Trigonométrie du triangle rectangle

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les longueurs des côtés et les angles des triangles, en particulier les triangles rectangles. Elle est utilisée dans de nombreux domaines : sciences, ingénierie, astronomie, architecture, développement de jeux vidéo, etc. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur trois rapports trigonométriques principaux : le sinus, le cosinus et la tangente.

Côtés d'un triangle rectangle

Définition Côtés du triangle rectangle

Un triangle rectangle possède un angle droit de $90^\circ$. On nomme les côtés par rapport à un angle aigu choisi $\theta$ (et non par rapport à l’angle droit).

L'hypoténuse (HYP) est le côté le plus long, toujours opposé à l’angle droit. Elle ne dépend pas du choix de $\theta$.
Le côté opposé (OPP) est le côté situé en face de l’angle $\theta$ : il ne touche pas cet angle.
Le côté adjacent (ADJ) est la cathète qui touche l’angle $\theta$, mais qui n’est pas l’hypoténuse.

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, l’angle $\theta$ est au sommet $B$. Identifie l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé par rapport à l’angle $\theta$.

Correction

Par rapport à l’angle $\theta$ en $B$ :

Hypoténuse : $\SegmentFr{BC}$
Côté adjacent : $\SegmentFr{AB}$
Côté opposé : $\SegmentFr{AC}$

Rapports trigonométriques

Le fondement des rapports trigonométriques

Pourquoi les rapports trigonométriques fonctionnent-ils ? La réponse se trouve dans les propriétés des triangles similaires.
Considérons deux triangles rectangles quelconques qui partagent un angle aigu commun, $\theta$.

Les deux triangles ont un angle droit ($90^\circ$) et partagent tous deux l’angle $\theta$. Parce qu’ils ont deux angles correspondants égaux, les triangles sont similaires d’après le critère de similarité angle-angle (AA).
Une propriété fondamentale des triangles similaires est que les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux. Cela signifie que, pour n’importe quel triangle rectangle avec l’angle $\theta$ :$$ \frac{\text{OPP}_1}{\text{HYP}_1} = \frac{\text{OPP}_2}{\text{HYP}_2}, \quad \frac{\text{ADJ}_1}{\text{HYP}_1} = \frac{\text{ADJ}_2}{\text{HYP}_2}, \quad \frac{\text{OPP}_1}{\text{ADJ}_1} = \frac{\text{OPP}_2}{\text{ADJ}_2}. $$Puisque ces rapports sont constants pour un angle $\theta$ donné, quelle que soit la taille du triangle, nous pouvons leur donner des noms spéciaux. Ce sont les rapports trigonométriques.

Définition Les trois rapports trigonométriques

Pour un angle $\theta$ dans un triangle rectangle, nous définissons les trois principaux rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente.$$\sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}, \quad\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}, \quad\tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}.$$

Un moyen mnémotechnique courant pour s’en souvenir est aussi SOH-CAH-TOA :

Sinus = Opposé / Hypoténuse
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
Tangente = Opposé / Adjacent

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, trouve $\cos \theta$, $\sin \theta$ et $\tan \theta$.

Correction

Par rapport à $\theta$ en $B$ :

Hypoténuse : $BC = 5$
Côté adjacent : $AB = 4$
Côté opposé : $AC = 3$

$$\begin{aligned}\cos \theta &= \frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}} = \frac{4}{5}, \\ \sin \theta &= \frac{\text{OPP}}{\text{HYP}} = \frac{3}{5}, \\ \tan \theta &= \frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}} = \frac{3}{4}.\end{aligned}$$

Proposition Formule de la tangente

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Preuve

$$\begin{aligned}\tan \theta &= \frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}}\\ &= \frac{\text{OPP}/\text{HYP}}{\text{ADJ}/\text{HYP}}\\ &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.\\ \end{aligned}$$

Méthode Utiliser une calculatrice

Les rapports trigonométriques pour n’importe quel angle peuvent être calculés à l’aide d’une calculatrice scientifique en mode degré. Vérifie toujours que ta calculatrice est réglée sur « DEG » (degrés) avant de faire tes calculs.

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, trouve $x$.

Correction

Par rapport à l’angle $30^\circ$ en $B$, le côté de longueur $3$ est l’hypoténuse et le côté $x$ est adjacent à cet angle.$$\begin{aligned}\cos \theta &= \frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}} \\ \cos(30^\circ) &= \frac{x}{3} \\ x &= 3 \times \cos(30^\circ) \\ x &\approx 3 \times 0{,}866 \\ x &\approx 2{,}6\,\text{cm}\end{aligned}$$

Fonctions trigonométriques inverses

Les rapports trigonométriques peuvent être utilisés pour trouver un angle inconnu dans un triangle rectangle, à condition de connaître au moins deux longueurs de côtés.

Définition Fonctions trigonométriques inverses

Dans un triangle rectangle avec un angle $\theta$ :$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}}\right), \quad\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{HYP}}\right), \quad\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}}\right).$$

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, trouve l’angle $\theta$.

Correction

On connaît la longueur du côté adjacent ($AB = 0{,}5$) et celle de l’hypoténuse ($BC = 1$) par rapport à $\theta$. On utilise la fonction cosinus inverse :$$\begin{aligned}\theta &= \cos^{-1}\left(\frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}}\right) \\ &= \cos^{-1}\left(\frac{0{,}5}{1}\right) \\ &= 60^\circ.\end{aligned}$$

Résoudre des problèmes concrets à l’aide de la trigonométrie

Les rapports trigonométriques sont des outils puissants pour résoudre une grande variété de problèmes impliquant des triangles rectangles, notamment dans des situations concrètes. Pour résoudre ces problèmes efficacement, suis les étapes structurées ci-dessous :

Méthode Résoudre des problèmes concrets à l’aide de la trigonométrie

Dessine un schéma clair représentant la situation décrite dans l’énoncé.
Indique l’inconnue (côté ou angle) à déterminer. Utilise $x$ pour une longueur et $\theta$ pour un angle si possible.
Repère un triangle rectangle dans ton schéma.
Écris une équation liant un angle et deux côtés du triangle à l’aide d’un rapport trigonométrique approprié.
Résous l’équation pour trouver la valeur de l’inconnue.
Formule clairement ta réponse, avec les unités appropriées, sous forme de phrase.