Résoudre des équations

Qu'est-ce qu'une équation ?

Bienvenue dans l'Escape Game de maths ! Ton équipe doit résoudre une dernière énigme pour trouver le code secret à un chiffre (un nombre entre $0$ et $9$) et s'échapper.
L'indice est une équation où le code est représenté par le symbole $\triangle$ :$$\triangle + 10 = 1 + 2 \times 6$$Tu n'as qu'une seule chance pour entrer le bon chiffre. Deux de tes coéquipiers proposent des réponses différentes :

Louis propose de saisir $\boxed{8}$.
Su propose de saisir $\boxed{3}$.

Qui a raison, et quel est le code secret ?

Correction

Pour trouver le bon code, nous testons chaque proposition pour voir quelle valeur de $\triangle$ rend l'équation vraie.
D'abord, simplifions le membre de droite de l'équation. On effectue d'abord la multiplication :$$1 + 2 \times 6 = 1 + 12 = 13.$$L'équation devient alors :$$\triangle + 10 = 13.$$

Teste le code de Louis : Remplace $\textcolor{colordef}{\triangle = 8}$ dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{8} + 10 &= 18 \\ 18 &= 13 &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$ Le code de Louis est incorrect.
Teste le code de Su : Remplace $\textcolor{colordef}{\triangle = 3}$ dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{3} + 10 &= 13 \\ 13 &= 13 &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$ Le code de Su est correct.

Le code secret est $\triangle = 3$ car c'est la valeur qui rend l'équation vraie.

Définition Équation et Solution

Une équation est une phrase mathématique qui dit que deux expressions sont égales. Elle contient souvent une variable (ou inconnue), qui est un symbole (comme $x$ ou $\triangle$) représentant un nombre que nous ne connaissons pas encore.
Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs de la variable qui rendent l'équation vraie. Chaque valeur trouvée est une solution de l'équation.

Exemple

Montre que $x = 2$ est une solution de l'équation $3 + x = 5$.

Correction

On remplace $\textcolor{colordef}{x = 2}$ dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite :$$\begin{aligned}3 + \textcolor{colordef}{(2)} &= 5 \\ 5 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation vraie.)}\end{aligned}$$Comme l'égalité est vraie, $x = 2$ est une solution.

Exemple

Montre que $x = 1$ n'est pas une solution de $3 + x = 5$.

Correction

On remplace $\textcolor{colordef}{x = 1}$ dans l'équation :$$\begin{aligned}3 + \textcolor{colordef}{(1)} &= 5 \\ 4 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation fausse.)}\end{aligned}$$Comme l'égalité est fausse, $x = 1$ n'est pas une solution.

Résolution par inspection et essais-erreurs

Méthode Essai-erreur

La méthode des essais-erreurs est une méthode de base pour résoudre un problème : on teste différentes valeurs pour la variable jusqu'à trouver celle qui rend l'équation vraie. Pour chaque valeur, on la remplace dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite.
Pour des équations simples, on peut parfois trouver la solution simplement en regardant l'équation. On parle alors de résolution par inspection.

Exemple

Considère l'équation $2x + 3 = 11$.
Utilise la méthode des essais-erreurs pour trouver la solution.

Correction

Nous testons différentes valeurs entières pour $x$ pour voir laquelle rend l'équation vraie.

Essai avec $\textcolor{colordef}{x = 2}$ : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(2)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 4 + 3 &= 11 \\ 7 &= 11 \quad &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$
Essai avec $\textcolor{colordef}{x = 3}$ : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(3)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 6 + 3 &= 11 \\ 9 &= 11 \quad &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$
Essai avec $\textcolor{colordef}{x = 4}$ : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(4)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 8 + 3 &= 11 \\ 11 &= 11 \quad &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$

Donc, une solution de l'équation $2x + 3 = 11$ est $x = 4$.

Principe de l'équilibre

Découverte

Une équation est une affirmation que deux expressions sont égales. On peut visualiser cette affirmation comme une balance en équilibre, où l'expression du côté gauche a la même valeur (poids) que celle du côté droit.
L'équation $x + 10 = 13$ peut être représentée ainsi :

La balance est en équilibre. Notre but est de trouver la valeur du poids inconnu, $x$, tout en gardant la balance en équilibre à chaque étape.
Quelle opération pourrions-nous effectuer des deux côtés de l'équation pour isoler $x$ ?

Correction

Pour garder la balance en équilibre, toute opération que nous effectuons doit être appliquée de manière égale des deux côtés. Pour isoler $x$, nous devons enlever le poids de 10 du plateau de gauche. Pour maintenir l'équilibre, nous devons également enlever un poids de 10 du plateau de droite.

Algébriquement, on soustrait 10 des deux côtés :$$\begin{aligned}x+10 &= 13 \\ x+10 - 10 &= 13 - 10 \\ x &= 3\end{aligned}$$Ce processus montre que $x+10=13$ est équivalent à $x=3$. Une solution d'une équation est une valeur de la variable qui maintient l'équilibre (rend l'équation vraie). Ici, la solution est $x=3$.

Définition Équations équivalentes

Deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions. Pour résoudre une équation, on la transforme en une série d'équations plus simples et équivalentes, jusqu'à ce que la solution soit évidente.

Proposition Règles d'or de la résolution d'équations

Pour créer une équation équivalente, ce que tu fais d'un côté de l'équation, tu dois le faire de l'autre côté.

Propriété d'addition/soustraction : Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés produit une équation équivalente.$$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad A+c = B+c$$(et de même $A-c = B-c$)
Propriété de multiplication/division : Multiplier ou diviser les deux côtés par le même nombre non nul produit une équation équivalente.$$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad cA = cB \quad (c \neq 0)$$$$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{A}{c} = \dfrac{B}{c} \quad (c \neq 0)$$

Résoudre en inversant les opérations

Une expression algébrique comme $2x+1$ peut être vue comme une suite d'opérations appliquées à une variable $x$. Pour résoudre une équation qui contient cette expression, notre but est d'inverser cette suite pour revenir à $x$.

Définition Opérations inverses

Une opération inverse est une opération qui « annule » une autre opération.

L'addition et la soustraction sont des opérations inverses.$\boxed{x}\xrightarrow{+a}\boxed{x+a}\xrightarrow{-a}\boxed{x}$
La multiplication et la division sont des opérations inverses.$\boxed{x}\xrightarrow{\times a}\boxed{ax}\xrightarrow{\div a}\boxed{x} \quad \text{avec }a\neq 0$

Méthode Résoudre en inversant les opérations

Dans de nombreuses équations linéaires, on peut isoler la variable en appliquant les opérations inverses dans l'ordre inverse.

Identifie la suite d'opérations utilisée pour construire l'expression contenant la variable.
Inverse cette suite en utilisant les opérations inverses correspondantes, en appliquant chaque étape aux deux côtés de l'équation.

Exemple

Résous pour $x$ :$$2x+1=7$$

Correction

Séquence des opérations sur $x$ : D'abord, $x$ est multiplié par 2, puis 1 est ajouté. $$ \boxed{x}\xrightarrow{\times 2}\boxed{2x}\xrightarrow{+1}\boxed{2x+1} $$
Séquence inverse avec opérations inverses : Pour isoler $x$, nous devons d'abord soustraire 1, puis diviser par 2. $$ \boxed{2x+1}\xrightarrow{-1}\boxed{2x}\xrightarrow{\div 2}\boxed{x} $$
Application des étapes : $$ \begin{aligned} 2x + 1 &= 7 \\ 2x + 1 - 1 &= 7 - 1 &&\text{(Soustraire 1 des deux côtés)} \\ 2x &= 6 \\ \frac{2x}{2} &= \frac{6}{2} &&\text{(Diviser les deux côtés par 2)} \\ x &= 3 \end{aligned} $$ La solution est $x = 3$.