\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Longueur

Unités de longueur


On peut mesurer des longueurs de beaucoup de façons, par exemple avec nos pas ou avec des trombones. Mais les pas et les trombones de chacun n'ont pas la même taille ! Comment peut-on partager nos mesures si nous utilisons tous des unités différentes ?
Pour résoudre ce problème, les gens du monde entier se sont mis d'accord pour utiliser les mêmes unités. On les appelle des unités standard. L'unité la plus utilisée pour mesurer les longueurs est le mètre.

Définition Unités de longueur
  • Millimètre \(\left(\mathrm{mm}\right)\) : une très petite unité de longueur, à peu près l’épaisseur d’une pièce de monnaie.
  • Centimètre \(\left(\mathrm{cm}\right)\) : une petite unité de longueur, à peu près la largeur de ton doigt.
  • Mètre \(\left(\mathrm{m}\right)\) : une unité de longueur plus grande, à peu près la hauteur d’une fille de 6 ans.
  • Kilomètre \(\left(\mathrm{km}\right)\) : une unité de longueur très grande, utilisée pour mesurer de longues distances, comme la distance entre deux villes. Sa taille est proche de la hauteur du Burj Khalifa à Dubaï, aux Émirats arabes unis, qui fait presque \(1~\mathrm{km}\) de haut.

Conversion des unités de longueur

Définition Conversion des unités de longueur
Voici quelques conversions utiles du système métrique :
  • \(1~\text{km}=1\,000~\text{m}\)
  • \(1~\text{m}=100~\text{cm}\)
  • \(1~\text{cm}=10~\text{mm}\)
Méthode Convertir en utilisant une multiplication ou une division
  • Utilise la multiplication pour passer d’une unité plus grande à une unité plus petite (ex. : \(\mathrm{m} \to \mathrm{cm}\)).
  • Utilise la division pour passer d’une unité plus petite à une unité plus grande (ex. : \(\mathrm{cm} \to \mathrm{m}\)).
Méthode Convertir en utilisant un tableau
Pour convertir entre les unités de longueur, on peut utiliser un tableau de conversion des unités métriques. Ce tableau représente les principales unités, du kilomètre au millimètre. Chaque colonne correspond à un passage d’un facteur 10, 100 ou 1 000 entre les unités. Convertissons 1,2 mètres en centimètres.
  1. Dessine le tableau de conversion complet.
    \(\mathrm{km}\) \(\quad\;\) \(\quad\;\) \(\;\mathrm{m}\) \(\quad\;\) \(\mathrm{cm}\) \(\mathrm{mm}\)
  2. Place le nombre dans le tableau.
    La règle est : le chiffre des unités va dans la colonne de l'unité de départ.
    Pour \(1,2\) m, le chiffre des unités est \(1\), donc il va dans la colonne des m. Le chiffre \(2\) (les dixièmes) va dans la colonne suivante, à droite.
    \(\mathrm{km}\) \(\quad\;\) \(\quad\;\) \(\;\mathrm{m}\) \(\quad\;\) \(\mathrm{cm}\) \(\mathrm{mm}\)
    1 2
  3. Remplis les espaces vides avec des zéros jusqu’à atteindre l’unité d’arrivée.
    Notre unité d’arrivée est le centimètre, donc on place un \(0\) dans la colonne des cm.
    \(\mathrm{km}\) \(\quad\;\) \(\quad\;\) \(\;\mathrm{m}\) \(\quad\;\) \(\mathrm{cm}\) \(\mathrm{mm}\)
    1 2 0
  4. Lis le nombre final.
    On lit maintenant le nombre en centimètres :
    \(1{,}2 \ \text{m} = 120 \ \text{cm}.\)
    Cela correspond au fait que l’on multiplie par \(100\) pour passer des mètres aux centimètres.

Périmètre

Définition Périmètre
Le périmètre d’une forme est la distance totale tout autour de son bord extérieur.
Méthode Calculer le périmètre
Pour calculer le périmètre d'une forme, on additionne les longueurs de tous ses côtés.
Exemple
Trouve le périmètre de la forme rouge. Chaque carré sur la grille mesure 1 unité de long.

  • Étape 1 : Trouve la longueur de chaque côté en comptant les unités sur la grille.
    Les côtés mesurent 2 unités, 2 unités, 2 unités et 2 unités.
  • Étape 2 : Additionne les longueurs de tous les côtés.$$\begin{aligned} \text{Périmètre} &= 2 + 2 + 2 + 2\\ &= 8\end{aligned} $$Le périmètre de la forme est de 8 unités.

Périmètre des formes courantes

Méthode Calculer le périmètre d’un polygone
Pour trouver le périmètre d’un polygone (une figure fermée avec des côtés droits), additionne les longueurs de tous ses côtés.
Proposition Formules de périmètre
Forme Diagramme Formule du périmètre
Triangle \(P = a + b + c\)
Rectangle \(\begin{aligned}P &= L + l + L + l\\ &= 2L + 2l\\ &= 2(L + l)\end{aligned}\)
Carré \(P = c + c + c + c = 4c\)
Cercle \(P = 2\pi r\)
On appelle aussi le périmètre d’un cercle sa circonférence, notée ici \(P\).
Exemple
Calcule le périmètre du rectangle :

Le rectangle a une longueur \(L = 14\) m et une largeur \(l = 7\) m. Nous pouvons utiliser l’une ou l’autre formule du périmètre.
  • Méthode 1 (additionner les deux paires de côtés égaux) :$$\begin{aligned}[t]P &= 2 \times L + 2 \times l \\ &= 2 \times 14 + 2 \times 7 \\ &= 28 + 14 \\ &= 42 \,\mathrm{m}\end{aligned}$$
  • Méthode 2 (mettre en facteur) :$$\begin{aligned}[t]P &= 2(L + l) \\ &= 2(14 + 7) \\ &= 2 \times 21 \\ &= 42 \,\mathrm{m}\end{aligned}$$
Le périmètre du rectangle est de \(42\) m.

Longueur d’un arc

Définition Arc de cercle
Un arc est une partie de la circonférence d’un cercle, entre deux points du cercle, définie par son angle au centre, \(\theta\) (thêta).
Exemple
Un demi-cercle est un arc avec un angle au centre de \(180^\circ\).
Méthode Trouver la longueur d’un arc
Pour trouver la longueur d’un arc, on calcule une fraction de la circonférence totale.
  1. Trouver la fraction du cercle. C’est l’angle au centre de l’arc (en degrés) divisé par \(360^\circ\) :$$ \text{Fraction} = \frac{\text{angle au centre } (\theta)}{360^\circ}. $$
  2. Multiplier la fraction par la circonférence totale. Rappel : la circonférence d’un cercle de rayon \(r\) est \(C = 2 \pi r\) :$$ \text{Longueur de l’arc} = \text{Fraction} \times (2 \pi r). $$
Ainsi, si l’angle au centre est \(\theta\) (en degrés) et le rayon est \(r\),$$ \text{Longueur de l’arc} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r. $$
Exemple
Calcule la longueur de l’arc dans la figure ci-dessous.

Nous allons suivre la méthode en deux étapes. Les valeurs données sont \(\theta = 90^\circ\) et \(r = 4\) cm.
  1. Étape 1 : Trouver la fraction du cercle.$$ \text{Fraction} = \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}. $$
  2. Étape 2 : Multiplier la fraction par la circonférence totale.$$ \begin{aligned}\text{Longueur de l’arc} &= \frac{1}{4} \times (2 \times \pi \times r) \\ &= \frac{1}{4} \times (2 \times \pi \times 4) \\ &= \frac{1}{4} \times 8\pi \\ &= 2\pi \,\text{cm}.\end{aligned} $$
La longueur exacte de l’arc est de \(2\pi\) cm. Pour une valeur approximative, nous utilisons une calculatrice :$$ \text{Longueur de l’arc} \approx 6{,}28 \,\text{cm}. $$

Périmètre des figures composites

Définition Figure composite
Une figure composite est une forme constituée de deux ou plusieurs figures simples (comme des rectangles, des carrés et des triangles) assemblées.
Méthode Trouver le périmètre d'une figure composite
Pour trouver le périmètre d’une figure composite :
  1. Identifie tous les côtés extérieurs de la figure. Fais attention à ne pas inclure les lignes à l'intérieur de la forme.
  2. Trouve les longueurs des côtés inconnus. Tu devras peut-être utiliser les informations des autres côtés pour les déduire.
  3. Additionne les longueurs de tous les côtés extérieurs.
Exemple
Trouve le périmètre de cette figure composite, qui est composée d'un carré et d'un triangle.

\(\quad\)
\(P=\)+
\(\begin{aligned}[t]P &= \textcolor{colordef}{3\times 4 \mathrm{~cm}} + \textcolor{colorprop}{2\times 5 \mathrm{~cm}}\\ P &= 22 \mathrm{~cm}\\\end{aligned}\)