Proportionnalité
Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Imagine que tu achètes des cookies. Le prix est de 2 euros par cookie. Le nombre de cookies est \(\textcolor{colordef}{x}\) et le coût total est \(\textcolor{colorprop}{y}\). On a :
| \(\textcolor{colordef}{1}\) cookie coûte | \(\textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{1}\) |
| \(\textcolor{colordef}{2}\) cookies coûtent | \(\textcolor{colorprop}{4} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{2}\) |
| \(\textcolor{colordef}{3}\) cookies coûtent | \(\textcolor{colorprop}{6} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{3}\) |
| \(\textcolor{colordef}{4}\) cookies coûtent | \(\textcolor{colorprop}{8} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{4}\) |
| \(\textcolor{colordef}{x}\) cookies coûtent | \(\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{x}\) |
- Définition par le rapport : Peu importe le nombre de cookies achetés, le rapport \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}}\) est toujours le même et il vaut le prix d’un cookie :$$\dfrac{\textcolor{colorprop}{8}}{\textcolor{colordef}{4}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{6}}{\textcolor{colordef}{3}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{4}}{\textcolor{colordef}{2}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}} = \textcolor{olive}{2}.$$
- Définition par la linéarité : On peut aussi exprimer le coût total avec une formule :$$\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{x}.$$
Définition Proportionnalité
Deux variables \(\textcolor{colordef}{x}\) et \(\textcolor{colorprop}{y}\) sont dites proportionnelles si le rapport \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}}\) est constant, égal à une valeur \(\textcolor{olive}{k}\) appelée coefficient de proportionnalité :$$\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}} = \textcolor{olive}{k}.$$On dit aussi que \(\textcolor{colorprop}{y}\) est proportionnel à \(\textcolor{colordef}{x}\) si, pour la même constante \(\textcolor{olive}{k}\),$$\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{k}\times \textcolor{colordef}{x}.$$
Exemple
Ce tableau représente-t-il une situation de proportionnalité ?
| \(\textcolor{colordef}{x}\) | \(\textcolor{colordef}{1}\) | \(\textcolor{colordef}{2}\) | \(\textcolor{colordef}{3}\) |
| \(\textcolor{colorprop}{y}\) | \(\textcolor{colorprop}{15}\) | \(\textcolor{colorprop}{30}\) | \(\textcolor{colorprop}{45}\) |
Oui. Ce tableau représente une situation de proportionnalité car chaque rapport est égal :$$\dfrac{\textcolor{colorprop}{15}}{\textcolor{colordef}{1}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{30}}{\textcolor{colordef}{2}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{45}}{\textcolor{colordef}{3}} = \textcolor{olive}{15}.$$
Calculer une quatrième proportionnelle
Méthode Calculer une quatrième proportionnelle
Si 4 billets coûtent 28\(~\Euro\), combien coûtent 6 billets, sachant que chaque billet a le même prix ?
- Méthode 1 : Coefficient de proportionnalité
On cherche le prix pour une place :$$\text{Prix unitaire} = \dfrac{28}{4} = 7.$$Pour 6 places :$$\text{Total pour 6 places} = 7 \times 6 = 42.$$ - Méthode 2 : Produit en croix
- Méthode 3 : Retour à l'unité avec des rapports équivalents
- Méthode 4 : Équation de proportion$$\begin{aligned}\dfrac{\textcolor{colorprop}{28}}{\textcolor{colordef}{4}} &= \dfrac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{6}} \\ \textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{28} \times \textcolor{colordef}{6} && \text{(produit en croix)} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= \dfrac{\textcolor{colorprop}{28} \times \textcolor{colordef}{6}}{\textcolor{colordef}{4}} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{42}\end{aligned}$$