Racines carrées

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

Le carré d'un nombre est le résultat de ce nombre multiplié par lui-même. Par exemple, $3$ au carré est $3 \times 3$, ce qui s'écrit $3^2$.
$3^2 = 9$. L'aire d'un carré de côté $3$ est $9$ unités carrées.
La racine carrée est l'opération inverse : elle « défait » le carré. Elle permet de trouver la longueur du côté d'un carré à partir de son aire. Si un carré a une aire de $9$, quelle est la longueur de son côté ?
La longueur du côté est $\sqrt{9} = 3$, car $3 \times 3 = 9$.

Définition Racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif ou nul $a$ (c'est-à-dire $a \ge 0$), notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne $a$.$$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$$

Remarque

Le symbole de la racine carrée $\sqrt{\quad}$ demande toujours la racine positive. Par exemple, $\sqrt{25} = 5$. C'est une erreur courante de penser que $\sqrt{25}$ vaut $\pm 5$.
Bien qu'il soit vrai que $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$, le symbole $\sqrt{25}$ ne fait référence qu'à la solution positive, qui est $5$.
Pourquoi ne peut-on pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif (dans les réels) ?
Considérons $\sqrt{-9}$. Pour trouver cette valeur, il nous faudrait un nombre qui, multiplié par lui-même, donne $-9$.
- Un nombre positif au carré est positif ($3 \times 3 = 9$).
- Un nombre négatif au carré est aussi positif ($-3 \times -3 = 9$).
Aucun nombre réel, élevé au carré, ne peut donner un résultat strictement négatif. Par conséquent, on ne peut pas trouver la racine carrée d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres réels.

Définition Carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un autre entier. La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier.

Exemple

Les premiers carrés parfaits sont :$$ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \dots $$Leurs racines carrées sont :$$ \sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{16} = 4, \quad \dots $$

Calculer des racines carrées

Alors que les racines carrées des carrés parfaits sont faciles à trouver, la plupart des nombres ne sont pas des carrés parfaits. On peut estimer leurs racines carrées ou utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur plus précise.

Méthode Utiliser une calculatrice

Sur la plupart des calculatrices, tu peux trouver une racine carrée en utilisant le bouton $\boxed{\sqrt{\;}}$.

Exemple

Utilise une calculatrice pour trouver $\sqrt{10}$, arrondi à $2$ décimales.

Correction

En entrant $\sqrt{10}$ dans une calculatrice, on obtient environ $3{,}162277\ldots$
Arrondi à $2$ décimales, $\sqrt{10} \approx 3{,}16$.