Dessins à l'échelle
Définitions
Pour concevoir une maison, un architecte crée un dessin beaucoup plus petit que le bâtiment réel. Pour ce faire, chaque mesure de la maison réelle est réduite de manière proportionnelle. Cette relation de proportionnalité est appelée l' échelle.
Pour les plans de maison, une échelle courante est de \(1{:}100\). Cela signifie que chaque longueur sur le dessin est 100 fois plus petite que la longueur réelle. Ce type de dessin est appelé un dessin à l'échelle.\includegraphics[width=0.5\textwidth]{\imagepath floorplan2.png}
Pour les plans de maison, une échelle courante est de \(1{:}100\). Cela signifie que chaque longueur sur le dessin est 100 fois plus petite que la longueur réelle. Ce type de dessin est appelé un dessin à l'échelle.
Définition Dessin à l'échelle et facteur d'échelle
Un dessin à l'échelle est un dessin qui représente un objet réel avec ses dimensions réduites ou agrandies de manière proportionnelle. Cette relation est définie par l'échelle, qui est exprimée sous forme de rapport (ratio) 1:facteur d'échelle.
La relation fondamentale est :$$\frac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}}}{\textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}}}$$
La relation fondamentale est :$$\frac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}}}{\textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}}}$$
Formules
Proposition Formules
De la relation principale, on peut déduire trois formules utiles :$$\begin{aligned}\text{Longueur réelle} &= \text{Longueur dessinée} \times \text{Facteur d'échelle}\\
\text{Longueur dessinée} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Facteur d'échelle}}\\
\text{Facteur d'échelle} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Longueur dessinée}}\end{aligned}$$Note : Pour calculer le facteur d'échelle, les deux longueurs doivent être dans la même unité.
En partant de la proportion principale :$$\frac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}}}{\textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}}}$$Par produit en croix, on obtient :$$\textcolor{colorprop}{1} \times \textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}} = \textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}} \times \textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}$$Cela se simplifie en notre formule principale :$$\textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}} = \textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}} \times \textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}$$
Exemple
Calculer la largeur réelle de cette maison.
La largeur dessinée de la maison est de \(4\,\mathrm{cm}\). L'échelle \(1{:}200\) signifie que le facteur d'échelle est de \(200\).$$\begin{aligned}\text{Largeur réelle} &= \text{Largeur dessinée} \times \text{Facteur d'échelle}\\
&= 4\,\mathrm{cm} \times 200 \\
&= 800\,\mathrm{cm} \\
&= 8\,\mathrm{m}\end{aligned}$$La largeur réelle de la maison est de \(8\) mètres.
Exemple
Pour une échelle de \(1{:}200\), calculer la longueur dessinée correspondant à une longueur réelle de \(6\,\mathrm{m}\).
Le facteur d'échelle est de \(200\).$$\begin{aligned}\text{Longueur dessinée} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Facteur d'échelle}}\\
&= \frac{6\,\mathrm{m}}{200}\\
&= \frac{600\,\mathrm{cm}}{200} &&(\text{conversion d'unités})\\
&= 3\,\mathrm{cm}\end{aligned}$$Une longueur réelle de \(6\,\mathrm{m}\) est représentée par une longueur dessinée de \(3\,\mathrm{cm}\).
Exemple
Une longueur dessinée de \(2\,\mathrm{cm}\) représente une longueur réelle de \(5\,\mathrm{m}\). Calculer le facteur d'échelle et l'échelle.
D'abord, il faut convertir les longueurs dans la même unité. Utilisons les centimètres.
Longueur réelle = \(5\,\mathrm{m} = 500\,\mathrm{cm}\).$$\begin{aligned}\text{Facteur d'échelle} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Longueur dessinée}}\\ &= \frac{500\,\mathrm{cm}}{2\,\mathrm{cm}}\\ &= 250\end{aligned}$$Le facteur d'échelle est de \(250\). L'échelle s'écrit \(1{:}250\).
Longueur réelle = \(5\,\mathrm{m} = 500\,\mathrm{cm}\).$$\begin{aligned}\text{Facteur d'échelle} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Longueur dessinée}}\\ &= \frac{500\,\mathrm{cm}}{2\,\mathrm{cm}}\\ &= 250\end{aligned}$$Le facteur d'échelle est de \(250\). L'échelle s'écrit \(1{:}250\).