\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Propriétés des triangles

Types de triangles

Définition Triangle
Un triangle est un polygone à trois côtés. Il a trois sommets et trois angles.
Définition Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle dont deux côtés sont de même longueur. Le troisième côté est appelé la base, et le sommet opposé à la base est appelé le sommet.
Définition Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. C'est un cas particulier de triangle isocèle.
Définition Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit (\(90^\circ\)). Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.
Définition Triangle scalène
Un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes.

Angles


  1. Dessine un triangle quelconque.
  2. Marque chaque angle du triangle avec une couleur différente.
  3. Découpe chaque coin (angle) du triangle en suivant les contours colorés autour de chaque sommet.
  4. Arrange les angles découpés pour qu'ils soient adjacents, avec leurs sommets se rejoignant en un seul point et sans chevauchement.
  5. Observe que les angles forment un angle plat (un angle mesurant \(180^\circ\)). Puisqu'un angle plat mesure \(180^\circ\), la somme des trois angles du triangle est de \(180^\circ\).

Proposition Somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des trois angles intérieurs est de \(180^\circ\).
Exemple
Trouve l'angle \(x^\circ\).

La somme des angles d’un triangle est de \(180^\circ\). Donc :$$\begin{aligned}[t]x^\circ + 45^\circ + 80^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ + 125^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ &= 180^\circ - 125^\circ \\ x^\circ &= 55^\circ\end{aligned}$$

Proposition Angles d'un triangle isocèle
Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux (angles à la base) sont égaux.

  1. Dessine un triangle isocèle quelconque avec deux côtés égaux.
  2. Trace la médiane depuis le sommet jusqu'au milieu de la base. Elle divise le triangle en deux moitiés. Ombre chaque moitié différemment.
  3. Découpe le triangle isocèle et plie-le le long de la médiane. La médiane est un axe de symétrie car les deux côtés égaux s’alignent.
  4. Observe que les deux moitiés coïncident lorsqu’elles sont pliées, ce qui montre que les angles à la base sont égaux en raison de la symétrie.

Proposition Angles d'un triangle équilatéral
Dans tout triangle équilatéral, chaque angle mesure \(60^\circ\).

Considère un triangle équilatéral avec tous les côtés égaux. Puisque les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, les trois angles ont la même mesure, disons \(x^\circ\).
Par la propriété de la somme des angles d’un triangle :$$\begin{aligned}x^\circ + x^\circ + x^\circ &= 180^\circ \\ 3x^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ &= 180^\circ \div 3 \\ x^\circ &= 60^\circ\end{aligned}$$Ainsi, chaque angle d’un triangle équilatéral mesure \(60^\circ\).

Théorème de l'inégalité triangulaire


  1. Aligne 4 allumettes bout à bout pour former un côté d’un triangle.
    Construis ensuite un triangle avec les deux autres côtés ayant chacun une longueur de 3 allumettes. Fais un petit croquis pour illustrer la solution.
  2. En utilisant 9 allumettes, est-il possible de construire un triangle avec un côté ayant une longueur de 5 allumettes ?

    1. Place 5 allumettes bout à bout pour former un côté du triangle.
    2. Il reste 4 allumettes pour former les deux autres côtés.
    3. Supposons que le deuxième côté utilise 1 allumette. Le troisième côté utilise alors les 3 allumettes restantes.
    4. Essaie de former un triangle avec des côtés de 5, 1 et 3 allumettes. Lorsque tu tentes de relier les extrémités du côté de 5 allumettes avec les côtés de 1 et 3 allumettes, le côté de 1 allumette est trop court pour atteindre l’extrémité du côté de 3 allumettes, ce qui empêche les côtés de former une figure fermée.
    5. Essaie une autre combinaison, par exemple utiliser 2 allumettes pour chacun des deux autres côtés. Là encore, lorsque tu tentes de relier les extrémités du côté de 5 allumettes avec deux côtés de 2 allumettes, les côtés ne se rejoignent pas pour former une figure fermée, car le côté de 5 allumettes est trop long par rapport aux deux autres. Aucune combinaison des 4 allumettes restantes (par exemple, 1 et 3, ou 2 et 2) ne permet aux côtés de se connecter correctement.
    6. Donc, avec 9 allumettes, il n’est pas possible de construire un triangle avec un côté de longueur 5 allumettes.


Theorem Théorème de l'inégalité triangulaire
Dans tout triangle, la longueur de chaque côté doit être inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
  • Si un côté est plus long que la somme des deux autres côtés, les côtés ne peuvent pas former un triangle car ils ne se rejoignent pas pour fermer la figure.
  • Si un côté est égal à la somme des deux autres côtés, le résultat est un triangle dégénéré (une ligne droite), qui n’est pas considéré comme un triangle dans ce cours.
Exemple
Peut-on construire un triangle avec les longueurs suivantes ?

Le théorème de l’inégalité triangulaire stipule que chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres côtés. Vérifions pour les trois côtés :
  • \(2 < 6 + 3 = 9\) (valide)
  • \(3 < 6 + 2 = 8\) (valide)
  • \(6 \not< 3 + 2 = 5\) (non valide)
Puisque toutes les inégalités ne sont pas respectées, ces longueurs de côtés ne peuvent pas former un triangle.