Factorisation d'expressions algébriques

La factorisation est le processus inverse du développement. Alors que développer convertit un produit en une somme, factoriser convertit une somme en un produit.
Maîtriser la factorisation est une compétence essentielle pour simplifier des expressions complexes et résoudre des équations de degré supérieur. Sauf indication contraire, on travaille avec des nombres réels dans ce chapitre.

Lois du facteur commun

Les lois du facteur commun sont l'inverse des lois distributives : au lieu de développer des parenthèses, on cherche un facteur commun à "mettre en évidence" pour introduire des parenthèses.

Proposition Lois du facteur commun

$\textcolor{colorprop}{a}b+\textcolor{colorprop}{a}c=\textcolor{colorprop}{a}(b+c)\quad$ et $\quad\textcolor{colorprop}{a}b-\textcolor{colorprop}{a}c=\textcolor{colorprop}{a}(b-c)$

Exemple

Factorise $2x+2$.

Correction

$$\begin{aligned}2x+2&=\textcolor{colorprop}{2}\times x +\textcolor{colorprop}{2}\times 1\\ &=\textcolor{colorprop}{2}(x+1).\end{aligned}$$

Différence de deux carrés

Proposition Différence de deux carrés

$\textcolor{colordef}{a}^2-\textcolor{colorprop}{b}^2 = (\textcolor{colordef}{a}-\textcolor{colorprop}{b})(\textcolor{colordef}{a}+\textcolor{colorprop}{b})$

Exemple

Factorise $x^2-9$.

Correction

$$\begin{aligned}x^2-9&= \textcolor{colordef}{x}^2-\textcolor{colorprop}{3}^2\\ &= (\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{3})(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{3}).\end{aligned}$$

Remarque

Tout nombre réel positif ou nul $c$ peut être exprimé comme un carré parfait : $c=(\sqrt{c})^2$. Cela permet de réécrire des expressions comme $x^2 - c$ sous forme de différence de deux carrés et d'appliquer l'identité ci-dessus.

Exemple

Factorise $x^2-3$.

Correction

On peut écrire $3$ sous la forme $(\sqrt{3})^2$ pour créer une différence de carrés.$$\begin{aligned}x^2-3 &= \textcolor{colordef}{x}^2 - \left(\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \left(\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right)\left(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right).\end{aligned}$$

Remarque

Une somme de deux carrés $a^2+b^2$ ne peut pas être factorisée sur les réels.

Exemple

Factorise si possible : $x^2+1$.

Correction

Comme $x^2+1=x^2+1^2$ est une somme de deux carrés, elle ne peut pas être factorisée en facteurs linéaires à coefficients réels.

Trinômes de carrés parfaits

Proposition Trinômes de carrés parfaits

$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{a}^{2}+2 \textcolor{colordef}{a} \textcolor{colorprop}{b}+\textcolor{colorprop}{b}^{2} &= (\textcolor{colordef}{a}+\textcolor{colorprop}{b})^{2}\\ \textcolor{colordef}{a}^{2}-2 \textcolor{colordef}{a} \textcolor{colorprop}{b}+\textcolor{colorprop}{b}^{2} &= (\textcolor{colordef}{a}-\textcolor{colorprop}{b})^{2}\\ \end{aligned}$$

Exemple

Factorise $x^2+2x+1$.

Correction

Nous vérifions si cela correspond à la forme $a^2+2ab+b^2$.

Le premier terme est $x^2$, donc soit $a=x$.
Le dernier terme est $1=1^2$, donc soit $b=1$.
On vérifie si le terme du milieu est $2ab$ : $2(x)(1) = 2x$. Cela correspond.

Par conséquent, l'expression est un carré parfait :$$\begin{aligned}x^2+2x+1 &= \textcolor{colordef}{x}^{2}+2(\textcolor{colordef}{x})(\textcolor{colorprop}{1})+\textcolor{colorprop}{1}^{2}\\ &= (\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{1})^{2}.\end{aligned}$$