Propriétés de \(\mathbb{R}\)

Chaque point se déduit des deux règles de la Définition « Ordre sur \(\mathbb{R}\) », par une démonstration directe. Soient \(x, y, z, t, \lambda \in \mathbb{R}\).
Une préparation. En ajoutant \(-x\) aux deux membres, la règle de l'addition donne \(x \le y \Rightarrow 0 \le y - x\), et en ajoutant \(x\) elle donne \(0 \le y - x \Rightarrow x \le y\). Donc \(x \le y \iff 0 \le y - x\).
Signes. Si \(x, y \ge 0\), alors \(xy \ge 0\) : c'est la règle du produit avec \(\lambda = x\), appliquée à \(0 \le y\). Si \(x, y \le 0\), alors \(-x, -y \ge 0\) et \(xy = (-x)(-y) \ge 0\) par la même règle. Si de plus \(x\) et \(y\) sont non nuls, alors \(xy \ne 0\), donc \(xy > 0\) dans les deux cas.
Addition. Le premier énoncé est la règle de l'addition. Supposons \(x \le y\) et \(z \le t\). Alors $$ \begin{aligned} x + z &\le y + z && \text{(règle de l'addition, \(x \le y\))} \\ &\le y + t, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par la règle de l'addition appliquée à \(z \le t\), le réel \(y\) étant ajouté aux deux membres. Par transitivité, \(x + z \le y + t\).
Produit par un positif ou par un négatif. Le premier énoncé est la règle du produit. Supposons \(x \le y\) et \(\lambda \le 0\). La règle de l'addition appliquée à \(\lambda \le 0\) donne \(0 \le -\lambda\), donc \(-\lambda\) est positif et la règle du produit donne \(-\lambda x \le -\lambda y\). En ajoutant \(\lambda x + \lambda y\) aux deux membres, par la règle de l'addition, on obtient \(\lambda y \le \lambda x\), c'est-à-dire \(\lambda x \ge \lambda y\).
Produit d'inégalités. Supposons \(0 \le x \le y\) et \(0 \le z \le t\). Alors $$ \begin{aligned} xz &\le yz && \text{(produit de \(x \le y\) par \(z \ge 0\))} \\ &\le yt, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par le produit de \(z \le t\) par \(y \ge 0\), où \(y \ge x \ge 0\) par transitivité. Par transitivité, \(xz \le yt\).
Inégalités strictes, première partie. Supposons \(x < y\). Alors \(x + z \le y + z\), et \(x + z \ne y + z\), car \(x + z = y + z\) donnerait \(x = y\) après l'addition de \(-z\) : donc \(x + z < y + z\). Supposons \(x < y\) et \(\lambda > 0\). Alors \(\lambda x \le \lambda y\), et \(\lambda x \ne \lambda y\), car \(\lambda x = \lambda y\) donnerait \(x = y\) après le produit par \(\frac1\lambda\) : donc \(\lambda x < \lambda y\). Si \(\lambda < 0\), le même raisonnement appliqué à \(\lambda x \ge \lambda y\) donne \(\lambda x > \lambda y\).
Inversion. Supposons \(0 < x \le y\) ou \(x \le y < 0\). Dans les deux cas \(x\) et \(y\) ont le même signe, donc \(xy > 0\) par les signes, et $$ \begin{aligned} \frac1x - \frac1y &= \frac{y - x}{xy} && \text{(dénominateur commun)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(y - x \ge 0\) par la préparation et \(\frac{1}{xy} > 0\). En effet, pour \(z > 0\), \(\frac1z = z \left(\frac1z\right)^2 > 0\) par les signes, le carré étant non nul ; le quotient est donc le produit d'un nombre positif par un nombre strictement positif, positif par les signes. Par la préparation, \(\frac1y \le \frac1x\). Si \(x < y\), alors \(y - x > 0\) et la même chaîne donne \(\frac1x - \frac1y > 0\), c'est-à-dire \(\frac1y < \frac1x\).
Carrés. Soient \(x, y \ge 0\). (\(\Rightarrow\)) Supposons \(x \le y\). Alors $$ \begin{aligned} y^2 - x^2 &= (y - x)(y + x) && \text{(identité)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(y - x \ge 0\) par la préparation et \(y + x \ge 0\), un produit de deux nombres positifs étant positif (la règle du produit avec \(\lambda = y - x\) appliquée à \(0 \le y + x\)). Par la préparation, \(x^2 \le y^2\). (\(\Leftarrow\)) Démontrons la contraposée. Supposons \(x \le y\) faux : par totalité, \(y < x\), donc \(x > 0\) puisque \(x > y \ge 0\). Alors \(y^2 \le yx\) (produit de \(y \le x\) par \(y \ge 0\)) et \(yx < x^2\) (produit strict de \(y < x\) par \(x > 0\)), donc \(y^2 < x^2\) par transitivité (premier point de la Proposition « Chaînes d'inégalités » ci-dessous, qui n'emploie que les règles de la Définition), et \(x^2 \le y^2\) est faux. Enfin \(x < y \iff \text{« } y \le x \text{ » est faux} \iff \text{« } y^2 \le x^2 \text{ » est faux} \iff x^2 < y^2\), par totalité et par l'équivalence qui vient d'être démontrée.
Tous les points sont démontrés.

Premier point, partie large, par récurrence. Soit \(P(n)\) l'énoncé : toute chaîne \(x_1 \le \dots \le x_n\) vérifie \(x_1 \le x_n\). Initialisation. Pour \(n = 2\) la chaîne est l'unique inégalité \(x_1 \le x_2\). Hérédité. Soit \(n \ge 2\) et supposons \(P(n)\) (hypothèse de récurrence). Pour une chaîne \(x_1 \le \dots \le x_n \le x_{n+1}\), l'hypothèse de récurrence donne \(x_1 \le x_n\), et \(x_n \le x_{n+1}\), donc \(x_1 \le x_{n+1}\) par transitivité. Comme \(P(2)\) est vraie et que \(P(n) \Rightarrow P(n + 1)\) pour \(n \ge 2\), d'après le principe de récurrence \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \ge 2\).
Deuxième point. Supposons \(x_1 = x_n\). Pour chaque \(i\) avec \(1 < i < n\), la partie large du premier point appliquée aux chaînes \(x_1 \le \dots \le x_i\) et \(x_i \le \dots \le x_n\) donne \(x_1 \le x_i\) et \(x_i \le x_n = x_1\). Par antisymétrie, \(x_i = x_1\) ; pour \(i = 1\) et \(i = n\) il n'y a rien à démontrer. Donc tous les \(x_i\) sont égaux.
Premier point, partie stricte. Démontrons la contraposée. Supposons \(x_1 = x_n\). D'après le deuxième point, tous les \(x_i\) sont égaux, donc aucune inégalité de la chaîne n'est stricte. Ainsi, si une inégalité de la chaîne est stricte, alors \(x_1 \ne x_n\), c'est-à-dire \(x_1 < x_n\) puisque \(x_1 \le x_n\).
Troisième point. Supposons \(x \le y\), \(z \le t\) et \(x + z = y + t\). Alors $$ \begin{aligned} x + z &\le y + z && \text{(règle de l'addition, \(x \le y\))} \\ &\le y + t && \text{(règle de l'addition, \(z \le t\))} \\ &= x + z, \end{aligned} $$ la dernière égalité par hypothèse. La chaîne commence et finit par \(x + z\) : par le deuxième point, \(x + z = y + z\) et \(y + z = y + t\). En ajoutant \(-z\) à la première égalité on obtient \(x = y\), et en ajoutant \(-y\) à la seconde on obtient \(z = t\). Les trois points sont démontrés.

Chaque point se démontre directement à partir de la définition et de la Proposition « Compatibilité de \(\le\) avec les opérations » ; la forme à crochets est démontrée avant l'inégalité triangulaire, qui s'en sert. Soient \(x, y \in \mathbb{R}\). Par la définition, \(\lvert z \rvert = z\) si \(z \ge 0\) et \(\lvert z \rvert = -z\) si \(z \le 0\), les deux valeurs étant \(0\) en \(z = 0\) ; en particulier \(\lvert z \rvert\) est \(z\) ou \(-z\), donc \(\lvert z \rvert^2 = z^2\).
Positivité. Si \(x \ge 0\), alors \(\lvert x \rvert = x \ge 0\). Si \(x < 0\), alors \(\lvert x \rvert = -x > 0\), par la règle de l'addition appliquée à \(x < 0\). Donc \(\lvert x \rvert \ge 0\). Si \(x \ne 0\), alors \(\lvert x \rvert > 0\) dans les deux cas : donc \(\lvert x \rvert = 0\) force \(x = 0\) ; réciproquement \(\lvert 0 \rvert = 0\).
Symétrie. Si \(x = 0\), les deux membres valent \(0\). Si \(x > 0\), alors \(-x < 0\) et \(\lvert -x \rvert = -(-x) = x = \lvert x \rvert\). Si \(x < 0\), alors \(-x > 0\) et \(\lvert -x \rvert = -x = \lvert x \rvert\).
Produit. Les nombres \(\lvert xy \rvert\) et \(\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert\) sont positifs (le second par la règle du produit), et $$ \begin{aligned} \lvert xy \rvert^2 &= (xy)^2 && (\lvert z \rvert^2 = z^2) \\ &= x^2 y^2 && \text{(commutativité du produit)} \\ &= (\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert)^2, \end{aligned} $$ la dernière égalité parce que \(x^2 = \lvert x \rvert^2\) et \(y^2 = \lvert y \rvert^2\). Deux nombres positifs de même carré sont égaux : \(\lvert xy \rvert^2 \le (\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert)^2\) donne \(\lvert xy \rvert \le \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert\), et l'inégalité inverse donne la réciproque, par les carrés de nombres positifs (la Proposition « Compatibilité de \(\le\) avec les opérations ») ; les deux nombres sont égaux par antisymétrie. Donc \(\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert\).
Encadrement. Pour tout réel \(z\), \(-\lvert z \rvert \le z \le \lvert z \rvert\). Si \(z \ge 0\), alors \(\lvert z \rvert = z\) et $$ \begin{aligned} -\lvert z \rvert &= -z && (\lvert z \rvert = z) \\ &\le 0 && \text{(règle de l'addition, \(z \ge 0\))} \\ &\le z && (z \ge 0) \\ &= \lvert z \rvert. \end{aligned} $$ Si \(z < 0\), alors \(\lvert z \rvert = -z\) et $$ \begin{aligned} -\lvert z \rvert &= z && (\lvert z \rvert = -z) \\ &< 0 && (z < 0) \\ &< -z && \text{(règle de l'addition, \(z < 0\))} \\ &= \lvert z \rvert. \end{aligned} $$ Forme à crochets. Soit \(r \ge 0\). (\(\Rightarrow\)) Supposons \(\lvert x \rvert \le r\). Alors $$ \begin{aligned} -r &\le -\lvert x \rvert && \text{(produit de \(\lvert x \rvert \le r\) par \(-1\))} \\ &\le x && \text{(encadrement)} \\ &\le \lvert x \rvert && \text{(encadrement)} \\ &\le r, \end{aligned} $$ la dernière inégalité étant l'hypothèse, donc \(-r \le x \le r\) par la chaîne d'inégalités. (\(\Leftarrow\)) Supposons \(-r \le x \le r\). Alors \(x \le r\) et \(-x \le r\) (produit de \(-r \le x\) par \(-1\)). Comme \(\lvert x \rvert\) est \(x\) ou \(-x\), \(\lvert x \rvert \le r\).
Inégalité triangulaire. Par l'encadrement, \(-\lvert x \rvert \le x \le \lvert x \rvert\) et \(-\lvert y \rvert \le y \le \lvert y \rvert\). En additionnant les deux encadrements, \(-(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert) \le x + y \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert\). La forme à crochets avec \(r = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \ge 0\) donne \(\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert\).
Seconde démonstration de l'inégalité triangulaire : par les carrés. Les nombres \(\lvert x + y \rvert\) et \(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert\) sont positifs, donc d'après la Proposition « Compatibilité de \(\le\) avec les opérations » il suffit de comparer leurs carrés, et \(\lvert x + y \rvert^2 = (x + y)^2\). Or $$ \begin{aligned} (\lvert x \rvert + \lvert y \rvert)^2 - (x + y)^2 &= \lvert x \rvert^2 + 2 \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert + \lvert y \rvert^2 - x^2 - 2xy - y^2 && \text{(développement)} \\ &= 2 \lvert xy \rvert - 2xy && (\lvert z \rvert^2 = z^2 \text{, produit}) \\ &= 2(\lvert xy \rvert - xy), \end{aligned} $$ la dernière égalité par factorisation. Comme \(xy \le \lvert xy \rvert\) par l'encadrement, ce nombre est positif : \((x + y)^2 \le (\lvert x \rvert + \lvert y \rvert)^2\), donc \(\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert\).
Inégalité triangulaire renversée. Écrivons \(x = (x - y) + y\). L'inégalité triangulaire donne \(\lvert x \rvert \le \lvert x - y \rvert + \lvert y \rvert\), donc \(\lvert x \rvert - \lvert y \rvert \le \lvert x - y \rvert\). En échangeant \(x\) et \(y\) on obtient \(\lvert y \rvert - \lvert x \rvert \le \lvert y - x \rvert = \lvert x - y \rvert\), par la symétrie appliquée à \(y - x = -(x - y)\). Donc \(-\lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \le \lvert x - y \rvert\), et la forme à crochets avec \(r = \lvert x - y \rvert \ge 0\) donne \(\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert\).
Les six points sont démontrés.

Soient \(x, y \in \mathbb{R}\). Rappelons que \(\max(a, b)\) est le plus grand de deux réels \(a\) et \(b\), le plus grand élément de \(\{a, b\}\), qui existe parce que l'ordre est total : \(\max(a, b) \le c \iff (a \le c \text{ et } b \le c)\), et, puisque \(\max(a, b)\) est l'un des deux nombres \(a\) et \(b\), \(\max(a, b) < c \iff (a < c \text{ et } b < c)\).
Les trois formes. Si \(x \ge 0\), alors \(-x \le 0 \le x\) et \(\max(x, -x) = x = \lvert x \rvert\). Si \(x < 0\), alors \(x < 0 < -x\) et \(\max(x, -x) = -x = \lvert x \rvert\). De plus \(\lvert x \rvert \ge 0\) et \(\lvert x \rvert^2 = x^2\), donc \(\lvert x \rvert\) est le réel positif dont le carré est \(x^2\), c'est-à-dire \(\sqrt{x^2}\).
Les formes à crochets. $$ \begin{aligned} \lvert x \rvert \le y &\iff \max(x, -x) \le y && \text{(premier point)} \\ &\iff (x \le y \text{ et } -x \le y) && \text{(propriété du maximum)} \\ &\iff -y \le x \le y, \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce que \(-x \le y \iff -y \le x\), par le produit par \(-1\). La même chaîne avec des inégalités strictes donne \(\lvert x \rvert < y \iff -y < x < y\).
Les formes opposées. Par totalité, \(\lvert x \rvert \ge y\) est la négation de \(\lvert x \rvert < y\), c'est-à-dire de (\(-y < x\) et \(x < y\)) ; cette négation est (\(x \le -y\) ou \(x \ge y\)). De même \(\lvert x \rvert > y\) est la négation de \(\lvert x \rvert \le y\), c'est-à-dire de (\(-y \le x\) et \(x \le y\)) ; cette négation est (\(x < -y\) ou \(x > y\)).
Les carrés. Les nombres \(\lvert x \rvert\) et \(\lvert y \rvert\) sont positifs, donc la Proposition « Compatibilité de \(\le\) avec les opérations » donne \(\lvert x \rvert \le \lvert y \rvert \iff \lvert x \rvert^2 \le \lvert y \rvert^2\), et \(\lvert x \rvert^2 = x^2\), \(\lvert y \rvert^2 = y^2\). En l'appliquant dans les deux sens, on obtient \(\lvert x \rvert = \lvert y \rvert \iff x^2 = y^2\), par antisymétrie.
Seconde démonstration de la forme à crochets : par disjonction des cas sur le signe de \(x\). Si \(x \ge 0\), alors \(\lvert x \rvert \le y \iff x \le y\) ; et \(-y \le x \le y\) se réduit aussi à \(x \le y\), car \(x \le y\) avec \(x \ge 0\) force \(y \ge 0\), donc \(-y \le 0 \le x\). Si \(x < 0\), alors \(\lvert x \rvert \le y \iff -x \le y \iff -y \le x\) ; et \(-y \le x \le y\) se réduit aussi à \(-y \le x\), car \(-y \le x < 0\) force \(y > 0 > x\), donc \(x \le y\). Dans les deux cas les deux énoncés coïncident.

Les majorations. L'inégalité triangulaire pour \(x\) et \(y\) est \(\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert\). Appliquée à \(x\) et \(-y\), elle donne \(\lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert -y \rvert = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert\), par la symétrie de la valeur absolue.
Les minorations. La minoration de \(\lvert x - y \rvert\) est l'inégalité triangulaire renversée de la Proposition « Propriétés de \(\lvert \cdot \rvert\) ». Pour \(\lvert x + y \rvert\), on l'applique à \(x\) et \(-y\) : $$ \begin{aligned} \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert &= \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert -y \rvert \big\rvert && \text{(symétrie de la valeur absolue)} \\ &\le \lvert x - (-y) \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité étant l'inégalité triangulaire renversée pour \(x\) et \(-y\) ; et \(\lvert x - (-y) \rvert = \lvert x + y \rvert\).
La somme de \(n\) termes, par récurrence. Soit \(P(n)\) l'énoncé : pour tous réels \(x_1, \dots, x_n\), \(\lvert x_1 + \dots + x_n \rvert \le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert\). Initialisation. Pour \(n = 1\) les deux membres sont égaux. Hérédité. Soit \(n \ge 1\) et supposons \(P(n)\) (hypothèse de récurrence). Pour des réels \(x_1, \dots, x_{n+1}\), $$ \begin{aligned} \lvert x_1 + \dots + x_n + x_{n+1} \rvert &\le \lvert x_1 + \dots + x_n \rvert + \lvert x_{n+1} \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert + \lvert x_{n+1} \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par l'hypothèse de récurrence, \(\lvert x_{n+1} \rvert\) étant ajouté aux deux membres. Comme \(P(1)\) est vraie et que \(P(n) \Rightarrow P(n + 1)\), d'après le principe de récurrence \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \ge 1\).

Chaque propriété se lit sur la propriété correspondante de la valeur absolue, de la Proposition « Propriétés de \(\lvert \cdot \rvert\) ». Soient \(x, y, z, a \in \mathbb{R}\) et \(r \ge 0\).
Positivité. \(d(x, y) = \lvert x - y \rvert \ge 0\), et \(\lvert x - y \rvert = 0 \iff x - y = 0 \iff x = y\).
Symétrie. $$ \begin{aligned} d(y, x) &= \lvert y - x \rvert && \text{(définition)} \\ &= \lvert -(x - y) \rvert && (y - x = -(x - y)) \\ &= \lvert x - y \rvert, \end{aligned} $$ la dernière égalité par la symétrie de la valeur absolue ; le membre de droite est \(d(x, y)\).
Inégalité triangulaire. $$ \begin{aligned} d(x, z) &= \lvert x - z \rvert && \text{(définition)} \\ &= \lvert (x - y) + (y - z) \rvert && \text{(en ajoutant et retranchant \(y\))} \\ &\le \lvert x - y \rvert + \lvert y - z \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par l'inégalité triangulaire ; le membre de droite est \(d(x, y) + d(y, z)\).
Forme à crochets. $$ \begin{aligned} d(x, a) \le r &\iff \lvert x - a \rvert \le r && \text{(définition)} \\ &\iff -r \le x - a \le r && \text{(forme à crochets)} \\ &\iff a - r \le x \le a + r && \text{(en ajoutant \(a\))} \\ &\iff x \in [a - r, a + r], \end{aligned} $$ la dernière équivalence par la définition de l'intervalle. La même chaîne avec des inégalités strictes, par la Proposition « Valeur absolue et ordre », donne \(d(x, a) < r \iff x \in \,]a - r, a + r[\).

Démontrons d'abord le second point, par l'absurde ; le premier point en est alors un cas particulier.
Second point. Supposons par l'absurde que \(x \le y + \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\) et que \(x > y\). Alors \(x - y > 0\). Prenons \(\varepsilon = \frac{x - y}{2}\), qui est strictement positif et vérifie \(x - y = 2\varepsilon\). Alors $$ \begin{aligned} \varepsilon &= (x - y) - \varepsilon && (x - y = 2\varepsilon) \\ &= x - (y + \varepsilon) && \text{(regroupement)} \\ &\le 0, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par la règle de l'addition : on ajoute \(-(y + \varepsilon)\) aux deux membres de l'hypothèse \(x \le y + \varepsilon\). Donc \(\varepsilon \le 0\), ce qui contredit \(\varepsilon > 0\). Contradiction ! Donc l'hypothèse est fausse, et \(x \le y\).
Premier point. Supposons que \(\lvert a \rvert \le \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\). Alors \(\lvert a \rvert \le 0 + \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\), donc \(\lvert a \rvert \le 0\) d'après le second point, appliqué avec \(x = \lvert a \rvert\) et \(y = 0\). Comme \(\lvert a \rvert \ge 0\), on obtient \(\lvert a \rvert = 0\), donc \(a = 0\) par la Proposition « Propriétés de \(\lvert \cdot \rvert\) ».

Unicité. Soient \(a\) et \(a'\) deux plus grands éléments de \(A\). Comme \(a'\) est un majorant de \(A\) et que \(a \in A\), \(a \le a'\) ; comme \(a\) est un majorant de \(A\) et que \(a' \in A\), \(a' \le a\). Par antisymétrie, \(a = a'\). Pour les plus petits éléments, le même raisonnement, avec les inégalités renversées, donne la même conclusion.
Parties finies, par récurrence. Soit \(P(n)\) l'énoncé : toute partie de \(\mathbb{R}\) à \(n\) éléments a un plus grand élément et un plus petit élément. Initialisation. Une partie \(\{x\}\) à un élément a \(x\) pour plus grand et pour plus petit élément. Hérédité. Soit \(n \ge 1\) et supposons \(P(n)\) (hypothèse de récurrence). Soit \(A\) une partie à \(n + 1\) éléments, \(x\) l'un de ses éléments, et \(A' = A \setminus \{x\}\), qui a \(n\) éléments. Par l'hypothèse de récurrence, \(A'\) a un plus grand élément \(m\). Par totalité, \(x \le m\) ou \(m \le x\). Si \(x \le m\), alors \(m\) est le plus grand élément de \(A\) : \(m \in A\), et tout élément de \(A\) est \(x\) ou un élément de \(A'\), donc est au plus \(m\). Si \(m \le x\), alors \(x\) est le plus grand élément de \(A\) : tout élément de \(A'\) est au plus \(m \le x\). Le même raisonnement, avec les inégalités renversées, donne le plus petit élément. Comme \(P(1)\) est vraie et que \(P(n) \Rightarrow P(n + 1)\) pour \(n \ge 1\), d'après le principe de récurrence \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \ge 1\), et toute partie finie non vide a un plus grand et un plus petit élément.

Démontrons les deux implications.
(\(\Leftarrow\)) Supposons que \(K \ge 0\) vérifie \(\lvert x \rvert \le K\) pour tout \(x \in A\). Par la forme à crochets, \(-K \le x \le K\) pour tout \(x \in A\) : donc \(-K\) est un minorant et \(K\) un majorant de \(A\), et \(A\) est bornée.
(\(\Rightarrow\)) Supposons \(A\) bornée : soit \(m\) un minorant et \(M\) un majorant de \(A\). Posons \(K = \max(\lvert m \rvert, \lvert M \rvert)\), de sorte que \(K \ge 0\). Pour \(x \in A\), $$ \begin{aligned} -K &\le -\lvert m \rvert && (\lvert m \rvert \le K) \\ &\le m && \text{(encadrement de \(m\))} \\ &\le x && \text{(\(m\) est un minorant)} \\ &\le M && \text{(\(M\) est un majorant)} \\ &\le \lvert M \rvert && \text{(encadrement de \(M\))} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(\lvert M \rvert \le K\). Donc \(-K \le x \le K\), et \(\lvert x \rvert \le K\) par la forme à crochets. D'où l'existence de \(K\).

Ces deux points sont les deuxième et troisième points de la Proposition « Plus grand élément et borne supérieure » du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre, lue dans \((\mathbb{R}, \le)\) ; ils sont démontrés ici pour les réels.
Premier point. Soit \(M = \max A\). Alors \(M\) est un majorant de \(A\). Soit \(M'\) un autre majorant de \(A\) : puisque \(M \in A\), \(M \le M'\). Donc \(M\) est le plus petit des majorants : \(M = \sup A\).
Second point. Supposons que \(s = \sup A\) existe et que \(s \in A\). Alors \(s\) est un majorant de \(A\) qui appartient à \(A\) : par la définition du plus grand élément c'est un plus grand élément de \(A\), et c'est le plus grand élément par unicité.
La borne inférieure. Les mêmes raisonnements, avec les inégalités renversées, donnent les énoncés pour le plus petit élément et la borne inférieure.
Seconde démonstration du premier point : par la forme \(\varepsilon\). Soit \(M = \max A\). Le nombre \(M\) est un majorant de \(A\), et pour tout \(\varepsilon > 0\) l'élément \(M \in A\) vérifie \(M - \varepsilon < M \le M\). Par la Proposition « Caractérisation \(\varepsilon\) de \(\sup\) et \(\inf\) », \(M = \sup A\).

Démontrons la première équivalence ; la borne inférieure est traitée à la fin.
En relisant la définition. L'énoncé « \(s = \sup A\) » dit que \(s\) est un majorant de \(A\) et que \(s \le M\) pour tout majorant \(M\). Par totalité, « \(s \le M\) » est faux exactement lorsque \(M < s\), donc la seconde condition dit qu'aucun réel \(M < s\) n'est un majorant de \(A\). Les réels \(M < s\) sont exactement les nombres \(s - \varepsilon\) avec \(\varepsilon = s - M > 0\), donc $$ \begin{aligned} s = \sup A &\iff s \text{ est un majorant et } \forall \varepsilon > 0, \ s - \varepsilon \text{ n'est pas un majorant} && \text{(relecture)} \\ &\iff s \text{ est un majorant et } \forall \varepsilon > 0, \ \exists x \in A, \ x > s - \varepsilon && \text{(négation de « majorant »)} \\ &\iff s \text{ est un majorant et } \forall \varepsilon > 0, \ \exists x \in A, \ s - \varepsilon < x \le s, \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce que \(x \le s\) vaut pour tout \(x \in A\) dès que \(s\) est un majorant. La borne inférieure se traite de la même façon, avec les inégalités renversées : \(i = \inf A\) lorsque \(i\) est un minorant et qu'aucun réel \(m > i\) n'est un minorant, c'est-à-dire, en écrivant \(m = i + \varepsilon\), lorsque pour tout \(\varepsilon > 0\) un \(x \in A\) vérifie \(x < i + \varepsilon\), et alors \(i \le x\).
Seconde démonstration : par la définition et par l'absurde. (\(\Rightarrow\)) Supposons \(s = \sup A\). Par définition, \(s\) est un majorant. Soit \(\varepsilon > 0\). Le réel \(s - \varepsilon\) n'est pas un majorant : sinon \(s \le s - \varepsilon\), puisque \(s\) est le plus petit majorant, ce qui est faux. Donc un \(x \in A\) vérifie \(x > s - \varepsilon\), et \(x \le s\) puisque \(s\) majore \(A\). (\(\Leftarrow\)) Supposons les deux conditions vérifiées, et soit \(M\) un majorant de \(A\). Supposons par l'absurde que \(M < s\), et posons \(\varepsilon = s - M > 0\). Par la seconde condition un \(x \in A\) vérifie \(x > s - \varepsilon = M\), ce qui contredit le fait que \(M\) est un majorant. Contradiction ! Donc \(s \le M\) pour tout majorant \(M\) : \(s\) est le plus petit majorant, c'est-à-dire \(s = \sup A\).

La borne supérieure. Admise ici : la démonstration dépend d'une construction de \(\mathbb{R}\), que le chapitre ne fait pas (voir le Texte « Pour aller plus loin »). C'est la propriété de la borne supérieure de \(\mathbb{R}\).
La borne inférieure. La borne inférieure se déduit de la borne supérieure par symétrie. Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) minorée, et \(-A = \{-x \mid x \in A\}\). La partie \(-A\) est non vide et majorée. Elle est non vide puisque \(A\) l'est. Soit \(m\) un minorant de \(A\). Pour tout \(x \in A\), \(m \le x\), donc \(-x \le -m\) (produit par \(-1\)) : \(-m\) est un majorant de \(-A\). Par la propriété de la borne supérieure, \(s = \sup(-A)\) existe. Le réel \(-s\) est la borne inférieure de \(A\). Pour tout \(x \in A\), \(-x \in -A\), donc \(-x \le s\), c'est-à-dire \(-s \le x\) : \(-s\) est un minorant de \(A\). Soit \(m\) un minorant quelconque de \(A\). Comme ci-dessus, \(-m\) est un majorant de \(-A\), donc \(s \le -m\) puisque \(s\) est le plus petit majorant, c'est-à-dire \(m \le -s\). Donc \(-s\) est le plus grand des minorants de \(A\) : \(-s = \inf A\). En bref, les minorants de \(A\) sont les opposés des majorants de \(-A\) (et réciproquement, par le même calcul lu à l'envers), et \(\inf A = -\sup(-A)\).

Soit \(a \ge 0\).
Unicité. Soient \(r, r' \ge 0\) avec \(r^2 = r'^2 = a\). Par la Proposition « Compatibilité de \(\le\) avec les opérations », pour des nombres positifs \(r^2 \le r'^2\) donne \(r \le r'\), et \(r'^2 \le r^2\) donne \(r' \le r\). Par antisymétrie, \(r = r'\).
Existence, par la borne supérieure. Soit \(X = \{x \in \mathbb{R}_+ \mid x^2 \le a\}\), et suivons la Méthode « Se servir de la propriété de la borne supérieure ». (1) \(X\) est non vide : \(0 \in X\), puisque \(0 \le a\). (2) \(X\) est majorée par \(a + 1\) : soit \(x > a + 1\). Alors \(x > 1\), donc \(x^2 > x\) (produit strict de \(1 < x\) par \(x > 0\)), donc \(x^2 > x > a + 1 > a\) et \(x \notin X\) ; ainsi tout élément de \(X\) est au plus \(a + 1\). (3) Par la propriété de la borne supérieure, \(s = \sup X\) existe, et \(s \ge 0\) puisque \(0 \in X\). (4) Montrons \(s^2 = a\) en excluant \(s^2 < a\) et \(s^2 > a\).
\(s^2 < a\) est impossible. Supposons \(s^2 < a\). Posons \(h = \min\left(1, \frac{a - s^2}{2s + 1}\right)\), qui est strictement positif. Comme \(h \le 1\), \(h^2 \le h\), et $$ \begin{aligned} (s + h)^2 &= s^2 + 2sh + h^2 && \text{(développement)} \\ &\le s^2 + (2s + 1)h && (h^2 \le h) \\ &\le s^2 + (a - s^2) && \text{(\(h \le \frac{a - s^2}{2s + 1}\))} \\ &= a. \end{aligned} $$ Donc \(s + h \in X\), et \(s + h > s\), ce qui contredit le fait que \(s\) est un majorant de \(X\).
\(s^2 > a\) est impossible. Supposons \(s^2 > a\). Alors \(s > 0\), puisque \(s \ge 0\) et \(s^2 > a \ge 0\). Posons \(h = \min\left(s, \frac{s^2 - a}{2s}\right)\), qui est strictement positif. Alors \(s - h \ge 0\), et $$ \begin{aligned} (s - h)^2 &= s^2 - 2sh + h^2 && \text{(développement)} \\ &\ge s^2 - 2sh && (h^2 \ge 0) \\ &\ge s^2 - (s^2 - a) && \text{(\(h \le \frac{s^2 - a}{2s}\))} \\ &= a. \end{aligned} $$ Pour tout \(x \in X\), \(x^2 \le a \le (s - h)^2\), donc \(x \le s - h\) par les carrés de nombres positifs : \(s - h\) est un majorant de \(X\). Comme \(s - h < s\), cela contredit le fait que \(s\) est le plus petit majorant.
Par totalité, \(s^2 = a\) : le réel \(r = s \ge 0\) vérifie \(r^2 = a\).
Seconde démonstration de l'existence : par le théorème des valeurs intermédiaires. La fonction \(x \longmapsto x^2\) est continue sur le segment \([0, a + 1]\), et \(0^2 = 0 \le a \le (a + 1)^2\), puisque \((a + 1)^2 - a = a^2 + a + 1 > 0\). Le théorème des valeurs intermédiaires, cité ici, donne \(r \in [0, a + 1]\) avec \(r^2 = a\). Sa propre démonstration repose sur la propriété de la borne supérieure, de la même façon que la première.

Inclusion. Supposons \(A \subset B\). Le nombre \(\sup B\) est un majorant de \(B\), donc de \(A\), puisque \(A \subset B\). Comme \(\sup A\) est le plus petit majorant de \(A\), \(\sup A \le \sup B\).
Réunion. Soit \(m = \max(\sup A, \sup B)\). Tout élément de \(A \cup B\) appartient à \(A\), et est au plus \(\sup A \le m\), ou appartient à \(B\), et est au plus \(\sup B \le m\) : donc \(m\) est un majorant de \(A \cup B\), qui est ainsi non vide et majorée, et \(\sup(A \cup B)\) existe par la propriété de la borne supérieure. Comme \(A \subset A \cup B\) et \(B \subset A \cup B\), le premier point donne \(\sup A \le \sup(A \cup B)\) et \(\sup B \le \sup(A \cup B)\), donc \(m \le \sup(A \cup B)\). Réciproquement \(\sup(A \cup B) \le m\), puisque \(m\) est un majorant de \(A \cup B\). Par antisymétrie, \(\sup(A \cup B) = m\).
Seconde démonstration de la réunion : directement, sans l'existence de \(\sup(A \cup B)\). Le nombre \(m\) est un majorant de \(A \cup B\), comme ci-dessus. Soit \(s < m\). Alors \(m\) est \(\sup A\) ou \(\sup B\) ; disons \(m = \sup A\), l'autre cas étant le même avec \(B\). Alors \(s < \sup A\), donc \(s\) n'est pas un majorant de \(A\), donc pas un majorant de \(A \cup B\). Ainsi aucun nombre inférieur à \(m\) n'est un majorant de \(A \cup B\) : \(m\) est le plus petit majorant, \(m = \sup(A \cup B)\).
La borne inférieure. Soient \(A\) et \(B\) minorées. Par le calcul de la Démonstration du Théorème « Existence de \(\sup\) et \(\inf\) dans \(\mathbb{R}\) », \(-A\) et \(-B\) sont non vides et majorées, avec \(\sup(-A) = -\inf A\) et \(\sup(-B) = -\inf B\). Si \(A \subset B\), alors \(-A \subset -B\), donc \(\sup(-A) \le \sup(-B)\), c'est-à-dire \(-\inf A \le -\inf B\), et \(\inf B \le \inf A\). De plus \(-(A \cup B) = (-A) \cup (-B)\), donc \(-\inf(A \cup B) = \sup((-A) \cup (-B)) = \max(-\inf A, -\inf B) = -\min(\inf A, \inf B)\), et \(\inf(A \cup B) = \min(\inf A, \inf B)\).

La somme et le multiple, par la caractérisation \(\varepsilon\). Soit \(\sigma = \sup A + \sup B\). Pour \(a \in A\) et \(b \in B\), \(a \le \sup A\) et \(b \le \sup B\), donc \(a + b \le \sigma\) : \(\sigma\) est un majorant de \(A + B\), qui est non vide. Soit \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation \(\varepsilon\) appliquée avec \(\frac{\varepsilon}{2}\) à \(A\) et à \(B\), il existe \(a \in A\) et \(b \in B\) avec \(\sup A - \frac{\varepsilon}{2} < a\) et \(\sup B - \frac{\varepsilon}{2} < b\). En additionnant, \(a + b > \sigma - \varepsilon\). Par la caractérisation \(\varepsilon\), \(\sigma = \sup(A + B)\). Pour le multiple, \(a \le \sup A\) donne \(\lambda a \le \lambda \sup A\) pour \(a \in A\) (produit par \(\lambda > 0\)) : \(\lambda \sup A\) est un majorant de la partie non vide \(\lambda A\). Soit \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation \(\varepsilon\) appliquée avec \(\frac{\varepsilon}{\lambda}\), un \(a \in A\) vérifie \(a > \sup A - \frac{\varepsilon}{\lambda}\), donc \(\lambda a > \lambda \sup A - \varepsilon\) (produit par \(\lambda > 0\)). Par la caractérisation \(\varepsilon\), \(\sup(\lambda A) = \lambda \sup A\).
L'opposé. Par le produit par \(-1\), \(m \le x\) pour tout \(x \in A\) si et seulement si \(-x \le -m\) pour tout \(x \in A\) : les minorants de \(A\) sont les opposés des majorants de \(-A\). Donc \(A\) est minorée si et seulement si \(-A\) est majorée, et le plus petit majorant de \(-A\) est l'opposé du plus grand minorant de \(A\) : \(\sup(-A) = -\inf A\). Appliqué à la partie \(-A\), dont l'opposée est \(A\), cela donne : \(-A\) est minorée si et seulement si \(A\) est majorée, et \(\sup A = -\inf(-A)\), c'est-à-dire \(\inf(-A) = -\sup A\).
La borne inférieure. Soient \(A\) et \(B\) minorées, de sorte que \(-A\) et \(-B\) sont majorées. Comme \(-(A + B) = (-A) + (-B)\), le point de la somme et le point de l'opposé donnent que \(A + B\) est minorée et \(\inf(A + B) = -\sup((-A) + (-B)) = -(\sup(-A) + \sup(-B)) = \inf A + \inf B\). De même \(-(\lambda A) = \lambda(-A)\) donne \(\inf(\lambda A) = -\sup(\lambda(-A)) = -\lambda \sup(-A) = \lambda \inf A\).
Seconde démonstration de la somme et du multiple : par la définition. Pour la somme, le nombre \(\sigma\) est un majorant de \(A + B\), comme ci-dessus. Soit \(s < \sigma\). Alors \(s - \sup B < \sup A\), donc \(s - \sup B\) n'est pas un majorant de \(A\) : un \(a \in A\) vérifie \(a > s - \sup B\), c'est-à-dire \(s - a < \sup B\). Alors \(s - a\) n'est pas un majorant de \(B\) : un \(b \in B\) vérifie \(b > s - a\), c'est-à-dire \(a + b > s\). Donc \(s\) n'est pas un majorant de \(A + B\). Ainsi \(\sigma\) est le plus petit majorant : \(\sigma = \sup(A + B)\). Pour le multiple, \(\lambda \sup A\) est un majorant de \(\lambda A\), comme ci-dessus. Soit \(s < \lambda \sup A\). Alors \(\frac{s}{\lambda} < \sup A\) (produit par \(\frac1\lambda > 0\)), donc un \(a \in A\) vérifie \(a > \frac{s}{\lambda}\), c'est-à-dire \(\lambda a > s\) : \(s\) n'est pas un majorant de \(\lambda A\). Donc \(\sup(\lambda A) = \lambda \sup A\).

Les deux formulations sont équivalentes : « \(\mathbb{N}\) n'est pas majoré » est la négation de \(\exists x \in \mathbb{R}, \ \forall N \in \mathbb{N}, \ N \le x\), c'est-à-dire \(\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ N > x\), par la Méthode « Nier un énoncé quantifié ». Démontrons que \(\mathbb{N}\) n'est pas majoré, par l'absurde.
Supposons par l'absurde que \(\mathbb{N}\) soit majoré. Il est non vide, donc par la propriété de la borne supérieure \(a = \sup \mathbb{N}\) existe. Le réel \(a - 1 < a\) n'est pas un majorant de \(\mathbb{N}\), puisque \(a\) est le plus petit majorant : un \(n \in \mathbb{N}\) vérifie \(n > a - 1\). Alors \(n + 1 > a\), et \(n + 1 \in \mathbb{N}\), ce qui contredit le fait que \(a\) est un majorant de \(\mathbb{N}\). Contradiction ! Donc l'hypothèse est fausse : \(\mathbb{N}\) n'est pas majoré, et pour tout réel \(x\) un entier naturel \(N\) vérifie \(N > x\).

Premier point. Soit \(\varepsilon > 0\). Par la propriété d'Archimède appliquée au réel \(\frac1\varepsilon\), un \(n \in \mathbb{N}\) vérifie \(n > \frac1\varepsilon\). Alors \(n > 0\), donc \(n \ge 1\) et \(n \in \mathbb{N}^*\), et l'inversion des nombres strictement positifs \(\frac1\varepsilon < n\) donne \(\frac1n < \varepsilon\).
Deuxième point. Soient \(x > 0\) et \(y \in \mathbb{R}\). Par la propriété d'Archimède appliquée au réel \(\frac{y}{x}\), un \(n \in \mathbb{N}\) vérifie \(n > \frac{y}{x}\), donc \(nx > y\) (produit par \(x > 0\)).
Troisième point. Soit \(a \ge 0\) tel que \(a \le \frac1n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), et soit \(\varepsilon > 0\). Par le premier point un \(n \in \mathbb{N}^*\) vérifie \(\frac1n < \varepsilon\), donc \(a \le \frac1n < \varepsilon\) et \(\lvert a \rvert = a \le \varepsilon\). Cela vaut pour tout \(\varepsilon > 0\), donc \(a = 0\) par la Proposition « Un réel plus petit que tout réel strictement positif est nul ».

Première démonstration, par la borne supérieure. Soit \(E\) une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) qui est majorée. Par la propriété de la borne supérieure, \(s = \sup E\) existe. Par la caractérisation \(\varepsilon\) avec \(\varepsilon = 1\), un \(x \in E\) vérifie \(s - 1 < x \le s\). Affirmons que \(x\) est le plus grand élément de \(E\). Supposons par l'absurde qu'un \(y \in E\) vérifie \(y > x\). Alors $$ \begin{aligned} 0 &< y - x && (y > x) \\ &\le s - x && (y \le s) \\ &< 1, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(x > s - 1\). Donc l'entier \(y - x\) est strictement compris entre \(0\) et \(1\), ce qui est impossible, puisqu'un entier strictement positif est au moins \(1\). Contradiction ! Donc \(y \le x\) pour tout \(y \in E\), et comme \(x \in E\), \(x\) est le plus grand élément de \(E\).
Seconde démonstration, par le plus petit élément de \(\mathbb{N}\). Soit \(M\) un majorant réel de \(E\). Par la propriété d'Archimède, un \(N \in \mathbb{N}\) vérifie \(N > M\), donc \(N\) est un majorant entier de \(E\). La partie \(F = \{N - a \mid a \in E\}\) est une partie non vide de \(\mathbb{N}\) : pour \(a \in E\), \(N - a\) est un entier, et \(N - a > 0\) puisque \(a \le M < N\). Par la Proposition « Plus petit élément », \(F\) a un plus petit élément \(N - a_0\), avec \(a_0 \in E\). Pour tout \(a \in E\), \(N - a_0 \le N - a\), donc \(a \le a_0\). Donc \(a_0 \in E\) est le plus grand élément de \(E\).

Existence. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(E = \{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\}\). La partie \(E\) est non vide : par la propriété d'Archimède un \(N \in \mathbb{N}\) vérifie \(N > -x\), donc \(-N < x\) et \(-N \in E\). Elle est majorée par \(x\). Par la Proposition « Une partie de \(\mathbb{Z}\) majorée a un plus grand élément », \(E\) a un plus grand élément \(n\). Alors \(n \le x\) puisque \(n \in E\), et \(n + 1 \notin E\) puisque \(n + 1\) est supérieur au plus grand élément, donc \(n + 1 > x\). D'où \(n \le x < n + 1\).
Unicité. Soient \(n_1\) et \(n_2\) des entiers tels que \(n_1 \le x < n_1 + 1\) et \(n_2 \le x < n_2 + 1\). De \(n_1 \le x < n_2 + 1\) vient \(n_1 - n_2 < 1\), et de \(n_2 \le x < n_1 + 1\) vient \(n_2 - n_1 < 1\), c'est-à-dire \(n_1 - n_2 > -1\). Donc l'entier \(n_1 - n_2\) vérifie \(-1 < n_1 - n_2 < 1\) : il est nul, et \(n_1 = n_2\).
Seconde démonstration de l'unicité : par symétrie. De \(n_1 \le x < n_2 + 1\) vient \(n_1 < n_2 + 1\), donc \(n_1 \le n_2\), un entier strictement inférieur à \(n_2 + 1\) étant au plus \(n_2\). En échangeant les rôles de \(n_1\) et \(n_2\) on obtient \(n_2 \le n_1\). Par antisymétrie, \(n_1 = n_2\).

Soient \(x, y \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{Z}\).
Encadrement. Par la définition, \(\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1\). En ajoutant \(-1\) à l'inégalité de droite on obtient \(x - 1 < \lfloor x \rfloor\), et avec \(\lfloor x \rfloor \le x\) cela donne \(x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x\).
Caractérisation. (\(\Rightarrow\)) Si \(\lfloor x \rfloor = n\), l'encadrement donne \(n \le x < n + 1\). (\(\Leftarrow\)) Si \(n \le x < n + 1\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), alors \(n\) a la propriété qui définit \(\lfloor x \rfloor\), donc \(n = \lfloor x \rfloor\) par l'unicité du Théorème « Partie entière ». Si \(x \in \mathbb{Z}\), alors \(x \le x < x + 1\), donc \(\lfloor x \rfloor = x\) ; réciproquement, si \(\lfloor x \rfloor = x\), alors \(x \in \mathbb{Z}\) puisque \(\lfloor x \rfloor\) est un entier.
Translation par un entier. En ajoutant \(n\) à l'encadrement \(\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1\) on obtient \(\lfloor x \rfloor + n \le x + n < \lfloor x \rfloor + n + 1\). Comme \(\lfloor x \rfloor + n \in \mathbb{Z}\), la caractérisation donne \(\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n\).
Plus grand entier. Supposons \(n \le x\). Alors \(n \le x < \lfloor x \rfloor + 1\) par l'encadrement, donc \(n < \lfloor x \rfloor + 1\) et \(n \le \lfloor x \rfloor\), un entier strictement inférieur à \(\lfloor x \rfloor + 1\) étant au plus \(\lfloor x \rfloor\). Avec \(\lfloor x \rfloor \le x\), cela montre que \(\lfloor x \rfloor\) est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\).
Croissance. Supposons \(x \le y\). L'entier \(\lfloor x \rfloor\) vérifie \(\lfloor x \rfloor \le x \le y\), donc \(\lfloor x \rfloor \le \lfloor y \rfloor\) par le paragraphe précédent, appliqué à \(y\) et à l'entier \(\lfloor x \rfloor\).
Partie entière par excès. L'encadrement de \(-x\) est \(\lfloor -x \rfloor \le -x < \lfloor -x \rfloor + 1\) ; le produit par \(-1\) donne \(-\lfloor -x \rfloor - 1 < x \le -\lfloor -x \rfloor\). Donc \(m = -\lfloor -x \rfloor\) est un entier tel que \(m - 1 < x \le m\). C'est le seul : si \(m'\) en est un autre, \(m - 1 < x \le m'\) donne \(m - 1 < m'\), donc \(m \le m'\), et symétriquement \(m' \le m\). Donc \(\lceil x \rceil\) existe, est unique, et vaut \(-\lfloor -x \rfloor\). Enfin, soit \(k\) un entier tel que \(k \ge x\). Alors \(k \ge x > m - 1\) donne \(k > m - 1\), donc \(k \ge m\) : \(\lceil x \rceil\) est le plus petit entier supérieur ou égal à \(x\).

Démontrons les deux implications.
(\(\Rightarrow\)) Un intervalle a la propriété. Chaque forme est définie par au plus deux conditions sur \(t\) : une condition inférieure « \(a \le t\) » ou « \(a < t\) », et une condition supérieure « \(t \le b\) » ou « \(t < b\) » ; une condition absente est toujours vraie. Soit \(I\) un intervalle, \(x, y \in I\) et \(t \in [x, y]\). La condition inférieure est vérifiée par \(x\), et \(t \ge x\), donc elle est vérifiée par \(t\) : si c'est \(a \le x\), alors \(a \le x \le t\), et si c'est \(a < x\), alors \(a < x \le t\). De même la condition supérieure est vérifiée par \(y\), et \(t \le y\), donc elle est vérifiée par \(t\). Donc \(t \in I\), et \([x, y] \subset I\).
(\(\Leftarrow\)) Une partie qui a la propriété est un intervalle. Soit \(I\) une partie de \(\mathbb{R}\) telle que \([x, y] \subset I\) pour tous \(x, y \in I\). Si \(I = \emptyset\), alors \(I = \,]0, 0[\) est un intervalle. Supposons \(I \ne \emptyset\). Soit \(a = \inf I\) si \(I\) est minorée et \(a = -\infty\) sinon, et soit \(b = \sup I\) si \(I\) est majorée et \(b = +\infty\) sinon ; la borne inférieure et la borne supérieure existent par le Théorème « Existence de \(\sup\) et \(\inf\) dans \(\mathbb{R}\) ».
Étape 1 : les bornes. Tout élément de \(I\) est au moins \(a\) lorsque \(a\) est réel, et au plus \(b\) lorsque \(b\) est réel, puisque \(a\) est un minorant et \(b\) un majorant de \(I\).
Étape 2 : \(]a, b[ \,\subset I\). Soit \(z\) un réel tel que \(a < z < b\). Comme \(z > a\), \(z\) n'est pas un minorant de \(I\) : si \(a\) est réel, parce que \(a\) est le plus grand minorant ; si \(a = -\infty\), parce que \(I\) n'a pas de minorant. Donc un \(x \in I\) vérifie \(x < z\). De même, comme \(z < b\), un \(y \in I\) vérifie \(y > z\). Alors \(z \in [x, y]\), et \([x, y] \subset I\) par l'hypothèse sur \(I\), donc \(z \in I\).
Étape 3 : les extrémités. Comme \(I \ne \emptyset\), \(a \le b\). Si \(a = b\) est réel, alors \(]a, b[ \,= \emptyset\) et \(I \subset [a, a]\), donc \(I = \{a\} = [a, a]\). Si \(a < b\), les étapes 1 et 2 montrent que \(I\) est formée des nombres de \(]a, b[\), auxquels s'ajoutent \(a\) si \(a\) est réel et \(a \in I\), et \(b\) si \(b\) est réel et \(b \in I\). Quand \(a\) et \(b\) sont réels, les quatre possibilités donnent \(]a, b[\), \([a, b[\), \(]a, b]\) ou \([a, b]\) ; quand \(b = +\infty\), elles donnent \(]a, +\infty[\) ou \([a, +\infty[\) (\(]-\infty, +\infty[\) si \(a = -\infty\) aussi) ; quand \(a = -\infty\), elles donnent \(]-\infty, b[\) ou \(]-\infty, b]\). Dans tous les cas \(I\) est un intervalle.

Par le Théorème « Caractérisation des intervalles », une partie est un intervalle si et seulement si elle contient \([x, y]\) pour tous ses éléments \(x\) et \(y\).
Intersection. Soient \(x, y \in I \cap J\). Comme \(x, y \in I\) et que \(I\) est un intervalle, \([x, y] \subset I\) ; de même \([x, y] \subset J\). Donc \([x, y] \subset I \cap J\), et \(I \cap J\) est un intervalle.
Réunion de deux intervalles qui se rencontrent. Soit \(c \in I \cap J\), soient \(x, y \in I \cup J\) et soit \(t \in [x, y]\). Par totalité, \(t \le c\) ou \(t \ge c\). Supposons \(t \le c\) : alors \(x \le t \le c\). Si \(x \in I\), alors \(x, c \in I\) et \(t \in [x, c]\), donc \(t \in I\) ; si \(x \in J\), alors \(x, c \in J\) et de même \(t \in J\). Supposons \(t \ge c\) : alors \(c \le t \le y\), et de même \(t \in I\) si \(y \in I\) et \(t \in J\) si \(y \in J\). Dans tous les cas \(t \in I \cup J\). Donc \([x, y] \subset I \cup J\), et \(I \cup J\) est un intervalle.
Contre-exemples. La partie \([0, 1] \cup [2, 3]\) contient \(1\) et \(2\) mais pas \(\frac32 \in [1, 2]\). La partie \([0, 1[ \,\cup\, ]1, 2]\) contient \(0\) et \(2\) mais pas \(1 \in [0, 2]\). Par le Théorème, aucune n'est un intervalle.

Démontrons les deux énoncés par l'absurde, en employant que la différence de deux rationnels, et le quotient de deux rationnels de diviseur non nul, sont rationnels.
La somme. Supposons par l'absurde que \(r + x = q\) avec \(q \in \mathbb{Q}\). Alors \(x = q - r\) est une différence de deux rationnels, donc \(x \in \mathbb{Q}\), ce qui contredit \(x \notin \mathbb{Q}\). Contradiction ! Donc \(r + x\) est irrationnel.
Le produit. Soit \(r \ne 0\). Supposons par l'absurde que \(rx = q\) avec \(q \in \mathbb{Q}\). Alors \(x = \frac{q}{r}\) est un quotient de deux rationnels avec \(r \ne 0\), donc \(x \in \mathbb{Q}\), ce qui est une contradiction. Donc \(rx\) est irrationnel.

Soit \(n \in \mathbb{N}\) un nombre qui n'est pas le carré d'un entier ; alors \(n \ge 2\), puisque \(0 = 0^2\) et \(1 = 1^2\).
Première démonstration, par l'exposant d'un nombre premier. Considérons la décomposition de \(n\) en facteurs premiers. Si tous les exposants étaient pairs, \(n\) serait le carré du produit des facteurs premiers élevés à la moitié de leurs exposants ; donc un nombre premier \(\ell\) a un exposant impair \(\alpha\) dans \(n\). Supposons par l'absurde que \(\sqrt{n}\) soit rationnel : \(\sqrt{n} = \frac{p}{q}\) avec \(p, q \in \mathbb{N}^*\). Alors \(nq^2 = p^2\). Par l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, l'exposant de \(\ell\) est le même des deux côtés. Dans \(p^2\) il vaut \(2\beta\), où \(\beta\) est l'exposant de \(\ell\) dans \(p\), puisque élever au carré double tous les exposants : il est pair. Dans \(nq^2\) il vaut \(\alpha + 2\gamma\), où \(\gamma\) est l'exposant de \(\ell\) dans \(q\) : il est impair. Un nombre impair n'est pas égal à un nombre pair. Contradiction ! Donc \(\sqrt{n}\) est irrationnel.
Seconde démonstration, par descente. Supposons par l'absurde que \(\sqrt{n}\) soit rationnel. L'ensemble \(S = \{q \in \mathbb{N}^* \mid q\sqrt{n} \in \mathbb{N}\}\) est non vide : il contient un dénominateur de \(\sqrt{n}\). Par la Proposition « Plus petit élément », il a un plus petit élément \(q\). Le nombre \(\sqrt{n}\) n'est pas un entier, car alors \(n = (\sqrt{n})^2\) serait le carré d'un entier. Donc avec \(m = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\), \(m \le \sqrt{n}\) et \(m \ne \sqrt{n}\), d'où \(0 < \sqrt{n} - m < 1\). Posons \(q' = q(\sqrt{n} - m) = q\sqrt{n} - qm\). C'est un entier, comme différence des entiers \(q\sqrt{n}\) et \(qm\), et \(0 < q' < q\), par le produit de \(0 < \sqrt{n} - m < 1\) par \(q > 0\). De plus $$ \begin{aligned} q'\sqrt{n} &= (q\sqrt{n} - qm)\sqrt{n} && \text{(définition de \(q'\))} \\ &= qn - m(q\sqrt{n}), \end{aligned} $$ la dernière égalité par développement, puisque \(\sqrt{n}\sqrt{n} = n\). Ce nombre est un entier, car \(qn\), \(m\) et \(q\sqrt{n}\) sont des entiers. Donc \(q' \in S\) et \(q' < q\), ce qui contredit la minimalité de \(q\). Contradiction ! Donc \(\sqrt{n}\) est irrationnel.

Premier point. Le nombre \(r_n\) est le quotient de l'entier \(\lfloor 10^n x \rfloor\) par \(10^n\), donc \(r_n \in \mathbb{D}\). L'encadrement de la partie entière, appliqué à \(t = 10^n x\), est \(\lfloor 10^n x \rfloor \le 10^n x < \lfloor 10^n x \rfloor + 1\). En divisant par \(10^n > 0\) on obtient \(r_n \le x < r_n + 10^{-n}\), et en retranchant \(r_n\) on obtient \(0 \le x - r_n < 10^{-n}\).
Second point. Soit \(k = \lfloor 10^n x \rfloor\). Alors \(k \le 10^n x\), donc \(10k \le 10^{n+1} x\) (produit par \(10\)), et \(10k\) est un entier : par la Proposition « Propriétés de \(\lfloor \cdot \rfloor\) » (plus grand entier), \(10k \le \lfloor 10^{n+1} x \rfloor\). Ainsi $$ \begin{aligned} r_n &= \frac{k}{10^n} && \text{(définition)} \\ &= \frac{10k}{10^{n+1}} && \text{(en multipliant le numérateur et le dénominateur par \(10\))} \\ &\le \frac{\lfloor 10^{n+1} x \rfloor}{10^{n+1}} && (10k \le \lfloor 10^{n+1} x \rfloor) \\ &= r_{n+1}, \end{aligned} $$ et \(r_{n+1} \le x\) par le premier point appliqué à \(n + 1\).

Démontrons les deux implications.
(\(\Rightarrow\)) Supposons que \(D\) soit dense. Soient \(x \in \mathbb{R}\) et \(\varepsilon > 0\). Comme \(x - \varepsilon < x + \varepsilon\), l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) est un intervalle ouvert non vide, donc il rencontre \(D\) : il existe \(d \in D\) avec \(x - \varepsilon < d < x + \varepsilon\). Par la forme à crochets stricte de la distance, \(\lvert x - d \rvert < \varepsilon\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons la condition vérifiée. Soient \(a < b\). Posons \(x = \frac{a + b}{2}\) et \(\varepsilon = \frac{b - a}{2} > 0\). Par la condition, il existe \(d \in D\) avec \(\lvert x - d \rvert < \varepsilon\), c'est-à-dire, par la forme à crochets stricte, \(d \in \,]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \, = \,]a, b[\), puisque \(x - \varepsilon = a\) et \(x + \varepsilon = b\). Donc \(D \cap \,]a, b[ \, \ne \emptyset\), et \(D\) est dense.

Par la Proposition « Deux formes de la densité », il suffit d'approcher tout réel d'aussi près qu'on veut. Soient \(x \in \mathbb{R}\) et \(\varepsilon > 0\).
Choix de la précision. Par la Proposition « Conséquences de la propriété d'Archimède », un \(n \in \mathbb{N}^*\) vérifie \(\frac1n < \varepsilon\). De plus \(10^n > n\) pour \(n \ge 1\), par récurrence : initialisation, \(10^1 > 1\) ; hérédité, si \(10^n > n\), alors $$ \begin{aligned} 10^{n+1} &= 10 \cdot 10^n && \text{(règle des puissances)} \\ &> 10n && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &\ge n + 1, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(9n \ge 1\) ; d'après le principe de récurrence l'inégalité vaut pour tout \(n \ge 1\). Donc $$ \begin{aligned} 10^{-n} &= \frac{1}{10^n} && \text{(exposant négatif)} \\ &< \frac1n && \text{(inversion des nombres strictement positifs \(n < 10^n\))} \\ &< \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par le choix de \(n\).
L'approximation. Soit \(r_n\) l'approximation de \(x\) à \(10^{-n}\) près par défaut. C'est un nombre décimal, et par la Proposition « Approximations décimales », \(0 \le x - r_n < 10^{-n} < \varepsilon\), donc \(\lvert x - r_n \rvert < \varepsilon\). Par la Proposition « Deux formes de la densité », \(\mathbb{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

Soient \(a < b\). Montrons que \(]a, b[\) contient un rationnel et un irrationnel.
Rationnels. Par le Théorème « Densité des décimaux », \(]a, b[\) contient un nombre décimal, qui est un rationnel puisque \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\). Donc \(\mathbb{Q}\) est dense.
Irrationnels. La densité de \(\mathbb{Q}\), appliquée à l'intervalle \(]a - \sqrt{2}, b - \sqrt{2}[\), donne \(q \in \mathbb{Q}\) avec \(a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}\). Alors \(a < q + \sqrt{2} < b\), et \(q + \sqrt{2}\) est irrationnel par la Proposition « Somme et produit avec un rationnel », puisque \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Donc \(]a, b[\) contient un irrationnel, et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) est dense.
Seconde démonstration : par une construction directe. Rationnels. Par la Proposition « Conséquences de la propriété d'Archimède », il existe \(q \in \mathbb{N}^*\) avec \(\frac1q < b - a\), c'est-à-dire \(q(b - a) > 1\). Posons \(p = \lfloor qa \rfloor + 1\). Alors $$ \begin{aligned} qa &< p && (qa < \lfloor qa \rfloor + 1) \\ &\le qa + 1 && (\lfloor qa \rfloor \le qa) \\ &< qb, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(qb - qa = q(b - a) > 1\). En divisant par \(q > 0\), \(a < \frac{p}{q} < b\). Irrationnels. Soit \(m\) le milieu de \(]\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}[\). Le cas des rationnels, appliqué à \(]\frac{a}{\sqrt{2}}, m[\) et à \(]m, \frac{b}{\sqrt{2}}[\), donne deux rationnels \(r < m < r'\) dans l'intervalle, et l'un au moins d'entre eux, \(s\), est non nul. Alors \(s\sqrt{2}\) est irrationnel par la Proposition « Somme et produit avec un rationnel », et \(a < s\sqrt{2} < b\) par le produit par \(\sqrt{2} > 0\).

Soit \(D\) une partie dense de \(\mathbb{R}\) et \(a < b\).
Première démonstration, par l'absurde. Supposons par l'absurde que \(D \cap \,]a, b[\) soit fini. Il est non vide, par densité, donc il a un plus grand élément \(z\), par la Proposition « Plus grand élément : unicité et parties finies ». Comme \(z < b\), l'intervalle \(]z, b[\) est un intervalle ouvert non vide, donc par densité il contient un \(d \in D\). Alors \(a < z < d < b\), donc \(d \in D \cap \,]a, b[\) et \(d > z\), ce qui contredit le fait que \(z\) est le plus grand élément. Contradiction ! Donc \(D \cap \,]a, b[\) est infini.
Seconde démonstration, par construction. Par densité choisir \(d_1 \in D \cap \,]a, b[\) ; étant donné \(d_k\), choisir \(d_{k+1} \in D \cap \,]d_k, b[\), ce qui est possible puisque \(d_k < b\). Les éléments \(d_1 < d_2 < d_3 < \dots\) de \(D \cap \,]a, b[\) sont strictement croissants, donc deux à deux distincts, et il y en a une infinité.
Les cas particuliers. Les ensembles \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) sont denses, par les Théorèmes « Densité des décimaux » et « Densité de \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) ».

Les majorants et la borne supérieure sont ceux des Définitions « Majorée, minorée, bornée » et « Borne supérieure, borne inférieure », lus dans l'ensemble ordonné \((\overline{\mathbb{R}}, \le)\). Soit \(B\) une partie de \(\overline{\mathbb{R}}\) et \(A = B \cap \mathbb{R}\). L'un des trois cas a lieu.
Cas 1 : \(+\infty \in B\). Tout majorant de \(B\) est au moins \(+\infty\), donc c'est \(+\infty\) ; et \(+\infty\) est un majorant de \(B\), puisque c'est le plus grand élément de \(\overline{\mathbb{R}}\). Donc \(+\infty\) est le seul majorant, donc le plus petit : \(\sup B = +\infty\).
Cas 2 : \(+\infty \notin B\) et \(A = \emptyset\). Alors \(B\) est vide ou égal à \(\{-\infty\}\). Tout élément de \(\overline{\mathbb{R}}\) est un majorant de \(B\), et le plus petit est \(-\infty\) : \(\sup B = -\infty\). En particulier \(\sup \emptyset = -\infty\).
Cas 3 : \(+\infty \notin B\) et \(A \ne \emptyset\). L'élément \(-\infty\) n'est pas un majorant de \(B\), puisque \(A\) a un élément, qui est strictement supérieur à \(-\infty\). Un réel est un majorant de \(B\) si et seulement si c'est un majorant de \(A\), puisque \(-\infty\) est au-dessous de tout réel. Si \(A\) n'est pas majorée dans \(\mathbb{R}\), aucun réel n'est un majorant de \(B\), donc le seul majorant est \(+\infty\) et \(\sup B = +\infty\). Si \(A\) est majorée dans \(\mathbb{R}\), alors, étant non vide, elle a une borne supérieure \(s\) dans \(\mathbb{R}\) par la propriété de la borne supérieure. Les majorants de \(B\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\) sont \(+\infty\) et les majorants réels de \(A\), tous au moins égaux à \(s\), et \(s\) est l'un d'eux : \(\sup B = s\).
La borne inférieure. L'application \(x \longmapsto -x\), prolongée par \(-(+\infty) = -\infty\) et \(-(-\infty) = +\infty\), renverse l'ordre de \(\overline{\mathbb{R}}\) et échange les minorants de \(B\) et les majorants de \(-B = \{-x \mid x \in B\}\). Donc \(\inf B = -\sup(-B)\) existe pour toute partie \(B\), et \(\inf \emptyset = -\sup \emptyset = +\infty\).