\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Aire

Définition

Définition Aire
L’aire d’une forme, c’est la quantité d’espace qu’elle occupe sur une surface plane.
On mesure l’aire en comptant combien d’unités carrées peuvent tenir à l’intérieur de la forme.
Pour trouver l’aire d’une forme, on peut la placer sur une grille et compter le nombre total de carrés qu’elle couvre.
Tu peux imaginer que tu carreles un sol : l’aire est le nombre total de carreaux que tu utilises.
Exemple
Trouve l’aire de la forme verte. Chaque petit carré de la grille représente 1 unité carrée.

Pour trouver l’aire, nous comptons chaque unité carrée à l’intérieur de la forme.
Il y a 4 petits carrés à l’intérieur de la forme.
L’aire est donc de 4 unités carrées.

Unités d’aire


Quand on mesure une aire, il est important d’utiliser des unités standard pour que tout le monde obtienne la même mesure. Les unités non standard, comme des livres ou des carreaux de tailles différentes, peuvent donner des réponses différentes, car elles n’ont pas toutes la même taille. Pour l’aire, nous utilisons des unités standard comme le centimètre carré et le mètre carré.

Définition Unités d’aire
  • Kilomètre carré \(\left(\mathrm{km}^2\right)\) : une très grande unité d’aire, à peu près la taille d’une petite ville.
  • Mètre carré \(\left(\mathrm{m}^2\right)\) : une unité d’aire plus grande, à peu près l’espace qu’il te faut pour t’allonger avec les bras le long du corps.
  • Centimètre carré \(\left(\mathrm{cm}^2\right)\) : une petite unité d’aire, à peu près la taille de l’ongle du gros orteil d’un garçon de 6 ans.
  • Millimètre carré \(\left(\mathrm{mm}^2\right)\) : une très petite unité d’aire, à peu près la taille d’un petit point fait par un crayon.

Conversion des unités d’aire


Voyons comment les unités d'aire sont liées. Considérons un carré d'une aire de 1 cm². Comme 1 cm = 10 mm, chaque côté de ce carré mesure 10 mm de long.
Chaque petit carré fait 1 mm². Pour trouver l'aire en mm², nous multiplions sa longueur en mm par sa largeur en mm :$$ \begin{aligned} 1 \, \mathrm{cm}^2 &= 1 \, \mathrm{cm} \times 1 \, \mathrm{cm} \\ &= 10 \, \mathrm{mm} \times 10 \, \mathrm{mm} \\ &= 100 \, \mathrm{mm}^2 \end{aligned} $$Ainsi, 1 cm² est égal à 100 mm². Le facteur de conversion est au carré !

Proposition Conversion des unités d’aire
Comme on multiplie deux longueurs pour obtenir une aire, les facteurs de conversion sont au carré.
  • \(1 \, \text{cm}^2 = (10 \times 10) \, \text{mm}^2 = \mathbf{100} \, \text{mm}^2\)
  • \(1 \, \text{m}^2 = (100 \times 100) \, \text{cm}^2 = \mathbf{10\,000} \, \text{cm}^2\)
  • \(1 \, \text{km}^2 = (1000 \times 1000) \, \text{m}^2 = \mathbf{1\,000\,000} \, \text{m}^2\)
Méthode Convertir en utilisant une multiplication ou une division
  • Utilise la multiplication pour passer d’une unité plus grande à une plus petite (comme des mètres carrés aux centimètres carrés).
  • Utilise la division pour passer d’une unité plus petite à une plus grande (comme des centimètres carrés aux mètres carrés).
Méthode Convertir en utilisant un tableau de conversion
Pour les aires, chaque unité dans le tableau de conversion est divisée en deux colonnes. Convertissons 10,5 m² en cm².
  1. Dessine le tableau de conversion des aires. Chaque unité possède deux colonnes.
  2. Place le nombre dans le tableau. La règle est : le chiffre des unités se place dans la colonne de droite de l'unité de départ. Pour 10,5 m², le chiffre des unités est 0, donc on le place dans la colonne de droite des m². Les autres chiffres se placent dans les colonnes voisines, en gardant le même ordre (dizaines à gauche, chiffres décimaux à droite).
  3. Déplace la virgule à droite des colonnes de ton unité d'arrivée. Notre unité d'arrivée est le cm². Remplis les colonnes vides avec des zéros.
  4. Lis le nombre final. La virgule est maintenant tout à droite.
    Donc, 10,5 m² = \(105\,000\) cm².

Aire d'un rectangle ou d'un carré


Compter chaque carré pour trouver l’aire peut prendre beaucoup de temps. Voyons s’il existe un raccourci.
Considérons un rectangle de 5 unités de longueur et 3 unités de largeur.
On peut trouver son aire en additionnant les carrés de chaque colonne.
L’aire est \(\underbrace{\textcolor{colordef}{3}\;\;+\;\textcolor{colorprop}{3}\;\;+\;\textcolor{olive}{3}\;\;+\;\textcolor{purple}{3}\;\;+\;\textcolor{orange}{3}}_{5\,\text{fois}} = 5 \times 3 = 15\) unités carrées.
Cela montre que l’on peut trouver l’aire d’un rectangle en multipliant simplement sa longueur par sa largeur.

Proposition Formules d’aire
Pour trouver l’aire d’un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur.Pour trouver l’aire d’un carré, on multiplie la longueur d’un côté par elle-même.
Forme Diagramme Formule d’aire
Rectangle \(A = L \times l\)
Carré \(A = c \times c\)
Exemple
Trouve l’aire du rectangle :

C’est un rectangle avec une longueur \(L = 8\) m et une largeur \(l = 4\) m. En utilisant la formule de l’aire d’un rectangle :$$\begin{aligned}[t]A &= L \times l \\ &= 8 \times 4 \\ &= 32 \, \mathrm{m}^2\end{aligned}$$L’aire est de \(32\) mètres carrés (on lit \(32\,\mathrm{m}^2\) « 32 mètres carrés »).

Aire d’un triangle


Pour trouver l’aire d’un triangle, nous pouvons le couper le long de sa hauteur pour former deux triangles plus petits, puis les réorganiser pour former un rectangle. Voyons comment cela fonctionne étape par étape avec le triangle ci-dessous :
  1. Coupe le triangle le long de la hauteur \(CH\) pour former deux triangles plus petits. Tourne et réorganise ces triangles pour former un rectangle :
  2. L'aire du rectangle est la longueur multipliée par la hauteur : \(4 \times 3 = 12 \,\text{cm}^2\). Puisque l'aire du rectangle est égale à deux fois celle du triangle initial, l'aire du triangle est la moitié de l’aire du rectangle :$$\begin{aligned}A_\triangle &= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\\ &= \dfrac{4 \times 3}{2}\\ &= 6 \,\text{cm}^2.\end{aligned}$$

Proposition Aire d’un triangle
L’aire d’un triangle se trouve en multipliant la base par la hauteur et en divisant par 2 :$$\text{Aire d’un triangle} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$$$$A = \dfrac{b \times h}{2}$$où \(b\) est la longueur de la base et \(h\) la hauteur correspondante.
Exemple
Trouve l’aire du triangle :

$$\begin{aligned}[t]A &= \dfrac{b \times h}{2} \\ &= \dfrac{4 \times 2}{2} \\ &= 4 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$Donc, l’aire du triangle est \(4 \,\text{cm}^2\).

Aire d’un parallélogramme


Pour trouver l’aire d’un parallélogramme, nous pouvons le transformer en rectangle en déplaçant un triangle d’un côté à l’autre. Voyons comment cela fonctionne étape par étape avec le parallélogramme ci-dessous :
  1. Dessine la hauteur, une ligne qui va du côté supérieur au côté inférieur et qui est perpendiculaire à la base :
  2. Coupe le triangle à droite :
  3. Déplace le triangle vers la gauche pour former un rectangle :
  4. Maintenant, nous avons un rectangle avec une longueur (base) de \(4\) cm et une hauteur de \(3\) cm. L’aire du parallélogramme est la même que celle de ce rectangle, qui est la base multipliée par la hauteur : \(4 \times 3 = 12 \, \text{cm}^2\).

Proposition Aire d’un parallélogramme
L’aire d’un parallélogramme se trouve en multipliant la base par la hauteur :$$\text{Aire d’un parallélogramme} = \text{base} \times \text{hauteur}$$$$A = b \times h,$$où \(b\) est la base et \(h\) la hauteur.
Exemple
Trouve l’aire du parallélogramme :

$$\begin{aligned}[t]A &= b \times h \\ &= 4 \times 2 \\ &= 8 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$Donc, l’aire du parallélogramme est \(8 \,\text{cm}^2\).

Aire d’un cercle


Pour trouver l’aire d’un cercle, nous pouvons le diviser en petites parties et les réorganiser pour former un parallélogramme approximatif. Voyons comment cela fonctionne étape par étape :
  1. Divise le cercle en 12 parties égales, comme des parts de tarte :
  2. Imagine couper ces 12 parties du cercle.
  3. Réorganise les parties en les alternant pour former une forme qui ressemble à un parallélogramme :
  4. La base du parallélogramme est approximativement la moitié de la circonférence du cercle (\(\pi r\)), et sa hauteur est approximativement le rayon (\(r\)). Donc, l’aire du cercle est l’aire de ce parallélogramme :$$\begin{aligned}A_\text{cercle} &= (\pi r) \times r \\ &= \pi \times r \times r \\ &= \pi r^2.\end{aligned}$$On lit cette formule « pi \(r\) carré ».

Proposition Aire d’un cercle
L’aire d’un cercle se trouve en multipliant \(\pi\) par le rayon au carré :$$\text{Aire d’un cercle} = \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} $$$$A = \pi r \times r = \pi r^2$$
Exemple
Trouve l’aire du cercle :

$$\begin{aligned}[t]A &= \pi r^2 \\ &= \pi 3^2 \\ &\approx 28{,}26 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$

Formules d’aires

Proposition Formules d’aires
Voici les formules d’aire de quelques formes courantes.
Nom Forme Aire
Rectangle \(A = L \times l\)
Carré \(\begin{aligned}A &= c \times c \\&= c^2\end{aligned}\)
Parallélogramme \(A = b \times h\)
Triangle \(A = \dfrac{b \times h}{2}\)
Cercle \(\begin{aligned}A &= \pi \times r \times r \\&= \pi r^2\end{aligned}\)

Aire des figures composites

Définition Figure composite
Une figure composite est constituée de deux ou plusieurs formes géométriques simples, comme des rectangles, des triangles ou des cercles, combinées ensemble.
Méthode Trouver l’aire d’une figure composite
Pour trouver l’aire d’une figure composite, suis ces étapes :
  1. Divise la figure en formes simples et non superposées, comme des rectangles, des triangles ou des cercles.
  2. Trouve l’aire de chaque forme simple en utilisant la formule appropriée.
  3. Additionne les aires pour obtenir l’aire totale de la figure composite.
Exemple
Trouve l’aire de la figure composite ci-dessous, qui est composée d’un carré et d’un triangle :

$$\begin{aligned}[t]A &= \textcolor{colordef}{\text{Aire du carré}} + \textcolor{colorprop}{\text{Aire du triangle}} \\ &= \textcolor{colordef}{c \times c} + \textcolor{colorprop}{\dfrac{b \times h}{2}} \\ &= \textcolor{colordef}{3 \times 3} + \textcolor{colorprop}{\dfrac{3 \times 2}{2} }\\ &= \textcolor{colordef}{9} + \textcolor{colorprop}{3} \\ &= 12 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$