\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Triangles similaires

Similarité par angle-angle

Définition Figures similaires
Deux figures géométriques sont similaires si elles ont la même forme, éventuellement avec des tailles différentes. Cela signifie que l'une est un agrandissement, une réduction (ou une copie de même taille) de l'autre. Les angles correspondants sont égaux et les rapports des longueurs des côtés correspondants sont constants.
Un moyen simple de prouver que deux triangles sont similaires est d'utiliser le critère de similarité par deux angles égaux (AA) : si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les deux triangles sont similaires.
Proposition Similarité par angle-angle pour les triangles
Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les deux triangles sont similaires.
Exemple Thalès et la Grande Pyramide
Thalès, un mathématicien de la Grèce antique, a utilisé des triangles similaires pour mesurer la hauteur de la Grande Pyramide. Il a mesuré l'ombre de la pyramide et, au même moment, l'ombre d'un bâton de hauteur connue.
  • La pyramide projetait une ombre de 210 mètres de long.
  • Un bâton de 2 mètres de haut, placé à la verticale, projetait une ombre de 3 mètres de long.
Comment peux-tu utiliser ces informations pour trouver la hauteur de la pyramide ?

Les deux triangles rectangles du schéma (bâton–ombre et pyramide–ombre) sont similaires par le critère Angle-Angle (AA) :
  1. Le bâton et la pyramide forment tous deux un angle droit (90°) avec le sol.
  2. Comme les rayons du soleil sont parallèles, l'angle qu'ils forment avec le sol est le même pour les deux triangles. L'angle aigu au bout de chaque ombre est donc égal.
Puisque les triangles sont similaires, les rapports de leurs côtés correspondants doivent être égaux. Soit \(h\) la hauteur de la pyramide :$$ \frac{\text{Hauteur de la pyramide}}{\text{Ombre de la pyramide}} = \frac{\text{Hauteur du bâton}}{\text{Ombre du bâton}} $$$$ \frac{h}{210} = \frac{2}{3} $$En résolvant pour \(h\) :$$ h = 210 \times \frac{2}{3} = \frac{420}{3} = 140 $$La hauteur de la Grande Pyramide est de \(140\) mètres.

Théorème de Thalès

Theorem Théorème de Thalès
Soit un triangle \(\textcolor{colordef}{\triangle ABC}\), avec un point \(\textcolor{colorprop}{D}\) sur la droite \(\LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}\) et un point \(\textcolor{colorprop}{E}\) sur la droite \(\LineFr{A\textcolor{colordef}{C}}\).
Si la droite \(\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}\) est parallèle à la droite \(\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}\), alors les triangles \(\textcolor{colordef}{\triangle ABC}\) et \(\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}\) sont similaires :$$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$
Configurations de Thalès : figures clés

Chaque triangle rouge est similaire au triangle bleu.

Puisque la droite \(\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}\) est parallèle à la droite \(\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}\), les angles correspondants sont égaux : \(\AngleFr{ADE} = \AngleFr{ABC}\) et \(\AngleFr{AED} = \AngleFr{ACB}\) (angles correspondants ou alternes-internes).
Comme deux angles sont égaux, les triangles \(\textcolor{colordef}{\triangle ABC}\) et \(\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}\) sont similaires par le critère Angle-Angle (AA). Par conséquent, les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux :$$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$