Probabilité
Tu t’es déjà demandé s’il allait pleuvoir demain ou si tu allais gagner à un jeu ? C’est ça, la probabilité ! C’est une façon mathématique de mesurer à quel point il est probable qu’un événement se produise.
Issues
Définition Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Définition Toutes les issues possibles
Toutes les issues possibles sont la liste complète de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Exemple
Quelles sont toutes les issues possibles quand tu lances une pièce ? 
Toutes les issues possibles sont Face (F)=
et Pile (P)=
.
et Pile (P)=.
Exemple
Quelles sont toutes les issues possibles quand tu lances un dé à six faces ?
Toutes les issues possibles sont 1=
, 2=
, 3=
, 4=
, 5=
, et 6=
.
, 2=, 3=, 4=, 5=, et 6=.Événements
Une fois que nous connaissons toutes les issues possibles d'une expérience (l'univers), nous pouvons nous concentrer sur les résultats spécifiques qui nous intéressent. Ces résultats spécifiques, qui peuvent être une ou plusieurs issues, sont appelés des événements.
Définition Événement
Un événement est un ensemble d’issues parmi toutes les issues possibles.
Exemple
Dans l’expérience de lancer un dé, trouve les issues correspondant à un nombre pair.
Les issues pour « lancer un nombre pair » sont 2=, 4=, et 6=.
, 4=, et 6=.Utiliser des mots pour décrire la probabilité
On utilise des mots spéciaux pour décrire la chance qu’un événement se produise. On peut placer ces mots sur une ligne, du moins probable au plus probable.
Définition Droite de Probabilité
La chance nous indique à quel point un événement est susceptible d’arriver.
- Impossible : Cela ne peut pas arriver.
Exemple : Monter sur un dinosaure. - Peu probable : Cela n’arrivera probablement pas.
Exemple : Obtenir un 3 en lançant un dé. - Une chance sur deux : Cela a autant de chances d’arriver que de ne pas arriver.
Exemple : Obtenir face en lançant une pièce. - Très probable : Cela va probablement arriver.
Exemple : Boire de l’eau à l’école aujourd’hui. - Certain : Cela va forcément arriver.
Exemple : Le soleil va se lever demain matin.
Utiliser des nombres pour quantifier la probabilité
Quand tu lances une pièce, il y a deux issues possibles : pile ou face. La chance d’obtenir face est 1 chance sur 2. On peut écrire cela sous forme de fraction :
Définition Probabilité
La probabilité d’un événement, notée \(P(\text{événement})\), est un nombre de 0 (impossible) à 1 (certain).
Calculer les probabilités
Dans de nombreuses expériences, chaque issue a la même chance de se produire. Par exemple, une pièce de monnaie équilibrée a autant de chances de tomber sur pile que sur face. Quand on lance un dé équilibré, chaque nombre de 1 à 6 a la même chance d’apparaître. On appelle cela des issues équiprobables.
Définition Calcul de probabilité avec des issues équiprobables
Lorsque toutes les issues d’une expérience sont équiprobables, on peut calculer la probabilité d’un événement avec une formule simple :$$P(\text{événement}) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables}}{\text{Nombre total d’issues possibles}}$$Les « issues favorables » sont les issues qui correspondent à l’événement qui nous intéresse.
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces. Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair.
- Nombre total d’issues possibles : Un dé a 6 faces, donc il y a 6 issues possibles : \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
- Nombre d’issues favorables : L’événement est « obtenir un nombre pair ». Les issues qui sont paires sont \(\{2, 4, 6\}\). Il y a 3 issues favorables.
- Calculer la probabilité :$$\begin{aligned}P(\text{obtenir un nombre pair}) &= \frac{\text{Nombre d’issues favorables}}{\text{Nombre total d’issues possibles}} \\ &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}$$
Représenter les probabilités par des nombres
Méthode Exprimer les probabilités sous différentes formes
On peut écrire les probabilités de trois manières différentes : en fractions, en nombres décimaux ou en pourcentages. Ces trois formes représentent la même probabilité, mais s’écrivent différemment.
Exemple
La probabilité d’un événement est \(P(\text{événement}) = \frac{1}{4}\). Représente cette probabilité sous forme de nombre décimal et de pourcentage.
- Fraction : \( \frac{1}{4} \)
- Nombre décimal : Pour convertir une fraction en nombre décimal, divise le numérateur par le dénominateur :$$ 1 \div 4 = 0{,}25 $$
- Pourcentage : Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, multiplie par 100 et ajoute le signe de pourcentage :$$ 0{,}25 = 0{,}25 \times 100\pourcent = 25\pourcent $$
Probabilité expérimentale
Jusqu’à présent, nous avons calculé la probabilité théorique. C’est ce à quoi nous nous attendons en utilisant la logique. Par exemple, on s’attend à ce qu’une pièce tombe sur face la moitié du temps, donc on dit que \(P(\text{Face}) = \frac{1}{2}\).
Mais que faire si nous ne pouvons pas utiliser la logique ? Et si les issues ne sont pas équiprobables ? Dans ces cas-là, nous devons faire une expérience pour estimer la probabilité.
Mais que faire si nous ne pouvons pas utiliser la logique ? Et si les issues ne sont pas équiprobables ? Dans ces cas-là, nous devons faire une expérience pour estimer la probabilité.
Isaac veut trouver la probabilité qu’un cône qu’il laisse tomber atterrisse sur sa base. Les issues sont « sur la base » ou « sur le côté ».
- Sur la base : 15 fois.
- Sur le côté : 35 fois.
Définition Probabilité expérimentale (Fréquence relative)
La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule :$$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$Plus on fait d’essais, meilleure sera notre estimation de la vraie probabilité.