-12}\), puis \(10^{-24}\).
Continuité et suites récurrentes. Si \(u_n \to \ell\) et que \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(u_n) \to f(\ell)\) ; c'est la caractérisation séquentielle de la continuité, et elle étend la Proposition « Une limite est un point fixe » à toute fonction \(f\) continue en la limite. Elle relève de l'étude des limites et de la continuité des fonctions.
Suites implicites. L'équation \(x + \ln x = n\) a exactement une solution \(u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), ce qui définit une suite sans aucune formule ; l'existence vient du théorème de la bijection de l'étude de la continuité.
Les solutions d'une récurrence d'ordre deux. L'ensemble des suites vérifiant \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) est un espace vectoriel réel de dimension \(2\), un plan, dont les suites \(r_1^n\) et \(r_2^n\) forment une base lorsque les racines sont distinctes ; le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions » le dit sans ce vocabulaire.
Ordre deux à racines complexes. Lorsque \(a^2 + 4b < 0\) les racines de l'équation caractéristique sont les nombres complexes \(\rho e^{\pm i\theta}\), et les solutions réelles en \(\rho^n \cos n\theta\) et \(\rho^n \sin n\theta\) sont les parties réelle et imaginaire des solutions construites sur ces racines ; la forme complexe des solutions relève de l'étude des nombres complexes.
Suites de Cauchy. Une suite est de Cauchy lorsque ses termes se rapprochent autant qu'on veut les uns des autres : \(\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m, n \ge N, \lvert u_m - u_n \rvert \le \varepsilon\). Toute suite convergente en est une, et la réciproque est la complétude de \(\mathbb{R}\), qui équivaut à la propriété de la borne supérieure et que Bolzano–Weierstrass aide à démontrer.
Limite supérieure et limite inférieure. Une suite bornée a une plus petite et une plus grande valeur d'adhérence, sa \(\liminf\) et sa \(\limsup\), et elle converge exactement lorsqu'elles sont égales : c'est la Proposition « Une suite bornée à une seule valeur d'adhérence converge » sous une autre forme.
Le lemme de Stolz–Cesàro. Le lemme de Cesàro a une version pour les quotients : si \((v_n)\) est strictement croissante et tend vers \(+\infty\), et si \(\frac{u_{n+1} - u_n}{v_{n+1} - v_n} \to \ell\), alors \(\frac{u_n}{v_n} \to \ell\). Le lemme de Cesàro est le cas \(v_n = n\).
La méthode de Newton et les contractions. La méthode de Héron est la méthode de Newton pour l'équation \(x^2 = a\). La méthode de Newton pour une fonction dérivable, et le théorème du point fixe pour une fonction avec \(\lvert f' \rvert \le k < 1\), qui donne la vitesse géométrique \(k\), relèvent de l'étude des dérivées.
La convergence quadratique. Lorsque l'erreur est élevée au carré à chaque pas, le nombre de décimales exactes double : une erreur de \(10^{-3}\) devient environ \(10^{-6}\), puis \(10^{-12}\), puis \(10^{-24}\).
Continuité et suites récurrentes. Si \(u_n \to \ell\) et que \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(u_n) \to f(\ell)\) ; c'est la caractérisation séquentielle de la continuité, et elle étend la Proposition « Une limite est un point fixe » à toute fonction \(f\) continue en la limite. Elle relève de l'étude des limites et de la continuité des fonctions.
Suites implicites. L'équation \(x + \ln x = n\) a exactement une solution \(u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), ce qui définit une suite sans aucune formule ; l'existence vient du théorème de la bijection de l'étude de la continuité.
Les solutions d'une récurrence d'ordre deux. L'ensemble des suites vérifiant \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) est un espace vectoriel réel de dimension \(2\), un plan, dont les suites \(r_1^n\) et \(r_2^n\) forment une base lorsque les racines sont distinctes ; le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions » le dit sans ce vocabulaire.
Compétences à pratiquer
- Compter les itérations nécessaires pour une précision donnée ★
- Étudier la méthode de Héron ★★
- Démontrer une vitesse géométrique de convergence ★★★
VIII
Brève extension aux suites complexes
Lorsque \((u_n) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}\), la notion de limite se transmet via le module \(|u_n - \ell| \to 0\), équivalente à la convergence composante par composante de \(\mathrm{Re}(u_n)\) et \(\mathrm{Im}(u_n)\). Opérations et Bolzano-Weierstrass s'étendent sans difficulté. Les théorèmes du chapitre liés à l'ordre (limite monotone, suites adjacentes) ne se prolongent pas, \(\mathbb{C}\) n'ayant pas d'ordre naturel.
Définition — Suite complexe
Une suite complexe est une application \(u : \mathbb{N} \to \mathbb{C}\), notée \((u_n)\). Elle est bornée si \((|u_n|)_n\) est majorée (équivalent : \(\mathrm{Re}(u_n)\) et \(\mathrm{Im}(u_n)\) toutes deux bornées). Définition — Limite d'une suite complexe
Pour \(\ell \in \mathbb{C}\) : \(u_n \to \ell\) si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : - \(|u_n - \ell| \to 0\) dans \(\mathbb{R}\);
- \(\mathrm{Re}(u_n) \to \mathrm{Re}(\ell)\) et \(\mathrm{Im}(u_n) \to \mathrm{Im}(\ell)\).
Proposition — Opérations sur les limites complexes
Si \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to m\) avec \(\ell, m \in \mathbb{C}\), alors pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) : \(\textcolor{colorprop}{\lambda u_n + \mu v_n \to \lambda \ell + \mu m}\), \(\textcolor{colorprop}{u_n v_n \to \ell m}\), et \(\textcolor{colorprop}{u_n / v_n \to \ell / m}\) si \(m \ne 0\). Énoncés identiques à la proposition « Opérations algébriques sur les limites finies » avec \(\mathbb{C}\) à la place de \(\mathbb{R}\).
Combinaison linéaire : décomposition en parties réelle et imaginaire. En écrivant \(\lambda = \alpha + i \beta\), \(u_n = a_n + i b_n\), etc., \(\lambda u_n + \mu v_n\) a des parties réelle et imaginaire qui sont des combinaisons linéaires réelles de \(a_n, b_n, c_n, d_n\), chacune convergente par la proposition « Opérations algébriques sur les limites finies » appliquée par composante. La caractérisation par composantes la définition « Limite d'une suite complexe » conclut. Produit : \(u_n v_n = (a_n c_n - b_n d_n) + i (a_n d_n + b_n c_n)\), la proposition « Opérations algébriques sur les limites finies » par composante. Quotient : idem avec l'argument supplémentaire \(|v_n| \to |m| > 0\) (\(m \ne 0\)), donc \(|v_n|\) minoré loin de \(0\) à partir d'un certain rang ; alors \(1/v_n = \overline{v_n}/|v_n|^2\) a un dénominateur borné et converge par composante.
Théorème — Bolzano-Weierstrass complexe
Toute suite complexe bornée admet une suite extraite convergente.
Soit \((u_n) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}\) bornée. Alors \((\mathrm{Re}(u_n))\) et \((\mathrm{Im}(u_n))\) sont des suites réelles bornées (par la définition « Suite complexe »).
- Appliquons le théorème « Bolzano-Weierstrass » (BW pour \(\mathbb{R}\)) à \((\mathrm{Re}(u_n))\) : extrayons une suite extraite convergente \(\mathrm{Re}(u_{\varphi(n)}) \to \alpha\).
- La suite \((\mathrm{Im}(u_{\varphi(n)}))_n\) reste bornée; appliquons le théorème « Bolzano-Weierstrass » à nouveau pour extraire \(\mathrm{Im}(u_{\varphi(\psi(n))}) \to \beta\).
- \(\mathrm{Re}(u_{\varphi(\psi(n))})\) est extraite de \(\mathrm{Re}(u_{\varphi(n)})\), donc par la proposition « La limite se transfère aux suites extraites » tend toujours vers \(\alpha\).
Exemple
Montrer que \((e^{i n \pi / 3})_n\) est bornée, et exhiber deux suites extraites de limites distinctes.
\(|e^{i n \pi / 3}| = 1\) pour tout \(n\), donc la suite est bornée par \(1\). Les valeurs sont périodiques de période \(6\). Prenons \(\varphi(n) = 6 n\) : \(e^{i \cdot 6n \pi / 3} = e^{i \cdot 2n\pi} = 1\), donc \(u_{\varphi(n)} \to 1\). Prenons \(\psi(n) = 6n + 3\) : \(e^{i \cdot (6n+3) \pi / 3} = e^{i \pi} \cdot e^{i \cdot 2n\pi} = -1\), donc \(u_{\psi(n)} \to -1\). Deux suites extraites de limites distinctes dans \(\mathbb{C}\), donc \((u_n)\) est divergente.
Exemple
Calculer \(\lim ((1 + i)^n / 2^n)\).
\(|1 + i| = \sqrt{2}\), donc \(|(1+i)^n / 2^n| = (\sqrt{2}/2)^n = (1/\sqrt{2})^n\). Puisque \(1/\sqrt{2} < 1\), par la proposition « Limite de \(q^n\) » (cas réel), \((1/\sqrt{2})^n \to 0\). Donc \(|u_n| \to 0\), et par la définition « Limite d'une suite complexe » (caractérisation par le module), \(u_n \to 0\) dans \(\mathbb{C}\).
Compétences à pratiquer
- Limites complexes et Bolzano-Weierstrass complexe
IX
Exercices de colle
Compétences à pratiquer
- Travailler un exercice de colle ★
- Travailler un exercice de colle ★★
- Travailler un exercice de colle ★★★
- Travailler un exercice de colle ★★★★
X
Problèmes d'écrit
Compétences à pratiquer
- Travailler un problème d'écrit ★
- Travailler un problème d'écrit ★★
- Travailler un problème d'écrit ★★★
- Quiz
Devoir facile : suites adjacentes et approximation de \(\pi\)
4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.
À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
Devoir difficile : moyennes de Cesàro et valeurs d'adhérence
3 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 3 h.
À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
Aller à la section