Fonctions

Définitions

Une fonction est comme une machine qui suit une règle précise. Pour chaque nombre que tu y mets, tu obtiens exactement un nombre en sortie.
Imaginons une machine dont la règle est « multiplier par 2 ».

Si on met $3$, on obtient $6$. Si on met $5$, on obtient $10$. Un tableau de valeurs nous aide à organiser ces paires entrée–sortie :

Entrée	3	5	8	10
Sortie	6	10	16	20

Pour travailler plus efficacement avec ces règles, les mathématiciens ont développé une notation spéciale.
Pour représenter cette machine, on écrit $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{\text{entrée}}) = \textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$. Les parenthèses $($ $)$ indiquent l'action de la fonction $\textcolor{olive}{f}$ sur l'entrée.
On utilise la notation fonctionnelle pour nommer les fonctions et leurs variables, en remplaçant « $\textcolor{colordef}{\text{entrée}}$ » par « $\textcolor{colordef}{x}$ » et « $\textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$ » par « $\textcolor{colorprop}{f(x)}$ ».
Par exemple, si la règle est « le double de l'entrée » :

on a donc $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{x}) = 2x$.
Lorsque l'entrée est $\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}$, on obtient :$$\begin{aligned}\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{1}) &= 2 \times \textcolor{colordef}{1}\\ &= \textcolor{colorprop}{2}\end{aligned}$$

Définition Fonction

Une fonction est une règle qui associe à chaque valeur d'entrée d'un ensemble appelé domaine de définition exactement une valeur de sortie dans un ensemble appelé ensemble image.
On utilise la notation $f(x)$ pour représenter la valeur de la fonction $f$ lorsque l'entrée est $x$.

$f$ est le nom de la fonction (la règle).
$x$ est la variable d'entrée.
$f(x)$ est la valeur de sortie lorsque l'entrée est $x$. On lit « $f$ de $x$ ».

Exemple

La fonction $f$ est définie par la règle $f(x)=2x-1$. Trouve la valeur de $f(5)$.

Correction

Pour trouver $f(5)$, on remplace la valeur d'entrée $x=5$ dans la règle de la fonction :$$\begin{aligned}[t]f(x) &= 2x - 1 \\ f(5) &= 2(5) - 1 \\ &= 10 - 1 \\ &= \boldsymbol{9}\end{aligned}$$

Tableaux de valeurs

Définition Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs est un tableau qui organise la relation entre les valeurs d'entrée ($x$) et leurs valeurs de sortie correspondantes ($f(x)$) pour une fonction.

Exemple

Complète le tableau de valeurs pour la fonction $f(x)=x^2$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$

Correction

On remplace chaque valeur de $x$ dans la fonction $f(x)=x^2$ :

$\begin{aligned}[t] f(-2) &= (-2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(-1) &= (-1)^2\\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(0) &= (0)^2 \\ &= 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(1) &= (1)^2 \\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(2) &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$

Le tableau complété est :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)